BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Grafika Komputer

Grafika komputer adalah suatu bidang yang mempelajari penggambaran suatu gambar dengan menggunakan komputer. Sehingga di dalam grafika computer dibahas teknik-teknik pembuatan, penyimpanan, dan manipulasi model dalam bentuk data gambar. Grafika komputer menghasilkan software-software desain grafis yang saat ini sudah sangat canggih, yang disebut GUI (Graphics User Interface) yang memudahkan dan menyenangkan. Berikut ini merupakan kerangka Grafik Komputer Interaktif.

Gambar 2.1 Kerangka Grafik Komputer Interatif

2.1.1 Pemanfaatan Grafika Komputer

Dalam pemanfaatan grafika komputer, hal yang dibahas adalah mengenai spesifikasi bidang-bidang yang memanfaatkan grafika komputer. Bidang-bidang tersebut di antaranya:

a. Computer-Aided Design (CAD)

CAD adalah suatu metode yang digunakan untuk merancang suatu model 3D yang sekarang sudah rutin

Graphics System Graphics Library (GL) Application program Application model

digunakan untuk merancang gedung, mobil, model pesawat, komputer, tekstil dan banyak produk lainnya.

b. Hiburan

Industri filem dan televisi merasakan sekali pentingnya grafika komputer. Selain itu, grafika komputer juga dimanfaatkan pada pengembangan game di seluruh dunia.

c. Pendidikan dan Pelatihan

Pemodelan fisika, keuangan, dan sistem ekonomi sering digunakan sebagai tujuan pendidikan. Pemodelan dari sistem fisika, sistem fisilogis dan perkembangan populasi bisa membantu untuk memahami jalannya suatu sistem.

d. Visualisasi

Ilmuwan, teknisi, personil medis, analis bisnis dan lainnya sering membutuhkan untuk menganalisa banyaknya informasi atau melakukan studi atas kelakuan dari proses penting. Dengan menggunakan visualisasi semakin mempermudah mempelajari, memahami dan melakukan analisa terhadap suatu permasalahan.

e. Pengolahan Citra

Suatu citra yang telah rusak dapat diperbaiki kembali sehingga kualitasnya hampir menyamai citra yang masih baru.

f. Graphical User Interface

GUI (Graphical User Interface) adalah perangkat lunak atau program yang tersedia jadi lebih interaktif dan mudah mengoperasikannya. Adapun bahasa pemrograman yang digunakan adalah Delphi, Visual Basic dan Visual C.

Sedangkan kegiatan pemograman yang berkaitan dengan grafika komputer, adalah:

 Pemodelan Geometris: menciptakan model matematika dari objek objek 2D dan 3D.

 Rendering: memproduksi citra yang lebih solid dari model yang telah dibentuk.

 Animasi: menetapkan/menampilkan kembali tingkahlaku objek bergantung waktu.

Pemodelan geometris merupakan transformasi dari suatu konsep (atau suatu benda nyata) ke suatu model geometris yang bisa ditampilkan pada suatu komputer. Berikut merupakan elemen-elemen pembentuk grafik pada geometri:

Titik .

Garis

Polygon Kurva Lingkaran

Gambar 2.2 Elemen-elemen pembentuk grafik

2.2 Kurva

Kurva merupakan garis yang yang dihasilkan dari sesuatu fungsi matematika yang bentuknya disesuaikan dengan titik kontrol (control point) yang merupakan parameter dari fungsi tersebut. Kurva dapat direpresentasikan sebagai kumpulan titik-titik persamaan berbentuk non-parametrik ataupun non-parametrik. Persamaan menggunakan dua koordinat (x dan y) untuk kurva bidang (2D) dan tiga koordinat (x, y, dan z) untuk kurva ruang (3D).

Persamaan kurva pada bidang non-parametrik secara umum adalah: • Kurva eksplisit

Fungsi: y = f (x)

Contoh:

- Persamaan garis lurus: y = 3x + 1

- Persamaan parabola: y = x2

Kesulitan yang ditemui dari persamaan ini adalah:

1. Tidak mungkin mendapatkan lebih dari satu nilai y untuk setiap satu nilai x. Dengan demikian kurva berbentuk lingkaran dan elipse harus direpresentasikan dengan beberapa segmen kurva. 2. Kurva hasil persamaan ini tidak mudah untuk dilakukan rotasi. 3. Sulit merepresentasikan kurva dengan tangen vertikal karena

kemiringannya yang tak terhingga.

• Kurva implisit Fungsi: f (x, y) = 0 Contoh:

- Persamaan lingkaran: x2 + y2 − 1 = 0 - Persamaan elipse:

Persamaan ini memang dapat mengatasi masalah nilai tunggal y untuk setiap satu nilai x, seperti yang dialami persamaan kurva eksplisit. Namun kesulitan akan muncul apabila hanya memerlukan nilai tunggal y. Bayangkan bagaimana menggambar setengah lingkaran dengan menggunakan persamaan implisit. Jika ingin menggabungkan dua segmen kurva implisit menjadi satu, maka sulit untuk menentukan apakah kedua arah tangen kurva tersebut bertemu pada titik gabungnya.

Persamaan kurva pada bidang parametrik secara umum adalah: • x = f (t), y = g(t)

dengan t adalah parameter independent dalam interval tertentu ([t1, t2]).

Contoh:

- Persamaan garis: x(t) = 2t + 7 , y(t) = 4t + 11

dengan 0 ≤ t ≤ 1

- Persamaan lingkaran kuadran I: dengan 0 ≤ t ≤ 1

Representasi dengan menggunakan persamaan parametrik mengatasi masalah yang dihadapi bentuk eksplisit maupun implisit. Karena itulah kurva parametrik lebih umum digunakan dalam CAGD (Computer Aided Geometric Design).

Baik representasi parametrik maupun non-parametrik memiliki keunggulan dan kelemahan masing- masing. Misalnya pada representasi non-parametrik, dapat dengan mudah mengetahui apakah suatu titik (x,y)

terletak pada kurva atau tidak. Sedangkan pada representasi parametrik, hal ini menjadi sesuatu yang sulit. Ke dua representasi ini berguna dalam aplikasi grafika komputer. Semuanya relatif dari tujuan penggambaran kurva. Untuk kurva ruang persamaannya sama, hanya saja perlu menambahkan satu koordinat z, dengan demikian titik-titik kurva terdiri atas koordinat x, y, dan z.

2.2.1 Kurva Polinomial

Representasi yang umumnya digunakan adalah parametrik. Diharapkan adanya suatu fungsi yang perhitungannya sederhana namun dapat menggambarkan berbagai variasi kurva. Fungsi polinomial dikatakan cukup memenuhi kriteria ini, karena itu fungsi polinomial banyak digunakan sampai saat ini.

Bentuk umum fungsi polinomial adalah sebagai berikut:

= a0+a1t+a2t2+…+antn

dengan ketentuan n adalah derajat polinomial tersebut.

Berbagai variasi kurva dapat disajikan tergantung pada derajat polinomial yang digunakan, misalnya:

 Polinomial derajat satu (linear) hanya dapat menggambarkan garis lurus.

Gambar 2.3 Kurva Polinomial derajat satu

 Polinomial derajat dua (kuadratik) dapat menggambarkan parabola. Fungsi ini belum memiliki titik belok (point of inflection), suatu titik di mana kurva berubah dari cembung ke cekung atau sebaliknya. Namun titik ini dapat diperoleh dengan menggabungkan beberapa polinomial derajat dua menjadi satu kurva utuh.

Gambar 2.4 Kurva Polinomial derajat dua

                       1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 x x a a t t x a t a x a t a 0 1 ) (t at a x   ) , (t0 x0 ) , (t₁ x₁                                         2 1 0 2 1 0 2 2 2 2 1 1 2 0 0 2 0 2 1 2 2 2 1 0 1 1 2 1 2 0 0 0 1 2 0 2 1 1 1 x x x a a a t t t t t t x a t a t a x a t a t a x a t a t a 0 1 2 2 ) (t at at a x    ) , (t0 x0 ) , (t₁ x₁ ) , (t2 x2

 Polinomial derajat tiga (kubik) adalah polinomial yang dapat dikatakan sebagai standar dalam penyajian kurva. Karena polinomial ini cukup fleksibel dan mampu merepresentasikan bermacam- macam bentuk kurva. Semakin tinggi suatu derajat polinomial, memang semakin baik hasil gambar yang direpresentasikan, namun perhitungan yang dilakukan juga semakin besar da n rumit. Karena itulah, umumnya polinomial kubik yang digunakan dalam penyajian kurva.

Gambar 2.5 Kurva Polinomial derajat tiga

2.2.2 Kurva Spline

Kurva yang merupakan hasil gabungan polinomial-polinomial berderajat n. Kurva spline dapat didefinisikan sebagai gabungan potongan-potongan polinomial (piecewise polynomial function) yang didefinisikan sepanjang interval tertentu. Berikut merupakan bentuk persamaan umumnya:

Secara alamiah spline kubik merupakan model matematis untuk sejenis thin strip, yang mana melalui semua titik kontrol yang dapat meminimalkan energi dasar. Spline kubik alami (natural cubic spline) mempunyai kontinuitas C2 (terdiri C1, C0) dan lebih halus dibandingkan dengan kurva Hermite ataupun Bezier.

                                          3 1 0 3 1 0 3 1 3 1 1 1 0 1 0 1 1 1 x x x a a a t t t t t t n n n n n n          ) , (t₃ x₃ ) , (t₁ x₁ ) , (t0 x0 0 1 2 2 3 3 ) (t at at at a x     0 1 2 2 3 3 ) (t at at at a x    

Contoh kurva spline:

x(t) = 2t + 7 , y(t) = 4t + 11 0 ≤ t ≤ 1

x(t) = t2 + 7t+1, y(t) = t2 + 5t + 9 1 ≤ t ≤ 2

Gambar 2.6 Koordinat Kurva Spline

2.2.3 Kontinuitas

Walaupun polinomial sudah dikatakan cukup sederhana dan mudah digunakan merepresentasikan grafik, namun sulit menyajikan bentuk kurva yang diharapkan hanya dengan menggunak an satu fungsi polinomial untuk x = f (t) dan y = g (t). Hal yang dilakukan adalah membagi bentuk kurva tersebut menjadi beberapa bagian yang kemudian disebut sebagai segmen kurva. Setiap segmen kurva didefinisikan dari polinomial terpisah yang berlaku pada suatu interval parameter, kemudian digabungkan menjadi satu membentuk suatu kurva polinomial utuh. Dengan membagi ke dalam bentuk segmen-segmen kurva, objek grafik yang ingin digambar dapat direpresentasikan dengan polinomial berderajat rendah.

Karena adanya penggabungan segmen-segmen kurva polinomial kecil, tentunya harus memperhatikan kontinuitas dari fungsi polinomial tersebut. Supaya kurva hasil gabungan segmen-segmen tadi tersambung mulus dan tidak terputus, fungsi tersebut harus kontinu.

Misalkan f(t) dan g(t) merupakan dua buah kurva polinomial kubik,

f(a) adalah ujung kanan kurva f dan g(b) adalah ujung kiri kurva g. Jika f(a)=g(b), maka ke dua kurva ini memiliki kontinuitas C0 atau kontinu pada posisi. Sehingga f'(a)=g'(b), dikatakan kurva yang memiliki kontinuitas C1 atau kontinuitas tangen (velocity). Jika

f''(a)=g''(b), maka kurva memiliki kontinuitas C2 atau kontinuitas turunan ke dua (acceleration). Secara umum kurva yang bertemu di satu titik akan memiliki kontinuitas Cn, dengan ketentuan nilainya sama sampai dengan turunan ke n.

Kurva dengan kontinuitas C2 akan lebih mulus daripada kurva dengan kontinuitas C1 dan kurva dengan kontinuitas C1 akan lebih mulus daripada kurva dengan kontinuitas C0. Kurva dengan kontinuitas C0 atau kontinu pada posisi hanya memperlihatkan bahwa kurva tersebut tersambung dan tidak terputus, namun tidak mulus. Kurva Catmull-Rom splines kubik yang akan dibahas pada bab berikutnya adalah kurva dengan kontinuitas C2.

Kontinuitas C adalah kontinuitas parametrik. Selain kontinuitas C terdapat suatu kontinuitas G yang dikenal dengan kontinuitas geometri. Kontinuitas G0 memiliki arti sama dengan C0 yakni kontinu pada posisi. Kontinuitas G1 adalah kontinuitas vektor tangen. Untuk mendapatkan kontinuitas C1 (kontinuitas tangen), kedua kurva harus memenuhi f'(a)=g'(b). Namun untuk mendapatkan kontinuitas G1 (kontinuitas vektor tangen) cukup dengan melihat arahf'(a) dan g'(b). Apabilake dua vektor arah ini

sama (sejajar), kurva yang tersambung dikatakan memiliki kontinuitas G1 (kontinuitas vektor tangen). Kontinuitas G2 adalah kelengkungan kontinuitas vektor.

Kelengkungan kurva pada suatu titik (Curvature sebuah garis lurus adalah nol). Kurva dapat dikatakan memiliki kontinuitas G2 tanpa harus memiliki kontinuitas C2. G. Neilson (2000) memberikan formula mudah untuk kontinuitas G2 sebagai kontinuitas geometri pada titik temu jika dan hanya jika vektor f''(a) − g''(b) paralel dengan vektor tangen di titik temunya. Berikut ini adalah contoh gambar kurva yang memilikikontinuitas C0, C1, C2:

Gambar 2.7 Kontinuitas pada kurva

2.2.4 Titik Kontrol Kurva

Kurva adalah bentuk primitif dari suatu objek grafik. Bentuk primitif ini, dapat membuat objek yang rumit dan kompleks. Pembahasan sebelumnya, telah mengetahui bahwa kurva di sini akan menggunakan persamaan polinomial. Namun persamaan polinomial seperti x(t) = axt2+ bxt + cx, y(t) = ayt2+ byt + cy tidak banyak berarti bagi seorang desainer yang ingin membuat representasi grafik dengan kurva tersebut.

Setiap persamaan polinomial memiliki sejumlah titik kontrol. Dinamakan titik kontrol karena titik ini berkaitan dengan fungsi kurva. Hal ini dapat memanipulasi bentuk kurva secara bebas hanya dengan memanipulasi titik tersebut.

Gambar 2.8 Kurva dengan titik kontrol

Perhatikan Gambar 2.8. Dengan tiga titik kontrol (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3), dapat membentuk satu segmen kurva polinomial kuadratik yang didefinisikan sepanjang interval tertentu. Jadi bagi seorang desainer, menyimpan tiga titik kontrol ini jauh lebih efisien daripada menyimpan fungsi polinomial untuk satu segmen kurva. Contoh yang umum digunakan adalah kurva Bézier dan kurva Catmull- Rom splines.

Ada beberapa cara untuk mendefinisikan kurva tertentu dengan menggunakan titik kontrol. Masing- masing dapat diklasifikasikan sebagai kurva hasil interpolasi atau approksimasi. Pada kasus interpolasi, kurva melewati semua titik kontrol yang diberikan. Sedangkan pada kasus approksimasi, kurva hanya perlu mendekati sekumpulan titik kontrol yang diberikan. Seberapa dekat antara kurva dan titik kontrol tergantung dari teknik approksimasi yang digunakan.