6. T H E M E T R I C S Y S T E M

(1)

Dala m pidato n y a di Cong ress tahun 182 1, John Qui n c y Ada m s, presiden ke-6 A m e r i k a Seri kat, mengata ka n: masalah ukuran sudah menja d i kebutu ha n penti n g bagi tiap orang. U k u ra n turut me m b e n t u k pereko n o m i a n dan menja d i perhatian tiap keluarga. U k u ra n penti n g bagi tiap jenis pekerjaan, untu k keam a na n kepe m i l i k a n dan setiap transaksi perdaga n g a n.

Pada awal jaman Bab y l o n i a n (Iran dan Irak kuno) dan Egy pt i a n (Mesir), dan tertul is di Ki tab Suci, telah ada pengu k u r a n meng g u n a k a n hasta (forearm), jari (finger) dan perputara n matahar i untu k wakt u.

Untu k meng u k u r daya tam p u n g suatu wadah, mereka meng i si k a n biji- bijian dan mene m u k a n vol u m e. La m a- kela m aa n bobot dan ukura n menja d i maki n ko m p l e k.

Siste m ukura n yang berla k u di US A berasal dari Inggr i s. Uk u r a n- ukura n ini berasal dari buda ya yang sangat beraga m, misal n y a berupa satuan inch, foot, dan yard. Tahu n 1790, the Frenc h Acade m y of Sciences, atas perm i n taa n pemeri n ta h Perancis, menc i p ta k a n sistem berat dan ukuran yang sederhana nam u n scienti f i c (ilmiah). Satuan vol u m e dan massa ditur u n k a n dari satuan panjan g. Ke m u d i a n dici pta k a n satuan besar dan kecil dengan meng g u n a k a n pang k at sepul u h.

Penul isan satuan ukuran:

Prefi x (awalan dala m bahasa Gree k (Yunani):

Bi lan ga n keli patan

Prefi x (awalan)

Si m b o l M i sal Kh us us untu k me m o r i ko m p u t e r

10¹² tera T 1 T m = 10¹² meter 1 Tb = (1024)⁴ byte 10⁹ giga G 2 Gg = 2 x 10⁹ gram 1 Gb = (1024)³ byte 10⁶ mega M 5 M m = 5 x 10⁶ meter 1 M b = 1024 x 1024 byte 10³ kil o k 7 kg = 7 x 10³ gra m 1 kb = 1024 byte

10² hecto h 8 hL = 8 x 10² liter

10¹ deka dk atau da 6 dam = 6 x 10¹ meter 10^-1 deci d 10 dB = 10 deci Bel l = 10

x 10^-1 Bel l

10^-2 centi c 150 cm = 150 x 10^-2 meter

10^-3 mi l l i m 17 m L = 17 x 10^-3 liter

10^-6 micr o µ

(Yunani:” m i u ”)

1.2 µg = 1.2 x 10^-6 gram

10^-9 nano n 15 nm = 15 x 10^-9 meter

10^-12 pico p 3 pm = 3 x 10^-12 meter

10^-15 femt o f 2.5 fm = 2.5 x 10^-15 meter

10^-18 atto a 1 am = 1 x 10^-18 meter

K o n v e r s i satuan ukuran:

Ko n v e rs i ke satuan lain Keba l i k a n n y a Panjan g 1 in (=inch) ≈ 2.54 cm (=centi m ete r) 1 cm ≈ 0.394 in

1 yd (=yard) ≈ 0.914 m (=meter) 1 m ≈ 1.09 yd 1 mi (=mile) ≈ 1.61 km (=kilo m e ter) 1 km ≈ 0.621 mi 1 ft (=feet) ≈ 0.304878 m (=meter) 1 m ≈ 3.28 ft Vo l u m e 1 qt (=quart) ≈0.946 L (=liter) 1 L ≈ 1.057082 qt

1 pt (=pint) ≈ 0.5 qt (=quart) 1 qt ≈ 2 pt

1 gal (=galon) ≈ 3.7854 1 2 L (=liter) 1 L ≈ 0.2642 17 2 gal M assa 1 oz (=ounce) ≈ 28 g (=gram) 1 g ≈ 0.0357 14 oz

1 lb (=leab) ≈ 0.454 kg (=kilog ra m) 1 kg ≈ 2.2 lb Te m p e rat u r

1 ⁰F (=Fahrenhei t) =

( 1 ) 32 5

9

₀

+

× C 1 ⁰C (=Celci us) =

( 1 32 ) 9

5

₀

−

× F

1 K (=Kel v i n) =

1

⁰C+

273 . 15

¹⁰C (=Celci us) = 1K − 273.15

(2)

7. A L J A B A R I

, ,

Archimedes Newton dan Gauss ketiganya satu kelas ,

dalam kemampuan

matematika.

, ,

KARL FRIEDRICH GAUSS yang disebut Pangeran Matematika

, , .

lahir di Brunswick Jerman tahun 1777 Ayahnya seorang buruh miskin tetapi jujur dan mau melakukan apa saja agar anaknya menjauh dari matematika. Hanya berkat kecelakaan

.

saja Gauss menjadi ahli matematika Kapasitas pikirannya yang luar biasa nampaknya diturunkan oleh keluarga ibunya. Sepanjang hidupnya Gauss dikenal berkat kemampuannya yang luar biasa dalam matematika. Tak ada satu orangpun dalam sejarah matematika yang bisa dibandingkan dengannya .

,

Pada usia belum 3 tahun Gauss mampu melihat kesalahan ayahnya dalam menghitung pembayaran gaji mingguan dan , menjelaskan hasil yang benar dari penghitungan yang

. .

panjang dan rumit Setelah dicek ternyata Gauss benar

Pada usia 10 tahun kejeniusan Gauss menarik perhatian ahli , matematika yang masih muda bernama Bartels, yang kemudian mengajarkan pada Gauss dasar dasar matematika -

.

sampai menarik perhatian Duke of Brunswick Duke of Brunswick sangat tertarik dan menjadikannya murid yang dilindungi.

,

Pada usia 15 tahun Gauss memasuki kuliah di Caroline College in Brunswick lalu dalam waktu singkat melakukan penelitian tentang aritmatika tingkat tinggi yang menjadikannya sebagai salah

, .

satu dari tiga besar ahli matematika dunia setara dengan Archimedes dan Newton Ketika lulus

, .

kuliah pada tahun 1795 pada usia 18 tahun dia telah menemukan metode kuadrat terkecil

,

Dia kemudian memasuki University of Gottingen dimana selama tiga tahun sangat produktiv dia

“ ”.

menyelesaikan Penelitian Pertidaksamaan Aritmatika Tahun 1798 dia masuk University of

, . . .

Helmstedt dimana dia meraih Ph D dalam satu tahun Thesis doktornya menjadi bukti pertama

- . / .

teori teori dasar aljabar Pada usia 21 22 dia menyelesaikan problem yang sangat terkenal

- ,

Tulisannya tentang Pertidak samaan yang diterbitkan tahun 1801 menjadi dasar bagi teori

, .

bilangan tapi ini hanya salah satu saja dari sumbangan pemikirannya yang sangat banyak

( ),

Sepanjang hidupnya dia wafat pada 1855 di usia 78 dia memberikan sumbangan pemikiran

, ( ), , (

besar untuk bidang astronomi geodesi pengukuran bumi geometri teori fisika khususnya

), .

elektromagnetisme bilangan kompleks dan fungsi kompleks Selain dikenal sebagai peneliti

, .

teoritis Gauss juga dikenal baik sebagai penemu telegraph elektrik pada tahun 1833

. . - { , , }.

CONTOH 1 260 1 Misalkan x adalah bilangan bilangan yang diwakili oleh 2 4 6

= – = .

Periksalah untuk x berapa pernyataan x 1 3 menghasilkan kesimpulan benar JAWAB

= , – = , = . ≠

Untuk x 2 didapatkan 2 1 1 padahal seharusnya 3 Karena 1 3 maka pernyataan tidak benar.

= , – = , = . =

Untuk x 4 didapatkan 4 1 3 memang seharusnya 3 Karena 3 3 maka pernyataan benar.

= , – = , = . ≠

Untuk x 6 didapatkan 6 1 5 padahal seharusnya 3 Karena 5 3 maka pernyataan tidak benar.

– = = .

Jadi pernyataan x 1 3 benar hanya untuk x 4

. . - { , , }.

= – ≠ .

Periksalah untuk x berapa saja pernyataan x 2 4 menghasilkan kesimpulan benar JAWAB

= , – = , ≠ , .

Untuk x 2 didapatkan 2 2 0 0 memang 4 jadi pernyataan benar

= , – = , ≠ , .

Untuk x 4 didapatkan 4 2 2 2 memang 4 jadi pernyataan itu juga benar

= , – = , ≠ .

Untuk x 6 didapatkan 6 2 4 4 4 adalah pernyataan tidak benar

– ≠ = = .

Jadi pernyataan x 2 4 benar hanya untuk x 2 dan untuk x 4

M ate m a t i k a – Ba m b a n g Triat m a

(3)

= – ≥ . Periksalah untuk x berapa saja pernyataan x 1 3 menghasilkan kesimpulan benar JAWAB

= , – = , ≥ , .

Untuk x 2 didapatkan 2 1 1 1 bukan 3 maka pernyataan itu tidak benar

= , – = , ≥ , .

Untuk x 4 didapatkan 4 1 3 3 memang 3 maka pernyataan itu benar

= , – = , ≥ , .

Untuk x 6 didapatkan 6 1 5 5 memang 3 maka pernyataan itu juga benar

– ≥ = = .

Jadi pernyataan x 1 3 benar hanya untuk x 4 dan untuk x 6

. . - { , , }.

= + < .

Periksalah untuk x berapa saja pernyataan x 7 9 menghasilkan kesimpulan benar JAWAB

= , + = , < ,

Untuk x 2 didapatkan 2 7 9 karena 9 bukan 9 maka pernyataan di atas tidak benar.

= , + = , < ,

Untuk x 4 didapatkan 4 7 11 karena 11 bukan 9 maka pernyataan di atas tidak benar.

= , + = , < ,

Untuk x 6 didapatkan 6 7 13 karena 13 bukan 9 maka pernyataan di atas tidak juga benar.

{ , , } + <

Jadi tak ada satupun dari x dalam 2 4 6 yang bisa mewakili sehingga pernyataan x 7 9 benar.

Himpunan bilangan bilangan yang membuat pernyataan terbuka menjadi benar disebut himpunan - jawaban. Dengan demikian himpunan jawaban untuk No 1 260 1 sampai No 260 4 adalah . . . . . { }, { , }, { , } 4 2 4 4 6 dan { } atau Ø .

CONTOH 1 261 . Hasil penelitian menunjukkan bahwa hubungan antara panjang tulang paha (os femur^,simbol f^{“ ”)}dengan tinggi⁽height^,simbol H^{“ ”)}badan wanita dalam satuan cm

= . + . mengikuti rumus berikut H 1 95f 72 85

Seorang polisi menemukan tulang paha wanita sepanjang 40 cm. Jika wanita yang dilaporkan hilang tingginya 120 cm dapatkah disimpulkan bahwa tulang tadi milik wanita yang dilaporkan , hilang?

JAWAB

= , = . ( ) + . = .

Untuk f 40 didapatkan H 1 95 40 72 85 150 85

≠ . .

Karena 120 150 85 maka sulit untuk disimpulkan bahwa tulang tadi milik wanita yang hilang

. + <

CONTOH 3 261 Temukan himpunan jawaban bagi pernyataan x 7 9 jika x adalah

( ).

bilangan bulat integer

+ <

JAWAB Dalam kasus ini bilangan yang disepakati boleh mewakili x dalam x 7 9 adalah , {. . . , - , - , - , , , , , . . .}. + = < ,

bilangan bulat yaitu 3 2 1 0 1 2 3 Karena 1 7 8 dan 8 9

+ < .

maka nilai x terbesar yang boleh mewakili x dalam x 7 9 adalah 1 Oleh sebab itu {. . . , - , - , - , , },

himpunan jawabannya adalah 3 2 1 0 1 yaitu seluruh bilangan bulat yang kurang atau sama dengan 1 .

(4)

. . . ( )

SOAL 7 1 261 Carilah himpunan bilangan bulat integer yang bisa mewakili x dalam

/ - :

persamaan pertidak samaan berikut . + =

1 x 2 4 2. + ≥ x 2 2 3. + ≤ x 4 7 4. –x <

1 5

. - <

5 x 7 12 6. + ≠ 3 x 4 7. – = x 5 ½ 8. +2 ≤ +

x x 2

. - / -

Untuk no 9 12 Jika bilangan yang boleh mewakili x dalam persamaan pertidak samaan berikut

, :

adalah bilangan Riil carilah himpunan jawabannya . - >

9 x 1 0 10. + <x 1 3 11. + x ½ = 0 12. – x ½ ≠ 0 .

CONTOH 5 282 Carilah himpunan jawaban dari persamaan 3x² + = 2 50.

JAWAB 3x² = 48 x² = 16

= - x 4 atau 4

{ , - } Himpunan jawabannya 4 4

Pola dasar persamaan kuadratik : ax² + bx + = c 0 a ≠ 0 : =

Rumus persamaan kuadratik sbb x

a ac b

b

2

2 −

4

±

−

. .

CONTOH 6 282 Carilah himpunan jawaban untuk persamaan x² – 4x – 12 = 0

JAWAB Untuk mencari nilai nilai a b dan c kita tulis lagi persamaan dalam bentuk sbb- , , , : 1 x² + (- ) + (–4 x 12) = 0 lalu dibandingkan dengan

a x² + + = b x c 0 sehingga ditemukan bahwa a = , 1 b

= - , 4 dan = -c 12

) 1 ( 2

) 12 )(

1 ( 4 ) 4 ( ) 4

(

− ± − ² − −

= −

x ⁼

2 48 16 4

± +

=

2 64 4

±

=

2 8 4

±

=

2 12

atau

2

−

4

= 6 atau 2 - . Jadi himpunan jawaban bagi persamaan tersebut adalah 6 2 { , - }.

M ate m a t i k a – Ba m b a n g Triat m a

(5)

. .

CONTOH 7 283 Carilah himpunan jawaban untuk persamaan 3x² + – = x 5 0

JAWAB Jika dibandingkan dengan pola dasar ax² + bx + = c 0 ditemukan bahwa :

= , = , = - =

a 3 b 1 c 5 lalu dimasukkan ke dalam rumus x

a ac b

b

2

2 −

4

±

− _menjadi_:

x =

) 3 ( 2

) 5 )(

3 ( 4 1

1

± ² − −

− =

6 60 1 1

± +

− ₌

6 61 1

±

−

maka himpunan jawaban {

6 61 1

+

− _,

6 61 1

−

− _}

- , “ ” “= ( )”, “

Dalam MS Excell akar dinyatakan dengan SQRT bilangannya sementara membulatkan ke

” “= ( , )”

dua digit dinyatakan dengan ROUND bilangannya 2

=ROUND SQRT 61 2( ( ), ) menghasilkan bahwa

61

≈ (baca mendekati sama dengan: “ ”) .7 81 = ((- + . )/ , )

sedangkan ROUND 1 7 81 6 2 menghasilkan ≈ 1 14. = ((- - . )/ , )

sementara ROUND 1 7 81 6 2 menghasilkan ≈ - .1 47 maka jika dipaksakan penyederhanaan

: { . , . } {

himpunan jawaban menjadi 1 14 1 47 dengan catatan bahwa sebenarnya ≈ 1 14. , ≈ - .1 47 } pada pembulatan dua digit.

. .

CONTOH 8 283 Carilah himpunan jawaban untuk persamaan 2x² – 2x = -1

JAWAB Persamaan dimodifikasi dulu ke bentuk standar 2x² – 2x + = 1 0 lalu dibandingkan dengan pola dasar

ax² + bx + = c 0 sehingga ditemukan bahwa : = , = - , = a 2 b 2 c 1 lalu dimasukkan ke =

dalam rumus x

a ac b

b

2

2 −

4

±

− _menjadi_:

x =

) 2 ( 2

) 1 )(

2 ( 4 ) 2 ( ) 2

(

− ± − ² −

− =

4 8 4

2

± − ₌

4 4 2

± − ₌

4 ) 1 )(

4 (

2

± − ₌

4 ) 1 )(

2 (

2

± −

Karena −

1

adalah bilangan complex maka dimisalkan sebagai i^, ^{“ ”.}

Dengan demikian hasilnya =

2 ) )(

1 ( 1

± i

=

2 1 i

±

jadi himpunan jawabannya {

2 1 i

+

,

2 1 i

−

}