Pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk lintasan sistem dua planet.

(1)

vii

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (θ12) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

ABSTRAK

(2)

viii

INTER PLANET ANGLE (θ12) EFFECT TO THE TRAJECTORY FORM OF TWO

PLANETS SYSTEM

ABSTRACT

(3)

i

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (

θ12

) TERHADAP

BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

Skripsi

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

Oleh:

THOMAS JOKO KRISMANTO

NIM: 003214016

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(4)

ii

INTER PLANET ANGLE (

θ12

) EFFECT ON THE

TRAJECTORY FORM OF TWO

PLANETS SYSTEM

Scription

Presented as Partial Fulfillment of the requirements to obtain the Sarjana Sains Degree

In Physics

By:

THOMAS JOKO KRISMANTO

NIM: 003214016

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

(5)

(6)

(7)

v K eh i d u p a n i n i a d a l a h b el a ja r

d a r i w a k t u k e w a k t u

sa m p a i k i t a ta k d a p a t m er a sa k a n

p a n a s d i n gi n n y a d u n i a .

Sem u a b egi t u m u d a h b a gi k em a u a n d a n t ek a t

y a n g k u a t .

Ku per sembahkan skr ipsi ini buat bapak dan ibu dan ketiga kakakku

(8)

(9)

vii

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (θ12) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

ABSTRAK

(10)

viii

INTER PLANET ANGLE (θ12) EFFECT TO THE TRAJECTORY FORM OF TWO

PLANETS SYSTEM

ABSTRACT

(11)

ix

KATA PENGANTAR

Syukur kepada Tuhan Yesus yang selalu membimbing penulis dalam setiap detik kehidupan penulis selama penulisan skripsi ini. Suatu kehormatan yang besar bagi saya dapat memperoleh kesempatan memahami agungnya alam semesta karya tangan Tuhan yang sempurna selama mempelajari ilmu fisika.

Banyak pihak yang telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ilmi-ah ini yang membuat saya selalu berdiri dan maju terus. Oleh karena itu dengan rendah hati saya mengucapkan banyak terimakasih kepada:

1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing yang dengan sangat sabar dan sepenuh hati serta meluangkan waktu di saat libur untuk membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini. Saya terkesan dengan jawaban “mudah” setiap saya menanyakan hasil pekerjaan saya dan suatu hal yang tidak saya pahami, itu membuat tak ada yang sulit bagi saya yang ada hanyalah “mau dan maju terus”.

2. Bapak, Ibu, Kakak dan seluruh keluarga besar yang telah memberi dukungan dan semangat penuh, dukungan keluarga tak ternilai bagi saya.

3. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ir.G.Heliarko,S.J S.S.,BST.,M.Sc.,M.A. beserta staf.

(12)

x

Dr. Ign Edi Santoso, M,Si, Bapak Prof. Liek Wilardjo, Bapak Drs.BA. Tjipto Sujitno, M.T, APU, Bapak Drs. Albertus Setyoko, M.Si (almarhum), Bapak Prasetyadi, S.Si, dan Ibu Dwi Nugraheni Rositawati, S.Si.

5. Laboran program studi fisika Bapak Sugito, Mas Agus, Mas Sis yang banyak membantu saya dalam penggunaan laboratorium selama studi. 6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi.

7. Pegawai Perpustakaan unit kampus III Paingan.

8. Semua teman di Program Studi Fisika angkatan”00 yang sama-sama berjuang serta teman beda angkatan yang sama-sama berjuang dalam menyelesaikan skripsi yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu. Terimakasih atas segala dukungan dan smangatnya.

9. Teman-teman MUDIKA yang selalu memberi semangat dan menghibur. 10. Kepada “virtus compusoft” yang telah meminjami saya satu unit

komputer dan hp selama penulisan skripsi serta memberi dukungan baik materi maupun smangat yang tak pernah padam. MAJU dan SUKSES untuk “virtus compusoft” dan menjadi besar untuk menolong sesama. 11.Terima kasih kepada keluarga bapak ibu Wahyudi yang tak henti-henti menanyakan skripsi selama satu tahun ini, itu sangat memberi dukungan dan semangat bagi saya.

(13)

xi

Saya menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun diterima dengan senang hati.

Yoyakarta, Januari 2008 Penulis

(14)

xii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak memuat karya orang lain kecuali yang telah disebutkan dalam Daftar Pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Januari 2008

Penulis

(15)

xiii DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………..….. iii

HALAMAN PENGESAHAN ………..….. iv

HALAMAN MOTTO PERSEMBAHAN ………... v

HALAMAN LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... vi

ABSTRAK ……….………. vii

ABSTRACT ……… viii

KATA PENGANTAR ………... ix

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………... xii

DAFTAR ISI ………... xiii

DAFTAR GAMBAR ………... xv

BAB I. PENDAHULUAN ………. 1

1.1. Latar Belakang ……….………....…. 1

1.2. Perumusan Masalah ……….. 2

1.3. Batasan Masalah ………... 2

1.4. Tujuan Penelitian ……….. 3

1.5. Manfaat Penelitian ………… .………... 3

1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian ………..………... 3

BAB II. DASAR TEORI ………... 5

2.1. Hukum Kepler ………... 5

2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral ………... 8

2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet …….. 13

2.4. Sistem Gerak Dua Planet ... 18

2.5. Polinomial Legendre ………. 20

(16)

xiv

3.1. Jenis Penelitian ……….. 22

3.2. Sarana Penelitihan ………. 22

3.3. Langkah-Langkah Penelitihan ……….. 22

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ………….……….... 23

4.1. Sistem Dua Planet ……….. 23

4.2. Bentuk Lintasan Planet ………... 34

4.3. Pembahasan ……….. 41

BAB V. PENUTUP ………... 44

5.1 Kesimpulan ………... 44

5.2 Saran ………... 44

DAFTAR PUSTAKA ………... 45

LAMPIRAN Lampiran A ………. 46

Lampiran B . ………... 55

(17)

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet 5

Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu ∆t 6

Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet 19

Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi 23

Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudutθ₁₂ =00 35

Gambar 4.4 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =600 36

Gambar 4.5 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =90 θ 36

(18)

xvi

Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0

12 =240

θ 39

12 =270

θ 39

Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =3000 40 Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =3300 40 Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =360

(19)

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Dalam pembahasan tentang astronomi khususnya hukum gerak planet sangat

jarang membahas pengaruh interaksi antar planet terhadap bentuk lintasan planet

yang berinteraksi. Pembahasan mengenai gerak planet hanya terbatas pada hukum

Kepler dan hukum Newton secara umum, yaitu bahwa pergerakan planet yang satu

sangat berpengaruh terhadap planet yang lain dan bentuk lintasannya adalah

berbentuk elips (Sears dkk, 1987).

Hukum-hukum yang dapat menjelaskan posisi dan orbit planet dirumuskan

antara tahun 1601 dan 1619 oleh astronom dan ahli matematika Jerman Johanes

Kepler(1571-1630). Kepler sebagai asisten Tycho Brahe (1546-1601) memanfaatkan

data pengamatan yang dikumpulkan oleh Tycho Brahe dan mengolahnya secara

matematis sehingga menghasilkan perumusan matematis gerak planet.

Hukum Kepler menyatakan bahwa semua planet mengorbit matahari dan

gerak semu planet yang terlihat dari bumi dapat digunakan untuk menentukan secara

tepat posisi dari planet. Hukum Kepler menyatakan bahwa kedudukan planet

terhadap matahari selalu berubah secara periodik dengan bentuk lintasan elips

(Suwitra, 2001). Perubahan kedudukan (posisi) planet terhadap matahari

menunjukkan bahwa terjadi interaksi antar planet sehingga setiap planet mempunyai

posisi terjauh dan terdekat dari matahari. Posisi terjauh dari matahari disebut

aphelium, sedangkan posisi terdekat planet dari matahari disebut perihelium.

(20)

Karena alasan itulah penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh tentang

interaksi dua planet terhadap gerak planet khususnya pengaruh bentuk lintasan

planet relatif terhadap matahari sebagai fungsi sudut antar planet. Dengan

menggunakan persamaan energi dan sudut yang terbentuk antara dua planet yang

mengorbit matahari akan ditentukan bentuk lintasan sistem dua planet.

1.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut bahwa pengaruh interaksi antar planet

yang mengorbit matahari jarang dibahas khususnya terkait dengan pengaruh sudut

antar planet terhadap bentuk lintasan planet, maka yang menjadi permasalahan

dalam penelitian ini adalah bagaimana pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk

lintasan (orbit) sistem dua planet yang mengorbit titik pusat (matahari).

1.3. Batasan Masalah

Masalah yang diteliti dibatasi pada

1. Interaksi dua planet yang bergerak mengorbit suatu titik pusat yang sama.

2. Energi total sistem dua planet hanya memperhitungkan energi kinetik dan

energi potensial gravitasi.

3. Sistem dua planet yang berinteraksi.

(21)

3

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk

1. Merumuskan persamaan gerak sistem dua planet yang mengorbit titik

pusat massa yang sama.

2. Menyelesaikan persamaan gerak sistem dua planet sehingga diperoleh

bentuk lintasan planet sebagai fungsi sudut yang dibentuk dua planet

dengan menggunakan paket program Maple 10.

1.5. Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk:

Pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang gerak dua

planet yang mengorbit titik pusat yang sama.

1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian

Sistematika laporan penelitian ini adalah sebagai berikut:

BAB I. PENDAHULUAN

Dalam Bab ini dijelaskan uraian mengenai latar belakang masalah, batasan

masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan laporan

penelitian.

BAB II. DASAR TEORI

Dalam Bab II dijabarkan dasar teori yang terkait dengan hukum gerak

(22)

hukum kekekalan energi dan persamaan gerak planet, sistem dua planet dan

polinomial Legendre.

BAB III. METODE PENELITIAN

Pada Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam

penelitian ini.

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam Bab IV dibahas tentang sistem dua planet yang berinteraksi, bentuk

lintasan planet dan pembahasan.

BAB V. PENUTUP

(23)

BAB II DASAR TEORI

2.1. HUKUM KEPLER

Keteraturan gerak planet dapat dijelaskan oleh mekanika benda langit yang

kemudian dikembangkan untuk menjelaskan gerak dan lintasan planet sehingga

dapat diketahui bentuk orbit planet. Kepler membandingkan data yang dikumpulkan

Tycho Brahe (1546-1601) dengan hasil pengamatannya dan kemudian mengolahnya

secara matematis sehingga menghasilkan tiga buah hukum gerak planet yang

kemudian dikenal sebagai hukum Kepler (Sears dkk, 1987).

Hukum Kepler tersebut adalah:

1. Planet bergerak dalam bidang datar dengan orbitnya berbentuk elips dan

matahari sebagai salah satu titik fokusnya (Gambar 2.1). Ini berarti

kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah. Titik terjauh dari

matahari disebut aphelium dan titik terdekat dari matahari disebut

perihelium.

C

A B

D

E

M a b

Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet

(24)

2. Vektor yang menghubungkan matahari dengan planet menyapu luas yang

sama untuk waktu yang sama (Gambar 2.2). Dari Gambar 2.2, jika lintasan

AB ditempuh dengan waktu yang sama dengan lintasan CD, maka luas

AM B sama dengan CMD.

M rr A

∆

A

∆

θ

vr m

r rr+∆r

t

∆

t

∆

Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu ∆t.

Jika jari-jari lintasan planet adalah rdan sudut yang dibentuk selama waktu

adalah t

∆ ∆θ, maka

∆A= r⋅∆s

2 1

θ ∆ ⋅ ⋅

= r r

2 1

θ ∆

= 2

2 1

r . (2.1)

Jika ∆t →0, maka ∆θ →0, sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi

2

0 ₂

1

lim A = r

∆ ∆

→

∆θ θ ,

atau

θ

d r

dA 2

2 1

(25)

7

3. Rasio kuadrat periode revolusi planet (T) terhadap kubik dari sumbu elips

(r) adalah sama untuk seluruh planet :

C r T ₌

3 2

. (2.3)

Nilai tetapan Cdapat dijabarkan dari hukum II Newton khususnya tentang

gerak melingkar atau suatu benda bergerak dalam medan atau gaya sentral.

Jika suatu benda bermassa mbergerak melingkar dengan jari-jari r, maka

periode (T ) adalah

v r

T = 2π , (2.4)

dengan adalah kecepatan, dan gaya sentripetal yang bekerja sama dengan

gaya sentrifugal v

r v m F

2

= . (2.5)

Jika ₂

r Mm G

F = dimasukkan ke persamaan (2.5), maka diperoleh

v2 r

GM ₌

, (2.6)

dengan adalah tetapan gaya gravitasi universal. Dari persamaan (2.4) dan

(2.6) akhirnya diperoleh G

GM r

T 2

3 2

4π

= , (2.7)

dengan ₂

2 11 10 . 673 , 6

kg Nm

G= − .

(26)

GM C

2 4π

= . (2.8)

2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral

Penggunaan hukum III Newton berbunyi (Goldstein, 1950): untuk sistem

aksi akan selalu ada reaksi yang melawan yang besarnya sama dengan aksi. Jumlah

hukum III Newton diterapkan dalam medan gaya sentral antara dua buah benda

dan , maka aksi yang dilakukan benda pertama terhadap benda kedua

1 m

2

m (Fr₁₂) akan

menimbulkan reaksi pada benda kedua (Fr₂₁) yang besarnya sama dan berlawanan arah dengan (Fr₁₂). Jadi dapat dituliskan

Faksi Freaksi. r r

−

=

Jika aksi tersebut berupa gaya, maka reaksi juga berbentuk gaya. Gaya tarik menarik

antar dua buah benda bermassa dan berbanding lurus dengan massa dan

serta berbanding terbalik dengan kuadrat jarak ( 1

m m₂ m₁

2

m r) antar m₁dan m₂.

Jika benda bermassa mmengalami gaya yang arahnya selalu ke suatu titik

yang tetap, maka benda tersebut mangalami gaya sentral. Gaya yang arahnya selalu

menunju suatu titik yang tetap disebut gaya sentral. Contoh gaya sentral adalah gaya

yang dialami oleh suatu benda yang mengorbit benda lain seperti planet yang

mengorbit matahari sebagai pusat orbit planet. Sesuai dengan hukum II Newton,

gaya Fr yang dialami suatu benda bermassa mdengan percepatan adalah ar a

m

Fr = r (2.9)

Vektor posisi dan vektor sudut planet ditulis

r r

(27)

9

θ θ

θr₌ ˆ_. _(2.11)

Perubahan rˆ dan terhadap waktu di tulis sebagai berikut θˆ

dt d dt

r

dˆ _θ_ˆ θ

= , (2.12)

dt d r dt

dθ θ

ˆ ˆ

−

= , (2.13)

Kecepatan radial planet

dt r d r r dt dr dt r d vr ˆ ˆ+ = = r r

. (2.14)

Dari persamaan (2.12) dan (2.14) diperoleh

ˆ θθˆ dt d r r dt dr dt r

dr ₌ ₊

. (2.15)

Jika persamaan (2.15) diturunkan terhadap waktu (t), maka diperoleh percepatan

planet θ ˆ θ θ θ θˆ 2 2 2 2 2 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = dt d r dt d dt dr dt d dt dr r dt d r dt r d dt r d a_r r r

. (2.16)

Persamaan gerak planet untuk r berubah dalam gaya sentral dapat ditulis sebagai

f(r)rˆ=mar_r . (2.17)

Jika persamaan (2.16) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17), maka diperoleh

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = θ _ˆ θ θ θ θˆ ˆ ) ( 2 2 2 2 2 dt d r dt d dt dr dt d dt dr r dt d r dt r d m r r

f . (2.18)

Dari persamaan (2.18) terikat bahwa

. )

(r m

f = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 dt d r dt r d θ

(28)

dan

0 = _⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ +

⋅

2 2

dt d r dt d dt dr dt d dt dr

m θ θ θ . (2.20)

Jadi kalau sebuah benda bergerak dalam medan gaya sentral, sesuai dengan

hukum II Newton, benda tersebut hanya mempunyai percepatan radial (ar_r)

sedangkan percepatan sudut (ar_θ) sama dengan nol.

Benda yang bergerak melingkar mempunyai momentum sudut (lr) yang

diberikan oleh

p r

lr = r× r , (2.21)

dengan pr=mvr_r adalah momentum linier. Jika persamaan (2.14) dimasukkan ke

persamaan (2.21), maka diperoleh

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ ₊

×

= _. _ˆ θθˆ

dt d r r dt dr m r

lr r

₌ ˆ_×ˆ₊ 2 θ ˆ_×θˆ

r dt d mr r r dt dr

mr

dt d

mr2 θ

= kˆ , (2.22)

sebab rˆ×rˆ=0 dan rˆ×θˆ=kˆ.

Jika nilai mutlak lr pada persamaan (2.22) dimasukkan ke dalam persamaan

(2.19), maka diperoleh

f(r)=m. _⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− ₂2 ₃

2 2

r m

l dt

r d

. (2.23)

(29)

11 dt d d dr dt dr θ θ

= , (2.24)

memasukkan persamaan (2.22) ke persamaan (2.24) menghasilkan

θ d dr mr l dt dr 2

= . (2.25)

Dengan memisalkan

r

u =1, (2.26.a)

maka

du u

dr =− 1₂ , (2.26.b)

sehingga ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = θ d du u u m l dt dr 2 2 1 θ d du m l −

= . (2.27)

Jika persamaan (2.27) diturunkan terhadap waktu ( ), maka diperoleh t

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dt dr dt d dt r d 2 2 θ θ θ d d d du m l dt d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = dt d d du m l d d θ θ θ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 2 2 2 2 θ d u d r m l −

= . (2.28)

(30)

3 2

2

2 2

2 )

(

r m

l d

u d r m

l m

r

f ₌₋ ₋

θ . (2.29)

Dengan mengganti u

r = 1, maka diperoleh bentuk persamaan diferensial orde dua

pada persamaan (2.29) menjadi

) 1 ( 2 2 2

2

u f u l

m u

d u d

− = +

θ . (2.30)

Sebuah benda bermassa yang berada dalam medan gravitasi mempunyai

energi potensial

m

r k

V =− , (2.31)

dengan k =GMm.

Turunan energi potensial terhadap posisi r menghasilkan gaya atau secara

matematis

dr dV r

f( )=−

₂ r

k

−

= , (2.32)

atau

2 )

1

( ku

u

f =− , (2.33)

memasukkan persamaan (2.33) ke persamaan (2.30) menghasilkan

2 2

2

l mk u d

u d ₊ ₌

θ . (2.34)

Persamaan diferensial orde dua pada persamaan (2.34) mempunyai penyelesaian

(31)

13

cos( ₀) ₂

l mk A

u = θ −θ + , (2.35)

dengan A tetapan. Karena r

u= 1dan , maka persamaan (2.35) dapat ditulis

menjadi

0 0 =0

θ

cos . 1

2

mk A l

mk l

r

+ =

2

. (2.36)

Jika didefinisikan eksentrisitas

mk A l e

2

= , (2.37)

dan

mk l r

2

0 = , (2.38)

maka

θ

cos 1

0

⋅ + =

e r

r . (2.39)

2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet

Persamaan gerak dan lintasan (orbit) planet dapat dijabarkan dari hukum

kekekalan energi untuk medan (gaya) sentral menyatakan bahwa jumlah energi

kinetik (T ) dan energi potensial (V ) adalah konstan, secara matematis dituliskan

V T

E= + . (2.40)

Energi kinetik (T ) suatu benda (planet) bermassa ( ) yang mengorbit

benda lain sejauh

m

(32)

₂ 2 2

2 1 2

1

mr l r

m

T = & + , (2.41)

dengan l adalah momentum sudut. Memasukkan persamaan (2.41) ke persamaan

(2.40) menghasilkan

V

mr l r

m

E= + ₂ + 2 2

2 1 2

1

& . (2.42)

Jadi kecepatan planet ke arah r adalah

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − =

2 2

mr l V E m

r& . (2.43)

Dari kecepatan diperoleh waktu (t)tempuh planet sebagai fungsi dari posisi(r)

2 2

2

r m

l r

GM m

E

dr dt

− +

= (2.44.a)

2 2 2

2 2

1

m l GMr m

Er r

dr dt

− +

= (2.44.b)

∫

− +

= mak

r

m l GMr m

Er

dr r t

min

2 2 2

2 2

.

. (2.44.c)

Dengan menggunakan persamaan Lampiran B (B.1) dan (B.2) penyelesaian untuk

persamaan (2.44.c) dengan memisalkan m

E

a= 2 , b=2GM, dan ₂ 2

m l

c=− . Hasil

(33)

15 ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +

= m GM

Er m E GMm m E m l GMr m Er t 2 4 log 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 2 mak r r m El m EGMr m r E min 2 1 3 2 2 2 2 2 4 4 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +

+ . (2.45)

Perubahan sudut gerak planet sebagai fungsi momentum sudut dapat diperoleh dari

persamaan (2.22), yaitu

₂ mr

ldt

dθ = . (2.46)

Dengan mengganti r dr dt

&

= , persamaan (2.46) menjadi

r dr mr l d & 2 =

θ . (2.47)

Jika persamaan (2.43) dimasukkan ke persamaan (2.47) kemudian di integralkan

maka diperoleh

∫

− − = 2 2 2

2 2 2 1

r l mV l mE r dr

θ . (2.48)

Dengan memasukkan persamaan (2.31), (2.26.a) dan (2.26.b) ke persamaan (2.48),

menjadi

∫

− + − = 2 2 2 2 2 u l mku l mE du

θ . (2.49)

Dengan memisalkan y=−1, 2 ₂ l mk

f = ,

2

₂

l

mE

g

=

, dan , serta

(34)

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − 2 2 2 2 1 1 ) sin( mk El mk ul θ

γ , (2.50)

dengan γadalah tetapan integral (konstanta).

Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (2.50) menjadi

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 2 2 2 2 1 1 cos mk El mk ul

θ . (2.51)

Dengan mengganti kembali r

u= 1, persamaan (2.51) menjadi

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +

= 1 1 2 .cosθ

1 2 2 2 mk El l mk

r , (2.52)

atau θ cos . 2 1 1 . 2 2 2 mk El k m l r + +

= . (2.53)

Mengingat persamaan (2.39), eksentrisitas untuk persamaan (2.53) adalah

₂ 2 2 1 mk El

e= + . (2.54)

Jika lintasan (orbit) planet berbentuk lingkaran, maka e=0, sehingga

0 2 1 ₂ 2 = + mk El

, (2.55)

(35)

17

0 2r

k

E=− . (2.56)

Dengan memasukkan persamaan (2.31) ke persamaan (2.56) diperoleh

V E

2 1

= . (2.57)

Jadi energi total (E) setengah dari nilai energi potensial (V ) untuk planet

yang mengorbit dengan lintasan berbentuk lingkaran.

Dari nilai eksentrisitas persamaan (2.37) dan (2.54) diperoleh

₄ ₂

2 2

2 l Em l

k m

A= + , (2.58)

sehingga nilai eksentrisitas seperti pada persamaan (2.54)

₂ 2 2 1

mk El e= + .

Untuk lintasan yang berbentuk elips nilai eksentrisitas adalah 0<e<1

(Goldstein, 1950). Sebagai contoh ditinjau lintasan partikel bermassa yang

bergerak melingkar dalam medan sentral dengan gaya sentripetal sama dengan gaya

gravitasi (Alonso, 1994). Energi kinetik partikel tersebut adalah

m

2 2 1

mv

T = . (2.59)

Dengan memasukkan persamaan (2.6) ke persamaan (2.59) diperoleh

r GMm T

2 1

= . (2.60)

Jika persamaan (2.31) dan persamaan (2.60) dimasukkan kedalam persamaan (2.40),

(36)

r GMm E

2 1

−

= . (2.61)

Jika energi total berharga negatif pada persamaan (2.61) menyatakan sistem

dalam lintasan tertutup, artinya planet dengan pusat sistem terikat satu sama lain

(Seno dan Sihono, 2007), maka persamaan (2.54) menjadi

2 2 2 1

mk El

e= − . (2.62)

2.4 Sistem Gerak Dua Planet

Dua planet akan saling mempengaruhi. Planet yang satu mempengaruhi

planet yang lain atau sebaliknya. Sesuai dengan hukum III Newton keadaan gaya itu

adalah sama besar dan berlawanan arah. Untuk sistem dua planet dengan massa

dan yang masing-masing planet terletak di

1 m

2

m rr₁ dan rr₂, dengan matahari sebagai

pusat dengan massa M. Gaya dari masing-masing massa terhadap pusat yaitu

massa m₁dan m₂terhadap matahari dengan massa M ditulis

₂1 ₁ 2

1 F

dt r d

m r

r

= , (2.63)

₂2 ₂

2

2 F

dt r d

m r

r

= , (2.64)

Untuk gaya interaksi Fr yang memenuhi hukum gravitasi Newton yaitu

berbanding lurus dengan massa planet dan berbanding terbalik dengan kuadrat

jaraknya, untuk masing-masing planet yang berinteraksi dengan pusat massa

M mempunyai gaya sebagai berikut:

1 2 1

1

1 rˆ

r M Gm

(37)

19

₂ ₂

2 2

2 rˆ

r M Gm

Fr =− , (2.66)

Jadi momentum sudut gerak relatif massa m₁ mengelilingi M (pusat gaya) bernilai

tetap (besar dan arahnya) (Zahara, 1997).

Jika dalam suatu sistem terdapat dua planet maka diantara kedua planet itu

timbul keadaan saling mempengaruhi. Pengaruh mempengaruhi ini juga bergantung

pada jarak masing-masing planet dalam sistem itu. Pengaruh ini berbentuk gaya

yaitu gaya internal untuk membedakan gaya dari luar.

Ditinjau dua planet m₁dan m₂ yang mengelilingi pusat massa M yang sama,

kedudukan masing-masing adalah rr₁ dan rr₂, kedudukan relatif terhadap

adalah

1 m

2

m rr₂₁, maka kita dapatkan bentuk koordinat gambar sebagai berikut:

Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet

dengan rr₂ =rr₁+rr₂₁, θ₂ =θ₁+θ₁₂, dan

12 1

2 2 1 2 2

21 r r 2r r.cosθ

(38)

dari gambar.2.3 dengan hukum II Newton diperoleh 12 1 2 1 2

1 F F

dt r d

m r r

r

+

= , (2.68)

21 2 2

2 2

2 F F

dt r d

m r r

r

+

= , (2.69)

dengan dan adalah gaya ekternal sistem, tanda negatif merupakan arah antara

dengan berlawanan arah maka 12

Fr Fr₂₁

21

F r₂₁ Fr₁₂ =−Fr₂₁, (Halliday dan Resnick, 1984).

2.5 Polinomial Legendre

Polinomial Legendre didefinisikan sebagai

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅⋅ ⋅ − − − ⋅ − − − + − − − ⋅⋅ ⋅ − −

= −2 −4

) 3 2 )( 1 2 ( 4 2 ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 1 2 ( 2 ) 1 ( ! 1 ) 3 2 )( 1 2 ( )

( j j j

j x j j j j j j x j j j x j j j x P . (2.70)

Polinomial Legendre sebagai fungsi generator didefinisikan sebagai:

∑

∞

=

= +

− 2 0

) ( 2 1 1 j j j x P h h xh

, h <1. (2.71)

Fungsi diatas disebut fungsi generator untuk polinomial Legendre dan berguna

untuk mendapatkan sifat-sifat dari polinomial Legendre. Perhatikan bahwa

adalah polinomial dengan derajat )

(x

Pj j(Boas, 1966). Beberapa polinomial

Legendre pertama ditulis sebagai berikut:

P₀(x)=1 , (5 3 ) 2

1 )

( 3

3 x x x

P = − ,

x x

P1( )= , (35 30 3)

8 1 )

( 4 2

4 x = x − x +

(39)

21

) 1 3 ( 2 1 )

( 2

2 x = x −

P , (63 70 15 )

8 1 )

( 5 3

5 x x x x

P = − + .

(2.72)

(40)

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Jenis Penelitian

Penelitaan yang dilakukan dalam penulisan sekripsi ini adalah penelitian

studi pustaka dan perhitungan secara numerik dengan paket program Maple 10 .

3.2 Sarana Penelitian

Sarana penelitian ini diambil dari buku yang ada di UPT Sanata Dharma dan

internet yang berhubungan dengan hukum-hukum gerak planet didasari pada hukum

Kepler , hukum Newton dan paket program Maple 10.

3.3 Langkah-Langkah Penelitian

Langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengelaborasi hukum Kepler dan hukum Newton yang terkait dengan

gerak planet.

2. Merumuskan bentuk lintasan sistem dua planet sebagai fungsi sudut antar

planet.

3. Menggunakan paket program Maple 10 untuk menghitung (jarak

planet ke

2 r

2

m M ).

4. Hasil yang diperoleh ditampilkan dalam betuk Tabel dan Grafik.

5. Menarik kesimpulan.

(41)

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Sistem Dua Planet

Persamaan energi dua massa planet m₁ dan m₂ berinteraksi:

Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi

Dengan energi kinetik dan energi potensial masing-masing planet ditulis

T1 = ₂ 1 1

2 1 2

1 1

2 1 2

1

r m

l r

m& + , (4.1)

1 1 1

r k

V =− , (4.2)

T2 = ₂

2 2

2 2 2

2 2

2 1 2

1

r m

l r

m & + , (4.3)

2 2 2

r k

V =− , (4.4)

21 21 21

r k

V =− . (4.5)

Energi total sistem dua planet berinteraksi ditulis

21 2 2 1

1 V T V V T

E= + + + + . (4.6)

(42)

Dengan memasukkan persamaan (4.1),(4.2),(4.3),(4.4) dan (4.5) ke persamaan (4.6),

maka persamaan energi total sistem dua planet berinteraksi menjadi

21 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r m Gm r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m

E= & + + & + − − − . (4.7)

Jika jarak relatif antara dengan dari persamaan (2.67) dimasukkan ke

persamaan (4.7), maka diperoleh 1

m m₂

₂ 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m

E= & + + & + − −

12 2 1 2 2 2 1 2 1 cos . 2rr θ r r m Gm − +

− . (4.8)

Dengan mengeluarkan pada energi potensial relatif antara dengan maka

diperoleh

2

r m₁ m₂

2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m

E= & + + & + − −

12 2 1 2 2 1 2 2 1 cos . 2 1 θ r r r r r m Gm − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− . (4.9)

Jika dimisalkan h r r

=

2

1 _{, maka persamaan (4.9) menjadi}

2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m

E= & + + & + − −

[

]

12 12 2

2 2

1 +₁−₂ _._cos −

− h h θ

r m Gm

(43)

25

Diperoleh energi potensial relatif dari interaksi massa dan dalam bentuk

polinomial Legendre

1

m m₂

₂ 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m

E= & + + & + − −

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −

∑

= n j j j P h r m Gm 0 12 2 2

1 _cosθ

. (4.11)

Dari memisalkan rasio jarak antara massa m₁ dan m₂ terhadap pusat massa M

diperoleh

2 1 hr

r = , (4.12)

sehingga

2 1 hr

r& = & , (4.13)

Jika persamaan (4.12) dan persamaan (4.13) dimasukkan ke persamaan (4.11), maka

diperoleh bentuk kekekalan energi

₂ 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm hr M Gm r m l r m r h m l r h m

E= & + + & + − −

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −

∑

= n j j j P h r m Gm 0 12 2 2 1

cosθ . (4.14)

Dari persamaan (4.14) diperoleh persamaan energi untuk massa dan kita dapat

mencari kecepatan dari planet untuk massa

2 m

(44)

⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 GMm h GMm r m l h m l E m h m r& ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

=0 2

12 2 1 1 ) (cos r P h m Gm n j j j θ

. (4.15)

Diperoleh kecepatan planet dengan massa dari persamaan energi yaitu interaksi

antara dua planet dengan persamaan sebagai berikut: 2 m ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 GMm h GMm r m l h m l E m h m r& 2 1 2 0 12 2 1 1 ) (cos ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= r P h m Gm n j j j θ

. (4.16)

Dengan memisalkan p=E,

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =

∑

= ) (cos ₁₂ 0 2 1 2 1 θ j n j j P h m Gm GMm h GMm q , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 m l h m l

s , dan

2 1 2 2 1 2 1 2 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊

= mh m

z , maka bentuk sederhana persamaan

(4.16) menjadi 2 1 2 2 2

2 1 1 1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + = r s r q p z dt dr

. (4.17)

Dari persamaan (4.17) bentuk integral dari waktu t(r) menjadi

∫

− + = rmak

r s qr pr dr r z t min 2 2 2 2 2

(45)

27

Dengan menggunakan Lampiran B (B.1) dan (B.2), bentuk penyelesaian persamaan

(4.18) adalah

[

]

mak r r s qr pr p q pr p p q p s qr pr z t min 2 2 2 2 1 2 2 . 2 2 log 1 . 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − + + + − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ₊ ₋ = .(4.19)

Persamaan kecepatan sudut dari momentum untuk planet dengan massa

ditulis 2 m 2 2 2 2 2 r m dt l

dθ = . (4.20)

Dengan mengganti 2 2 r dr dt &

= , persamaan (4.20) menjadi

2 2 2 2 2 2 2 r dr r m l d & =

θ . (4.21)

Persamaan (4.16) dimasukkan ke persamaan (4.21) diperoleh

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 1 2 1 GMm h GMm r m l h m l E l m r dr m h m dθ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= 2 1 2 12 0 2 1 1 ) (cos r P h m Gm n j j j θ

(46)

Dengan memisalkan

2 2

1

r

u = , (4.23.a)

maka ₂ ₂ 2 2 1 dr r

du =− , (4.23.b)

2 . (4.23.c) 2

2 2 r du dr =−

Jika persamaan (4.23.c) dimasukkan ke persamaan (4.22), maka diperoleh

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 1 2 1 GMm h GMm l m r m l h m l l m l E m du m h m dθ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= 2 1 2 12 0 2 1 1 ) (cos r P h m Gm n j j j θ

. (4.24)

Jika persamaan (4.23.a) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) kemudian di-

(47)

29 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − =

∫

2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 . 2 1 2 1 Mm h Mm l G m u m l h m l l m l E m du m h m θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= 2 1 2 12 0 2

1m h P (cos ) u m

n

j j

j θ

. (4.25)

Dengan memisalkan ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 m l h m l l m A , ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =

∑

= n j j j P h m m Mm h Mm l G m B 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 )

(cosθ ,

dan ₂

2 2 2 l E m

C= . Maka bentuk sederhana persamaan (4.25) menjadi

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − =

∫

C Bu Au du m h m 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

θ . (4.26)

Jika digunakan Lampiran B (B.3), makapenyelesaian untuk persamaan (4.26) adalah

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ + − + − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − = − _γ θ AC B B Ax A m h m 4 2 sin 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

(48)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − = − 2 1 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ θ θ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + +

∑

= = 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 . 4 ) (cos ) (cos l E m m h l m l m P h m m P h m m Mm h Mm l Gm n j j j n j j j

, (4.28)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = − 2 1 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ θ θ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + +

∑

= = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 . 2 ) (cos ) (cos m h l m l m l E m P h m m P h m m Mm h Mm l Gm n j j j n j j j

, (4.29)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ =

∑

= − 2 0 12 2 1 2 1 4 2 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ) (cos . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 2 1 2 1 n j j j P h m m Mm h Mm l m G Mm h Mm l Gm u m h l m l m m h l m l m m h m θ θ γ θ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 . 2 ) (cos m h l m l m l E m P h m m n j j j

(49)

31 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⎢⎣ ⎡ ₊ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = − − 2 1 4 2 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G Mm h Mm l Gm u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ θ θ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 . 2 ) (cos ) (cos m h l m l m l E m P h m m P h m m n j j j n j j j

, (4.31)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⎢⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = − − 2 1 4 2 4 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G h Mm l Gm u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + +

∑

= = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 2 . 2 ) (cos ) (cos m h l m l m l E m P h m m P h m m Mm n j j j n j j j θ θ

. (4.32)

dengan γadalah tetapan integral (konstanta).

Dengan memisalkan

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ ₊

= 2 ₂

1 2 1 2 1 m h m

α , (4.33)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

= ₂ ₂ ₂

2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 m h l m l m

(50)

maka persamaan (4.32) menjadi ) (cos . 4 1 1 . ) (cos 2 . ) sin( 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎢⎣ ⎡ ₊ = −

∑

= = n j j j n j j j P h m m Mm h Mm m G E l u P h m m Mm h Mm l Gm θ β θ β β α θ γ . (4.35)

Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (4.35) menjadi

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⋅ =

∑

= = 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ) (cos 4 1 1 ) (cos . 2 cos n j j j n j j j P h m m Mm h Mm m G E l u P h m m Mm h Mm l Gm θ β θ β β α

θ . (4.36)

Jika

2 2

1

r

u = , maka persamaan (4.36) menjadi

2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 cos ) (cos 4 1 ) (cos 2 θ θ β α β α β θ β ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⋅ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =

∑

= = n j j j n j j j P h m m Mm h Mm m G E l P h m m Mm h Mm Gm l

(51)

33

Dengan memisalkan

α β =

N , ₂

2 2 2 . 2 Gm l

K = β , ₂

2 2 2 2 4 m G E l L β α β ⋅

= , 1 _Mm₂

h Mm

W = + , dan

, diperoleh 2 1m m X = 2 2 0 12 0 12 2 cos ) (cos 1 ) (cos θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =

∑

= = n j j j n j j j P h X W L N P h X W K

r , (4.38)

2 2 0 12 2 0 12 2 cos ) (cos 1 1 ) (cos 1 θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =

∑

= = n j j j n j j j P h W X W L N P h W X W K

r . (4.39)

Dengan memisalkan W

K

R= , ₂

W L

Y = , dan

W X

H = sehingga

2 2 0 12 0 12 2 cos ) (cos 1 1 ) (cos 1 θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =

∑

= = n j j j n j j j P h H Y N P h H R

r , (4.40)

(52)

dengan eksentrisitas

2

0

12)]] (cos [ 1 [

∑

= + + = _n j j j P h H Y N e θ

. (4.41)

Mengacu pada persamaan (2.62) untuk bentuk lintasan planet berbentuk elips pada

orbit tertutup dimana energi total sistem (E<0). Maka eksentrisitas diperoleh

2

0

12)]] (cos [ 1 [

∑

= + − = _n j j j P h H Y N e θ

. (4.42)

Jadi dengan mengganti nilai eksentrisitas sesuai dengan persamaan (4.42), maka

persamaan (4.40) menjadi

2 2 0 12 0 12 2 cos ) (cos 1 1 ) (cos 1 θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =

∑

= = n j j j n j j j P h H Y N P h H R

r . (4.43)

4.2 Bentuk Lintasan Planet

Dari persamaan (4.43) dan rasio jarak mengacu pada persamaan (4.12), maka

jika dihitung r₂dan r₁dengan memberi nilai pada konstanta untuk berbagai sudut

12

θ diperoleh hasil pada Lampiran A (Tabel A). Jika Table A digambar grafiknya

(53)

35

Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =00

(54)

12 =90

(55)

37

12 =150

(56)

(57)

39

(58)

(59)

41

4.3 Pembahasan

Berdasarkan rumus (4.43) dan (4.12) dengan menghitung secara numerik

memakai paket program Maple 10 sesuai dengan sintaks program pada Lampiran C

diperoleh nilai pada Lampiran A (Tabel A) dan Grafik pada gambar 4.2 sampai

gambar 4.14 yang menunjukkan perubahan bentuk lintasan untuk dua planet yang

berinteraksi untuk berbagai sudut 2

r

12

θ dengan interval 0. 30

Pada gambar 4.2 dan gambar 4.14 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik

lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai

jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut 0

12=0

θ 0

12 =360

θ

2

r r₁ θ₂ dari

sampai dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0

0

(60)

12 =30

θ 0

12=330

θ

2

r r₁ θ₂ dari

0 0

0

180 θ₂ dari 0 sampai .

180 3600

lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan , nilai jarak

kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut 0

12 =60

θ 0

12 =300

θ

2

r r₁ θ₂ dari sampai

dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0

0

180 θ₂ dari 1800 sampai 3600.

12 =90

θ 0

12 =270

θ

2

r r₁ θ₂ dari

0 0

0

180 θ₂ dari 1800 sampai 3600.

12 =120

θ 0

12 =240

θ

2

r r₁ θ₂ dari

0 0

0

180 3600

12 =150

θ 0

12 =210

θ

2

r r₁ θ₂ dari

0 0

0

180 0

(61)

43

Pada gambar 4.8 sesuai Tabel A dengan nilai sudut , nilai jarak

kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

0 12 =180

θ

2

r r₁ θ₂ dari sampai

dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0

0

180 θ₂ dari 1800 sampai 3600.

Pada gambar 4.2, gambar 4.3, gambar 4.4, gambar 4.5, gambar 4.6, gambar

4.7 dan gambar 4.8, sesuai Tabel A, dengan nilai sudut

. Nilai jarak kedua planet yaitu dan

mengalami kenaikan untuk sudut ,

150 , 120 , 90 , 60 , 30 ,

00 0 0 0 0 0

12 =

θ 0

180 r₂

1

r θ₂ dari sampai dan mengalami

penurunan untuk sudut

0

0 1300

2

θ dari sampai serta mengalami kenaikan

kembali untuk sudut

0

135 2250

2

θ dari 0 sampai .

230 3600

Pada gambar 4.9, gambar 4.10, gambar 4.11, gambar 4.12, gambar 4.13 dan

gambar 4.14, sesuai Tabel A, dengan nilai sudut

. Nilai jarak kedua planet yaitu dan

mengalami penurunan untuk sudut 0 0 0 0 0 0

12 =210 ,240 ,270 ,300 ,330 ,360

θ r₂

1

r θ₂ dari sampai dan mengalami

penurunan untuk sudut

0

0 1300

2

θ dari sampai serta mengalami kenaikan

kembali untuk sudut

0

135 2300

2

θ dari 2350 sampai 3600.

Pada Lampiran A (Tabel B) diperoleh eksentrisitas dengan lintasan tertutup.

Perubahan sudut (θ₁₂) mempengaruhi nilai eksentrisitas yang akan menyebabkan

(62)

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang didapat dari hasil dan pembahasan pada penelitian adalah

sebagai berikut:

1. Sudut (θ₁₂)yang terbentuk antar dua planet dan menyebabkan nilai

eksentrisitas lintasan planet berubah yaitu maksimum saat sudut

( ) dan sudut ( ) dan minimum saat sudut ( ).

1

m m₂

0 12 =0

θ 0

12 =360

θ 0

12 =180

θ

2. Jarak planet dengan pusat massa Mterjauh pada sudut ( ) saat

sudut ( ).

0 12 =0

θ

0 2 =180

θ

3. Interaksi antar planet mempengaruhi bentuk lintasan planet.

5.2 Saran

Saran yang dapat diberikan untuk menyempurnakan dan mengembangkan

tulisan ini adalah perlu dilakukan penelitian lebih lanjut bagimana pengaruh sudut

(θ₂) terhadap jarak planet (r) dengan pusat massa M terkait dengan perubahan

sudut (θ₁₂).

(63)

DAFTAR PUSTAKA

Alonso, M. & Finn, E.J., 1994, Dasar-Dasar Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 2,

Jakarta: Erlangga.

Burington, R.S., 1948, Handbook of Mathematical Table and Formula, New York:

McGraw-Hill Book Company.

Goldstein, H.,1950, Classical Mechanics, New York: Addison-Wesley Publishing Company.

Halliday, D., & Resnick, R., 1984, Fisika, Jilid 1, Edisi 3, Jakarta: Erlangga.

Sears, W.F., Zemansky, M.W., & Young, H.D., 1987, Fisika Universitas, Jilid 1,

Edisi 6, Jakarta: Erlangga.

Seno, D.K., & Sihono, M.Si., 2007, Gravitasi, (Online), (http://dwiseno.fisika.ui.edu /kuliah/gravitasi.ppt, diakses 30 November 2007).

Suwitra, N., 2001, Astronomi Dasar, Jurusan Fisika Institut Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Negeri Singaraja.

Zahara, M., 1997, Dinamika Sistem Zarah Dan Benda Tegar, Yogyakarta: Lab Fisika Atom dan Inti Fakultas MIPA UGM.

(64)

LAMPIRAN A

TABEL A

No.

1 0 4.078497889 4.208437347 4.376425342

2 5 4.08552778 4.215617006 4.383788355

3 10 4.106709465 4.237248423 4.405970102

4 15 4.142321367 4.273611275 4.443250971

5 20 4.19283564 4.392634147 4.496105975

6 25 4.258930659 4.392634147 4.565216547

7 30 4.34150927 4.476879959 4.651487732

8 35 4.441723511 4.579070706 4.756071355

9 40 4.561006921 4.700639946 4.880396069

10 45 4.701115815 4.843341152 5.026205481

11 50 4.864181381 5.009297949 5.195605802

12 55 5.052775021 5.201066861 5.391124884

13 60 5.269989917 5.421715149 5.615784995

14 65 5.519542733 5.674917308 5.873192085

15 70 5.805900318 5.965074261 6.167644982

16 75 6.134437472 6.29746051 6.504268322

17 80 6.511633281 6.678405247 6.889173728

18 85 6.945314998 7.115514372 7.329653592

19 90 7.444959862 7.617940941 7.834411572

20 95 8.022066026 8.196710803 8.413831682

21 100 8.690602905 8.865107716 9.080283407 22 105 9.467546588 9.639114784 9.848450568 23 110 10.37349329 10.53789332 10.73565313 24 115 11.43331608 11.58424882 11.76209773 25 120 12.67677228 12.80497352 12.95093298 26 125 14.13885817 14.23084654 14.32788652 27 130 15.85950301 15.89588533 15.92010079 28 135 17.88183897 17.83513762 17.75354968 29 140 20.24771642 20.07986057 19.84811939 30 145 22.98835482 22.64840902 22.20917263 31 150 26.10729432 25.53085987 24.81449359 32 155 29.55310351 28.66618983 27.59659831

33 160 33.18285764 31.9143537 30.42350426

34 165 36.72745662 35.03364099 33.08675546 35 170 39.78648761 37.68476523 35.31168511

) ( ₁₂

2θ

r

2

θ r₂(0) r₂(30) r₂(60)

(65)

47

No.

36 175 41.89060808 39.48677608 36.8042062 37 180 42.64427177 40.12801694 37.33150826 38 185 41.89060808 39.48677608 36.8042062 39 190 39.78648761 37.68476523 35.31168511 40 195 36.72745662 35.03364099 33.08675546

41 200 33.18285764 31.9143537 30.423