1.1 Latar Belakang Masalah
Dalam perkembangan dunia sains, ilmu fisika mempunyai peran penting untuk memahami fenomena alam dari yang sederhana sampai yang kompleks. Hal itu da- pat dilihat dari banyaknya ilmuwan yang terus berusaha menjelaskan fenomena alam tersebut dengan menggunakan hukum-hukum fisika atau parameter fisis yang bersifat deterministik. Artinya, dapat ditentukan atau diprediksi secara pasti, misal beberapa temuan Isaac Newton mengenai hukum gerak dan hukum gravitasi. Temuan Newton ini dianggap sebagai keberhasilan ilmu pengetahuan dalam merumuskan fenomena alam. Namun, perlu dipahami bahwa selalu ditemukan adanya sistem gerak dalam setiap fenomena alam, salah satu contohnya adalah gerak acak. Untuk mempelaja- ri sistem gerak acak ini dibutuhkan suatu pendekatan/model matematis yang bersifat probabilistik.
Model matematis yang mampu menjelaskan mengenai sistem gerak yang me- ngandung sifat keacakan dan memuat suatu ketidakpastian adalah proses stokastik.
Proses stokastik merupakan suatu model peristiwa acak dengan parameterisasi wak- tu. Nilai bagi peristiwa acak tersebut tidak dapat diprediksi secara pasti, tetapi hanya berupa fungsi agihan dan kisaran yang nilainya dapat diketahui. Secara matematis, proses stokastik didefinisikan sebagai himpunan peubah acak yang berparameterkan t, dengan t anggota {T }, himpunan T disebut sebagai himpunan indeks atau ruang parameter bagi proses tersebut (lihat misalnya dalam [Parzen, 1962]). Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa proses stokastik adalah fisika, terkait konsep dinamika. Sebab, fisika dapat dipandang sebagai upaya membangun struktur matematis sebagai model atau pendekatan yang mewakili keadaan fisis (lihat misalnya dalam [Rosyid,dkk., 2015]). Namun belum tentu berlaku kebalikannya, bahwa fisika adalah proses sto- kastik. Dewasa ini, proses stokastik muncul bukan hanya dalam sistem fisika, tetapi juga telah banyak diterapkan dalam penelitian di berbagai disiplin ilmu yang lain, seperti biologi, kimia, ekonomi, sistem manajemen, sistem sosial dan teknik.
Sejarah perkembangan teori proses stokastik ini, sebenarnya berawal dari per- cobaan yang dilakukan oleh Robert Brown, ahli tumbuhan dari Inggris pada tahun 1827, tentang pergerakan acak serbuk sari yang tumbuh dalam suatu fluida. Kemu-
1
dian pada tahun 1905, fisikawan Albert Einstein, melakukan penelitian tentang par- tikel Brownian secara fisis (partikel disini bersifat makroskopik). Einstein membuat perumusan persamaan difusi dan menentukan nilai koefisien difusi dengan beberapa asumsi. Dalam hal ini, Einstein tidak menjelaskan teori dinamika bagi partikel Bro- wnian itu sendiri, melainkan hanya menentukan sifat alamiah partikel. Sebab dalam persamaan Einstein kecepatan partikel Brownian tidak ditemukan. Setelah itu, pada tahun 1908, seorang ilmuwan dari Prancis, Paul Langevin memberikan perumusan di- ferensial lain terhadap perumusan Einstein yaitu persamaan diferensial stokastik untuk model kecepatan partikel Brownian (partikel disini bersifat mikroskopik), dan sebagai titik permulaan untuk proses Ornstein dan Uhlenbeck. Paul Langevin disebut seba- gai pencetus teori persamaan diferensial stokastik yang pertama dalam fisika statistik
[Nelson, 1967].
Pada tahun 1923, Norbert Wiener, seorang matematikawan, membuat konsep yang baku tentang proses gerak Brown, disebut juga sebagai proses Wiener. Dari perumusan ini diperoleh beberapa sifat bagi gerak Brown, salah satunya yaitu bentuk lintasan gerak Brown kontinyu dimana-mana tetapi tidak diferensiabel dimanapun se- hingga dibutuhkan perumusan lain untuk menurunkan proses tersebut. Dalam rangka mengatasi permasalahan ini, pada tahun 1944, Kiyoshi Ito mengembangkan teori kal- kulus stokastik (Integral stokastik dan persamaan diferensial stokastik). Integral Ito ini merupakan solusi yang tunggal unique bagi sistem gerak Brown [Ikeda dan Wata- nabe, 1989]. Sampai sekarang, perkembangan teori dasar ini terus berkembang pesat khususnya dalam ilmu fisika. Sebab sifat bagi gerak acak yang mampu diselesaikan dengan persamaan integral stokastik, dianggap memberikan penafsiran yang baru dan sangat baik mengenai fenomena-fenomena yang riil.
Dari sejarah di atas, tampak bahwa proses gerak Brown adalah proses sto- kastik, dan proses ini merupakan jawaban bagi persamaan diferensial stokastik, yang diperoleh dengan menggunakan integral stokastik atau integral Ito. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa proses stokastik merupakan lintasan atau kurva dalam suatu ruang keadaan (ruang fase), yang mampu menggambarkan dinamika untuk sistem ge- rak acak. Seperti diketahui dalam teori fisika, dinamika suatu sistem fisis merupakan perkembangan keadaan suatu sistem terhadap waktu. Secara matematis, dinamika su- atu sistem fisis dimodelkan dengan kurva-kurva berparameterkan waktu pada ruang keadaan. Kurva-kurva tersebut merupakan penyelesaian bagi suatu persamaan dife- rensial yang khas untuk setiap model (lihat misalnya dalam [Rosyid, 2015]). Untuk mekanika klasik, suatu sistem dalam ruang konfigurasi dengan koordinat umum yang
memenuhi persamaan Lagrange atau sistem persamaan diferensial orde dua. Penye- lesaian bagi persamaan ini berupa kurva atau lintasan yaitu vektor posisi. Sementa- ra untuk mekanika kuantum, fungsi gelombang dalam ruang Hilbert (sebagai ruang fase) memenuhi persamaan gelombang Schrödinger, yang merupakan persamaan di- ferensial parsial. Penyelesaian bagi persamaan ini berupa kurva atau lintasan yaitu vektor keadaan yang diwakili oleh fungsi gelombang yang bergantung pada waktu.
Dalam mekanika stokastik, persamaan-persamaan diferensial tersebut dapat diperu- mum menjadi persamaan diferensial stokastik untuk sistem gerak yang bersifat acak.
Penyelesaian bagi persamaan ini berupa kurva atau lintasan yang disebut proses sto- kastik. Untuk memahami bentuk persamaan diferensial stokastik, perlu mempelajari beberapa proses mendasar seperti proses gerak Brown atau proses Wiener, Martingale, proses Poisson, proses Lévy, dan lain-lainnya. Penyelesaian bagi persamaan diferen- sial stokastik ini menggunakan persamaan integral stokastik baik dengan mengacu pada perumusan Ito ataupun perumusan Stratonovich.
Dalam teori fisika, persamaan gerak bagi suatu sistem dapat diperoleh juga dengan menggunakan pendekatan prinsip variasi, yang digagas oleh William Rowan Hamilton. Prinsip ini disebut sebagai prinsip Hamilton atau prinsip aksi terkecil [Cha- ichian, dkk., 2012]. Temuan prinsip variasi ini berperan penting dalam perkembangan gerak mekanik, karena variabel bagi suatu fungsi dapat diperumum. Oleh karena itu, cakupan untuk memahami fenomena fisika lebih luas dibandingkan dengan teori hu- kum Newton.
Penelitian ini berupaya memahami dan menjelaskan persamaan diferensial sto- kastik melalui prinsip aksi terkecil sehingga hasil penyelesaiannya mampu menggam- barkan hukum dinamika sistem gerak acak secara fisis. Perumusan persamaan dife- rensial stokastik ini akan mengacu pada kajian Nelson dan penelitian Yasue, yang pertama kali mengajukan teorema tentang kalkulus variasi stokastik. Perumusan ter- sebut kemudian diterapkan pada beberapa contoh kasus konkret, yaitu pada sistem gerak N -partikel dan sistem gerak osilator harmonis sederhana. Selain itu, peneli- tian ini juga berupaya memahami dan menjelaskan persamaan Fokker Planck untuk menghitung perubahan distribusi bagi densitas peluang yang diakibatkan oleh peru- bahan parameter t bagi peubah acak. Perersamaan Fokker Planck ini juga diterapkan pada kasus konkret tersebut.
1.2 Rumusan Masalah
Dari latar belakang di atas, rumusan masalah dalam penelitian ini yaitu ba- gaimana memahami dan menjelaskan persamaan diferensial stokastik melalui prinsip aksi terkecil.
1.3 Batasan Masalah
Sistem yang ditinjau dibatasi pada sistem-sistem yang nonrelativistik. Teo- ri kalkulus stokastik yang digunakan mengacu pada kajian Nelson dengan variabel stokastik yang teradaptasi menurut aljabar-σ yang dibangunnya.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini yaitu untuk memahami dan menjelaskan persamaan dife- rensial stokastik melalui prinsip aksi terkecil. Persamaan diferensial stokastik tersebut kemudian diterapkan pada contoh kasus konkret, yaitu pada sistem gerak N -partikel dan sistem gerak osilator harmonis sederhana. Selain itu, penelitian ini menjelas- kan persamaan Fokker Planck untuk menghitung perubahan distribusi bagi densitas peluang. Persamaan Fokker Planck ini juga diterapkan pada contoh kasus konkret tersebut.
1.5 Manfaat Penelitian
Konsekuensi teoritis bagi penelitian ini yaitu menghasilkan perumusan dengan kerangka metode variasi yang lebih umum, sehingga mampu menggambarkan dina- mika dalam sistem mekanika klasik dan mekanika kuantum. Selain itu, diharapkan penelitian ini dapat menambah pengetahuan tentang hukum dinamika yang dipandang berdasarkan konsep proses stokastik dan menerapkan kembali ilmu peluang secara ak- siomatik dalam ranah ilmu fisika.
1.6 Tinjauan Pustaka
Dalam tinjauan pustaka ini, penulis menelusuri beberapa penelitian terdahulu yang dianggap terkait dan relevan, terutama mengenai gerak Brown dan teori persa- maan diferensial stokastik, serta terapannya dalam ilmu fisika. Di antaranya, peneli-
tian yang d ilakukan oleh Kunio Yasue (1981) berjudul "Stochastic Calculus of Varia- tions". Penelitian ini mencoba menunjukkan bahwa hukum dinamika dalam mekanika kuantum dapat juga digambarkan melalui prinsip aksi terkecil dengan kalkukus variasi stokastik. Teori kalkulus variasi stokastik ini dikembangkan bagi teori variasi kalkulus untuk proses stokastik, dengan beberapa asumsi dan teorema dasar. Yasue menghasil- kan persamaan Euler-Lagrange stokastik dan persamaan Noether terkait sifat simetri dalam mekanika stokastik serta penerapannya dalam pengkuantuman. [Yasue, 1981].
Penelitian terdahulu yang lain, yang menyinggung tentang konsep kalkulus variasi stokastik, ditulis oleh J.C.Zambrini dan Kunio Yasue pada tahun 1982, dengan judul "Semi-classical Quantum Mechanics and Stochastic Calculus of Variations".
Penelitian ini menguji sebagian besar gagasan tentang kalkulus variasi kedua dalam mekanika stokastik Edward Nelson. Mereka menunjukkan bahwa ada dua pendekatan yang digunakan dalam mekanika kalkulus variasi, untuk mengetahui bahwa lintasan itu tidak hanya ekstrimum tetapi juga minimum bagi suatu aksi yakni, pendekatan lokal (minimum lemah) dan pendekatan umum (minimum kuat). Mereka juga dapat membuktikan bahwa secara lokal, penyelesaian persamaan gerak secara klasik yang benar-benar minimum, sama dengan lintasan dalam mekanika kuantum semi-klasik.
[Zambrini dan Yasue, 1982]
Lalu, pada tahun 1984, J.C.Zambrini melakukan penelitian tentang "Mauper- tuis’ principle of least action in stochastic calculus of variations". Penelitian ini menggunakan kerangka variasi kalkulus stokastik untuk semimartingale yang simetri- waktu X(t, ). Zambrini mempertimbangkan dua hal dalam kalkulus variasi stokastik dengan prinsip aksi terkecil Maupertuis, yaitu bentuk Lagrangian dan Hamiltonian.
Kerangka yang digunakan adalah semimartingale yang simetri-waktu, hal ini meng- gambarkan posisi bagi partikel. Sementara kalkulus variasi stokastik dengan prinsip aksi terkecil menggambarkan dinamika gerak pertikel tersebut [Zambrini, 1984].
Setahun kemudian, J.C. Zambrini (1985) melakukan penelitian lagi dengan mereview kalkulus variasi stokastik yang dibuat oleh Yasue, berjudul "Stochastic dynamics: A review of stochastic calculus of variations". Dalam penelitiannya terse- but, Zambrini menjelaskan bahwa gambaran kalkulus variasi untuk proses stokastik yang Markovian, diperoleh dengan cara mengkonstruksi persamaan variasi dinamika klasik berdasarkan kerangka analisis mekanika stokastik Nelson, sebagai sebuah pen- dekatan yang masih bisa dipertimbangkan untuk mekanika kuantum dalam konsep lintasan suatu partikel. Oleh karena itu, menurut Zambrini, hal ini masih bisa di- kembangkan lagi dengan menggunakan pendekatan semi-klasik yang diformulasikan
dalam bentuk variasi kedua bagi fungsional awal. Selain itu, Zambrini juga mencoba menggunakan kalkulus variasi stokastik dalam konteks sistem mekanika statistik yang tidak setimbang, sebagai solusi untuk memecahkan permasalahan Onsager-Machlup [Zambrini, 1985].
Pada tahun 1988, Tetsuya Misawa merumuskan teorema Noether untuk simetri kalkulus variasi stokastik dengan menggunakan hukum dinamika stokastik kanonik.
Hal ini, ditulis dalam karya ilmiahnya yang berjudul "Noether's theorem in symmetric stochastic calculus of variations". Hukum dinamika stokastik kanonik merupakan perluasan bagi hukum dinamika stokastik Nelson yang digagas oleh Yasue pada ta- hun 1981. Dalam penelitiannya, Misawa berhasil membuktikan bahwa momentum, momentum sudut dan energi adalah kekal [Misawa, 1988].
Kemudian, Jacky Cresson dan Sébastien Darses melakukan kajian dan me- nuliskan dalam bentuk buku yang berjudul "Stochastic embedding of dynamical sys- tems", pada tahun 2006. Dalam bukunya, mereka mereview turunan stokastik dengan kalkulus stokastik yang dikembangkan oleh Nelson, yang dikenal dengan turunan Nel- son. Kemudian dengan menggunakan turunan tersebut, mereka memperluas turunan biasa untuk proses stokastik yang disebut turunan stokastik. Mereka mengkonstruksi turunan proses stokastik riil sebagai selesaian yang unik untuk permasalahan aljabar.
Konstruksi ini bersandar pada kalkulus stokastik Nelson dan sebagai syarat perlu un- tuk sistem yang bernilai kompleks.
Lantas, Cresson dan Darses mengembangkan sebuah teori dengan melekatkan stokastik pada persamaan diferensial biasa dan membuat perumusan Euler-Lagrange stokastik dan perumusan Hamilton stokastik. Untuk kasus Hamiltonian, proses sto- kastik didefinisikan sama dengan variabel momentum klasik. Akan tetapi prosedur pelekatannya tidak bisa menggunakan prosedur stokastik klasik, mengingat variabel momentum ini akan bernilai kompleks. Jadi sedikit dimodifikasi dengan membangun lemma hubungan Legendre. Selain itu, mereka juga mendiskusikan kemungkinan perkembangan secara matematik, seperti geometri simplektik untuk proses stokastik [Cresson dan Darses, 2006].
Sementara salah satu penelitian terdahulu yang menunjukkan perkembangan bagi metode variasi stokastik dalam ilmu fisika adalah penelitian yang dilakukan oleh Tomoi Koide dan Takeshi Kodama dengan judul ,"Stochastic Variational Methode as a Quantization schema I: Field Quantization of Complex Klein-Gordan Equation", pada tahun 2014. Penelitian ini menguji kemampuan metode variasi stokastik sebagai skema alternatif untuk persamaan Klein-Gordon yang kompleks. Dalam skema ini,
persamaan Euler-Lagrange untuk medan stokastik mengarah ke fungsional persamaan Schrödinger, yang dalam perubahannya dapat diinterpretasi sebagai persamaan fluida ideal dalam ruang fungsional [Koide dan Kodama, 2014]
Pada tahun yang sama, Tomoi Koide, dkk. juga mengusulkan karya ilmiah un- tuk skema kuantisasi kedua dengan judul "Stochastic Variational Methode as a Qu- antization schema II : Quantization of Electromagnetic Field". Penelitian ini men- jelaskan tentang kuantisasi medan elektromagnetik dalam kerangka metode variasi stokastik. Pertama mengenalkan notasi baru untuk mendiskritkan skema densitas Lag- range bagi medan elektromagnetik. Lalu menerapkan variasi stokastik dalam densitas Lagrange yang invarian gauge. Terakhir, mereka menerapkan densitas Lagrange da- lam bentuk Fermi dengan konsep proses stokastik secara umum, untuk menghasilkan kembali metrik tak tentu [Koide, dkk., 2014].
Tomoi Koide, dkk., masih melanjutkan penelitian terkait metode variasi sto- kastik pada tahun 2015, dengan judul "Unified Description of Classical and Quantum Behaviours in a Variational Principle". Penelitian ini menerapkan metode variasi sto- kastik untuk sistem partikel baik secara klasik dan kuantum. Menurut Tomoi Koide, dkk., kerangka metode variasi stokastik ini berdasarkan pada kerangka yang khusus, dengan kalkulus stokastik yang belum familiar bagi fisikawan.
Dalam kesimpulannya, Koide, dkk., menyatakan apabila metode variasi sto- kastik tersebut diterapkan bagi persamaan fungsional aksi untuk proses stokastik de- ngan asumsi persamaan diferensial stokastik maju dan mundur, maka hasil yang dipe- roleh adalah persamaan Schrödinger. Akan tetapi, hasil tersebut, juga akan mengarah pada persamaan gerak Newton dalam kondisi tertentu, yaitu apabila menggunakan limit bagi kecepatan yang mendekati nol. Koide, dkk., juga menegaskan bahwa ma- sih banyak permasalahan dan penerapan meode variasi stokastik, dengan memberikan daftar permasalahan yang perlu dikaji, di antaranya: Kuantisasi Fermions, transfor- masi kanonik, perluasan untuk sistem koordinat kurva umum, formula variasi bagi fluida dissipasi relativistik, topologi dan anomali [Koide, dkk.,2015].
Terlihat jelas, berdasarkan beberapa penelitian terdahulu di atas, dapat ditarik benang merah yang tegas: kalkulus variasi stokastik merupakan perluasan bagi kal- kulus variasi biasa, dan penerapan teori ini dalam sistem mekanik dapat digambarkan baik secara klasik maupun kuantum.
1.7 Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan kajian teoretis. Metode yang digunakan adalah studi literatur dalam telaah teoretis-matematis dan tentu saja dengan tinjauan literatur me- ngenai konsep fisika maupun matematik yang telah dikembangkan sebelumnya. Ada dua tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu: pertama, tahap persiapan.
Ada beberapa hal yang harus dilakukan dalam tahap persiapan ini yaitu mempelajari literatur dari berbagai buku dan karya ilmiah yang berkaitan dengan proses stokastik, teori ukuran dan ukuran peluang, kalkulus variasi dan prinsip aksi terkecil, mekanika stokastik dan kalkulus variasi stokastik. Kedua, tahap pelaksanaan. Pada tahap ini, yang dilakukan antara lain: memahami dan menyusun fungsional aksi untuk proses stokastik. Dari fungsional aksi tersebut diperoleh lintasan minimum bagi proses sto- kastik yang memenuhi persamaan Euler-Lagrange stokastik. Kemudian, menerapkan perumusan persamaan Euler-Lagrange stokastik pada contoh kasus konkret. Penye- lesaian bagi contoh kasus ini akan menghasilkan persamaan lintasan yang dikenal sebagai persamaan diferensial stokastik. Kemudian menghitung perubahan distribusi bagi densitas peluang dengan menggunakan persamaan Fokker Planck. Persamaan ini juga diterapkan pada contoh kasus konkret tersebut.
Gambar 1.1: Bagan Alur Penelitian.
1.8 Sistematika Penulisan
Penyusunan penelitian ini diuraikan dalam beberapa bab dan sub-bab yang tersusun sebagai berikut :
1. Bab I Pendahuluan. Bab ini terdiri dari latar belakang masalah, rumusan ma- salah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka dan metode yang digunakan dalam penelitian ini, serta sistematika penulisan.
2. Bab II Landasan Teoretik. Bab ini terdiri dari beberapa bagian mengenai konsep
dasar proses stokastik yang berkaitan dengan tujuan penelitian, secara singkat dari teori ukuran peluang hingga persamaan diferensial stokastik dan persamaan Fokker Planck.
3. Bab III Pembahasan. Bab ini menyajikan jawaban bagi rumusan masalah pene- litian yaitu memahami dan menjelaskan persamaan diferensial stokastik melalui prinsip aksi terkecil beserta contoh konkret. Kemudian menghitung peruba- han distribusi bagi densitas peluang dengan menggunakan persamaan Fokker Planck.
4. Bab IV Kesimpulan. Bab ini berisi simpulan yang diperoleh dari hasil kajian yang telah dilakukan dan saran penelitian selanjutnya yang mungkin untuk di- lakukan pada masa mendatang.
1.9 Kebaruan Penelitian
Perlu ditegaskan bahwa penelitian ini tidak menghasilkan sesuatu yang sepe- nuhnya baru. Penelitian ini hanya merupakan kajian ulang yang mencoba memahami dan menjelaskan tentang persamaan diferensial stokastik melalui prinsip aksi terke- cil, yang disertai dengan contoh kasus konkret, serta menghitung perubahan distribusi bagi densitas peluang dengan menggunakan persamaan Fokker Planck. Hal ini dila- kukan sebab mempelajari dan memahami konsep atau teori terkait proses stokastik bukanlah hal yang mudah dan belum banyak diketahui oleh mahasiswa fisika, teruta- ma di Indonesia.
