PENGANTAR Ukuran Pemusatan Contoh pemakaian ukuran pemusatan

(1)

(2)

PENGANTAR

• Ukuran Pemusatan

Nilai tunggal yang mewakili suatu kumpulan data dan menunjukkan

karakteristik dari data. Ukuran pemusatan menunjukkan pusat dari nilai data.

• Contoh pemakaian ukuran pemusatan

(a) Berapa rata-rata harga saham berbasis syariah? (b) Usia nasabah bank syariah paling banyak berusia?

(3)

RATA-RATA HITUNG DATA TIDAK BERKELOMPOK

• Rata-rata Hitung Sampel

• Rata-rata Hitung Populasi

n

x

...

x

n

x





i



1



2



n

N

x

...

x

N

x

n 2 1 i









(4)

MEDIAN DAN

MODUS

Definisi:

o Median adalah nilai yang letaknya berada di tengah data di mana data

tersebut sudah diurutkan dari terkecil sampai terbesar atau sebaliknya.

o Modus adalah nilai yang paling sering muncul

Median Data tidak Berkelompok:

(a) Letak median = (n + 1)/2,

(b) Data ganjil, median terletak di tengah,

(c) Median untuk data genap adalah rata-rata dari dua data yang terletak di tengah.

(5)

CONTOH

Berikut ini adalah data-data tingkat bagi hasil Bank Syariah Madani di setiap cabang di Indonesia:

Cabang Tingkat Bagi Hasil (%) Jakarta 8 Serang 7 Tangerang 5 Malang 4 Semarang 4 Jogyakarta 5 Surabaya 9 Bandung 4 Jember 5 Solo 6 Hitunglah nilai:

o Mean (rata-rata hitung)

o Median

(6)

PENYELESAIAN

Nilai rata-rata (Mean) = (x_i)/n = (8 + 7+ 5 + 4 + 4 + 5 + 9 + 4 + 5 + 6) / 10 = 5,7 Median Data diurutkan 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9 Letak median = (n +1) / 2 = (10 + 1) / 2 = 5,5 Nilai median = (5 + 5) / 2 = 5 Modus

(7)

RATA-RATA HITUNG GABUNGAN

n 2 1 n n 2 2 1 1 gabungan

n

...

n

x

...

n

x

n

x















Digunakan untuk mencari rata-rata total semua kelompok jika diketahui nilai rata-rata dan jumlah populasi masing-masing kelompok.

(8)

CONTOH RATA-RATA HITUNG GABUNGAN 1

678 ,

2

15

20

10

15

5 ,

2

20

3

10

3 ,

2 x

gabungan

















Gaji rata-rata10 pegawai bagian personalia dari Asuransi Syariah Barokah adalah 2,3 juta. Sedangkan rata-rata gaji bagian marketing adalah 3 juta dengan jumlah personel 20 orang. Bagian lain yaitu bagian keuangan berjumlah 15 orang dengan gaji rata 2,5 juta. Berapa rata-rata gaji semua pegawai dari Asuransi Syariah Barokah

Jawab: 3 2 1 3 3 2 2 1 1 gabungan

n

x

n

x

n

x















(9)

CONTOH RATA-RATA HITUNG GABUNGAN 2

1 25 1 x 25 000 . 50 000 . 55 iqbal     

Sumbangan rata-rata 25 muzaki untuk korban bencana alam adalah Rp. 50.000. Jika sumbangan dari seorang muzaki yang bernama Iqbal

digabungkan dengan kelompok muzaki tersebut, maka sumbangan rata-ratanya meningkat menjadi Rp. 55.000. Maka sumbangan muzaki yang bernama Iqbal sebesar

Jawab: iqbal muzaki iqbal iqbal muzaki muzaki total n n n x n x x     



55.000 26

 

50.000 25



180.000 xiqbal     

(10)

RATA-RATA HITUNG TERTIMBANG

Definisi:

Rata-rata dengan bobot atau kepentingan dari setiap data berbeda. Besar dan kecilnya bobot tergantung pada alasan ekonomi dan teknisnya.

Rumus: 3 2 1 n n 2 2 1 1 w

w

...

w

x

...

w

x

w

x















(11)

CONTOH RATA-RATA HITUNG TERTIMBANG

Jumlah Tenaga

Kerja (w = weight) Produksi (X) w.x

5 250 1250

10 800 8000

6 600 3600

8 900 7200

4 200 800

Bandingkan dengan nilai rata-rata hitung biasa: (250 + 800 + 600 + 900 + 200) / 5 = 550 850 . 20 x . w 



82 , 631 33 850 . 20 w x . w  



33 w 



(12)

RATA-RATA GEOMETRI

n 0 n

x

G



Definisi:

Rata-rata geometri digunakan untuk mengukur tingkat perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio.

(13)

13

CONTOH KASUS RATA-RATA GEOMETRI

Berikut ini adalah data jumlah nasabah di Bank Syariah Madani:

Tahun Jumlah Nasabah

2003 33886

2004 40403

2005 80769

2006 111086

2007 147132

Maka rata-rata perkembangan jumlah nasabah di Bank Syariah Madani:

341 ,

1 33886

147132

G



5





1 ,

341

100 %



100 %

34 ,

1 %

G









(14)

14

RATA-RATA HITUNG DATA DISTRIBUSI FREKUENSI

n

M

.

f

x





i i

M = Nilai Tengah

f

=

Jumlah Frekuensi

n

=

Jumlah Sampel

N = Jumlah Populasi

N

M

.

f

_i _i







(15)

CONTOH MEAN DATA BERKELOMPOK

Kisaran Nilai tengah kelas

(M) Frekuensi( f ) f.M 23 – 31 27 6 162 32 – 40 36 8 288 41 – 49 45 4 180 50 – 58 54 1 54 59 – 67 63 1 63 n = 20

∑f.M

=

747 (∑f.M) / n =

37,35

(16)

MEDIAN DATA BERKELOMPOK

c

f

CF

2 n

L

Me

m



















L = Tepi kelas di mana median berada

CF = Frekuensi kumulatif sebelum median berada

f_m = Jumlah frekuensi kelas median

n = Jumlah Sampel

c = Besarnya Interval Kelas

(17)

CONTOH MEDIAN DATA BERKELOMPOK

• Letak median n/2 =

20/2=10; jadi terletak pada

frek. kumulatif antara 6

dengan 14

• Nilai Median

 

36

9

8

6

2

20

5 ,

31 Me











Interval f Frek. Kumulatif Tepi Kelas 23 - 31 32 - 40 41 - 49 50 - 58 59 - 67 6 8 4 1 1 0 6 14 18 19 20 22,5 31,5 40,5 49,5 58,5 67,5 Letak Median

(18)

MODUS DATA BERKELOMPOK



















c

d

L

Mo

2 1 1

L = Batas bawah atau tepi kelas di mana modus berada

d₁ = Selisih antara frek. kelas letak modus dengan frek. kelas sebelumnya

d₂ = Selisih antara frek. kelas letak modus dengan frek. kelas sesudahnya

c = Besarnya Interval Kelas

(19)

Interval Frekuensi Tepi Kelas 23 - 31 32 - 40 41 - 49 50 - 58 59 - 67 6 8 4 1 1 22,5 31,5 40,5 49,5 58,5 67,5

CONTOH MODUS DATA BERKELOMPOK

• Letak modus pada kelas yang

memiliki frekuensi paling

besar. Maka kelas 32-40 dipilih

sebagai letak modus karena

memiliki frekuensi terbesar

yaitu = 8

• Nilai Modus

d₁ = 2 d₂ = 4



















c

d

L

Mo

2 1 1 5 , 34 9 4 2 2 5 , 31 Mo _           Letak Modus

(20)

HUBUNGAN MEAN-MEDIAN-MODUS

μ = Md = Mo μ= Md= Mo Kurva Simetris Mo Md μ

Kurva Condong Kiri

μ Md Mo

Kurva Condong Kanan

(21)

21

UKURAN LETAK: KUARTIL

Definisi:

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi 4 bagian yang sama. Q

₁

sampai 25% data, Q

₂

sampai 50% dan

Q

₃

sampai 75%.

Rumus letak kuartil:

Data Tidak Berkelompok Data Berkelompok

Q₁ = [1(n + 1)]/4 1n/4

Q₂ = [2(n + 1)]/4 2n/4

(22)

22

GRAFIK LETAK KUARTIL

(23)

CONTOH KUARTIL DATA

TIDAK BERKELOMPOK

Letak Kuartil Q₁ = [1(20 + 1)]/4 = 5,25  29 Q₂ = [2(20 + 1)]/4 = 10,5  37 Q₃ = [3(20 + 1)]/4 = 15,75 43 23 25 27 28 Q₁ ₂₉ 31 33 34 35 35 Q₂ ₃₇ 39 39 40 41 Q₃ ₄₃ 45 47 50 65

(24)

CONTOH KUARTIL DATA BERKELOMPOK

Rumus: Letak Q₁ = 1 x 20/4 = 5 (antara 0 -6) Letak Q₃ = 3 x 20/4 = 15 (antara 14-18) Jadi: Q₁ = 22,5 +[(5-0)/6] x 9 = 30 Q₃ = 40,5 +[(15-14)/4] x 9 = 42,75

 

c f CF 4 n L Q 1 Q 1     Interval f Frekuensi Kumulatif (CF) Tepi Kelas 23 - 31 32 - 40 41 - 49 50 - 58 59 - 67 6 8 4 1 1 0 6 14 18 19 20 22,5 31,5 40,5 49,5 58,5 67,5 Q1 Q3





c f CF 4 n 3 L Q 3 Q 3    

(25)

UKURAN LETAK: DESIL

Definisi:

Desil adalah ukuran letak yang membagi 10 bagian yang sama.

D

₁

sebesar 10%

D

₂

sampai 20%

D

₉

sampai 90%

Rumus Letak Desil:

Data Tidak Berkelompok Data Berkelompok

D₁ = [1(n+1)]/10 1n/10

D₂ = [2(n+1)]/10 2n/10 ….

(26)

26

(27)

CONTOH DESIL DATA TIDAK BERKELOMPOK Letak Desill D₁ = [1(20+1)]/10 = 2,1 = 25 D₃ = [3(20+1)]/10 = 6,3 = 31 D₉ = [9(20+1)]/10 = 18,9 =50 23 D1 25 27 28 Q1 29 D3 31 33 34 35 35 Q2 37 39 39 40 41 Q3 43 45 47 D9 50 65

(28)

CONTOH DESIL DATA BERKELOMPOK

Letak D₁= 1.20/10= 2 (antara 0-6) Letak D₅= 5.20/10= 10 (antara 6-14) Letak D₉ = 9.20/10=18 (antara 18-19) Jadi: D₁= 22,5 +[(2 - 0)/6 ] x 9=25,5 D₅= 31,5 +[(10 - 6)/8] x 9=36 D₉ = 49,5 +[(18 - 18)/1] x 9= 49,5





c f CF 10 n i L D i D i      Interval f Frekuensi Kumulatif Tepi Kelas 23 - 31 32 - 40 41 - 49 50 - 58 59 - 67 6 8 4 1 1 0 6 14 18 19 20 22,5 31,5 40,5 49,5 58,5 67,5 D₁ D₅ D₉

(29)

UKURAN LETAK: PERSENTIL

Definisi:

Ukuran letak yang membagi 100 bagian yang sama.

P

₁

sebesar 1%,

P

₂

sampai 2%

P

₉₉

sampai 99%

Rumus Letak Persentil:

DATA TIDAK BERKELOMPOK DATA BERKELOMPOK

P₁ = [1(n+1)]/100 1n/100

P₂ = [2(n+1)]/100 2n/100 ….

(30)

GRAFIK LETAK PERSENTIL

(31)

CONTOH PERSENTIL DATA TIDAK

BERKELOMPOK

Carilah persentil 15,25,75 dan 95? Letak Persentil P₁₅= [15(20+1)]/100 = 3,15 = 27 P₂₅= [25(20+1)]/100 = 5,25 = 29 P₇₅= [75(20+1)]/100 = 15,75 = 43 P₉₅= [95(20+1)]/100 = 19,95 = 65 23 D1 25 P15 27 28 K1, P25 29 D3 31 33 34 35 35 K2 37 39 39 40 41 K3, P75 43 45 47 D9 50 P95 65

(32)

CONTOH PERSENTIL DATA BERKELOMPOK Rumus: Letak P₂₂ = 22.20/100=4,4 (antara 0-6) Letak P₈₅ = 85.20/100=17 (antara 14 - 18) Letak P₉₆ = 96.20/100=19,2 (antara 19 - 20) Jadi: P₂₂ = 22,5 +[(4,4-0)/6] x 9 = 29,1 P₈₅ = 40,5 +[(17-14)/4] x 9 = 47,25 P₉₆ = 58,5 +[(19,2-19)/1] x 9 = 60,3





c f CF 100 n i L P P i      _Interval _f Frekuensi Kumulatif Tepi Kelas 23 - 31 32 - 40 41 - 49 50 - 58 59 - 67 6 8 4 1 1 0 6 14 18 19 20 22,5 31,5 40,5 49,5 58,5 67,5 P₂₂ P₈₅ P₉₆

(33)