M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

1

1 x (- 20) = -20

-10 + 2 = - 8

MODUL 07

MATERI : Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

A. RINGKASAN MATERI 1. Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat adalah suatu persamaan yang memuat satu variabel dengan pangkat tertinggi dua.

a) Bentuk umum persamaan kuadrat

ax² + bx + c = 0 a, b, c  R dan a  0

Contoh.

• x² – 5x + 6 = 0 → a = 1, b = –5, c = 6

• 2x² + x = 0 → a = 2, b = 1, c = 0

• 4x² – 9 = 0 → a = 4, b = 0, c = –9 b) Metode penyelesaian persamaan kuadrat

- Pemfaktoran Contoh.

Tentukan HP dari x² – 8x – 20 = 0 !

Jawab.

x² – 8x – 20 = 0

Sehingga:

(x – 10) (x + 2) = 0 x – 10 = 0 atau x + 2 = 0 x1 = 10 atau x2 = –2

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

2

- Melengkapkan Kuadrat Sempurna Contoh.

Tentukan HP dari x² + 6x – 1 = 0!

Jawab.

x² + 6x – 1 = 0 (c = –1 pindah ke ruas kanan) x² + 6x = 1 (kedua ruas ditambah (½ . 6)²) x² + 6x + 3² = 1 + 9 (sederhanakan ruas kanan)

x² + 6x + 3² = 10 (nyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna) (x + 3)² = 10 (kedua ruas diakarkan)

x + 3 = ±√10 (menentukan nilai x) x1 = −3 + √10 atau x² = −3 − √10

- Rumus ABC

Bentuk ax² + bx + c = 0

𝑥_1,2 = ^{−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐}

2𝑎 a, b, c  R dan a  0

c) Menyusun persamaan kuadrat Rumus menyusun persamaan kuadrat:

x² – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0

dimana: x1 + x2 = −^𝑏_𝑎 x1 . x2 = ^𝑐

𝑎

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

3

Contoh.

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan –8 adalah ….

Jawab.

x1 + x2 = 5 + (–8) = –3 x1 . x2 = 5 . (–8) = –40

Persamaan kuadratnya adalah x² – (–3)x + (–40) = 0 → x² + 3x – 40 = 0

Contoh.

Persamaan kuadrat tiga lebihnya dari akar-akar x² + 3x – 1 = 0 adalah ….

Jawab.

x1 + x2 = −^𝑏

𝑎 = −³

1= −3 x1 . x2 = ^𝑐

𝑎= ⁻¹

1 = −1

Akar-akar baru x1’ = x1 + 3 dan x2’ = x2 + 3 Sehingga:

x1’ + x2’ = (x1 + 3) + (x2 + 3) = x1 + x2 + 6 = –3 + 6 = 3

x1’ . x2’ = (x1 + 3)(x2 + 3) = (x1 . x2) + 3(x1 + x2) + 9 = –1 + 3(–3) + 9 = –1

Persamaan kuadratnya adalah x² – 3x + (–1) = 0 → x² – 3x – 1 = 0

2. Fungsi Kuadrat

a) Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

f(x) = ax² + bx + c , dimana a  0 dan a, b, c anggota bilangan Riil.

Contoh:

f(x) = x² + 4x + 5

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

4

b) Karakteristik fungsi kuadrat - Nilai koefisien a

• Jika a > 0 (a positif), maka grafik terbuka ke atas

Semakin besar nilai a, maka grafik semakin sempit, dan sebaliknya semakin kecil nilai a, maka grafik semakin lebar

Contoh.

f(x) = x² + 4x + 5 → a = 1

• Jika a < 0 (a negatif), maka grafik terbuka ke bawah

Semakin besar nilai a, maka grafik semakin lebar, dan sebaliknya semakin kecil nilai a, maka grafik semakin sempit

Contoh.

g(x) = –3x² + 2x – 1 → a = –3

- Titik potong dengan sumbu-x

Grafik memotong sumbu-x, maka nilai y = 0, sehingga ax² + bx + c = 0 Nilai x dapat dicari dengan menggunakan persamaan kuadrat.

Sehingga titik potong sumbu-x adalah (x1, 0) dan (x2, 0) Contoh.

Grafik f(x) = x² + 4x – 5 = 0 memotong sumbu-x di titik ….

Jawab.

Karena memotong sumbu-x, maka y = f(x) = 0, sehingga:

x² + 4x – 5 = 0 → (x + 5)(x – 1) = 0

x = –5 atau x = 1

Jadi titik potong terhadap sumbu-x di titik (–5, 0) dan (1, 0)

- Titik potong dengan sumbu-y

Grafik memotong sumbu-y, maka nilai x = 0, sehingga y = f(0) = c.

Sehingga titik potong dengan sumbu-y adalah (0, c)

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

5

Contoh.

Grafik f(x) = x² + 4x – 5 = 0 memotong sumbu-y di titik ….

Jawab.

Karena memotong sumbu-y, maka x = 0, sehingga:

y = f(0) = –5

Jadi titik potong terhadap sumbu-x di titik (0, –5)

- Diskriminan (D)

Diskriminan adalah bagian dari rumus persamaan kuadrat D = b² – 4ac.

Fungsi diskriminan untuk menentukan banyak solusi (nilai x) dari

persamaan kuadrat. Bisa memiliki dua solusi, satu solusi, atau tidak ada.

Ciri nilai diskriminan terhadap titik potong kurva dengan sumbu-x.

• Jika D > 0, maka kurva memotong sumbu-x di dua titik

• Jika D = 0, maka kurva memotong sumbu-x di satu titik

• Jika D < 0, maka kurva tidak memotong sumbu-x

Contoh.

Bagaimana kedudukan grafik h(x) = x² – 4x + 6 terhadap sumbu-x?

Jawab.

D = b² – 4ac = (–4)² – 4.1.6 = 16 – 24 = –8 < 0

Karena D < 0, maka grafik tidak memotong sumbu-x

Sketsa grafik h(x) = x² – 4x + 6 dengan a > 0 dan D < 0 sebagai berikut:

sumbu-x a > 0

D < 0

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

6

- Sumbu simetri (xs)

• Jika diketahui titik potong sumbu-x, yaitu (x1, 0) dan (x2, 0) maka sumbu simetrinya adalah 𝑥_𝑠 = ^𝑥1+𝑥2

2

Contoh.

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-x di titik (–5, 0) dan (1, 0).

Sumbu simetrinya adalah ….

Jawab.

𝑥_𝑠 =^𝑥1+𝑥2

2 =⁻⁵⁺¹

2 = −2

• Jika diketahui fungsi f(x) = ax² + bx + c, maka sumbu simetrinya 𝑥_𝑠 =^−𝑏

2𝑎 Contoh.

Sumbu simetri pada grafik f(x) = x² + 4x – 5 = 0 adalah ….

Jawab.

𝑥_𝑠 = ^−𝑏

2𝑎 = ⁻⁴

2.1 = −2 - Nilai ekstrim (yp)

Nilai ekstrim adalah nilai minimum atau maksimum grafik fungsi kuadrat.

Nilai ekstrim dapat dicari dengan cara memasukkan nilai sumbu simetri (xs) pada fungsi kuadratnya atau menggunakan rumus 𝑦_𝑝 = ^𝐷

−4𝑎=^{𝑏2−4𝑎𝑐}

−4𝑎 Contoh.

Nilai minimum pada grafik f(x) = x² + 4x – 5 = 0 adalah ….

Jawab.

Cara I 𝑥_𝑠 =^−𝑏

2𝑎 = ⁻⁴

2.1= −2 → yp = f(–2)

= (–2)² + 4(–2) – 5 = 4 – 8 – 5 = –9

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

7

Cara II

D = b² – 4ac = 4² – 4.1.(–5) = 16 + 20 = 36 𝑦_𝑝 = ^𝐷

−4𝑎= ³⁶

−4.1= −9 - Koordinat titik balik (xs, yp)

Koordinat titik balik merupakan pasangan koordinat dari sumbu simetri (xs) dan nilai ekstrimnya (yp).

Contoh.

Titik balik pada grafik f(x) = x² + 4x – 5 = 0 adalah ….

Jawab.

Pada soal sebelumnya sudah diperoleh sumbu simetri = xs = –2 dan nilai ekstrimnya yp = –9. Jadi koordinat titik baliknya adalah (–2, –9)

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

8

B. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Soal 1.

Akar – akar penyelesaian dari 4x² – 25 = 0 adalah ….

A. {−²⁵

2 , ²⁵

2} B. {−²⁵

4 , ²⁵

4} C. {−⁵₄, ⁵

4} D. {−⁵

2, ⁵

2} Jawab. (D)

4x² – 25 = 0 → (2x + 5)(2x – 5) = 0 x = −⁵

2 atau x = ⁵

2

Jadi akar-akar penyelesaiannya adalah {−⁵

2, ⁵

2}

Soal 2.

Suatu persegipanjang luasnya 54 cm². Jika panjang dari persegipanjang tersebut (4x–3) cm dan lebarnya (x+3) cm, maka kelilingnya adalah … cm.

A. 15 B. 18 C. 30 D. 36

Jawab. (C)

(4x – 3)(x + 3) = 54 → 4x² + 12x – 3x – 9 – 54 = 0 4x² + 9x – 63 = 0

(4x + 21)(x – 3) = 0 x = −²¹

4 (TM) atau x = 3 Untuk x = 3 maka p = 4.3 – 3 = 9 cm dan l = 3 + 3 = 6 cm Keliling persegipanjang = 2(p + l) = 2(9 + 6) = 30 cm

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

9

Soal 3.

Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x² − 4x + 5 adalah ….

A. (1, 3) B. (1, 5) C. (1, 7) D. (2, 5)

Jawab. (A) Cara I

Sumbu simetri: 𝑥_𝑠 = ^−𝑏

2𝑎 =⁻⁽⁻⁴⁾

2.2 = 1

Nilai ekstrim: 𝑦_𝑝 = 𝑓(1) = 2(1)²− 4(1) + 5 = 3 Koordinat titik balik: (1, 3)

Soal 4.

Suatu peluru ditembakkan ke atas. Tinggi peluru pada saat t detik dirumuskan oleh h(t) = 40t − 5t² (dalam satuan meter). Tinggi maksimum yang dapat ditempuh oleh peluru tersebut adalah ….

A. 75 meter B. 80 meter C. 85 meter D. 90 meter

Jawab. (B)

Waktu agar ketinggian maksimum: 𝑡_𝑠 = ⁴⁰

−2(−5)= ⁴⁰

10= 4 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

Tinggi maksimum: 𝑦_𝑝 = ℎ(4) = 40(4) − 5(4)² = 160 − 80 = 80 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

10

C. LATIHAN SOAL

1. Himpunan penyelesaian dari p² – 30p = 0 adalah ….

A. {–30}

B. {0, –30}

C. {0, 30}

D. {30}

2. Akar-akar dari a² – 16a – 36 = 0 adalah ….

A. {–18, 2}

B. {–12, 3}

C. {–2, 18}

D. {–3, 12}

3. Himpunan penyelesaian dari x² – 16x + 64 = 0 adalah ….

A. {–16, –4}

B. {–8, 8}

C. {–8}

D. {8}

4. Akar – akar penyelesaian dari 8x² – 16 = 0 adalah ….

A. {–4, 4}

B. {–2, 2}

C. {−2√2, 2√2}

D. {−√2, √2}

5. (i) x² – 6x + 8 = 0 (ii) x² – 6x = –8

Bentuk di atas dapat dikerjakan dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dimana kedua ruas harus ditambahkan dengan ….

A. (½ . 6) B. (½ . (–6)) C. (½ . (–6))² D. (½ . (–3))²

6. Himpunan penyelesaian dari x² + x – 1 = 0 adalah ….

A. {−¹

2+^√5

2 , −¹

2−^√5

2} B. {−¹

2+^√5

2 , ¹

2−^√5

2} C. {¹

2+^√5

2 , −¹

2−^√5

2} D. {¹

2−^√5

2 , ¹

2−^√5

2}

7. Perhatikan gambar di bawah ini.

Luas PQR adalah ... cm². A. ¹¹

25

B. 1 C. 10 D. 17¹

2

(4x - 3) cm 2x cm

cm

P Q

R

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

11

8. Salah satu akar persamaan dari x² – 5x + p = 0 adalah 2. Nilai p adalah ….

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

9. Perhatikan gambar berikut!

Sebuah lapangan berbentuk persegipanjang. Panjangnya dua kali dari lebarnya. Pada tepi sebelah luar tiga sisi lapangan tersebut dibuat jalan yang lebarnya 2 meter. Jika luas seluruh jalan (yang diarsir pada gambar) adalah 128 m², maka luas lapangan tersebut adalah ....

A. 748 cm² B. 512 cm² C. 450 cm² D. 224 cm²

10. Diketahui x1 dan x2 adalah penyelesaian dari persamaan 2x² + 3x – 35 = 0. Jika x1 > x2, maka nilai dari 3x1. 2x2 adalah ….

A. –210 B. –105 C. –70 D. –35

11. Jika f(x) = ax² + bx + c memiliki nilai a positif, maka kurva grafik fungsi tersebut ....

A. tidak memotong sumbu y B. tidak memotong sumbu x C. terbuka ke atas

D. terbuka ke bawah

12. Nilai a, b, dan c dari fungsi kuadrat f(x) = –2x² + 3(2x+5) adalah ....

A. 2, 5 dan 8 B. –2, 3 dan 5 C. –2, 6 dan 5 D. –2, 6 dan 15

13. Nilai f(-3) dari fungsi f(x) = x² – 4x + 2 adalah ....

A. –1 B. 1 C. 5 D. 23

M O D U L PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH Matematika

SMP AL HIKMAH SURABAYA

12

14. Fungsi f(x) = x² – 5x + 6 memotong sumbu y di titik ....

A. (0, –5) B. (0, 6) C. (–5, 0) D. (6, 0)

15. Fungsi kuadrat yang sumbu simetrinya sumbu y adalah ....

A. y = x² – 9

B. y = x² + 7x + 12 C. y = x² – 5x D. y = (x – 4)²

16. Fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu x adalah ....

A. y = x² – 5x – 14 B. y = x² – 25 C. y = 2x² + 5x + 3 D. y = 3x² – 7x + 5

17. Fungsi f(x) = 2x²+ bx + 9 memiliki sumbu simetri x = 3. Nilai b = ....

A. –12 B. –6 C. 6 D. 12

18. Fungsi f(x) = ax² + 6x + 8 mempunyai nilai minimum 5, maka nilai a² + a = ....

A. 8 B. 9 C. 12 D. 16

19. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya digambarkan seperti di bawah adalah ….

A. y = –x² + 2x + 8 B. y = –x² – 2x + 8 C. y = x² – 2x – 8 D. y = x² – 2x + 8

20. Seorang kiper melakukan tendangan gawang (goal kick).

Tinggi bola (dalam h meter) setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = 36t – 3t². Ketinggian maksimum bola adalah ….

A. 96 meter B. 108 meter C. 144 meter D. 216 meter