STUDI TENTANG HASIL KALI LANGSUNG PADA GRUP FAKTOR.

STUDI TENTANG HASIL KALI LANGSUNG PADA

GRUP FAKTOR

Oleh: Yeni Hidayati NIM 072244510018 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN

i

JUDUL SKRIPSI : STUDI TENTANG HASIL KALI LANGSUNG

PADA GRUP FAKTOR

Nama Mahasiswa : Yeni Hidayati NIM : 072244510018 Program Studi : Matematika Jurusan : Matematika

Menyetujui:

Dosen Pembimbing Skripsi,

Dr. Izwita Dewi, M.Pd NIP. 19620706 198903 2 001

Mengetahui:

STUDI TENTANG HASIL KALI LANGSUNG PADA GRUP FAKTOR Yeni Hidayati (072244510018)

ABSTRAK

Penelitian ini mengkaji tentang hasil kali langsung � buah grup faktor. Untuk menunjukkan apakah perkalian langsung � buah grup faktor juga merupakan sebuah grup faktor. Dan juga untuk menunjukkan apakah 1 1 ×

2 2×…× � � isomorfik dengan � � ×…× 2 2× 1 1.

Terlebih dahulu dipaparkan Definisi-Definisi dan Teorema-Teorema yang berlaku pada Pemetaan, Grup, Grup Faktor, Subgrup Normal, Homomorfisma, Isomorfisma dan Perkalian Langsung kemudian menggunakan Definisi dan Teorema tersebut untuk membahas hasil kali langsung dua buah grup faktor atau lebih.

Setelah memaparkan dan mengkaji perluasan konsep perkalian langsung, dapat disimpulkan bahwa misalkan 1 1, 2 2,…, � � adalah � buah grup

faktor, maka hasil kali langsung 1 1× 2 2×…× � � juga merupakan

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, atas segala

rahmatNya yang memberikan kesempatan dan kesehatan kepada penulis sehingga

skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih dalam penelitian ini adalah “ Studi Tentang Hasil Kali Langsung Pada Grup Faktor”.

Dalam kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada

berbagai pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, antara lain Ibu

Dr. Izwita Dewi, M.Pd selaku dosen pembimbing skripsi yang telah banyak

meluangkan waktunya untuk membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi

ini, juga kepada Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si,

dan Bapak Mulyono S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah banyak memberi

saran dan masukan untuk menyelesaikan skripsi ini.

Teristimewa penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada kedua

orang tua penulis Ayahanda Umar dan Ibunda Harmianty, juga kepada kedua adik

penulis Muhammad Riza Amin dan M. Fahmi Irawan, serta keluarga besar yang

terus memberi motivasi dan doa demi keberhasilan penulis menyelesaikan skripsi

ini.

Tak lupa juga penulis ucapkan terima kasih kepada sahabat-sahabat

penulis, yaitu Rahma, Fitri, Tia, Juni, Melati, Yuli, dan teman-teman yang lain khususnya kelas Nondik ’07 yang namanya tidak dapat disebutkan satu persatu. Juga kepada kakak-kakak dan adik-adik stambuk yang telah banyak membantu

Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna

baik dari penulisan maupun isi, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik

yang bersifat membangun demi penyempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini

dapat bermanfaat bagi kita semua.

Medan, Februari 2013 Penulis

DAFTAR ISI

3.1. Waktu dan Tempat Penelitian 25

3.2. Jenis Penelitian 25

3.3. Langkah - langkah Penelitian 25

BAB IV. PEMBAHASAN 26

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan 35

5.2. Saran 35

DAFTAR PUSTAKA 36

DAFTAR SIMBOL

Simbol Deskripsi

� ∈ � anggota himpunan

⊂ himpunan subset dari himpunan

× hasil kali langsung himpunan dan

≅ isomorfik dengan

grup faktor dari oleh

�−1 _{invers dari fungsi �}

∩ irisan himpunan dan

ker � kernel dari �

⊆ subset atau sama dengan

∎ akhir dari bukti

≠ tidak sama dengan

∀ untuk semua

∃ terdapat

karena

oleh karena itu

BAB I PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang Masalah

“Dalam penelitian ini telah dikaji hasil kali langsung dari dua buah grup

atau lebih pada grup. Kemudian penelitian ini masih memerlukan penelitian

lanjutan yang mendalam. Kepada peneliti lain yang berminat untuk melakukan

penelitian disarankan dapat membahas hasil kali langsung pada grup faktor.”

(Manik, 2006)

“…karena keterbatasan penulis, maka dalam skripsi ini perkalian langsung pada grup faktor tidak dibahas.” (Manik, 2006)

Kutipan di atas diambil dari skripsi mahasiswa Program Studi Matematika

Universitas Negeri Medan yang berjudul Studi tentang Hasil Kali Langsung pada

Grup. Setelah membaca saran dari mahasiswa tersebut, peneliti ingin

membahasnya dalam skripsi peneliti.

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya, pengkajian tentang hasil kali

langsung telah dicoba pada dua buah grup atau lebih. Lalu bagaimanakah jika

perkalian langsung tersebut diterapkan untuk dua buah grup faktor atau lebih.

Itulah yang akan menjadi bahan penelitian pada skripsi ini, berikut uraiannya.

Misalkan adalah grup dan subgrup normal dari . Himpunan =

� � ∈ merupakan grup terhadap operasi = . Selanjutnya,

/ disebut dengan grup faktor. (Galian, Joseph A., 1990)

Misalkan _{1 1} dan _{2 2} dua buah grup faktor. Kemudian dengan

definisi hasil kali himpunan didapat

1 1× 2 2 = 1, 2 ; 1 ∈ 1 1 � � 2 ∈ 2 2

Didefinisikan sebuah operasi (untuk menunjukkan perkalian) pada _{1 1}×

2 2 sehingga untuk dua elemen sebarang 1, 2 dan 1, 2 dari 1 1 ×

2 2 didapat

1, 2 1, 2 = 1 1, 2 2

Lalu misalkan _{1 1}, _{2 2},…, _{� �} adalah � buah grup faktor,

lanjut apakah _{1 1}× _{2 2}×…× _{� �} akan isomorfik dengan _{� �} ×

…× _{2 2} × _{1 1}. Berdasarkan uraian di atas, maka peneliti ingin menyelidiki permasalahan tersebut menjadi tugas akhir dengan judul “ Studi tentang Hasil Kali Langsung pada Grup Faktor ”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang masalah, yang menjadi rumusan

masalah dalam penelitian ini adalah :

1. Misalkan _{1 1}, _{2 2},…, _{� �} adalah � buah grup faktor, apakah

perkalian langsung dari � buah grup faktor merupakan grup faktor?

2. Apakah _{1 1}× _{2 2}×…× _{� �} isomorfik dengan _{� �} ×…×

2 2× 1 1 ?

1.3 Tujuan Penelitian

1. Untuk menunjukkan apakah perkalian langsung � buah grup faktor juga

merupakan sebuah grup faktor.

2. Untuk menunjukkan apakah _{1 1}× _{2 2}×…× _{� �} isomorfik dengan

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dirumuskan pada BAB IV maka

dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Misalkan 1 1, 2 2,…, � � adalah � buah grup faktor, maka hasil

kali langsung 1 1× 2 2×…× � � juga merupakan grup faktor.

2. 1 1× 2 2×…× � � isomorfik dengan � � ×…× 2 2×

1 1.

5.2. Saran

Dalam penelitian ini telah dikaji hasil kali langsung dari dua buah dan tiga

buah grup faktor. Kemudian penelitian ini masih memerlukan penelitian lanjutan

yang mendalam. Kepada peneliti lain yang berminat, disarankan untuk

membuktikan perkalian � buah grup faktor secara langsung tanpa terlebih dahulu membuktikan perkalian pada dua buah dan tiga buah grup faktor dan kemudian

1

DAFTAR PUSTAKA

Galian, Joseph A., 1990, Contemporary Abstract Algebra Second Edition, D. C. Heath and Company, Lexington, Massachussetts, Toronto

Hania, Raising, 1980, Modern Algebra, S. Chand & Company Ltd., Ram Nagar, New Delhi

Hungerford, Thomas W., Abstract Algebra An Introduction, Cleveland State University

Judson, Thomas W., 2010, Abstract Algebra Theory and Applications, Stephen F. Austin State University

Manik, Hendra, 2006, Studi tentang Hasil Kali Langsung pada Grup, Skripsi, FMIPA, Unimed, Medan

Wijna, 2009, Struktur Aljabar – Teorema Homomorfisma Grup,