1. Model Regresi Linear dan Penaksir Kuadrat Terkecil 2. Prediksi Nilai Respons 3. Inferensi Untuk Parameter-parameter Regresi 4.

1. Model Regresi Linear dan Penaksir Kuadrat Terkecil 2. Prediksi Nilai Respons

3. Inferensi Untuk Parameter-parameter Regresi 4. Kecocokan Model Regresi

5. Korelasi

Utriweni Mukhaiyar MA 2081 Statistika Dasar 14 April 2014

*

2

*

1. Menentukan/menaksir parameter-

parameter yang terlibat dalam suatu model matematik yang linear terhadap parameter-parameter tersebut.

2. Melakukan prediksi terhadap nilai suatu variabel, misalkan Y, berdasarkan nilai

variabel yang lain , misalkan X, dengan menggunakan model regresi linier

(interpolasi).

Suhu (X) Gula yang Dihasilkan (Y) f(x)

3

X menentukan Y

prediktor respons

bukan peubah acak

peubah

acak Memiliki distribusi

ILUSTRASI

Observasi 1 2 3 … n

X X₁ X₂ X₃ … X_n

Y Y₁ Y₂ Y₃ … Y_n

Mana yang merupakan prediktor ??

4

Variabel yang nilainya mempengaruhi variabel yang lainnya.

Variabel yang variansinya terkecil Variabel yang kejadiannya lebih dahulu terjadi.

1

2

3

5

0 1

i i i

Y     X  e

- ₁ dan ₀ merupakan parameter-parameter model yang akan ditaksir

- e_i adalah galat pada observasi ke-i (acak)

M ^ODEL R ^EGRESI L ^INEAR S ^EDERHANA

6

*

1.

Ketidakmampuan model regresi dalam

memodelkan hubungan prediktor dan respons dengan tepat

2.

Ketidakmampuan peneliti dalam melakukan pengukuran dengan tepat

3.

Ketidakmampuan model untuk melibatkan semua variabel prediktor

7

*

- ₁ dan ₀ ditaksir dengan metode kuadrat terkecil (least square)

- Asumsi-asumsi :

1. Ada pengaruh X terhadap Y 2.

3. Nilai harapan dari e_i adalah 0, atau E[ e_i ] = 0

4. Variansi dari e_i, sama untuk semua i = 1, 2,…, n 5. e_i berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,…, n 6. e₁,e₂,...,e_n saling bebas (independen)

0 1

untuk 1,2,...,

i i i

Y     X  e i  n

Misalkan b₁ adalah taksiran bagi ₁ dan b₀ adalah taksiran bagi ₀. Maka taksiran bagi model

regresi adalah

Kriteria penaksiran kuadrat terkecil adalah meminimumkan

terhadap b₀ dan b₁, dengan

8

0 1

i

 

i

Y b b X

2

1



^{n i}

i

e

0 1

    

i i i i i

e Y Y Y b b X

Diperoleh

Sedangkan taksiran untuk variansi galat acak adalah

9

  

 

1

1 2

1





 

 







n

i i

XY i

n XX

i i

X X Y Y b JK

JK X X

0

 

1

b Y b X

 

²

2 2

ˆ

1

ˆ 2 2 2

    ^  ^

  

i i

G

y y

YY XY

JK JK b JK

s n n n

Suhu (X) 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Logam yg dihasilkan (Y) 8.1 7.8 8.5 9.8 9.5 8.9 8.6 10.2 9.3 9.2 10.5

e_i

10 6

6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

Berat logam yang dihasilkan (y)

Suhu (x)

n = 11

Model persamaan regresi

11

  

 

11

1

1 11

2

1

1,8091





 

 







i i

i

i i

X X Y Y b

X X

11

1

1 1,5







ⁱ 

i

X X

n

11

1

1 9,13







ⁱ 

i

Y Y

n

0   1  6, 4136 b Y b X

6, 4136 1,8091

 

i i

Y X

12

*

Prediksi model Suhu (x_i) Logam yg dihasilkan (y_i)

1 8.1 8.22 -0.12

1.1 7.8 8.40 -0.60

1.2 8.5 8.58 -0.08

1.3 9.8 8.77 1.03

1.4 9.5 8.95 0.55

1.5 8.9 9.13 -0.23

1.6 8.6 9.31 -0.71

1.7 10.2 9.49 0.71

1.8 9.3 9.67 -0.37

1.9 9.2 9.85 -0.65

2 10.5 10.03 0.47

Taksiran variansi galat acak ₂



^ˆ



²

2 9 0, 4

   



i i

G y y

s JK n

  ˆ

i i i

e y y

ˆ_i y

Misalkan suhu proses (X) adalah 1.55 satuan suhu.

Maka prediksi berat logam yang dihasilkan pada suhu tersebut adalah

13

 

6, 4136 1,8091

6, 4136 1,8091 1, 55 9, 2177

 

 



Y X

Prediksi Nilai Respons

14

A

^SUMSI

K

^ENORMALAN

1

•Asumsi e_i berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,…, n

2

•Y_i beristribusi normal untuk semua i = 1, 2,…, n

3

^{•b0 dan b1} berdistribusi normal

15

I

^{NFERENSI UNTUK}

P

^ARAMETER



₀

berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2.

Selang kepercayaan (1-α) untuk ₀ :

t_/2;n-2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2

0 0

0

2 1





 



^{n i XX}

i

T b

s x nJK

2 2

0 0 0

, 2 , 2

1 1

2 2







   



_n



^{n i XX}

  

_n



^{n i XX}

i i

b t s x nJK b t s x nJK

16

I

^{NFERENSI UNTUK}

P

^ARAMETER



₁

berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2.

Selang kepercayaan (1-α) untuk ₁ :

t_{/2 ; n-2} adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2

1 1

1



 

XX

T b

s JK

2; 2 2; 2

1 1 1

 ^



 ^



ⁿ

  

ⁿ

XX XX

t s t s

b b

JK JK

Tujuan : menentukan apakah parameter-parameter tersebut dapat diabaikan atau tidak.

17

P

^ENGUJIAN

P

^ARAMETER

R

^EGRESI

Rumusan Hipotesis

H₀ : β₀ = 0 H₁ : β₀ ≠ 0

H₀ : β₁ = 0

H₁ : β₁ ≠ 0 ₀

0 n

2 i i 1

XX

t b

x

ˆ ^ nJK







^{1 1}

XX

t b

ˆ

JK

 

0 0 2

0 XX

ˆY -Y

T ˆ 1+(1/n)+[(x x) / JK ]

  

berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2.

Selang prediksi (1 – α) bagi y₀ adalah

2 2

0 0

0 / 2 0 0 / 2

XX XX

(x x) (x x)

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

y t 1+ + y y t 1+ +

n JK n JK

 

 

     

18

S

^ELANG

P

^REDIKSI

Misalkan nilai respons Y untuk X = X₀ adalah Y₀, dan misalkan adalah prediksi model regresi bagi Y₀. Maka

19

C

^ONTOH

1

^{SELANG KEPERCAYAAN 1-}

b

₁

=1,8091 b

₀

=6,4136

0

25.85 25.85

6.4136 (2.26)(0.4) 6.4136 (2.26)(0.4)

(11)(1.1)  (11)(1.1)

   

1

(2.26)(0.4) (2.26)(0.4)

1.8091 1.8091

1.1  1.1

   

β

β TINJAU CONTOH SEBELUMNYA

20

H₀ : β₀ = 0 H₁ : β₀ ≠ 0

H₀ : β₁ = 0 H₁ : β₁ ≠ 0

derajat kebebasan n – 2 = 9,

nilai kritis t_0.025 = 2.26

t₀ > t_0.025 &

t₁ > t_0.025 maka masing- masing H₀ ditolak

Kesimpulan β₀ dan β₁ tidak dapat diabaikan

C

ONTOH

2

^{UJI HIPOTESIS}

21

*

Salah satu alat ukur untuk melihat apakah model regresi yang diperoleh sudah memadai adalah

koefisien determinasi yaitu

Besaran R² menunjukkan proporsi variasi total dalam respons Y yang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh

 

 

2

2 1 2

2

1

ˆ

, dengan 0 1







   







n

i i

i R

n T

i i

i

y y

R JK R

JK y y

H₀ : Model regresi yang diperoleh tidak memadai H₁ : Model memadai

Statistik uji

Tolak H₀ pada tingkat keberartian α jika f > f_,(1,n-2), dimana f_,(1,n-2) adalah nilai distribusi F dengan

derajat kebebasan 1 dan n – 2.

22

U

JI

K

EBAIKAN

M

ODEL

 

²

1

ˆ





  

^{n i i}

i R

y y f JK

s s

Untuk contoh sebelumnya diperoleh R² = 0,499.

Artinya proporsi variasi total dalam respons Y yang diterangkan oleh model regresi yang

diperoleh adalah 49.9%

Uji kebaikan model

Untuk α = 5%, titik kritis f0.05,(1,9) = 5,12 f > f_0.05,(1,9), model memadai. ²³

C

ONTOH

3

 

11 2

1

ˆ



8,99



  

^{i i}



i R

y y f JK

s s

24

*

* Mengukur hubungan linear dua peubah acak

* Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak, maka korelasi antara X dan Y dinyatakan dengan

  

   

 

2 2

 

,

    

   

 

 

     

   

X Y

XY

X Y

X Y

E X Y Cov X Y

E X E Y

Jika nilai korelasi mendekati 1 maka

hubungan kedua peubah “sangat erat” dan searah sedangkan jika nilai korelasi

mendekati –1 maka hubungan kedua

peubah “sangat erat” dan berlawanan arah.

25

Jika nilai korelasi sama dengan nol berarti tidak terdapat hubungan linear antara

kedua peubah acak.

Gambar 1 Korelasi positif Gambar 2 Korelasi negatif

Gambar 3 Korelasi nol Gambar 4 Korelasi nol

26

27

Korelasi dapat ditaksir dengan koefisien korelasi sampel, yaitu

K ^ORELASI S ^AMPEL

  

   

1

2 2

1 1



 



 

     

  



 

XY

XX YY

n

i i

i

n n

i i

i i

r JK

JK JK

X X Y Y

X X Y Y

Data berikut menggambarkan kenaikan harga minyak dan nilai tukar mata uang di 12 negara terhadap US dollar pada suatu tahun.

Rata-rata kenaikan harga minyak = 60,42 ,

Rata-rata nilai tukar mata uang terhadap US dollar = 84,25 ²⁸

C

^ONTOH

4

Negara Kenaikan harga minyak (x)

Nilai tukar mata uang terhadap US dollar (y)

1 65 85

2 50 74

3 55 76

4 65 90

5 55 85

6 70 87

7 65 94

8 70 98

9 55 81

10 70 91

11 50 76

12 55 74

29 40

50 60 70 80 90 100 110

40 45 50 55 60 65 70 75

Nilai tukar mata uang (y)

Kenaikan harga minyak (x)

  

   

12

1

12 12

2 2

1 1

0,863



 

 

  

 



 

i i

XY i

XX YY

i i

i i

X X Y Y r JK

JK JK

X X Y Y

30

TUGAS B

Lanjutan Tugas A (Kelompok)

 Terapkan minimal satu topik berikut, yang sudah dipelajari dalam

perkuliahan Statdas, ke dalam data kelompok Anda seperti pada Tugas A.

 Topik Bahasan :

 Uji Hipotesis

 ANOVA

 Regresi Linier dan Korelasi

 Analisis Deret Waktu

 Analisis Spasial (Geostatistik)

 Tugas diketik rapi dan lengkap (data dan analisisnya) dalam bentuk laporan (style masing-masing) dalam format Mic. Word. Dengan

penamaan file :

“Tugas B - Statdas02 - II.2014 – Kelompok <nomor kelompok>”

 Tugas dikumpulkan via email ke utriweni@math.itb.ac.id paling lambat Senin, 5 Mei 2014.

31

Referensi

 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

 Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

 Walpole, Ronald E., et.al, Statistic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007.