EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Matematika Konsentrasi Analisis
Oleh:
Sofihara Al Hazmy
1000690
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
ABSTRAK
Hazmy, Sofhara AL. 2014 EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu RUANG ORLICZ pada sekitar tahun 1931. Ruang Orlicz merupakan salah satu contoh ruang Banach yang dikatakan sebagai perluasan dari ruang Lp,p1.
Rao dan Ren [4] mengembangkan teori ruang Orlicz pada situasi yang sangat umum. Leonard [3] mempersempit definisi fungsi Young pada [4] dengan menambahkan syarat semikontinu bawah, dan mendefinisikan komplemen Young
seperti yang didefinisikan Krasnosel’skii dan Rutickii [2] yang menyebabkan struktur ruang Orlicz menjadi berbeda dari [4]. Hasil-hasil yang telah diperoleh Leonard [3] diantaranya ruang Orlicz adalah ruang Banach, norm Luxemburg dan norm Orlicz adalah norm yang ekivalen, dan dual dari ruang Orlicz kecil ( �′ isomorfik dengan ruang orlicz besar �∗ .
Penulis mencoba mengekstrak [4] dari sudut pandang yang berbeda dari Leonard [3] dengan cara mendefinisikan ulang fungsi Young dan komplemen Young. Kemudian mengkaji ulang struktur dan sifat ruang Orlicz beserta dualitasnya. Hasil-hasil yang diperoleh penulis diantaranya ruang Orlicz adalah ruang Banach, dual ruang Orlicz kecil ( �′ isomorfik dengan ruang Orlicz besar �∗ . Untuk kasus � � �∗ ⊊ ℝ, norm Luxemburg dan norm Orlicz adalah norm yang ekivalen, sedangkan untuk kasus � � �∗ = ℝ diperoleh norm Luxemburg, norm Orlicz, � . , dan �� . adalah norm-norm yang ekivalen.
Kata kunci : fungsi Young, komplemen Young, ruang Orlicz, norm Luxemburg,
ORLICZ SPACE
By:
Sofihara Al Hazmy
NIM 1000690
Email: sofiharaalhazmy@gmail.com
Orlicz space has introduced by Z.W. Birnbaum and W. Orlicz since 1931. Orlicz space is one of example of Banach spaces which is an extension of � space, ≥ 1.
Rao and Ren have developed the theory of Orlicz space on a very general situation. Leonard [3] tighten the definition of Young function on [4] by adding
lower semicontinuity, and define its complement as defined by Krasnosel’skii and
Ruticki [2]. The results that have been obtained by Leonard [3] including: Orlicz space is Banach space, Luxemburg norm and Orlicz norm are equivalent, and dual of small Orlicz space �′ and Orlicz space �∗ are isomorphic.
I have tried to extract [4] from different viewpoint of Leonard [3] by redefining definition of Young function and its complement. Then review the structure and properties of Orlicz space and its duality. The results that have been obtained including: Orlicz space is Banach space, Luxemburg norm and Orlicz norm are equivalent, and dual of small Orlicz space �′ and Orlicz space �∗ are isomorphic. In case � � � = ℝ, Luxemburg norm, Orlicz norm, � . , and
�� . are equivalent.
Keywords : Young function, Young complement, Orlicz space, Luxemburg
DAFTAR ISI
Hazmy, Sofhara AL. 2014 EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
LEMBAR PERNYATAAN………...i
UCAPAN TERIMA KASIH………...…………..ii
ABSTRAK……….iii
ABSTRACT………...iv
DAFTAR ISI………...v
SIMBOL DAN NOTASI………...vi
BAB I: PENDAHULUAN………...…..1
BAB II: LANDASAN TEORI...………3
2.1 Integral Lebesgue……….……4
2.2 Kekontinuan dan Keterdiferensialan Fungsi Monoton…….…….24
2.3 Ruang �� dan Kelengkapannya……….………...28
2.4 Operator Linear……….39
2.5 Integral Pada Ruang Ukuran Umum………….………..46
2.6 Ruang �� �, � dan Kelengkapannya………..68
BAB III: FUNGSI YOUNG DAN KOMPLEMEN YOUNG………...74
3.1 Fungsi Young dan Komplemen Young……….…...74
BAB 1V: RUANG ORLICZ……….………..……….83
4.1 Ruang Orlicz……….…..83
BAB V: DUALITAS RUANG ORLICZ………98
5.1 Dualitas Ruang Orlicz………...98
BAB VI: KESIMPULAN………...107
DAFTAR PUSTAKA……….109
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Ruang Orlicz ( L) diperkenalkan oleh Z.W Rirnbaum dan W. Orlicz pada
sekitar tahun 1931. Ruang Orlicz merupakan salah satu contoh ruang Banach yang
dikatakan sebagai perluasan dari ruang Lebesgue Lp,p1.
Rao dan Ren [4] mengembangkan teori ruang Orlicz pada situasi yang sangat
umum. Leonard [3] mendefinisikan suatu fungsi Young pada domain real dengan
menambahkan syarat semikontinu bawah, dan mendefinisikan komplemen Young
seperti yang didefinisikan Krasnosel’skii dan Rutickii [2] yang menyebabkan
struktur ruang Orlicz menjadi berbeda dari [4]. Hasil –hasil yang telah diperoleh
Leonard [3] diantaranya ruang Orlicz adalah ruang Banach, norm Luxemburg dan
norm Orlicz adalah norm yang ekivalen, dan dual dari ruang Orlicz kecil ( �′
isomorfik dengan ruang orlicz besar �∗ .
Oleh sebab itu, penulis mencoba mengekstrak [4] dari sudut pandang yang
berbeda dari Leonard [3] dengan cara mendefinisikan ulang fungsi Young dan
komplemen Young pada domain real yang diperluas, kemudian mengkaji ulang
struktur dan sifat ruang Orlicz beserta dualitasnya.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, penulis merumuskan masalah
sebagai berikut:
1. Bagaimana melakukan pendekatan berbeda pada pendefinisian ruang
Orlicz?
2. Bagaimana struktur dan sifat ruang Orlicz?
1.3.Tujuan
Adapun tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Pendekatan dilakukan dengan cara mendefinisikan fungsi Young dan
komplemen Young pada domain real yang diperluas.
2. Mengkaji struktur dan sifat-sifat ruang Orlicz.
3. Mengkaji struktur dan sifat-sifat dualitas ruang Orlicz.
1.4. Manfaat Penulisan
Skripsi ini disusun dengan harapan dapat memberikan banyak dampak positif
dalam berbagai aspek.
1.4. Sistematika Penulisan
Adapun sistematika penulisan tugas akhir ini terdiri dari 6 bab. Bab pertama
terdiri dari Latar belakang masalah, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan.
Pada Bab II berisi tentang teori-teori yang melandasi teori-teori pada Bab III,
Bab IV, dan Bab V.
Pada Bab III berisi tentang pendefinisian fungsi Young dan komplemen
Young, beserta representasinya dalam bentuk kanonik.
Pada Bab IV berisi tentang pengkajian struktur ruang Orlicz, dimana ruang
Orlicz merupakan ruang Banach. Selain itu, juga berisi tentang pengkajian
norm-norm pada ruang Orlicz.
Pada Bab V berisi tentang pengkajian dualitas ruang Orlicz dan pada Bab VI
berisi kesimpulan kesimpulan yang diperoleh oleh penulis.
BAB III
FUNGSI YOUNG DAN KOMPLEMEN YOUNG
Hazmy, Sofhara AL. 2014 EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Pada bab ini, dibahas tentang definisi fungsi Young dengan domain real
diperluas dan komplemennya.
Sebelumnya, dalam studi deret Fourier, W. H. Young telah menganalisis
fungsi konvek �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ yang bersifat � − = � , � = , dan
lim →∞� = ∞, dimana setiap fungsi � dapat diasosiasikan dengan fungsi konvek lain �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ yang memiliki sifat yang sama dengan �, yang mana
� ≔ sup{ | | − � }.
Oleh sebab itu � dinamakan fungsi Young, dan � dinamakan komplemen Young.
Pada bab ini, definisi fungsi Young akan dimodifikasi. Fungsi Young akan
didefinisikan pada ℝ̅ dengan menambahkan syarat � ±∞ = ∞ dan
lim → −� = � dengan = sup � � .
3.1 Fungsi Young dan Komplemen Young
Berikut merupakan fungsi Young yang dimodifikasi
Definisi 3.1.1
Suatu fungsi �: ℝ̅ → ℝ̅̅̅̅+ dikatakan fungsi young jika memenuhi kondisi:
1. � konvek pada ℝ
2. � − = �
3. � = ,� ±∞ = ∞, dan
Untuk kasus : ℝ → ℝ̅̅̅̅+ , definisi fungsi Young diatas ekivalen dengan
Definisi 1.1 [3].
Remark 1.
a) Sifat � − = � dan � = mengindikasikan � mencapai
minimum di dan tak turun pada [ , ∞
b) Untuk sembarang fungsi Young, terdapat , > sedemikian sehingga
� ∈ [ , ∞ dan � ∈ , ∞].
c) Berdasarkan b), = sup � � > .
d) Fungsi Young kontinu pada interior ��. Secara khusus, fungsi Young
finite merupakan fungsi kontinu pada ℝ.
e) Berdasarkan d), jika sup � � maka lim → −� = � .
Jika > sup � � , maka lim → −� = ∞ = � .
f) Berdasarkan Definisi 3.1.1, lim →∞� = ∞.
Untuk setiap fungsi Young �, dapat dibentuk fungsi �: ℝ̅ → ℝ̅̅̅̅+ yang
berasosiasi dengan � yang didefinisikan
� ≔ sup{ | | − � }.
� disebut komplemen dari � dan berlaku ketaksamaan Young
� + � .
Berdasarkan definisi fungsi �, � konveks, � − = � , � = , � ±∞ =
∞, dan lim →∞� = ∞.
Misalkan = sup � � ∈ ℝ, berdasarkan ketaksamaan Young untuk
setiap ∈ ℝ
lim→ −� − �
lim→ −� sup { − � } = � .
Tetapi, karena � tak turun pada [ , ], maka lim → −� � . Akibatnya
lim → −� = � . Jadi, � juga merupakan fungsi Young.
Pada topik analisis konvek, untuk fungsi Young �: ℝ+ { } → ℝ, � dapat
direpresentasikan sebagai
� = sup{ | | − � } = �+′ | | | | − �(�+′ | | ).
Contoh 3.1.2
Misalkan �� ∶= | |�, . �� merupakan fungsi Young. Untuk = ,
� = untuk | | dan � = ∞ untuk | | > juga merupakan fungsi Young dan komplemen Young dari �. Hal ini menunjukkan komplemen fungsi
Young tidak selalu kontinu pada ℝ.
Contoh 3.1.3
Misalkan �∞ ≔ { , | |
∞, | | > . �∞ juga merupakan fungsi Young, dimana
� = | | untuk setiap ∈ ℝ.
Proposisi 3.1.4
Misalkan , ⊆ ℝ dan fungsi �: , → ℝ. � konveks pada , jika dan
hanya jika untuk setiap subinterval tutup [ , ] ⊂ , ,
dimana �: , → ℝ, tak turun, dan fungsi kontinu kiri. Juga, � mempunyai
turunan kiri dan kanan di setiap titik pada , dan bernilai sama kecuali di
sejumlah terhitung titik-titik.
Bukti. Untuk setiap � > yang cukup kecil, didefinisikan
ℎ� ≔ ∫� + � − �� , ∈ [ , ].
Karena � konvek, maka �� = lim�→ � −� −�
� . Definisikan � ≔
�� . Berdasarkan Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue
� − � − − � − �
= � − � − � − − � � − �
= .
Karena � monoton, maka � memiliki turunan hampir dimana-mana pada , .
Terbukti.
Perhatikan bahwa fungsi Young �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi konvek dan
� = , tetapi mungkin terdapat jump ke ∞ di suatu titik. Misalkan � = ∞, jelas � = ∞ untuk | | | |. Untuk kasus ini, nilai � = ∞ untuk | | > | |
dan definisikan � = .
Akibat 3.1.6
Jika �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi Young, maka � dapat direpresentasikan
sebagai
� = ∫ �
| |
.
Dimana �: ℝ+ { } → ℝ̅̅̅̅+, tak turun, dan kontinu kiri.
Remark 2. Fungsi bernilai real diperluas � dikatakan kontinu kiri di jika dan
hanya jika lim → − � = � .
Bukti Akibat 3.1.6. Retriksikan �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ menjadi �: ℝ+ → ℝ dimana � =
� = ∫ � , < . . .7
Definisikan � ∶= ∞ untuk > dan � ≔ lim →�� , sehingga
persamaan . .7 berlaku untuk semua . Karena � fungsi genap, maka
� = � | | = � | | = | |� . Terbukti.
Karena � = dan lim →∞� = ∞ maka � bukan fungsi konstan.
Sehingga � bukan merupakan fungsi konstan atau ∞. Oleh sebab itu Akibat
3.1.6 dapat dimodifikasi kedalam pernyataan yang lebih kuat, dan disajikan pada
akibat berikut
Akibat 3.1.8
Fungsi �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi Young jika dan hanya jika � dapat
direpresentasikan sebagai
� = ∫ �
| |
,
dengan �: ℝ { } → ℝ̅̅̅̅+, tak turun, kontinu kiri, dan bukan merupakan fungsi
konstan atau ∞.
Berdasarkan definisi integral tak wajar, � ∞ = lim →∞� . Karena �
bukan fungsi konstan , maka terdapat > sehingga � > . Karena � tak
turun, diperoleh
� ∞ = lim→∞� = lim→∞∫ �
| |
lim→∞ ∫ �
| |
0
Selanjutnya akan diperkenalkan komplemen Young yang berbeda dari definisi
komplemen Young sebelumnya, dan pada pembahasan-pembahasan berikutnya
akan digunakan komplemen Young yang akan dibahas berikut ini.
Definisikan perluasan fungsi invers �: ℝ+ { } → ℝ̅̅̅̅+, dimana
� ≔ inf� , . .9
maka � = dan tak konstan. Karena { |� } ⊆ { |� } untuk
, berdasarkan sifat infimum � = inf� > inf� > = � .
Sehingga � tak turun.
Ketika → −, berdasarkan ilustrasi gambar 3.1.10, � → � . Sehingga �
kontinu kiri. Karenanya { |� > } adalah interval buka � , ∞].
Berdasarkan . juga diperoleh
Jika � > maka > �
Jika > � maka �
Jika < � maka � < .
�
0 � �
Definisikan
� ≔ ∫ �
| |
. .
Berdasarkan Akibat 3.1.8, � merupakan fungsi Young.
Proposisi 3.1.12
Misalkan � fungsi Young dan � didefinisikan oleh . . Maka
| | � + � , . .
dan kesamaan berlaku ketika = � | | atau = � | | .
Bukti. Cukup dibuktikan untuk kasus dan . Jika � = ∞ atau
� = ∞, ketaksamaan . . terbukti. Jika � < ∞ dan � < ∞, maka
= ∫ ∫
= ∬
{ , | � }
+ ∬
{ , | � }
= ∬
{ , | � }
+ ∬
{ , | � }
= ∫ ∫
i ( ,� )
+ ∫ ∫
i ( ,� )
= � + � .
Jika diberikan, maka kesamaan pada langkah kedua terakhir terjadi jika dan
hanya jika � untuk , sehingga = � . Jika diberikan,
maka kesamaan terjadi ketika � , sehingga = � . Terbukti.
Pada pembahasan-pembahasan selanjutnya notasi � akan diganti dengan notasi �∗
DUALITAS RUANG ORLICZ
Karena ketaksamaan Holder yang telah dipelajari pada bab sebelumnya,
Untuk sembarang ℎ ∈ �∗, kita dapat mendefinisikan suatu fungsional linear
kontinu ℓℎ yang memetakan � kedalam ℝ. Oleh sebab itu, secara langsung dapat
diperoleh suatu pemetaan � yang memetakan �∗ kedalam �′ dengan � ℎ = ℓℎ.
Pada bab ini, akan diperlihatkan bahwa pemetaan � adalah suatu isomorfisma.
Sehingga �′ ≅ �∗.
5.1 Dualitas Ruang Orlicz
Untuk sembarang ℎ ∈ �∗, didefinisikan fungsi ℓℎ: � → ℝ dimana
ℓℎ ≔ ∫ ℎ � �
, ∈ �. . .
Berdasarkan ketaksamaan Holder
|ℓℎ | ‖ℎ‖�∗‖ ‖� < ∞.
Karenanya ℓℎ adalah fungsional linier kontinu pada �.
Lema 5.1.1
Misalkan ℎ fungsi terukur.
a) Jika ℎ ∈ untuk semua ∈ �, maka ℎ ∈ �∗.
b) Misalkan finite. Jika ℎ ∈ untuk semua ∈ �, maka ℎ ∈ �∗.
a) Misalkan ℎ suatu fungsi terukur sedemikian sehingga ℎ ∈ untuk semua
∈ �. definisikan ℎ� ≔ |ℎ| . Karena � ukuran �-hingga terdapat barisan naik berukuran hingga {��}�=∞ sedemikian sehingga � = ⋃∞�= ��. Definisikan
ℓ�,� ≔ ∫ ���ℎ� � �
= ∫ ℎ� � ��
Untuk setiap ∈ �.
Karena, ℎ� , maka terdapat sedemikian sehingga ℎ� <
sup , akibatnya ∫� ∗(��� ℎ�) � ∗ ℎ� � �� < ∞, maka ���ℎ� ∈ �. Berdasarkan ketaksamaan Holder,
|ℓ�,� | ‖���ℎ�‖�∗‖ ‖�, menunjukkan ℓ�,� fungsional linear kontinu pada
�, dan untuk semua , � ,
|ℓ�,� | ∫ ���ℎ�| | � �
∫|ℎ|| | � �
= < ∞,
Sehingga lim�,�→∞ℓ�,� ada untuk setiap . Berdasarkan teorema
Banach-Saks-Steinhaus, keluarga {ℓ�,� } terbatas seragam. Dengan kata lain terdapat
> sedemikian sehingga
‖ℓ�,�‖�
untuk semua , �.
Dilain pihak, Karena ℎ� dan terukur pada �, maka ∫ ℎ� � � � suatu
ukuran, sehingga ketika � → ∞, ℓ�,� → ∫ ℎ� � �. Karena ketika → ∞,
Berdasarkan Lema 4.1.9, ‖ − �‖� = ‖ ���‖
kontinu. Selanjutnya akan dibutktikan pemetaan yang memetakan
= lim�→∞[inf { > | ∫ ( ) ∑ � ��
Untuk menunjukkan � ukuran bertanda (signed measure), akan ditunjukkan ruas
atau Nikodym, terdapat fungsi ℎ yang terintegralkan pada � sedemikian sehingga
ℓ �� = � � = ∫ ℎ � �
.
Akibatnya untuk sembarang fungsi simpel ∈ �,
ℓ = ∫ ℎ �
semua , ∈ �, berdasarkan konsekuensi Teorema kekonvergenan
terdominasi (lihat bukti Lema 5.1.3), lim�→∞ = . Karena ℓ kontinu,
lim�→∞ℓ = ℓ . Berdasarkan Teorema kekonvergenan monoton,
lim
�→∞ ∫ ℎ
{�∈�|ℎ � ≥ }
� = ∫ ℎ �
dan
Berdasarkan hasil ini dan persamaan . . , diperoleh
Misalkan {��}�=∞ adalah barisan naik dari himpunan-himpunan terukur
Karena ℓ fungsional linear terbatas, maka
Berdasarkan . . , �∗ ℎ ‖ℎ‖�∗. Oleh sebab itu, ‖ℎ‖�∗ < ∞,
menunjukkan ℎ ∈ �∗.
Definisikan � = pada �� dan � = pada � − ��, berdasarkan ketaksamaan
Holder, ℎ terintegralkan pada �, dan |ℎ �| |ℎ | �-a.e pada �. Berdasarkan
Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue,
lim
�→∞∫ ℎ � � �
= ∫ ℎ �
� . .
Dilain pihak, � → titik demi titik pada �. Ambil sembarang , maka
( �− ) → titik demi titik �-a.e pada �. Berdasarkan Teorema kekonvergenan monoton,
lim
�→∞∫ ( �− )
�
� = . .
Berdasarkan Lema 4.1.9, ‖� − ‖� = . Karena ℓ kontinu, maka
lim
�→∞ℓ � = ℓ . . .
Padahal, untuk setiap
ℓ � = ∫ ℎ� � � ��
= ∫ ℎ � � �
.
BAB VI
KESIMPULAN
Hazmy, Sofhara AL. 2014 EKSTRAKSI RUANG ORLICZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Dari pembahasan yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya didapat beberapa
kesimpulan sebagai berikut:
konstan 0 atau ∞. Juga berlaku ketaksamaan Young
≤ � + �∗ .
2. Ruang Orlicz adalah ruang fungsi
� �, � ≔ {�: � → ℝ, � terukur|∃� > 0, ∫ � �� �
�
< ∞},
dan merupakan ruang Banach. Pada ruang Orlicz didefinisikan beberapa
norm diantaranya Norm Luxemburg ‖. ‖� dan norm Orlicz |. |�, dimana
�� � merupakan norm untuk �, juga norm Luxemburg ‖. ‖�, norm
Orlicz |. |�, � . , dan �� � semuanya ekivalen.
3. Dual ruang Orlicz besar � dan ruang Orlicz kecil � berturut-turut
adalah ′� dan �′, dimana ′� adalah himpunan semua fungsional linear
kontinu pada �, dan �′ adalah himpunan semua fungsional linear
kontinu pada �.
Berdasarkan ketaksamaan Holder, untuk setiap ℎ ∈ �∗ dapat
didefinisikan suatu fungsional linear yang memetakan � ke ℝ dengan
ℓℎ � = ∫ ℎ� �
�
untuk semua � ∈ �, dan pemetaan yang memetakan �∗ ⟶ �′ dimana
