i
PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (
θ12) TERHADAP
BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET
Skripsi
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Fisika
Oleh:
THOMAS JOKO KRISMANTO NIM: 003214016
PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
INTER PLANET ANGLE (
θ12) EFFECT ON THE
TRAJECTORY FORM OF TWO
PLANETS SYSTEM
Scription
Presented as Partial Fulfillment of the requirements to obtain the Sarjana Sains Degree
In Physics
By:
THOMAS JOKO KRISMANTO NIM: 003214016
PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
v Kehidupan ini adalah belajar dari waktu ke waktu
sampai kita tak dapat merasakan panas dinginnya dunia.
Semua begitu mudah bagi kemauan dan tekat yang kuat.
Ku persembahkan skripsi ini buat bapak dan ibu dan ketiga kakakku Isbandini,Heriyanto dan Sri Astuti
vii
PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (θ12) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET
ABSTRAK
Telah dilakukan studi terhadap pengaruh sudut (θ12)untuk sistem dua planet yang mengorbit pusat yang sama secara numerik mengunakan paket programMaple 10. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa besar sudut antar planet (θ12) menentukan bentuk lintasan planet.
viii
INTER PLANET ANGLE (θ12) EFFECT TO THE TRAJECTORY FORM OF TWO
PLANETS SYSTEM
ABSTRACT
Inter planet angle (θ12) effect to the trajectory form of two planets system which orbiting the same centre have been performed numerically using Maple 10 program packet. The obtained results show that the inter planet angle (θ12)value determine the planet trajectory form.
ix
KATA PENGANTAR
Syukur kepada Tuhan Yesus yang selalu membimbing penulis dalam setiap detik kehidupan penulis selama penulisan skripsi ini. Suatu kehormatan yang besar bagi saya dapat memperoleh kesempatan memahami agungnya alam semesta karya tangan Tuhan yang sempurna selama mempelajari ilmu fisika.
Banyak pihak yang telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ilmi-ah ini yang membuat saya selalu berdiri dan maju terus. Oleh karena itu dengan rendah hati saya mengucapkan banyak terimakasih kepada:
1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing yang dengan sangat sabar dan sepenuh hati serta meluangkan waktu di saat libur untuk membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini. Saya terkesan dengan jawaban “mudah” setiap saya menanyakan hasil pekerjaan saya dan suatu hal yang tidak saya pahami, itu membuat tak ada yang sulit bagi saya yang ada hanyalah “mau dan maju terus”.
2. Bapak, Ibu, Kakak dan seluruh keluarga besar yang telah memberi dukungan dan semangat penuh, dukungan keluarga tak ternilai bagi saya.
3. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ir.G.Heliarko,S.J S.S.,BST.,M.Sc.,M.A. beserta staf.
x
Dr. Ign Edi Santoso, M,Si, Bapak Prof. Liek Wilardjo, Bapak Drs.BA. Tjipto Sujitno, M.T, APU, Bapak Drs. Albertus Setyoko, M.Si (almarhum), Bapak Prasetyadi, S.Si, dan Ibu Dwi Nugraheni Rositawati, S.Si.
5. Laboran program studi fisika Bapak Sugito, Mas Agus, Mas Sis yang banyak membantu saya dalam penggunaan laboratorium selama studi. 6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi.
7. Pegawai Perpustakaan unit kampus III Paingan.
8. Semua teman di Program Studi Fisika angkatan”00 yang sama-sama berjuang serta teman beda angkatan yang sama-sama berjuang dalam menyelesaikan skripsi yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu. Terimakasih atas segala dukungan dan smangatnya.
9. Teman-teman MUDIKA yang selalu memberi semangat dan menghibur. 10. Kepada “virtus compusoft” yang telah meminjami saya satu unit
komputer dan hp selama penulisan skripsi serta memberi dukungan baik materi maupun smangat yang tak pernah padam. MAJU dan SUKSES untuk “virtus compusoft” dan menjadi besar untuk menolong sesama. 11.Terima kasih kepada keluarga bapak ibu Wahyudi yang tak henti-henti menanyakan skripsi selama satu tahun ini, itu sangat memberi dukungan dan semangat bagi saya.
12. Buat temen-temen yang ada disekelilingku yang tak bisa saya sebutkan satu persatu, terimakasih atas doa dan dukungannya.God Bless.
xi
Saya menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun diterima dengan senang hati.
Yoyakarta, Januari 2008 Penulis
xii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak memuat karya orang lain kecuali yang telah disebutkan dalam Daftar Pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, Januari 2008
Penulis
xiii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ………. i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………..….. iii
HALAMAN PENGESAHAN ………..….. iv
HALAMAN MOTTO PERSEMBAHAN ………... v
HALAMAN LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... vi
ABSTRAK ……….………. vii
ABSTRACT ……… viii
KATA PENGANTAR ………... ix
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………... xii
DAFTAR ISI ………... xiii
DAFTAR GAMBAR ………... xv BAB I. PENDAHULUAN ………. 1 1.1. Latar Belakang ……….………....…. 1 1.2. Perumusan Masalah ……….. 2 1.3. Batasan Masalah ………... 2 1.4. Tujuan Penelitian ……….. 3 1.5. Manfaat Penelitian ………… .………... 3
1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian ………..………... 3
BAB II. DASAR TEORI ………... 5
2.1. Hukum Kepler ………... 5
2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral ………... 8
2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet …….. 13
2.4. Sistem Gerak Dua Planet ... 18
2.5. Polinomial Legendre ………. 20
xiv
3.1. Jenis Penelitian ……….. 22
3.2. Sarana Penelitihan ………. 22
3.3. Langkah-Langkah Penelitihan ……….. 22
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ………….……….... 23
4.1. Sistem Dua Planet ……….. 23
4.2. Bentuk Lintasan Planet ………... 34
4.3. Pembahasan ……….. 41 BAB V. PENUTUP ………... 44 5.1 Kesimpulan ………... 44 5.2 Saran ………... 44 DAFTAR PUSTAKA ………... 45 LAMPIRAN Lampiran A ………. 46 Lampiran B . ………... 55 Lampiran C ………. 56
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet 5
Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu ∆t 6
Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet 19
Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi 23
Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =0 θ 35
Gambar 4.3 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudutθ12 =300 35
Gambar 4.4 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =600 36
Gambar 4.5 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =90 θ 36
Gambar 4.6 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =120 θ 37
Gambar 4.7 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudutθ12 =1500 37
Gambar 4.8 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudutθ12 =1800 38
Gambar 4.9 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =210 θ 38
xvi
Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =2400 39 Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =270
θ 39
Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =3000 40 Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 =3300 40 Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =360
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Dalam pembahasan tentang astronomi khususnya hukum gerak planet sangat jarang membahas pengaruh interaksi antar planet terhadap bentuk lintasan planet yang berinteraksi. Pembahasan mengenai gerak planet hanya terbatas pada hukum Kepler dan hukum Newton secara umum, yaitu bahwa pergerakan planet yang satu sangat berpengaruh terhadap planet yang lain dan bentuk lintasannya adalah berbentuk elips (Sears dkk, 1987).
Hukum-hukum yang dapat menjelaskan posisi dan orbit planet dirumuskan antara tahun 1601 dan 1619 oleh astronom dan ahli matematika Jerman Johanes Kepler(1571-1630). Kepler sebagai asisten Tycho Brahe (1546-1601) memanfaatkan data pengamatan yang dikumpulkan oleh Tycho Brahe dan mengolahnya secara matematis sehingga menghasilkan perumusan matematis gerak planet.
Hukum Kepler menyatakan bahwa semua planet mengorbit matahari dan gerak semu planet yang terlihat dari bumi dapat digunakan untuk menentukan secara tepat posisi dari planet. Hukum Kepler menyatakan bahwa kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah secara periodik dengan bentuk lintasan elips (Suwitra, 2001). Perubahan kedudukan (posisi) planet terhadap matahari menunjukkan bahwa terjadi interaksi antar planet sehingga setiap planet mempunyai posisi terjauh dan terdekat dari matahari. Posisi terjauh dari matahari disebut aphelium, sedangkan posisi terdekat planet dari matahari disebut perihelium.
Karena alasan itulah penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh tentang interaksi dua planet terhadap gerak planet khususnya pengaruh bentuk lintasan planet relatif terhadap matahari sebagai fungsi sudut antar planet. Dengan menggunakan persamaan energi dan sudut yang terbentuk antara dua planet yang mengorbit matahari akan ditentukan bentuk lintasan sistem dua planet.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut bahwa pengaruh interaksi antar planet yang mengorbit matahari jarang dibahas khususnya terkait dengan pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk lintasan planet, maka yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk lintasan (orbit) sistem dua planet yang mengorbit titik pusat (matahari).
1.3. Batasan Masalah
Masalah yang diteliti dibatasi pada
1. Interaksi dua planet yang bergerak mengorbit suatu titik pusat yang sama. 2. Energi total sistem dua planet hanya memperhitungkan energi kinetik dan
energi potensial gravitasi.
3. Sistem dua planet yang berinteraksi.
3
1.4. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk
1. Merumuskan persamaan gerak sistem dua planet yang mengorbit titik pusat massa yang sama.
2. Menyelesaikan persamaan gerak sistem dua planet sehingga diperoleh bentuk lintasan planet sebagai fungsi sudut yang dibentuk dua planet dengan menggunakan paket program Maple 10.
1.5. Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk:
Pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang gerak dua planet yang mengorbit titik pusat yang sama.
1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian
Sistematika laporan penelitian ini adalah sebagai berikut: BAB I. PENDAHULUAN
Dalam Bab ini dijelaskan uraian mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan laporan penelitian.
BAB II. DASAR TEORI
Dalam Bab II dijabarkan dasar teori yang terkait dengan hukum gerak planet, yaitu hukum Kepler, hukum Newton, gerak benda dengan gaya sentral,
hukum kekekalan energi dan persamaan gerak planet, sistem dua planet dan polinomial Legendre.
BAB III. METODE PENELITIAN
Pada Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam penelitian ini.
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam Bab IV dibahas tentang sistem dua planet yang berinteraksi, bentuk lintasan planet dan pembahasan.
BAB V. PENUTUP
BAB II DASAR TEORI
2.1. HUKUM KEPLER
Keteraturan gerak planet dapat dijelaskan oleh mekanika benda langit yang kemudian dikembangkan untuk menjelaskan gerak dan lintasan planet sehingga dapat diketahui bentuk orbit planet. Kepler membandingkan data yang dikumpulkan Tycho Brahe (1546-1601) dengan hasil pengamatannya dan kemudian mengolahnya secara matematis sehingga menghasilkan tiga buah hukum gerak planet yang kemudian dikenal sebagai hukum Kepler (Sears dkk, 1987).
Hukum Kepler tersebut adalah:
1. Planet bergerak dalam bidang datar dengan orbitnya berbentuk elips dan matahari sebagai salah satu titik fokusnya (Gambar 2.1). Ini berarti kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah. Titik terjauh dari matahari disebut aphelium dan titik terdekat dari matahari disebut perihelium. C A B D E M a b
Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet
2. Vektor yang menghubungkan matahari dengan planet menyapu luas yang sama untuk waktu yang sama (Gambar 2.2). Dari Gambar 2.2, jika lintasan AB ditempuh dengan waktu yang sama dengan lintasan CD, maka luas AM B sama dengan CMD. M rr A ∆ A ∆ θ vr m r rr+∆r t ∆ t ∆
Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu ∆t.
Jika jari-jari lintasan planet adalah rdan sudut yang dibentuk selama waktu adalah t ∆ ∆θ, maka ∆A= r⋅∆s 2 1 θ ∆ ⋅ ⋅ = r r 2 1 θ ∆ = 2 2 1 r . (2.1)
Jika ∆t →0, maka ∆θ →0, sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi
2 0 2 1 lim A = r ∆ ∆ → ∆θ θ , atau θ d r dA 2 2 1 = . (2.2)
7
3. Rasio kuadrat periode revolusi planet (T) terhadap kubik dari sumbu elips (r) adalah sama untuk seluruh planet :
C r T = 3 2 . (2.3)
Nilai tetapan Cdapat dijabarkan dari hukum II Newton khususnya tentang gerak melingkar atau suatu benda bergerak dalam medan atau gaya sentral. Jika suatu benda bermassa mbergerak melingkar dengan jari-jari r, maka periode (T ) adalah
v r
T = 2π , (2.4)
dengan adalah kecepatan, dan gaya sentripetal yang bekerja sama dengan gaya sentrifugal v r v m F 2 = . (2.5) Jika 2 r Mm G
F = dimasukkan ke persamaan (2.5), maka diperoleh
v2 r GM =
, (2.6)
dengan adalah tetapan gaya gravitasi universal. Dari persamaan (2.4) dan (2.6) akhirnya diperoleh G GM r T 2 3 2 4π = , (2.7) dengan 2 2 11 10 . 673 , 6 kg Nm G= − .
GM C
2
4π
= . (2.8)
2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral
Penggunaan hukum III Newton berbunyi (Goldstein, 1950): untuk sistem aksi akan selalu ada reaksi yang melawan yang besarnya sama dengan aksi. Jumlah hukum III Newton diterapkan dalam medan gaya sentral antara dua buah benda dan , maka aksi yang dilakukan benda pertama terhadap benda kedua
1 m 2 m (F12) r akan menimbulkan reaksi pada benda kedua (Fr21) yang besarnya sama dan berlawanan arah dengan (Fr12). Jadi dapat dituliskan
Fraksi =−Frreaksi.
Jika aksi tersebut berupa gaya, maka reaksi juga berbentuk gaya. Gaya tarik menarik antar dua buah benda bermassa dan berbanding lurus dengan massa dan
serta berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (
1
m m2 m1
2
m r) antar m1dan m2.
Jika benda bermassa mmengalami gaya yang arahnya selalu ke suatu titik yang tetap, maka benda tersebut mangalami gaya sentral. Gaya yang arahnya selalu menunju suatu titik yang tetap disebut gaya sentral. Contoh gaya sentral adalah gaya yang dialami oleh suatu benda yang mengorbit benda lain seperti planet yang mengorbit matahari sebagai pusat orbit planet. Sesuai dengan hukum II Newton, gaya Fr yang dialami suatu benda bermassa mdengan percepatan adalah ar
a m
Fr = r (2.9) Vektor posisi dan vektor sudut planet ditulis
r r
9
θ θ
θr = ˆ . (2.11)
Perubahan rˆ dan terhadap waktu di tulis sebagai berikut θˆ dt d dt r dˆ θˆ θ = , (2.12) dt d r dt dθ θ ˆ ˆ − = , (2.13)
Kecepatan radial planet dt r d r r dt dr dt r d vr ˆ ˆ+ = = r r . (2.14)
Dari persamaan (2.12) dan (2.14) diperoleh
ˆ θθˆ dt d r r dt dr dt r dr = + . (2.15)
Jika persamaan (2.15) diturunkan terhadap waktu (t), maka diperoleh percepatan planet θ ˆ θ θ θ2 θˆ 2 2 2 2 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = dt d r dt d dt dr dt d dt dr r dt d r dt r d dt r d ar r r . (2.16)
Persamaan gerak planet untuk r berubah dalam gaya sentral dapat ditulis sebagai f(r)rˆ=marr . (2.17) Jika persamaan (2.16) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17), maka diperoleh
⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = θ ˆ θ θ θ θˆ ˆ ) ( 2 2 2 2 2 dt d r dt d dt dr dt d dt dr r dt d r dt r d m r r f . (2.18)
Dari persamaan (2.18) terikat bahwa
. ) (r m f = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 dt d r dt r d θ , (2.19)
dan 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⋅ 2 2 dt d r dt d dt dr dt d dt dr m θ θ θ . (2.20)
Jadi kalau sebuah benda bergerak dalam medan gaya sentral, sesuai dengan hukum II Newton, benda tersebut hanya mempunyai percepatan radial (arr) sedangkan percepatan sudut (arθ) sama dengan nol.
Benda yang bergerak melingkar mempunyai momentum sudut (lr) yang diberikan oleh
p r
lr = r× r , (2.21) dengan pr =mvrr adalah momentum linier. Jika persamaan (2.14) dimasukkan ke persamaan (2.21), maka diperoleh
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + × = . ˆ θθˆ dt d r r dt dr m r lr r = ˆ×ˆ+ 2 θ ˆ×θˆ r dt d mr r r dt dr mr dt d mr2 θ = kˆ , (2.22) sebab rˆ×rˆ=0 dan rˆ×θˆ=kˆ.
Jika nilai mutlak lr pada persamaan (2.22) dimasukkan ke dalam persamaan (2.19), maka diperoleh f(r)=m. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 22 3 2 2 r m l dt r d . (2.23)
11 dt d d dr dt dr θ θ = , (2.24)
memasukkan persamaan (2.22) ke persamaan (2.24) menghasilkan θ d dr mr l dt dr 2 = . (2.25) Dengan memisalkan r u =1, (2.26.a) maka du u dr =− 12 , (2.26.b) sehingga ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = θ d du u u m l dt dr 2 2 1 θ d du m l − = . (2.27)
Jika persamaan (2.27) diturunkan terhadap waktu ( ), maka diperoleh t
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dt dr dt d dt r d 2 2 θ θ θ d d d du m l dt d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = dt d d du m l d d θ θ θ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 2 2 2 2 θ d u d r m l − = . (2.28)
2 3 2 2 2 2 2 2 ) ( r m l d u d r m l m r f =− − θ . (2.29) Dengan mengganti u
r = 1, maka diperoleh bentuk persamaan diferensial orde dua
pada persamaan (2.29) menjadi
) 1 ( 2 2 2 2 u f u l m u d u d − = + θ . (2.30)
Sebuah benda bermassa yang berada dalam medan gravitasi mempunyai energi potensial m r k V =− , (2.31) dengan k =GMm.
Turunan energi potensial terhadap posisi r menghasilkan gaya atau secara matematis dr dV r f( )=− 2 r k − = , (2.32) atau 2 ) 1 ( ku u f =− , (2.33)
memasukkan persamaan (2.33) ke persamaan (2.30) menghasilkan
2 2 2 l mk u d u d + = θ . (2.34)
Persamaan diferensial orde dua pada persamaan (2.34) mempunyai penyelesaian berbentuk
13 cos( 0) 2 l mk A u = θ −θ + , (2.35)
dengan A tetapan. Karena r
u= 1dan , maka persamaan (2.35) dapat ditulis
menjadi 0 0 =0 θ θ cos . 1 2 mk A l mk l r + = 2 . (2.36)
Jika didefinisikan eksentrisitas
mk A l e 2 = , (2.37) dan mk l r 2 0 = , (2.38) maka θ cos 1 0 ⋅ + = e r r . (2.39)
2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet
Persamaan gerak dan lintasan (orbit) planet dapat dijabarkan dari hukum kekekalan energi untuk medan (gaya) sentral menyatakan bahwa jumlah energi kinetik (T ) dan energi potensial (V ) adalah konstan, secara matematis dituliskan
V T
E= + . (2.40) Energi kinetik (T ) suatu benda (planet) bermassa ( ) yang mengorbit benda lain sejauh
m r sesuai dengan persamaan (2.15) adalah
2 2 2 2 1 2 1 mr l r m T = & + , (2.41)
dengan l adalah momentum sudut. Memasukkan persamaan (2.41) ke persamaan (2.40) menghasilkan V mr l r m E= + 2 + 2 2 2 1 2 1 & . (2.42)
Jadi kecepatan planet ke arah r adalah
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 2 2 2 mr l V E m r& . (2.43)
Dari kecepatan diperoleh waktu (t)tempuh planet sebagai fungsi dari posisi(r)
2 2 2 2 2 r m l r GM m E dr dt − + = (2.44.a) 2 2 2 2 2 1 m l GMr m Er r dr dt − + = (2.44.b)
∫
− + = mak r r m l GMr m Er dr r t min 2 2 2 2 2 . . (2.44.c)Dengan menggunakan persamaan Lampiran B (B.1) dan (B.2) penyelesaian untuk
persamaan (2.44.c) dengan memisalkan m E a= 2 , b=2GM, dan 2 2 m l c=− . Hasil
15 ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = m GM Er m E GMm m E m l GMr m Er t 2 4 log 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 2 mak r r m El m EGMr m r E min 2 1 3 2 2 2 2 2 4 4 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + . (2.45)
Perubahan sudut gerak planet sebagai fungsi momentum sudut dapat diperoleh dari persamaan (2.22), yaitu 2 mr ldt dθ = . (2.46) Dengan mengganti r dr dt & = , persamaan (2.46) menjadi r dr mr l d & 2 = θ . (2.47)
Jika persamaan (2.43) dimasukkan ke persamaan (2.47) kemudian di integralkan maka diperoleh
∫
− − = 2 2 2 2 2 2 1 r l mV l mE r dr θ . (2.48)Dengan memasukkan persamaan (2.31), (2.26.a) dan (2.26.b) ke persamaan (2.48), menjadi
∫
− + − = 2 2 2 2 2 u l mku l mE du θ . (2.49) Dengan memisalkan y=−1, 2 2 l mk f = ,2
2l
mE
g
=
, dan , sertamenggunakan Lampiran B (B.3), bentuk penyelesaian persamaan (2.49) adalah GMm k =
⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − 2 2 2 2 1 1 ) sin( mk El mk ul θ γ , (2.50)
dengan γadalah tetapan integral (konstanta).
Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (2.50) menjadi
⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 2 2 2 2 1 1 cos mk El mk ul θ . (2.51)
Dengan mengganti kembali r u= 1, persamaan (2.51) menjadi ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 1 1 2 .cosθ 1 2 2 2 mk El l mk r , (2.52) atau θ cos . 2 1 1 . 2 2 2 mk El k m l r + + = . (2.53)
Mengingat persamaan (2.39), eksentrisitas untuk persamaan (2.53) adalah
2 2 2 1 mk El e= + . (2.54)
Jika lintasan (orbit) planet berbentuk lingkaran, maka e=0, sehingga
0 2 1 2 2 = + mk El , (2.55) atau
17
0
2r k
E=− . (2.56)
Dengan memasukkan persamaan (2.31) ke persamaan (2.56) diperoleh V
E 2 1
= . (2.57)
Jadi energi total (E) setengah dari nilai energi potensial (V ) untuk planet yang mengorbit dengan lintasan berbentuk lingkaran.
Dari nilai eksentrisitas persamaan (2.37) dan (2.54) diperoleh
4 2 2 2 2 l Em l k m A= + , (2.58) sehingga nilai eksentrisitas seperti pada persamaan (2.54)
2 2 2 1 mk El e= + .
Untuk lintasan yang berbentuk elips nilai eksentrisitas adalah 0<e<1 (Goldstein, 1950). Sebagai contoh ditinjau lintasan partikel bermassa yang bergerak melingkar dalam medan sentral dengan gaya sentripetal sama dengan gaya gravitasi (Alonso, 1994). Energi kinetik partikel tersebut adalah
m 2 2 1 mv T = . (2.59)
Dengan memasukkan persamaan (2.6) ke persamaan (2.59) diperoleh
r GMm T 2 1 = . (2.60)
Jika persamaan (2.31) dan persamaan (2.60) dimasukkan kedalam persamaan (2.40), maka energi total (E) sistem lintasan planet
r GMm E 2 1 − = . (2.61)
Jika energi total berharga negatif pada persamaan (2.61) menyatakan sistem dalam lintasan tertutup, artinya planet dengan pusat sistem terikat satu sama lain (Seno dan Sihono, 2007), maka persamaan (2.54) menjadi
2 2 2 1 mk El e= − . (2.62)
2.4 Sistem Gerak Dua Planet
Dua planet akan saling mempengaruhi. Planet yang satu mempengaruhi planet yang lain atau sebaliknya. Sesuai dengan hukum III Newton keadaan gaya itu adalah sama besar dan berlawanan arah. Untuk sistem dua planet dengan massa dan yang masing-masing planet terletak di
1
m
2
m rr1 dan rr2, dengan matahari sebagai pusat dengan massa M. Gaya dari masing-masing massa terhadap pusat yaitu massa m1dan m2terhadap matahari dengan massa M ditulis
21 1 2 1 F dt r d m r r = , (2.63) 22 2 2 2 F dt r d m r r = , (2.64)
Untuk gaya interaksi Fr yang memenuhi hukum gravitasi Newton yaitu berbanding lurus dengan massa planet dan berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya, untuk masing-masing planet yang berinteraksi dengan pusat massa
M mempunyai gaya sebagai berikut:
1 2 1 1 1 rˆ r M Gm Fr =− , (2.65)
19 2 2 2 2 2 rˆ r M Gm Fr =− , (2.66)
Jadi momentum sudut gerak relatif massa m1 mengelilingi M (pusat gaya) bernilai tetap (besar dan arahnya) (Zahara, 1997).
Jika dalam suatu sistem terdapat dua planet maka diantara kedua planet itu timbul keadaan saling mempengaruhi. Pengaruh mempengaruhi ini juga bergantung pada jarak masing-masing planet dalam sistem itu. Pengaruh ini berbentuk gaya yaitu gaya internal untuk membedakan gaya dari luar.
Ditinjau dua planet m1dan m2 yang mengelilingi pusat massa M yang sama, kedudukan masing-masing adalah rr1 dan rr2, kedudukan relatif terhadap
adalah
1
m
2
m rr21, maka kita dapatkan bentuk koordinat gambar sebagai berikut:
Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet dengan rr2 =rr1+rr21, θ2 =θ1+θ12, dan 12 1 2 2 1 2 2 21 r r 2r r.cosθ rr = + − r r , (2.67)
dari gambar.2.3 dengan hukum II Newton diperoleh 12 1 2 1 2 1 F F dt r d m r r r + = , (2.68) 21 2 2 2 2 2 F F dt r d m r r r + = , (2.69)
dengan dan adalah gaya ekternal sistem, tanda negatif merupakan arah antara dengan berlawanan arah maka
12
Fr Fr21
21
F r21 Fr12 =−Fr21, (Halliday dan Resnick, 1984).
2.5 Polinomial Legendre
Polinomial Legendre didefinisikan sebagai
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅⋅ ⋅ − − − ⋅ − − − + − − − ⋅⋅ ⋅ − − = −2 −4 ) 3 2 )( 1 2 ( 4 2 ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 1 2 ( 2 ) 1 ( ! 1 ) 3 2 )( 1 2 ( ) ( j j j j x j j j j j j x j j j x j j j x P . (2.70)
Polinomial Legendre sebagai fungsi generator didefinisikan sebagai:
∑
∞ = = + − 2 0 ) ( 2 1 1 j j j x P h h xh , h <1. (2.71)Fungsi diatas disebut fungsi generator untuk polinomial Legendre dan berguna untuk mendapatkan sifat-sifat dari polinomial Legendre. Perhatikan bahwa
adalah polinomial dengan derajat )
(x
Pj j(Boas, 1966). Beberapa polinomial
Legendre pertama ditulis sebagai berikut:
P0(x)=1 , (5 3 ) 2 1 ) ( 3 3 x x x P = − , x x P1( )= , (35 30 3) 8 1 ) ( 4 2 4 x = x − x + P ,
21 ) 1 3 ( 2 1 ) ( 2 2 x = x − P , (63 70 15 ) 8 1 ) ( 5 3 5 x x x x P = − + . (2.72) Untuk kasus diatas Pj(1)=1,Pj(−1)=(−1)j.
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Jenis Penelitian
Penelitaan yang dilakukan dalam penulisan sekripsi ini adalah penelitian studi pustaka dan perhitungan secara numerik dengan paket program Maple 10 .
3.2 Sarana Penelitian
Sarana penelitian ini diambil dari buku yang ada di UPT Sanata Dharma dan internet yang berhubungan dengan hukum-hukum gerak planet didasari pada hukum Kepler , hukum Newton dan paket program Maple 10.
3.3 Langkah-Langkah Penelitian
Langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mengelaborasi hukum Kepler dan hukum Newton yang terkait dengan
gerak planet.
2. Merumuskan bentuk lintasan sistem dua planet sebagai fungsi sudut antar planet.
3. Menggunakan paket program Maple 10 untuk menghitung (jarak planet ke
2 r
2
m M ).
4. Hasil yang diperoleh ditampilkan dalam betuk Tabel dan Grafik. 5. Menarik kesimpulan.
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Sistem Dua Planet
Persamaan energi dua massa planet m1 dan m2 berinteraksi:
Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi
Dengan energi kinetik dan energi potensial masing-masing planet ditulis
T1 = 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 r m l r m& + , (4.1) 1 1 1 r k V =− , (4.2) T2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 r m l r m & + , (4.3) 2 2 2 r k V =− , (4.4) 21 21 21 r k V =− . (4.5)
Energi total sistem dua planet berinteraksi ditulis
21 2 2 1 1 V T V V T E= + + + + . (4.6) 23
Dengan memasukkan persamaan (4.1),(4.2),(4.3),(4.4) dan (4.5) ke persamaan (4.6), maka persamaan energi total sistem dua planet berinteraksi menjadi
21 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r m Gm r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m E= & + + & + − − − . (4.7)
Jika jarak relatif antara dengan dari persamaan (2.67) dimasukkan ke persamaan (4.7), maka diperoleh
1 m m2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m E= & + + & + − − 12 2 1 2 2 2 1 2 1 cos . 2rr θ r r m Gm − + − . (4.8)
Dengan mengeluarkan pada energi potensial relatif antara dengan maka diperoleh 2 r m1 m2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m E= & + + & + − − 12 2 1 2 2 1 2 2 1 cos . 2 1 θ r r r r r m Gm − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − . (4.9) Jika dimisalkan h r r = 2
1 , maka persamaan (4.9) menjadi
2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m E= & + + & + − −
[
]
12 12 2 2 2 1 +1−2 .cos − − h h θ r m Gm . (4.10)25
Diperoleh energi potensial relatif dari interaksi massa dan dalam bentuk polinomial Legendre 1 m m2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m E= & + + & + − −
(
)
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −∑
= n j j j P h r m Gm 0 12 2 2 1 cosθ . (4.11)Dari memisalkan rasio jarak antara massa m1 dan m2 terhadap pusat massa M
diperoleh 2 1 hr r = , (4.12) sehingga 2 1 hr r& = & , (4.13) Jika persamaan (4.12) dan persamaan (4.13) dimasukkan ke persamaan (4.11), maka diperoleh bentuk kekekalan energi
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm hr M Gm r m l r m r h m l r h m E= & + + & + − −
(
)
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −∑
= n j j j P h r m Gm 0 12 2 2 1 cosθ . (4.14)Dari persamaan (4.14) diperoleh persamaan energi untuk massa dan kita dapat mencari kecepatan dari planet untuk massa
2
m
2
⎢⎣ ⎡ + + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 GMm h GMm r m l h m l E m h m r& ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +
∑
=0 2 12 2 1 1 ) (cos r P h m Gm n j j j θ . (4.15)Diperoleh kecepatan planet dengan massa dari persamaan energi yaitu interaksi antara dua planet dengan persamaan sebagai berikut:
2 m ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 GMm h GMm r m l h m l E m h m r& 2 1 2 0 12 2 1 1 ) (cos ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +
∑
= r P h m Gm n j j j θ . (4.16) Dengan memisalkan p=E, ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =∑
= ) (cos 12 0 2 1 2 1 θ j n j j P h m Gm GMm h GMm q , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 m l h m l s , dan 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = mh mz , maka bentuk sederhana persamaan
(4.16) menjadi 2 1 2 2 2 2 1 1 1 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + = r s r q p z dt dr . (4.17)
Dari persamaan (4.17) bentuk integral dari waktu t(r) menjadi
∫
− + = rmak r s qr pr dr r z t min 2 2 2 2 2 . . (4.18)27
Dengan menggunakan Lampiran B (B.1) dan (B.2), bentuk penyelesaian persamaan (4.18) adalah
[
]
mak r r s qr pr p q pr p p q p s qr pr z t min 2 2 2 2 1 2 2 . 2 2 log 1 . 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − + + + − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = .(4.19)Persamaan kecepatan sudut dari momentum untuk planet dengan massa ditulis 2 m 2 2 2 2 2 r m dt l dθ = . (4.20) Dengan mengganti 2 2 r dr dt & = , persamaan (4.20) menjadi 2 2 2 2 2 2 2 r dr r m l d & = θ . (4.21)
Persamaan (4.16) dimasukkan ke persamaan (4.21) diperoleh
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ + + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 1 2 1 GMm h GMm r m l h m l E l m r dr m h m dθ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +
∑
= 2 1 2 12 0 2 1 1 ) (cos r P h m Gm n j j j θ . (4.22)Dengan memisalkan 2 2 1 r u = , (4.23.a) maka 2 2 2 2 1 dr r du =− , (4.23.b) 2 . (4.23.c) 2 2 2 r du dr =−
Jika persamaan (4.23.c) dimasukkan ke persamaan (4.22), maka diperoleh
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ + + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 1 2 1 GMm h GMm l m r m l h m l l m l E m du m h m dθ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +
∑
= 2 1 2 12 0 2 1 1 ) (cos r P h m Gm n j j j θ . (4.24)Jika persamaan (4.23.a) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) kemudian di- integralkan, maka diperoleh
29 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ + + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − =
∫
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 . 2 1 2 1 Mm h Mm l G m u m l h m l l m l E m du m h m θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +∑
= 2 1 2 12 0 2 1m h P (cos ) u m n j j j θ . (4.25) Dengan memisalkan ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 m l h m l l m A , ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =∑
= n j j j P h m m Mm h Mm l G m B 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 ) (cosθ , dan 2 2 2 2 l E mC= . Maka bentuk sederhana persamaan (4.25) menjadi
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − =
∫
C Bu Au du m h m 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 θ . (4.26)Jika digunakan Lampiran B (B.3), maka penyelesaian untuk persamaan (4.26) adalah
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ + − + − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − = − γ θ AC B B Ax A m h m 4 2 sin 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 , (4.27)
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − = − 2 1 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ θ θ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + +
∑
∑
= = 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 . 4 ) (cos ) (cos l E m m h l m l m P h m m P h m m Mm h Mm l Gm n j j j n j j j , (4.28) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = − 2 1 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ θ θ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + +∑
∑
= = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 . 2 ) (cos ) (cos m h l m l m l E m P h m m P h m m Mm h Mm l Gm n j j j n j j j , (4.29) ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎢⎣ ⎡ + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + =∑
= − 2 0 12 2 1 2 1 4 2 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ) (cos . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 2 1 2 1 n j j j P h m m Mm h Mm l m G Mm h Mm l Gm u m h l m l m m h l m l m m h m θ θ γ θ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +∑
= 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 . 2 ) (cos m h l m l m l E m P h m m n j j j , (4.30)31 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ + ⎢⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = − − 2 1 4 2 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G Mm h Mm l Gm u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ θ θ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +
∑
∑
= = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 . 2 ) (cos ) (cos m h l m l m l E m P h m m P h m m n j j j n j j j , (4.31) ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ + ⎢⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = − − 2 1 4 2 4 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G h Mm l Gm u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + +∑
∑
= = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 2 . 2 ) (cos ) (cos m h l m l m l E m P h m m P h m m Mm n j j j n j j j θ θ . (4.32)dengan γadalah tetapan integral (konstanta). Dengan memisalkan ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = 2 2 1 2 1 2 1 m h m α , (4.33) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 m h l m l m β , (4.34)
maka persamaan (4.32) menjadi ) (cos . 4 1 1 . ) (cos 2 . ) sin( 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎢⎣ ⎡ + = −
∑
∑
= = n j j j n j j j P h m m Mm h Mm m G E l u P h m m Mm h Mm l Gm θ β θ β β α θ γ . (4.35) Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (4.35) menjadi⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⋅ =
∑
∑
= = 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ) (cos 4 1 1 ) (cos . 2 cos n j j j n j j j P h m m Mm h Mm m G E l u P h m m Mm h Mm l Gm θ β θ β β α θ . (4.36) Jika 2 2 1 ru = , maka persamaan (4.36) menjadi
2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 cos ) (cos 4 1 ) (cos 2 θ θ β α β α β θ β ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⋅ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =
∑
∑
= = n j j j n j j j P h m m Mm h Mm m G E l P h m m Mm h Mm Gm l r . (4.37)33 Dengan memisalkan α β = N , 2 2 2 2 . 2 Gm l K = β , 2 2 2 2 2 4 m G E l L β α β ⋅ = , 1 Mm2 h Mm W = + , dan , diperoleh 2 1m m X = 2 2 0 12 0 12 2 cos ) (cos 1 ) (cos θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =
∑
∑
= = n j j j n j j j P h X W L N P h X W K r , (4.38) 2 2 0 12 2 0 12 2 cos ) (cos 1 1 ) (cos 1 θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =∑
∑
= = n j j j n j j j P h W X W L N P h W X W K r . (4.39) Dengan memisalkan W K R= , 2 W L Y = , dan W X H = sehingga 2 2 0 12 0 12 2 cos ) (cos 1 1 ) (cos 1 θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =∑
∑
= = n j j j n j j j P h H Y N P h H R r , (4.40)dengan eksentrisitas 2 0 12)]] (cos [ 1 [
∑
= + + = n j j j P h H Y N e θ . (4.41)Mengacu pada persamaan (2.62) untuk bentuk lintasan planet berbentuk elips pada orbit tertutup dimana energi total sistem (E<0). Maka eksentrisitas diperoleh
2 0 12)]] (cos [ 1 [
∑
= + − = n j j j P h H Y N e θ . (4.42)Jadi dengan mengganti nilai eksentrisitas sesuai dengan persamaan (4.42), maka persamaan (4.40) menjadi 2 2 0 12 0 12 2 cos ) (cos 1 1 ) (cos 1 θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =
∑
∑
= = n j j j n j j j P h H Y N P h H R r . (4.43)4.2 Bentuk Lintasan Planet
Dari persamaan (4.43) dan rasio jarak mengacu pada persamaan (4.12), maka jika dihitung r2dan r1dengan memberi nilai pada konstanta untuk berbagai sudut
12
θ diperoleh hasil pada Lampiran A (Tabel A). Jika Table A digambar grafiknya maka diperoleh hasil:
35
Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =00
Gambar 4.3 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =300
Gambar 4.4 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =600
Gambar 4.5 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =900
37
Gambar 4.6 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =1200
Gambar 4.7 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =1500
Gambar 4.8 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =1800
Gambar 4.9 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =2100
39
Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =2400
Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =2700
Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =3000
Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =3300
41
Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 =3600
4.3 Pembahasan
Berdasarkan rumus (4.43) dan (4.12) dengan menghitung secara numerik memakai paket program Maple 10 sesuai dengan sintaks program pada Lampiran C diperoleh nilai pada Lampiran A ( Tabel A) dan Grafik pada gambar 4.2 sampai gambar 4.14 yang menunjukkan perubahan bentuk lintasan untuk dua planet yang berinteraksi untuk berbagai sudut
2
r
12
θ dengan interval 0. 30
Pada gambar 4.2 dan gambar 4.14 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12=0 θ 0 12 =360 θ 2 r r1 θ2 dari
sampai dan mengalami penurunan untuk sudut
0 0 0 180 θ2 dari 0 sampai . 180 0 360
Pada gambar 4.3 dan gambar 4.13 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 =30 θ 0 12=330 θ 2 r r1 θ2 dari
sampai dan mengalami penurunan untuk sudut
0
0
0
180 θ2 dari 0 sampai .
180 3600
Pada gambar 4.4 dan gambar 4.12 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 =60 θ 0 12 =300 θ 2 r r1 θ2 dari sampai
dan mengalami penurunan untuk sudut
0
0
0
180 θ2 dari 1800 sampai 3600.
Pada gambar 4.5 dan gambar 4.11 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 =90 θ 0 12 =270 θ 2 r r1 θ2 dari
sampai dan mengalami penurunan untuk sudut
0
0
0
180 θ2 dari 1800 sampai 3600.
Pada gambar 4.6 dan gambar 4.10 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 =120 θ 0 12 =240 θ 2 r r1 θ2 dari
sampai dan mengalami penurunan untuk sudut
0
0
0
180 θ2 dari 0 sampai .
180 3600
Pada gambar 4.7 dan gambar 4.9 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 =150 θ 0 12 =210 θ 2 r r1 θ2 dari
sampai dan mengalami penurunan untuk sudut
0 0 0 180 θ2 dari 0 sampai . 180 0 360
43
Pada gambar 4.8 sesuai Tabel A dengan nilai sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
0 12 =180 θ
2
r r1 θ2 dari sampai
dan mengalami penurunan untuk sudut
0
0
0
180 θ2 dari 1800 sampai 3600.
Pada gambar 4.2, gambar 4.3, gambar 4.4, gambar 4.5, gambar 4.6, gambar 4.7 dan gambar 4.8, sesuai Tabel A, dengan nilai sudut
. Nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut
, 150 , 120 , 90 , 60 , 30 , 00 0 0 0 0 0 12 = θ 0 180 r2 1
r θ2 dari sampai dan mengalami
penurunan untuk sudut
0
0 1300
2
θ dari sampai serta mengalami kenaikan kembali untuk sudut
0
135 2250
2
θ dari 0 sampai .
230 3600
Pada gambar 4.9, gambar 4.10, gambar 4.11, gambar 4.12, gambar 4.13 dan gambar 4.14, sesuai Tabel A, dengan nilai sudut
. Nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami penurunan untuk sudut
0 0 0 0 0 0 12 =210 ,240 ,270 ,300 ,330 ,360 θ r2 1
r θ2 dari sampai dan mengalami
penurunan untuk sudut
0
0 0
130
2
θ dari sampai serta mengalami kenaikan
kembali untuk sudut
0
135 2300
2
θ dari 2350 sampai 3600.
Pada Lampiran A (Tabel B) diperoleh eksentrisitas dengan lintasan tertutup. Perubahan sudut (θ12) mempengaruhi nilai eksentrisitas yang akan menyebabkan perubahan pada nilai jarak planet r2dan dengan pusat massa r1 M .
BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Kesimpulan yang didapat dari hasil dan pembahasan pada penelitian adalah sebagai berikut:
1. Sudut (θ12)yang terbentuk antar dua planet dan menyebabkan nilai
eksentrisitas lintasan planet berubah yaitu maksimum saat sudut ( ) dan sudut ( ) dan minimum saat sudut ( ).
1 m m2 0 12 =0 θ 0 12 =360 θ 0 12 =180 θ
2. Jarak planet dengan pusat massa Mterjauh pada sudut ( ) saat sudut ( ). 0 12 =0 θ 0 2 =180 θ
3. Interaksi antar planet mempengaruhi bentuk lintasan planet.
5.2 Saran
Saran yang dapat diberikan untuk menyempurnakan dan mengembangkan tulisan ini adalah perlu dilakukan penelitian lebih lanjut bagimana pengaruh sudut (θ2) terhadap jarak planet (r) dengan pusat massa M terkait dengan perubahan sudut (θ12).
DAFTAR PUSTAKA
Alonso, M. & Finn, E.J., 1994, Dasar-Dasar Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 2,
Jakarta: Erlangga.
Burington, R.S., 1948, Handbook of Mathematical Table and Formula, New York:
McGraw-Hill Book Company.
Goldstein, H.,1950, Classical Mechanics, New York: Addison-Wesley Publishing Company.
Halliday, D., & Resnick, R., 1984, Fisika, Jilid 1, Edisi 3, Jakarta: Erlangga.
Sears, W.F., Zemansky, M.W., & Young, H.D., 1987, Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 6, Jakarta: Erlangga.
Seno, D.K., & Sihono, M.Si., 2007, Gravitasi, (Online), (http://dwiseno.fisika.ui.edu /kuliah/gravitasi.ppt, diakses 30 November 2007).
Suwitra, N., 2001, Astronomi Dasar, Jurusan Fisika Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Negeri Singaraja.
Zahara, M., 1997, Dinamika Sistem Zarah Dan Benda Tegar, Yogyakarta: Lab Fisika Atom dan Inti Fakultas MIPA UGM.
LAMPIRAN A TABEL A No. 1 0 4.078497889 4.208437347 4.376425342 2 5 4.08552778 4.215617006 4.383788355 3 10 4.106709465 4.237248423 4.405970102 4 15 4.142321367 4.273611275 4.443250971 5 20 4.19283564 4.392634147 4.496105975 6 25 4.258930659 4.392634147 4.565216547 7 30 4.34150927 4.476879959 4.651487732 8 35 4.441723511 4.579070706 4.756071355 9 40 4.561006921 4.700639946 4.880396069 10 45 4.701115815 4.843341152 5.026205481 11 50 4.864181381 5.009297949 5.195605802 12 55 5.052775021 5.201066861 5.391124884 13 60 5.269989917 5.421715149 5.615784995 14 65 5.519542733 5.674917308 5.873192085 15 70 5.805900318 5.965074261 6.167644982 16 75 6.134437472 6.29746051 6.504268322 17 80 6.511633281 6.678405247 6.889173728 18 85 6.945314998 7.115514372 7.329653592 19 90 7.444959862 7.617940941 7.834411572 20 95 8.022066026 8.196710803 8.413831682 21 100 8.690602905 8.865107716 9.080283407 22 105 9.467546588 9.639114784 9.848450568 23 110 10.37349329 10.53789332 10.73565313 24 115 11.43331608 11.58424882 11.76209773 25 120 12.67677228 12.80497352 12.95093298 26 125 14.13885817 14.23084654 14.32788652 27 130 15.85950301 15.89588533 15.92010079 28 135 17.88183897 17.83513762 17.75354968 29 140 20.24771642 20.07986057 19.84811939 30 145 22.98835482 22.64840902 22.20917263 31 150 26.10729432 25.53085987 24.81449359 32 155 29.55310351 28.66618983 27.59659831 33 160 33.18285764 31.9143537 30.42350426 34 165 36.72745662 35.03364099 33.08675546 35 170 39.78648761 37.68476523 35.31168511 ) ( 12 2θ r 2 θ r2(0) r2(30) r2(60) 46
47 No. 36 175 41.89060808 39.48677608 36.8042062 37 180 42.64427177 40.12801694 37.33150826 38 185 41.89060808 39.48677608 36.8042062 39 190 39.78648761 37.68476523 35.31168511 40 195 36.72745662 35.03364099 33.08675546 41 200 33.18285764 31.9143537 30.42350426 42 205 29.55310351 28.66618983 27.59659831 43 210 26.10729432 25.53085987 24.81449359 44 215 22.98835482 22.64840902 22.20917263 45 220 20.24771642 20.07986057 19.84811939 46 225 17.88183897 17.83513762 17.75354968 47 230 15.85950301 15.89588533 15.92010079 48 235 14.13885817 14.23084654 14.32788652 49 240 12.67677228 12.80497352 12.95093298 50 245 11.43331608 11.58424882 11.76209773 51 250 10.37349329 10.53789332 10.73565313 52 255 9.467546588 9.639114784 9.848450568 53 260 8.690602905 8.865107716 9.080283407 54 265 8.022066026 8.196710803 8.413831682 55 270 7.444959862 7.617940941 7.834411572 56 275 6.945314998 7.115514372 7.329653592 57 280 6.511633281 6.678405247 6.889173728 58 285 6.134437472 6.29746051 6.504268322 59 290 5.805900318 5.965074261 6.167644982 60 295 5.519542733 5.674917308 5.873192085 61 300 5.269989917 5.421715149 5.615784995 62 305 5.052775021 5.201066861 5.391124884 63 310 4.864181381 5.009297949 5.195605802 64 315 4.701115815 4.843341152 5.026205481 65 320 4.561006921 4.700639946 4.880396069 66 325 4.441723511 4.579070706 4.756071355 67 330 4.34150927 4.476879959 4.651487732 68 335 4.258930659 4.392634147 4.565216547 69 340 4.19283564 4.325179623 4.496105975 70 345 4.142321367 4.273611275 4.443250971 71 350 4.106709465 4.237248423 4.405970102 72 355 4.08552778 4.215617006 4.383788355 73 360 4.078497889 4.208437347 4.376425342 ) 0 ( 2 r r2(30) (60) 2 r ) ( 12 2θ r 2 θ
No. 1 0 4.479057202 4.536093318 4.564954707 2 5 4.486526364 4.543619503 4.572509203 3 10 4.509026562 4.566290709 4.595265301 4 15 4.546838125 4.604387077 4.633502994 5 20 4.600435791 4.658382914 4.6876963 6 25 4.670500228 4.728958055 4.758524524 7 30 4.757934778 4.817014354 4.846888624 8 35 4.863888005 4.923697868 4.95393319 9 40 4.989782847 5.050427481 5.081074818 10 45 5.137353516 5.198931082 5.230037915 11 50 5.308691408 5.371290507 5.402899101 12 55 5.506301789 5.569996831 5.60214185 13 60 5.733173249 5.798017987 5.830723109 14 65 5.99286246 6.0588809 6.092154142 15 70 6.289596989 6.35677079 6.390597994 16 75 6.628399481 6.696650409 6.73098629 17 80 7.015236574 7.084402183 7.119157892 18 85 7.457195618 7.526995522 7.562021514 19 90 7.962691325 8.032680495 8.067742902 20 95 8.541701687 8.611205798 8.645953873 21 100 9.206027019 9.2740532 9.307974587 22 105 9.969555343 10.03466948 10.06702905 23 110 10.84849792 10.90865715 10.93841407 24 115 11.86152509 11.91385208 11.93954882 25 120 13.02967518 13.07015993 13.08977699 26 125 14.37581736 14.39893647 14.409709 27 130 15.92330827 15.92156619 15.91976644 28 135 17.69328821 17.65672074 17.63742864 29 140 19.69983911 19.61559383 19.57251407 30 145 21.9420854 21.79432394 21.71977035 31 150 24.39254248 24.16310011 24.04835506 32 155 26.98215577 26.65258208 26.48891857 33 160 29.58523203 29.14082162 28.92145247 34 165 32.01198151 31.44781024 31.17073415 35 170 34.02054802 33.348053 33.01908191 2 θ ) ( 12 2 θ r ) 90 ( 2 r r2(120) r2(150)