1 BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah
Analisis regresi merupakan metode analisis data yang menggambarkan hubungan antara variabel respon dengan satu atau beberapa variabel prediktor. Misalkan X adalah variabel prediktor dan Y adalah variabel respon untuk n pengamatan berpasangan { , }, maka hubungan linear antara variabel prediktor dan variabel respon tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
�= � � + �� , i=1, 2, 3 ,…,n ,
dengan �� adalah sisaan yang diasumsikan independen dengan mean nol dan variansi ��, serta m( �) adalah fungsi regresi atau kurva regresi. Menurut Hardle (1990:4) mengungkapkan bahwa untuk mengestimasi m( �) ada dua pendekatan yang dapat digunakan dalam menentukan kurva regresi yaitu pendekatan regresi parametrik dan pendekatan regresi nonparametrik.
2
nonparametrik merupakan pendekatan regresi yang sesuai untuk pola data yang tidak diketahui bentuknya, atau tidak terdapat informasi masa lalu tentang pola data, I Nyoman Budiantara (2010:1).
Dalam jurnal Siana Halim dan Indriati Bisono (2006:74) yang berjudul Fungsi-Fungsi Kernel pada Metode Regresi Nonparametrik dan Aplikasinya pada Priest River Experimental Forest’s Data memberikan kesimpulan jika asumsi
terhadap sebuah model parametrik dibenarkan, maka fungsi regresi dapat diestimasi dengan cara yang lebih efisien jika dibandingkan dengan menggunakan sebuah metode nonparametrik. Tetapi jika asumsi terhadap model parametrik salah, maka hasilnya akan memberikan kesimpulan yang salah terhadap fungsi regresi. Menurut I Komang Gede Sukarsa (2012:21) dalam jurnalnya yang berjudul regresi kernel dalam model regresi nonparametrik mengungkapkan bahwa regresi kernel adalah teknik statistik nonparametrik untuk mengestimasi nilai � | = � atau = � dalam suatu variabel. Tujuan regresi kernel yaitu untuk memperoleh hubungan nonlinear antara X dengan Y.
Pada regresi nonparametrik data akan mencari bentuk estimasinya sendiri tanpa di pengaruhi oleh subjektifitas dari peneliti, sehingga pendekatan regresi nonparametrik memiliki fleksibilitas yang tinggi, Eubank (1988:3). I Nyoman Budiantara (2010:1) mengungkapkan bahwa terdapat beberapa teknik untuk mengestimasi kurva regresi dalam regresi nonparametrik, yaitu kernel, histogram,
spline, Deret Fourier, Wavelets, orthogonal. Salah satu pendekatan regresi
3
Regresi kernel merupakan salah satu analisis nonparametrik dengan metode
smoothing. Smoothing telah menjadi sinonim dengan metode–metode nonparametrik yang digunakan untuk mengestimasi fungsi-fungsi. Tujuan dari
smoothing adalah untuk membuang variabilitas dari data yang tidak memiliki efek
sehingga ciri-ciri dari data akan tampak jelas. Regresi kernel memiliki bentuk yang fleksibel dan perhitungan matematisnya mudah disesuaikan. Pada regresi kernel dikenal suatu estimator yang biasanya digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi yaitu estimator Nadaraya-Watson.
Estimasi dengan pendekatan kernel tergantung pada dua parameter yaitu
bandwidth dan fungsi kernel. Ada tujuh fungsi kernel antara lain Uniform, Triangle,
Epanechnicov, Quartic, Triweight, Gaussian, dan Cosinics. Diantara ke-tujuh
fungsi kernel tersebut pada penelitian ini dipilih fungsi kernel Gaussian. Sedangkan
bandwidth adalah parameter pemulus (smoothing) yang berfungsi untuk
mengontrol kemulusan kurva yang diestimasi. Bandwidth yang terlalu kecil akan menyebabkan fungsi yang diestimasi tersebut menjadi sangat kasar sehingga hubungan variansinya tinggi dan memiliki potensi bias yang rendah. Sebaliknya jika bandwidth yang terlalu besar menyebabkan fungsi yang diestimasi tersebut menjadi sangat mulus sehingga hubungan variansinya rendah dan memiliki potensi bias yang besar. Oleh karena itu, diperlukan pemilihan bandwidth optimal.
Pemilihan bandwidth yang optimal dilakukan dengan cara memperkecil tingkat kesalahan. Semakin kecil tingkat kesalahan semakin baik estimasinya. Untuk mengetahui ukuran tingkat kesalahan suatu estimator dapat dilihat dari Mean
1-4
22) yaitu Bandwidth Rule of Thumb, Unbiased Cross Validation, Biased Cross
Validation, Complete Cross Validation. Dari ke-empat bandwidth tersebut akan
dipilih bandwidth yang memiliki nilai MSE yang paling kecil.
Pada regresi nonparametrik kernel Gaussian dengan estimator Nadaraya-Watson dalam data time series dapat mengggunakan data harga saham Jakarta
Islamic Index (JII). Saham adalah tanda bukti penyertaan atau kepemilikan
seseorang atau sesuatu institusi dalam suatu badan usaha atau perusahaan dengan menerbitkan saham, memungkinkan perusahaan-perusahaan yang membutuhkan pendanaan jangka panjang untuk menjual kepentingan dalam bisnis saham dengan imbalan uang tunai. Indikator atau cerminan harga saham disebut indeks harga saham.
Indeks harga saham merupakan salah satu pedoman bagi investor untuk melakukan investasi di pasar modal, khususnya saham. Saham merupakan salah satu komoditas yang diperdagangkan dipasar modal yang paling popular. Investasi saham oleh investor diharapkan memberikan keuntungan yang sudah barang pasti dalam saham juga mengandung risiko. Pengertian saham adalah surat berharga yang dapat dibeli atau dijual oleh perorangan atau lembaga di pasar tempat surat tersebut diperjual-belikan. Saham merupakan instrumen ekuitas, yaitu tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan usaha dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas. Jadi, saham merupakan surat berharga sebagai bukti penyertaan atau kepemilikan individu maupun institusi dalam suatu perusahaan.
5
Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS). Berkembangnya pasar modal yang telah mengembangkan pengertian mengenai pasar modal berbasis syariah. Pasar modal syari’ah merupakan pasar modal berbasis syariah. Pasar modal syari’ah merupakan
pasar modal yang menerapkan prinsip-prinsip syari’ah dalam transaksi ekonomi. Pasar modal syari’ah menggunakan prinsip, prosedur, asumsi dan aplikasi bersumber dari epistemologi islam. Di dunia interasional indeks saham syari’ah
telah berkembang di Negara bagian Timur Tengah maupun Barat. Seiring dengan perkembangan ekonomi Islam secara global, indeks syariah merupakan alternatif investasi yang aman khususnya bagi kaum muslim yang ingin berinvestasi secara syari’ah. Indonesia yang sebagian besar penduduknya muslim, memunculkan
instrumen pasar modal yang menggunakan prinsip syari’ah, salah satunya dengan adanya Jakarta Isamic Index (JII) yang dikhususkan untuk perusahaan-perusahaan dengan prinsip syari’ah.
Salah satu indeks saham yang menunjukkan pergerakan harga saham yaitu
Jakarta Islamic Index (JII). Jakarta Islamic Index (JII) merupakan suatu rangkaian
informasi historis mengenai pergerakan harga saham JII yang mencerminkan suatu nilai yang berfungsi sebagai pengukur kinerja suatu saham. Saham JII sebagai acuan investasi yang berbasis syari’ah guna melihat pergerakan harga saham syari’ah, sehingga untuk mengetahui kemungkinan kenaikan atau penurunan harga
saham diperlukan suatu metode analisis.
6
pemilihan bandwidth adalah bandwidth “Rule of Thumb”, Unbiased Cross
Validation, Biased Cross Validation dan Complete Cross Validation.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat dirumuskan masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana analisis estimator Nadaraya-Watson dengan tipe kernel Gaussian? 2. Bagaimana pemilihan bandwidth pada Rule of Thumb, Unbiased Cross
Validation, Biased Cross Validation dan Complete Cross Validation?
3. Bagaimana hasil estimasi setelah dilakukan pemilihan bandwidth? C. Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Menjelaskan analisis estimator Nadaraya-Watsom dengan tipe kernel Gaussian 2. Menjelaskan pemilihan bandwidth pada Rule of Thumb, Unbiased Cross
Validation, Biased Cross Validation dan Complete Cross Validation
3. Menentukan hasil estimasi setelah dilakukan pemilihan bandwidth. D. Manfaat penelitian
Penulisan skripsi ini diharapkan dapat memberikan manfaat diantaranya:
1. Bagi mahasiswa dapat memberikan gambaran dan ilmu tentang penggunaan Estimator Nadaraya-Watson dengan tipe kernel Gaussian.
6 BAB II KAJIAN TEORI A. Integral Tak Tentu
Definisi 2.1 Integral Tak Wajar Tipe 1 (Purcell dan Varberg, 2010: 37) Jika kontinu pada selang [−∞, ∞], dan hanya jika lim
→ | | = ∞, maka
∫−∞∞ dapat dikatakan konvergen dan bernilai
∫−∞∞ = ∫−∞ + ∫∞
∫−∞∞ = lim→−∞∫− + lim→+∞∫ (2.1)
Contoh 2.1
Tentukan apakah integral berikut konvergen atau divergen,jika konvergen tetntukan nilainya ∫−∞∞ − !
Dapat disimpulkan bahwa integral konvergen dan bernilai − ⁄ .
7
asalkan kedua integral di ruas kanan konvergen. Jika tidak demikian, maka dapat dikatakan ∫ divergen.
Contoh 2.2
8
∫ −
∞
−∞
=
Jadi integral tersebut konvergen dan nilainya adalah 0. B. Variabel Random
Definisi 2.3 (Bain dan Engelhardt, 1992:53)
Variabel random adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel � yang menghubungkan setiap hasil yang mungkin di � dengan suatu bilangan riil, yaitu = .
Definisi 2.4 (Bain dan Engelhardt, 1992:56)
Jika himpunan hasil yang mungkin dari variabel random merupakan himpunan terhitung, { , ,… , �} atau { , ,…} maka disebut variabel random diskrit. Fungsi = [ = ]; = , , … , � yang menentukan peluang untuk masing–masing nilai yang mungkin disebut dengan fungsi densitas peluang diskrit.
Contoh 2.3
Misalkan < < < ... barisan bilangan real dan ��, = , , , … barisan bilangan real nonnegatif sedemikian hingga ∑∞�= �� = . Dapat dinyatakan
= {∑ �� �
�=
� < �+ , = , , , …
9
Dengan demikian, merupakan fungsi distribusi kumulatif tangga. Fungsi tersebut mempunyai lompatan dengan ukuran �� pada setiap � dan mendatar diantara � dan �+ , = , , , … .Fungsi distribusi kumulatif sedemikian disebut fungsi distribusi kumulatif diskrit dan variabel random yang bersesuaian merupakan variabel random diskret.
Sebaliknya, misalkan ada fungsi distribusi kumulatif dalam fungsi F(x). Misalkan � = { , , , … }, = �, dan dapa dinyatakan
= ∑ ��, ∈ �: ���
dan � = �, maka P adalah ukuran probabilitas dan fungsi distribusi kumulatif adalah F(x).
Definisi 2.5 (Bain dan Engelhardt, 1992:57)
Suatu fungsi dapat dikatakan sebagai distribusi peluang dari variabel random diskrit jika dan hanya jika memenuhi kedua persamaan berikut untuk semua nilai x:
� untuk semua � (2.3)
∑��= � = (2.4)
Bukti:
10 Sehingga,
∑� � =
�= ∑��= [ = �]= (2.5)
Akibatnya, setiap fungsi densitas harus memenuhi sifat (2.3) dan (2.4) dan setiap fungsi yang memenuhi sifat (2.3) dan (2.4) akan menetapkan definisi peluang.
Contoh 2.4
Misalkan � = , = , , , … akan menentukan agar � merupakan
fungsi massa probabilitas. Dengan sendirinya > untuk c positif. Supaya � merupakan fungsi massa probabilitas, ∑∞= � = ∑∞= = .
Karena ∑ =
− ∞
= = , yang berati ∑∞= = − = , maka
∑∞ = . =
= atau = .
Definisi 2.6 (Bain dan Engelhardt, 1992:58)
Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random yang didefinisikan untuk
bilangan riil adalah sebagai berikut :
= (2.6)
Contoh 2.5
11 Definisi 2.7 (Bain dan Engelhardt, 1992:61)
Jika variabel random diskrit dengan fungsi densitas peluang dari ( ), maka nilai ekspektasi dari didefinisikan sebagai berikut :
= ∑ (2.7)
Definisi 2.8 (Bain dan Engelhardt, 1992:67)
Jika variabel random kontinu dengan fungsi densitas peluang dari ( ), maka nilai ekspektasi dari didefinisikan sebagai berikut :
= ∫−∞∞ (2.8)
dapat ditulis dengan � atau � .
Contoh 2.6
Misalkan X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas = { yang lain− < <
dengan demikian,
= ∫ = ∫ − =
∞
−∞
Definisi 2.9 (Wand dan Jones, 1995:14)
Jika X suatu variabel random kontinu dengan pdf , maka
[ ̂ ] = [ ̂ − [ ̂ ]] (2.9)
Definisi 2.10 (Wand dan Jones, 1995:15)
Jika X suatu variabel random maka bias dari estimator fungsi kepadatan dari adalah
12
C. Ekspektasi dan Variansi Variabel Random Definisi 2.11 (Bain dan Engelhardt, 1992:72)
Jika X adalah variabel random dengan fungsi densitas peluang , maka nilai
ekspektasi dari X didefinisikan sebagai berikut:
=
{
∑ , jika diskrit
∫ , jika kontinu
∞
−∞
Jika X variabel random dengan fungsi densitas dan adalah fungsi riil
dengan domain elemen dari X, maka:
[ ] =
{
∑ , jika diskrit
∫ , jika kontinu
∞
−∞
Jika X variabel random dengan fungsi densitas , dan suatu konstanta, dan
dan ℎ fungsi real dengan domain elemen dari X, maka
[ + ℎ ] = [ ] + [ℎ ] (2.11)
+ = + (2.12)
Sifat-sifat ekspektasi adalah sebagai berikut:
1. + = +
13
3. + = + , dengan a dan b adalah konstanta
4. = , jika X dan Y independen.
Contoh 2.7
Misalkan X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas = { yang lain− < <
dengan demikian,
= ∫ = ∫ − =
∞
−∞
= ∫ = ∫ − =
∞
−∞
Dengan menggunakan definisi 2.11 maka,
+ = ( ) + ( ) =
Teorema 2.1 (Bain dan Engelhardt, 1992:74) Jika adalah variabel random, maka :
� = [ − � ] (2.13)
Bukti
� = − � + �
� = − � + �
� = − � + �
� = − �
14
Jika adalah variabel random dan adalah konstanta, maka :
� + = � (2.14)
Bukti
� + = [ + − � + ]
� + = [ + − � − ]
� + = [ − � ]
� + = [ − � ]
� + = �
D. Distribusi Peluang Bersama
Definisi 2.12 (Walpole dan Raymond, 1995:105)
Distribusi peluang bersama merupakan suatu tabel atau rumus yang mendaftarkan semua kemungkinan nilai x dan y bagi variabel random diskrit X dan Y berikut peluang padanannya , .
Bila X dan Y adalah dua variabel random diskrit, distribusi peluang bersamanya dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi , untuk sembarang pasangan nilai
, yang dapat diambil oleh variabel random X dan Y. Jadi, dalam kasus variabel
random diskrit,
, = = , = (2.15)
15 Contoh 2.8
Empat mata uang seimbang dilemparkan secara independen. Probabilitas mendapatkan dua muka dan dua belakang adalah
= = ( ) ( ) = 8
E. Distribusi Bersyarat
Definisi 2.13 (Walpole dan Raymond, 1995:113 )
Distribusi bersyarat untuk variabel random diskrit Y, untuk = , diberikan rumus
sebagai berikut:
| =� ,� , > (2.16)
Begitu pula distribusi bersyarat untuk variabel random diskrit X, untuk Y=y, diberikan rumus sebagai berikut:
| =� ,� , > (2.17)
Contoh 2.9
Misalkan bahwa X bagian dari pelari pria dan Y bagian dari pelari wanita yang menyelesaikan lomba-lomba maraton dapat dinyatakan sebagai fungsi padat gabungan
, = { 8 , untuk nilai , lainnya
16 = ∫ , = ∫ 8
∞
−∞
= ] == = , < <
lalu,
| = , = 8
= , < <
F. Mean Square Error (MSE)
Kesalahan kuadrat rerata atau mean square error (MSE) adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara estimator dengan parameter populasi.
Teorema 2.3 (Haeruddin, 1997:14)
Diketahui � merupakan suatu parameter dan �̂ merupakan taksiran dari parameter �, maka MSE dari suatu taksian parameter � didefinisikan sebagai berikut:
�� [�̂] = [(�̂ − �) ]
�� [�̂] = � [�̂] + [ � [�̂]] (2.18)
Bukti
terdapat � [�̂] = [�̂ − [�̂]]
17 dengan memisalkan [�̂] = sehingga
�� [�̂] = [(�̂ − �) ]
�� [�̂] = [(�̂ − [�̂] + [�̂] − �) ]
�� [�̂] = [(�̂ − + − �) ]
�� [�̂] = [(�̂ − ) + (�̂ − ) − � + − � ]
�� [�̂] = [(�̂ − ) ] + [(�̂ − ) − � ]+ − �
�� [�̂] = [(�̂ − ) ] + − � + [(�̂ − ) − � ]
�� [�̂] = [(�̂ − ) ] + − � +
�� [�̂] = � [�̂] + [ � [�̂]]
Jadi �� [�̂] sama dengan varians ditambah bias kuadrat. Jika �̂ adalah penduga yang tak bias maka �� [�̂] merupakan variannya. Dengan kata lain, MSE adalah jumlah dari dua kuantitas, yaitu varians dan bias kuadrat.
G. Uji Normalitas
18
dapat diketahui dengan melihat penyebaran data (titik) pada sumbu diagonal dari grafik dependennya seperti gambar 2.1
Gambar 2. 1 Grafik Residual Normal Data normal dan tidak normal dapat diuraikan sebagai berikut:
1. Jika data menyebar di sekitar garis diagonal dan mengikuti arah garis diagonal atau grafik histogramnya, menunjukan pola berdistribusi normal, maka model regresi memenuhi asumsi normalitas.
19
Uji normalitas dengan grafik dapat menyesatkan apabila tidak hati-hati, secara visual kelihatan normal, namun secara statistik bisa sebaliknya. Oleh sebab itu dianjurkan selain menggunakan uji grafik dilengkapi dengan uji statistik. Uji statistik sederhana yang sering digunakan untuk menguji asumsi normalitas adalah dengan menggunakan uji normalitas dari Kolmogorov-Smirnov. Metode pengujian normal tidaknya distribusi data dilakukan dengan melihat nilai signifikan variabel (p-value). Jika residualnya tidak normal, maka dapat dilakukan beberapa langkah yaitu:
1. Data tidak berdistribusi normal 2. Melakukan transformasi data
3. Menggunakan alat analisis nonparametrik.
H. Uji Kolmogorov Smirnov
Prosedur ini diperkenalkan pada tahun 1933 oleh ahli matematik Rusia A.N. Kolmogorov. Menurut Imam Ghozali (2013:165) mengungkapkan bahwa metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal sebagai probabilitas kumulatif normal. Probabilitas tersebut dicari bedanya dengan probabilitas kumulatif empiris. Uji Kolmogorov-Smirnov dilakukan dengan membuat hipotesis dengan membuat hipotesis:
� ∶ Data berdistribusi normal
� ∶ Data tidak berdistribusi normal
20
= ( − � ) (2.19)
dengan F adalah distribusi kumulatif teoritis dari distribusi yang sedang diuji. Dari statistik uji tersebut didapatkan nilai kritisnya yaitu jika nilai D lebih besar dari nilai kritis yang diperoleh dari tabel. Seiring berkembangnya teknologi, kini pengujian normalitas bisa dilakukan dengan memanfaatkan software yang mengandung analisis pengujian normalitas. Penerapan pada uji Kolmogorov-Smirnov adalah jika signifikansi dibawah 0,05 maka uji tersebut menolak hipotesis nol yang menyatakan data tidak berdistribusi normal.
I. P-value
P-value adalah peluang terkecil sehingga nilai suatu uji statistik yang sedang
diamati masih mempunyai arti. P-value lebih banyak digunakan daripada kriteria uji lain seperti tabel distribusi dan selang kepercayaan. Hal ini disebabkan karena
p-value memberikan dua informasi sekaligus, disamping petunjuk apakah �
pantas ditolak, p-value juga memberikan informasi mengenai peluang terjadinya kejadian yang disebutkan di dalam � (dengan asumsi � dianggap benar).
P-value dapat juga diartikan sebagai besarnya peluang melakukan
21 J. Analisis Regresi Linear Sederhana
Analisis regresi adalah analisis statistik yang mempelajari bagaimana memodelkan sebuah model fungsional dari data menjelaskan ataupun meramalkan suatu fenomena alami atas dasar fenomena lain. Analisis regresi juga merupakan salah satu teknik statistika yang digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan terapan dalam bidang ekonomi maupun eksakta.
Analisis regresi merupakan alat statistika yang bermanfaat untuk mengetahui hubungan antara dua variabel atau lebih, sehingga salah satu variabel dapat diduga dua variabel lainnya. Model regresi dasar yang melibatkan satu variabel independen dan fungsi regresinya linear dapat ditulis sebagai berikut :
�= � + � �+ ��, � = , … , (2.20)
dengan,
� adalah nilai variabel respon pada pengamatan ke-i
� adalah variabel prediktor pada pengamatan ke-i
� dan � adalah parameter-parameter yang tidak diketahui
�� adalah error atau galat
K. Metode Kuadrat Terkecil
22
nilai ∑��= �� dengan � adalah galat atau error, Supramono (1993:210). Metode kuadrat terkecil dapat menduga parameter dari model regresi linear. Misalkan terdapat model regresi linear sederhana yaitu
� = � + � �+ ��
Persamaan diatas kemudian dibentuk menjadi persamaan sebagai berikut:
��= �−� − � �
jika �� adalah galat yang terkecil, maka kuadrat dan jumlah kuadratnya adalah yang paling kecil. Pada persamaan tersebut mempunyai parameter � dan � yang belum diketahui. Maka dengan metode kuadrat terkecil akan ditentukan penduga untuk parameter � dan � adalah dan , menentukan persamaan �� kemudian dikuadratkan, sehingga diperoleh:
∑��= �� = ∑��= �− − � =
Untuk menentukan penduga parameter dan yang menghasilkan nilai Q yang minimum maka diselesaikan sistem persamaan berikut:
∂Q
∂ = ∑ �− − � − =
�
�=
∂Q
∂ = − ∑ �− − � � =
�
�=
23
2. Pendugaan parameter
24
25
Tergantung dari jenis saham yang dimiliki oleh seorang investor. Ada beberapa sudut pandang untuk membedakan saham (Warsini, 2009:32):
1. Berdasarkan cara pengalihan/pemindahan tangan dibedakan:
a. Saham atas nama (registered stocks) yaitu dimana identitas pemiliknya tertera pada lembaran saham.
b. Saham atas unjuk (bearer stock), tanpa identitas pemilik, sehingga pemegang saham itulah pemilik saham.
2. Berdasarkan hak tagihan ada dua jenis saham:
a. Saham Biasa (common stocks)
Saham biasa merupakan jenis efek yang paling sering dipergunakan oleh emiten untuk memperoleh dana dari masyarakat dan merupakan jenis yang paling populer di pasar modal.
b. Saham Preferen (preferred stocks)
Pemegang saham preferen tidak mempunyai hak suara didalam RUPS tetapi mempunyai hak untuk didahulukan dalam hal pembagian deviden maupun klaim terhadap aktiva perusahaan.
M. Indeks Harga Saham
Definisi 2.14 Pengertian Indeks Harga Saham
26
penggunaan harga saham (Hadi, 2013:96). Corporate action merupakan salah satu tindakan yang dilakukan oleh perusahaan yang dapat merusak analisis apabila menggunakan harga saham dalam rupiah tanpa korekai terlebih dahulu. Dengan menggunakan indeks saham dalam dapat dihindari kesalahan analisis walaupun tanpa koreksi.
Setiap bursa efek akan menetapkan angka basis indeks yang berbeda, yaitu ada yang dimulai dengan basis 100, 500, atau 1000. Pada tanggal 10 agustus 1982 ditetapkan sebagai hari dasar (nilai indeks = 100). Sebelum transaksi pertama terjadi di bursa efek, saham tersebut diberi indeks harga sebagai angka dasar. Kemudian ketika jam perdagangan mulai berlangsung dari pagi pukul 10.00 dan berakhir pada sore pukul 16.00, sudah pastipuluhan kali harga terbentuk dalam transaksi pada hari tersebut. Dari sekian banyak harga yang terbentuk lalu dibagi menjadi tiga, yaitu harga terendah (low), harga tertinggi (high) dan harga penutup (close). Ketiga jenis harga tersebut tertera dalan Daftar Informasi Perdanganan Efek Harian (DIPEH) yang ditertibkan oleh bursa efek. Indeks harga saham dihitung berdasarkan harga pasar penutupan (closing price).
Definisi 2.15 Jakarta Islamic Index (JII)
27
dikembangkan sejak tanggal 3 juli 2000. Setiap periodenya, saham yang masuk JII berjumlah 30 (tiga puluh saham) yang memenuhi kriteria syari’ah dan akan diperbarui setiap tiga bulan sekali.
Penentuan kriteria dalam pemilihan saham dalam JII melibatkan Dewan Pengawas PT DIM, ada 4 syarat yang harus dipenuhi agar saham-saham tersebut dapat masuk JII:
1. Emiten tidak menjalankan usaha perjudian dan permainan yang tergolong judi atau perdagangan yang dilarang.
2. Bukan lembaga keuangan konvensional yang menerapkan sistem riba, termasuk perbankan dan asuransi konvensional.
3. Usaha yang dilakukan bukan memproduksi, mendistribusi, dan memperdagangkan makanan/minuman yang haram.
40 BAB III PEMBAHASAN
A. Estimasi Nonparametrik
Tujuan dasar dalam sebuah analisa regresi adalah untuk mempelajari bagaimana respon sebuah peubah Y terhadap perubahan yang terjadi pada peubah lain yaitu X. Hubungan antara X dan Y dapat ditulis sebagai berikut:
= + ; = , , , … , (3.1) Dimana adalah fungsi matematik yang disebut sebagai fungsi regresi dan adalah sisaan yang diasumsikan independen dengan mean nol. Pada aplikasi, terdapat sekumpulan data {( , ), . . , , } yang berisi informasi tentang fungsi . Dari data-data ini diduga ataupun diestimasi fungsi tersebut. Dalam beberapa penelitian, sering dijumpai permasalahan pada hubungan fungsional antara 2 variabel dan di mana bentuk –bentuk hubungan secara parametrik tidak dapat digunakan yang diakibatkan dari sedikitnya pengetahuan yang diperoleh tentang fungsi ini, maka estimasi terhadap fungsi ini dapat didekati secara nonparametrik. Agar pendekatan nonparametrik ini menghasilkan estimasi terhadap fungsi yang masuk akal, maka hal yang harus diperhatikan adalah asumsi bahwa memiliki derajat kemulusan. Biasanya kontinuitas dari
41
kemajuan fasilitas-fasilitas perhitungan dan metode-metode perhitungan untuk
mengembangkan hubungan fungsional antara Y dan X. Hal inilah yang mungkin
menjadi pertimbangan untuk menggunakan metode dan teknik nonparametrik.
Kelebihan statistika nonparametrik dibanding dengan statistika parametrik
adalah :
1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan
2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah
3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami
4. Dapat diterapkan pada skala kualitatif (nominal dan ordinal).
Estimator-estimator nonparametrik yang banyak digunakan adalah
estimator-estimator smoothing, dimana error dari observasi direduksi dari rata-rata data
dengan bermacam cara.
B. Estimator Densitas Kernel
Estimator densitas kernel merupakan pengembangan dari estimator
histogram. Estimator densitas kernel adalah suatu metode pendekatan terhadap
fungsi densitas yang belum diketahui dengan menggunakan fungsi kernel.
Estimator diperkenalkan oleh Rosenblatt (1956), Parzen (1962) sehingga disebut
estimator densitas kernel Rosenblatt-Parzen (Hardle, 1994). Penghalusan dengan
pendekatan kernel selanjutnya dikenal sebagai penghalusan kernel (kernel
smoother) sangat tergantung pada fungsi kernel dan bandwidth.
Definisi (Hardle, 1994:32)
Didefinisikan X adalah variabel random dengan distribusi kontinu F(x) dan
42
dengan x adalah sebuah angka spesifik yang nilainya tetap.
Persamaan (3.2) dapat disederhanakan dengan �ℎ =
ℎ ℎ , dengan memisalkan
= − sehingga dapat ditulis
̂ = ∑= �ℎ − (3.3)
dengan K adalah sebuah fungsi yang merupakan fungsi kontinu, berharga real,
terbatas dan memenuhi ∫� = , fungsi ini dinamakan fungsi kernel, dan h
adalah bilangan positif yang disebut dengan bandwidth. Jika K(u) adalah fungsi
densitas kernel, maka �ℎ juga.
Estimator kernel memenuhi asumsi-asumsi sebagai berikut: (Silverman, 1986)
(i) �ℎ ≥ , untuk semua x
Jika fungsi kernel merupakan fungsi densitas, maka estimator fungsi dengan
menggunakan fungsi kernel juga merupakan suatu fungsi densitas probabilitas.
Akan dibuktikan fungsi densitas kernel memang memenuhi ∫ ̂ = .
43
Jadi, ̂ merupakan suatu fungsi densitas.
Akan digunakan kembali subtitusi − = −
44
merupakan mean sampel dari .
Momen kedua dari dengan pdf merupakan densitas yang diestimasi, yaitu
∫ ̂ = ∑ ∫ ℎ � ℎ−
45
dengan �̂ adalah variansi sampel. Dengan demikian, estimasi densitas menaikkan
variansi sampel sebesar ℎ � � .
Menurut Sukarsa dan Srinadi (2012:20) menyatakan bahwa fungsi kernel
ada bermacam-macam, contohnya kernel Gaussian, kernel Uniform, kernel
Biweight. Tabel 3.1 menyajikan bermacam-macam fungsi kernel dan bentuknya,
sebagai berikut:
Tabel 3.1 Macam-macam Fungsi Kernel
Tipe Kernel ���� � �� ���
46 C. Estimasi Bias
Estimator densitas kernel ̂ merupakan estimator tak bias asimtotik dari suatu fungsi kepadatan . Menurut Haeruddin (1997:27) andaikan ̂ adalah estimator densitas kernel dari suatu fungsi kepadatan pada titik ∈ dan andaikan berdistribusi identik dengan fungsi kepadatan , maka
[ ̂ ] = [ ℎ∑�( ℎ )− =
]
[ ̂ ] = ℎ∑ [�( ℎ )]− =
[ ̂ ] = ℎ [�( ℎ )]−
[ ̂ ] = ℎ∫� −ℎ
misalkan = −
ℎ , maka = ℎ . Sehingga,
[ ̂ ] = ℎ∫� + ℎ ℎ
[ ̂ ] = ∫ � + ℎ
47 + ℎ = + ′ ℎ + ′′ ℎ
+ ! ′′′ ℎ + ⋯
+ ! ℎ + ℎ
ℎ adalah sisa dari order yang lebih rendah dari ℎ saat ℎ → .
Maka, ekspansi taylor order dua untuk + ℎ sebagai berikut:
+ ℎ = + ′ ℎ + ′′ ℎ + ℎ
Selanjutnya, dengan aturan ∫−∞∞ � = dan ∫−∞∞ � = � � , maka
[ ̂ ] = ∫ � [ + ′ ℎ + ′′ ℎ + ℎ ]
[ ̂ ] = ∫ � + ′ ℎ ∫ � + ′′ ℎ ∫ �
+ ℎ ∫ �
[ ̂ ] = + ′ ℎ + ′′ ℎ ∫ � + ℎ
[ ̂ ] = + ′′ ℎ � � + ℎ (3.4)
Akan dihitung bias, integrated squared bias, dan variansi dari ̂ sebagai berikut
(i) Bias dari ̂
̂ = ( ̂ ) −
48
̂ = ′′ ℎ � � + ℎ (3.5)
(ii) Integrated Squared Bias dari ̂
∫Bias ̂ =ℎ � � ∫ ′′ + ℎ
∫Bias ̂ =ℎ � � ′′ + ℎ (3.6) (iii) Variansi dari ̂
Selanjutnya akan dihitung variansi dari ̂ . Akan digunakan pendekatan Taylor order satu. Faktanya − lebih kecil dari ℎ − jika ℎ → dan → ∞.
( ̂ ) = (∑ �ℎ − =
)
( ̂ ) = ∑ �ℎ − =
( ̂ ) = �ℎ −
( ̂ ) = { [�ℎ − ] − [�ℎ − ] }
( ̂ ) = {ℎ ∫� −ℎ − + ℎ }
Substitusi = −
ℎ dan = ℎ , maka
( ̂ ) = ℎ ∫� + ℎ ℎ − + ℎ
49
( ̂ ) = ℎ � + ℎ − + ℎ
( ̂ ) = ℎ � + ℎ
( ̂ ) = ℎ − � + ℎ − , ℎ → ∞ (3.7) dengan � = ∫ �
D. Mean Square Error dan Mean Integrated Square Error
Menurut Suyono (1997:41) mengungkapkan bahwa suatu estimasi densitas kernel yang dibuat tergantung dari beda antara densitas yang sebenarnya dengan hasil estimasi ̂. Cara pengukuran beda antara densitas sebenarnya dengan hasil estimasi ̂ adalah dengan square error (SE) di suatu titik
(̂)={̂ − } (3.8)
Sehingga mean square error (MSE) dapat dirumuskan
� (̂)= [{̂ − } ]
� (̂)= {̂ − [̂ ]+ [̂ ]− }
� (̂)= [(̂ − [̂ ]) ]+ [{ [̂ ]− } ]
+ {(̂ − [̂ ])(̂ − )}
� (̂)= [(̂ − [̂ ]) ]+[{ [̂ ]−̂ } ]
50
Maka, berdasarkan persamaan (3.9) dapat dicari nilai MSE dari ̂ sebagai berikut:
� ̂ = ̂ + [ ̂ ]
� ̂ = ℎ � + ℎ − + [ ′′ ℎ ì � + ℎ ]
� ̂ = ℎ � +ℎ4( ′′ ì � ) + ℎ − + ℎ (3.10)
untuk ℎ → , ℎ → ∞
sedangkan pengukuran keseluruhan beda antara densitas yang sebenarnya dengan hasil estimasi ̂ disebut MISE yaitu mean integrated square error (Haeruddin,1997:17).
� ( ̂) = ∫ � ( ̂)
� ( ̂) = ∫ { ̂ − }
� ( ̂) = ∫ [( ̂ − [ ̂ ]) ] + ∫ [{ [ ̂ ] − } ]
� ( ̂) = ∫ ̂ + ∫ ̂ (3.11)
Maka,
� [ ̂ ] = ∫ � [ ̂ ] ∞
51
52
menemukan hubungan antara sepasang variabel acak X dan Y, untuk mendapatkan dan menggunakan bobot yang sesuai. Menurut Hardle (1994:26), dalam setiap regresi nonparametrik, harapan bersyarat dari variabel Y relatif terhadap variabel dapat ditulis | = ̂ atau | = =∫ � ,
� . Dimana adalah fungsi yang tidak diketahui untuk mendapatkan dan menggunakan bobot kernel yang sesuai.
Dalam regresi kernel terdapat berbagai estimator yang dapat digunakan untuk menduga bentuk ̂, diantaranya adalah estimator Nadaraya-Watson, estimator Polinomial Lokal, estimator Pristly-Chao dan estimator Gasser-Muller. Dalam bab ini akan dibahas mengenai estimator Nadaraya-Watson.
F. Estimator Nadaraya-Watson
Nadaraya dan Watson pada tahun 1964 mendefinisikan estimator regresi kernel sehingga disebut estimator Nadaraya-Watson (Wand dan Jones, 1995:130). Nilai dari fungsi sesuai dengan nilai prediktor yang ekuivalen dengan ekspektasi dari variabel target dibawah kondisi nilai dari prediktor tetap yaitu , maka
̂ = | =
̂ = ∫ |
∞
−∞
̂ =∫ ,
∞
53
Selanjutnya, Oryza (2013:22) menyatakan bahwa akan digunakan estimator densitas kernel sebagai metode yang sederhana untuk mengestimasi , dan konstan yang bernilai positif disebut dengan bandwidth. Telah disebutkan bahwa fungsi kernel memenuhi
∫ �−∞∞ = ∫ �−∞∞ = (3.16)
∫−∞∞ � = ∫−∞∞ � = (3.17)
∫−∞∞ � < ∞ (3.18)
∫−∞∞ � < ∞ (3.19)
54
untuk mencari perhitungan yang sederhana yaitu ̂ dapat menggunakan subtitusi dari persamaan (3.14) dan persamaan (3.15) ke dalam persamaan (3.13) sebagai berikut:
Selanjutnya, jika dimisalkan − = −
55
Substitusi dari persamaan (3.23) ke dalam persamaan (3.22), dan penyederhanaan dari � . menjadi � . dan dari ℎ menjadi ℎ menghasilkan:
dengan mensubtitusikan persamaan (3.24) terhadap model regresi pada persamaan (3.1), maka estimator Nadaraya-Watson dari model regresi (3.1) adalah
̂ =∑ � (
h : nilai bandwidth tertentu
: nilai amatan variabel prediktor ke-i
: nilai amatan variabel respon ke-i
56 ̂ : estimator Nadaraya-Watson dari x
G. Estimator Nadaraya-Watson dengan Tipe Kernel Gaussian
Pada persamaan (3.25) diketahui bahwa estimator Nadaraya-Watson membutuhkan fungsi kernel, � . Pada pembahasan ini hanya digunakan satu jenis fungsi bobot kernel, yaitu Kernel Gaussian. Alasan pemilihan kernel Gaussian, karena fungsi bobot kernel tersebut terdefinisi atau memiliki nilai pada semua bilangan riil. Jika menggunakan estimator Nadaraya-Watson dan Tipe kernel Gaussian, maka model penduga ̂ akan berbentuk sebagai berikut :
̂ =∑ � (
H. Pemilihan Bandwidth
57
yang besar. Tujuan estimasi kernel adalah memperoleh kurva yang mulus namun memiliki nilai MSE yang tidak terlalu besar, maka perlu dipilih nilai h optimal untuk mendapatkan grafik optimal.
Pemilihan bandwidth h merupakan masalah utama dari estimator densitas kernel. Pemilihan bandwidth yang optimum dilakukan dengan cara memperkecil tingkat kesalahan. Semakin kecil tingkat kesalahan maka semakin baik estimasinya. Untuk mengetahui ukuran tingkat kesalahan suatu estimator dapat dilihat dari MSE (Mean Square Error) atau MISE (Mean Integrated Square Error).
1. Bandwidth “Rule of Thumb”
Menurut Wand (1995), formula-formula untuk bandwidth yang optimal yaitu dengan meminimalkan Asymptotic Integrated Mean Square Error (AMISE) terhadap h. AMISE adalah persamaan yang dihasilkan dengan menghilangkan order tertinggi dari pendekatan formula Mean Integrated Square
Error (MISE) pada persamaaan (3.12). Maka, nilai AMISE adalah sebagai
berikut:
� ̂ ≈ ℎ � +ℎ � � ′′ (3.27)
Untuk menghasilkan nilai bandwidth optimal, maka = � ��ℎ
= � ( ℎ � +ℎ � �
′′ )
�ℎ
58 ℎ � = ℎ � �
′′
� = ℎ ℎ � � ′′
� = ℎ � � ′′
ℎ = �
� � ′′
ℎ = � � � ′′ ⁄
sehingga,
ℎ = � ⁄ − ⁄ � � − ⁄ ( ")− ⁄ (3.28)
persamaan diatas tidak dapat langsung digunakan karena terdapat parameter yang tidak diketahui yaitu ′′ . Nilai ′′ dapat dipermudah dengan menggunakan pendekatan kelompok distribusi standar. Sebagai contoh adalah distribusi normal dengan variansi � , jika � merupakan densitas normal standar, maka
� = √ ��
− �
Sehingga,
∫ ′′ =∫�′′
∫ ′′ = �− �− (3.29)
59
Jika menggunakan kernel Gaussian, maka bandwidth optimal dapat diperoleh dengan mensubtitusikan persamaan (3.29) ke dalam persamaan (3.28), sehingga dapat diperoleh
ℎ = − ( √�)− . − � − = . � −
pada persamaan (3.28) terdapat � � dan ∫� yang dapat disubtitusikan dengan nilai yang terangkum pada tabel (3.2)
Tabel 3.2 Nilai ∫ � � ��� dan ∫��� � �� fungsi kernel
Sumber : Multivariat Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization
(Scott,1987)
2. Unbiased Cross Validation (UCV)
Menurut Guidoum (2015:13), metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Rudemo (1982), kemudian dikembangkan oleh Scott (1987). Metode Unbiased
60
bertujuan untuk mengestimasi h dengan cara meminimalkan Integrated Square
Error (ISE), dengan fungsi berikut:
ℎ, = ∫ ̂ℎ� − − − �∑ ̂
Bandwidth yang meminimalkan fungsi ini adalah:
ℎ = ℎ,
3. Biased Cross Validation (BCV)
Menurut Guidoum (2015:11), metode ini dikembangkan oleh Scott, George, Jones dan Kappenman. Metode ini baik digunakan ketika jumlah sampel besar. Metode ini hampir sama dengan metode “Rule of Thumb”, didasarkan
61
mengganti �+ yang tidak diketahui nilainya dengan estimator sebagai berikut:
Maka didapatkan persamaan sebagai berikut,
ℎ, = �ℎ +� � � −− ℎ�+ �+ ∑ ∑ � �+ ∗ � �+ ( − ℎ ) =
≠
= (3.33)
4. Complete Cross Validation (CCV)
Menurut Guidoum (2015:13), metode ini dikembangkan oleh Jones dan Kappenman. Metode ini didasarkan pada estimasi turunan Integrated Square
Density Derivative. Berikut metode CCV yang meminimalkan h:
ℎ, = ( ̂ℎ�) − �̅� ℎ + � � ℎ �̅�+ ℎ + � � − � ℎ �̅�+ ℎ (3.34)
dengan,
h adalah nilai bandwidth
r adalah order derivative
62
Dalam studi kasus ini, data bersumber dari http://finance.yahoo.com. Data historis diambil dari data harga saham Jakarta Islamic Index. Data yang diperlukan dalam permodelan ini adalah data harga saham Jakarta Islamic Index. Data yang digunakan data historis harian dalam rentang waktu 1 januari 2016 sampai dengan 30 april 2016 dengan jumlah data 82. Selama rentang waktu tersebut, bahwa harga saham JII berada pada kisaran 581,78 – 683,12. Nilai JII terendah tersebut terjadi pada tanggal 21 januari 2016 dan nilai JII tertinggi pada tanggal 22 april 2016. Data terdiri dalam dua variabel yaitu variabel Jakarta Islamic Index dan variabel waktu (dalam harian).
J. Uji Linearitas dan Uji Normalitas
63
merepresentasikan data. Gambar (3.1) berikut menunjukkan pola hubungan antara harga saham JII dan waktu (dalam harian):
Gambar 3.1 Plot Harga Saham Jakarta Islamic Indeks (JII)
Plot tersebut menunjukkan bahwa variabel waktu dan variabel harga saham JII tidak berhubungan secara linear. Dari plot dapat diketahui bahwa pada waktu harian pertama, harga saham JII naik secara signifikan seiring dengan waktu demi waktu dengan kenaikan nilai harga saham. Dari output diperoleh nilai p-value sebesar 0,000 maka ditolak. Jadi, dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat hubungan linear antara waktu (harian) dan harga saham JII.
Selanjutnya perlu dilakukan uji inferensi normalitas agar diperoleh hasil yang pasti apakah asumsi kenormalan terpenuhi atau tidak. Akan dilakukan uji hipotesis asumsi normalitas terhadap data variabel respon (harga saham JII). Jumlah sampel yang dianalisis sebanyak 82 harga saham JII, maka uji normalitas dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. Dari statistik uji p-value, diperoleh nilai p-value adalah 0,001. Nilai ini lebih kecil dibandingkan dengan nilai
64
alpha sebesar 0,05. Oleh karena itu ditolak, jadi dapat disimpulkan bahwa data harga saham JII tidak berdistribusi normal.
K. Deskripsi Regresi Kernel
Setelah diketahui bahwa variabel respon tidak memenuhi asumsi linearitas, dan tidak berdistribusi normal, maka dapat digunakan solusi alternatif yaitu regresi nonparametrik dengan fungsi penduga kernel. Dalam kasus ini, fungsi kernel yang digunakan adalah kernel Gaussian. Estimator yang digunakan adalah estimator Nadaraya-Watson. Order derivatif yang digunakan adalah order nol.
L. Pemilihan Bandwidth Pada Data Harga Saham Jakarta Islamic Indeks Dalam suatu Regresi Kernel, hal yang paling penting terletak pada besarnya nilai parameter bandwidth-nya. Oleh sebab itu, dalam pembahasan berikut ini akan dihitung nilai parameter bandwidth untuk masing-masing metode. Metode yang digunakan dalam menentukan besanya nilai parameter bandwidth pada kasus ini adalah bandwidth “Rule of Thumb”, Unbiased (Least Square) Cross Validation,
Biased Cross Validation dan Complete Cross Validation. Fungsi kernel yang
digunakan untuk mencari bandwidth adalah fungsi kernel Gaussian.
Bandwidth untuk Data Harga Saham Jakarta Islamic Indeks sebagai berikut:
Dengan menggunakan bantuan software R 3.2.3 dan untuk hasil output pada lampiran 3 bagian 3, dihasilkan nilai parameter bandwidth untuk data harga saham JII dengan metode bandwidth “Rule of Thumb” sebesar 22,50611, metode
Unbiased (Least Square) Cross Validation sebesar 11,79575 , metode Biased Cross
Validation sebesar 15,23938 , sedangkan untuk perhitungan metode Complete
65
smoothing yang telah dihasilkan, maka dapat dirangkum dalam sebuah tabel berikut
ini :
Tabel 3.3 Nilai parameter Bandwidth untuk Data Harga Saham JII
Metode Bandwidth
Bandwidth “Rule of Thumb” 22,50611
Unbiassed Cross Validation 11,79575
Biassed Cross Validation 15,23938
Complete Cross Validation 4,770918
Besarnya nilai parameter bandwidth tersebut, selanjutnya digunakan pada metode kernel yang akan digunakan dengan cara mensubtitusikan nilai bandwidth tersebut pada estimator Nadaraya-Watson. Selanjutnya akan dicari model estimasi harga saham Jakarta Islamic Indeks menggunakan estimator Nadaraya Watson dengan tipe Kernel Gaussian dan parameter bandwidth yang telah dihasilkan pada tabel 3.3.
M. Estimator Nadaraya-Watson
Dalam pembahasan ini, akan dilakukan perhitungan nilai estimasi harga saham JII menggunakan software R 3.2.3. Setelah dilakukan running program, maka dihasilkan nilai estimasi yang tercantum pada lampiran 3 bagian 5.
Berikut perbandingan kurva antar metode pemilihan bandwidth (metode
Rule of Thumb, metode Unbiased (Least Square) Cross Validation, metode Biased
Cross Validation dan metode Complete Cross Validation) dengan menggunakan
66
Gambar 3.2 Kurva Hasil Estimasi Harga Saham Jakarta Islamic Indeks (JII) Keterangan: Rule of Thumb = Berwarna Biru
Unbiassed Cross Validation = Berwarna Merah
Biassed Cross Validation = Berwarna Hijau
Complete Cross Validation = Berwarna Kuning
Dari gambar 3.2 dapat dilihat bahwa kurva estimator Nadaraya-Watson dengan metode pemilihan bandwidth yaitu bandwidth “Rule of Thumb” menghasilkan kurva yang cukup mulus. Berbeda dengan metode-metode yang lain, yaitu metode Unbiased (Least Square) Cross Validation, Biased Cross Validation maupun Complete Cross Validation menunjukkan bahwa kurva regresi tidak cukup mulus. Akan tetapi, dengan bandwidth Complete Cross Validation yang paling mendekati hasil estimasi dengan titik data actual.
67 N. Perbandingan MSE
Pada pembahasan ini, akan dibahas perbandingan metode yang digunakan terhadap data harga saham Jakarta Islamic Indeks. Dengan perbandingan ini, maka akan diketahui metode pemilihan bandwidth yang lebih akurat dalam mengestimasi data harga saham Jakarta Islamic Indeks.
Dengan perbandingan ini, akan dilihat plot grafik metode (gambar 3.2) terhadap data harga saham JII yang ada dan menggunakan tingkat besarnya error. Dikarenakan menggunakan plot grafik akan cukup menyulitkan disaat terdapat plot yang berhimpit, maka digunakan cara melihat besarnya error yang dihasilkan dari estimator tersebut. Metode yang menghasilkan besarnya error yang paling kecil menandakan bahwa metode tersebut adalah metode yang lebih baik untuk mengestimasi data harga saham Jakarta Islamic Indeks.
Dengan estimator Nadaraya-Watson dan berbagai metode pemilihan
bandwidth, maka dihasilkan nilai MSE sebagai berikut :
Tabel 3.4 Nilai MSE
Metode Jakarta Islamic Indeks
Rule of Thumb 95,36849
Unbiassed Cross Validation 57,42625 Biassed Cross Validation 71,52251 Complete Cross Validation 19,36044
Dari tabel 3.4 dapat dilihat bahwa pemilihan bandwidth dengan metode Rule
68
MSE data estimasi harga saham JII yaitu sebesar 19,36044. Oleh karena itu dapat dikatakan bahwa metode pemilihan bandwidth “Complete Cross validation”
merupakan metode pemilihan bandwidth yang paling tepat digunakan untuk mengestimasi harga saham Jakarta Islamic Indeks.
O. Hasil Estimasi Harga Saham Jakarta Islamic Indeks
Berikut hasil estimasi harga saham Jakarta Islamic Indeks (JII) menggunakan metode pemilihan bandwidth “Complete Cross Validation”:
Tabel 3.5 Hasil estimasi harga saham JII
70
65 659,4363
66 659,0291
67 659,3043
68 657,9104
69 658,4405
70 660,1577
71 663,1219
72 667,1589
73 671,6038
74 675,4996
75 678,0866
76 678,8817
77 677,5467
78 674,1438
79 669,4772
80 664,7869
81 660,9817
82 658,2938
Dari tabel 3.5 dapat dilihat bahwa harga saham Jakarta Islamic Indeks dengan waktu ke 36 hari yaitu 626,6908. Harga saham JII akan terus mengalami kenaikan sesuai dengan runtun waktu pada harga saham. Hingga waktu ke 82 hari, harga saham berada pada kisaran 658,2938. Dengan hasil estimasi JII menggunakan
bandwidth “Complete Cross Validation”. Harga saham JII pada setiap waktunya
yang berbeda dari hasil estimasi bandwidth unbiased cross validation, biased cross
73 BAB IV PENUTUP
Setelah dilakukan pembahasan tentang metode yang digunakan dalam pengestimasian harga saham dan dilakukan studi kasus terhadap data harga saham Jakarta islamic indeks, maka dapat diperoleh beberapa kesimpulan dan saran sebagai berikut:
A. Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan pembahasan untuk metode yang digunakan dan studi kasus yang telah dilakukan pada bab-bab sebelumnya adalah sebagai berikut:
1. Analisis estimator Nadaraya-Watson dengan tipe Kernel Gaussian dapat menggunakan regresi nonparametrik. Regresi nonparametrik adalah prosedur statistik yang tidak mengacu pada parameter tertentu. Estimasi densitas kernel adalah suatu metode pendekatan terhadap fungsi densitas yang belum diketahui dengan menggunakan fungsi kernel. Fungsi kernel yang digunakan dalam skripsi ini adalah fungsi kernel Gaussian menggunakan data harga saham JII. Data harga saham Jakarta Islamic Indeks pada periode 1 januari 2016 sampai dengan 30 april 2016 mengikuti asumsi linearitas tetapi tidak mengikuti asumsi normalitas. Maka regresi nonparametrik kernel bisa menjadi solusi masalah tersebut.
74
metode tersebut merupakan metode pemilihan bandwidth terbaik untuk mengestimasi data harga saham Jakarta Islamic Indeks pada periode 1 januari 2016 sampai dengan 30 april 2016.
3. Hasil estimasi pada skripsi ini dapat digunakan secara umum untuk menduga harga saham berdasarkan waktunya. Misalkan ingin mengetahui harga saham
Jakarta Islamic Indeks pada waktu ke 36 hari, maka dari tabel tersebut dapat
ditemukan jawabannya bahwa harga saham Jakarta Islamic Indeks pada waktu ke 36 hari adalah 626,6908.
B. Saran
Analisis regresi nonparametrik khususnya analisis regresi nonparametrik kernel telah berkembang begitu pesat. Banyak ilmuwan yang telah mengembagkan bentuk regresi nonparametrik kernel, baik estimator ataupun fungsi kernel. Dari hasil di atas. Penulis memberikan beberapa saran diantaranya:
1. Jika data tidak dapat dianalisis menggunakan regresi parametrik, maka dapat digunakan regresi nonparametrik. Karena regresi nonparametrik tidak mengikuti asumsi-asumsi baku seperti halnya regresi parametrik.
2. Sebaiknya dalam pemilihan bandwidth harus hati-hati, karena bandwidth sangat berperan penting dalam estimator dan fungsi kernel. Nilai bandwidth akan mempengaruhi tingkat kemulusan dan besarnya nilai MSE hasil estimasi. 3. Pada penelitian ini digunakan estimator Nadaraya-Watson untuk mencari
75
76
DAFTAR PUSTAKA
Bain, L.J. & Engelhard, M.(1992). Introduction to Probability and Mathematical
Statistics Second Edition.Duxbury Press: California.
Ghozali, Imam. (2013). Aplikasi Analisis Multivariat dengan Program SPSS Edisi
ke-7. Semarang: Universitas Diponegoro.
Guidom, Arsalane Chouaib. (2015). Kernel Estimator and Bandwidth Selection for Density and its Derivatives. Journal The kedd Package. Hal. 1-22.
Hadi, Nor. (2013). Pasar Modal. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Haeruddin. (1997). Pemilihan Bandwidth Pada Estimasi Fungsi Densitas Type Kernel. Thesis. Yogyakarta: UGM.
Hardle, Wolfgang. (1994). Applied Nonparametric Regression.berlin.
Lael, Oryza Arifina Fil.(2013). Estimator Regresi Kernel Nadaraya-Watson Adaptif. Thesis. Yogyakarta: UGM.
Rosadi, Dedi. (2011). Analisis Ekonometri dan Runtun Waktu Terapan dengan
R.Yogyakarta:Penerbit Andi.
Ross, Sheldon M. (1996). Introduction to Probability Models.Universitas of
Southern California.Los Angeles:California.
Scott., D.W dan Terrell G.R. (1997). Biased and unbiased Cross-Validation in Density Estimation. Journal of the American Statistical Association. Hlm. 1121-1146.
Siana Halim dan Indiarti Bisono. (2006). Fungsi-fungsi Kernel pada Metode Regresi Nonparametrik dan aplikasinya pada Priest River Experimental
Forest’s Data. Jurnal Teknik Industri. Vol. 8 No. 1. hal. 73-81.
Silverman, B.W. (1986). Density Estimation for Statistics and Data
Analysis.Chapman and Hall New York.
Subanar. (2013). Statistika Matematika : Probabilitas, Distribusi, dan Asimtotis
dalam Statistika .Graha Ilmu: Yogyakarta.
77
Sukarsa, I Komang Gede dan I Gusti Ayu Made Srinadi. (2012). Estimator Kernel dalam Model Regresi Nonparametrik. Jurnal Matematika, Vol:2. Hal 19-30. Sunariyah. (2003). Pengantar Pengetahuan Pasar Modal, edisi ketiga. Yogyakarta:
UPP-AMP YKPN.
Suyono. (1997). Perbandingan Regresi Parametrik dan Nonparametrik. Thesis. Yogyakarta: UGM.
Takezawa, Kunio. (2006). Introduction to Nonparametric Regression. New Jersey. John Wiley and Sons.
Tsay, Ruey. (2005). Analysis of Financial Time Series. USA: John Willey and Sons,Inc.
Varberg, Dale & Purcell, Edwin. (2010). Kalkulus Jilid Dua. Tangerang: Bina Aksara Publisher.
Walpole, Ronald & Raymons Myers. (1995). Ilmu Peluang Dan Statiska Untuk
Insinyur dan Ilmuwan Edisi ke-Empat.ITB : Bandung.
Wand & Jones. (1995). Kernel Smoothing. New York: Springer-Science.
Warsini, Sabar. (2009). Manajemeen Risiko Finansial. Jakarta: Salemba Empat. www.cran.r-project.org, diakses pada hari rabu, tanggal 30 Maret 2016 pukul 9.05
WIB.
i
PEMILIHAN BANDWIDTH PADA ESTIMATOR NADARAYA-WATSON DENGAN TIPE KERNEL GAUSSIAN PADA DATA TIME SERIES (Studi Kasus: Penutupan Indeks Harga Saham Harian Jakarta Islamic Index (JII)
Periode 1 Januari 2016 −30April 2016) SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
HALAMAN JUDU L
Oleh : Joko Andy Saputra NIM : 12305141003
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
iv
HALAMAN PERNYATAAN
Yang bertanda tangan dibawah ini, saya: Nama : Joko Andy Saputra NIM : 12305141003 Program Studi : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Judul Skripsi :PEMILIHAN BANDWIDTH PADA ESTIMATOR NADARAYA-WATSON DENGAN TIPE KERNEL GAUSSIAN PADA DATA TIME SERIES
Menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri dan sepanjang pengetahuan saya, tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain, kecuali pada bagian-bagian tertentu yang diambil sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.
Apabila terbukti pernyataan saya ini tidak benar maka sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan yang berlaku.
Yogyakarta, ... agustus 2016 Yang menyatakan,
v
MOTTO
Boleh jadi kamu membenci sesuatu, padahal ia amat baik bagimu, dan boleh
jadi (pula) kamu menyukai sesuatu, padahal ia amat buruk bagimu, Allah
mengetahui, sedang kamu tidak mengetahui.
(Q.S Al-Baqarah 216)
Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Maka apabila kamu
telah selesai (dari suatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh-sungguh
(urusan) yang lain.
(Q.S Al-Insyirah 6-7)
Berusahalah jangan sampai terlengah walau sedetik saja, karena atas
kelengahan kita tak akan bisa dikembalikan seperti semula
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
Alhamdulillahirabbil’alamin, dengan mengucap rasa syukur kepada Allah
SWT skripsi ini telah selesai disusun . Skripsi ini dipersembahkan untuk:
Ibu dan Ayah, orangtua yang telah memberikan kasih sayang, nasihat, teguran, motivasi, doa yang tiada hentinya, dan selalu memberikan kekuatan
untuk mencapai kesuksesanku
Lala , siti, Fatma, nuri, tyas, humam, muhsin, yoga, dan fajar sahabat yang
terus memberikan candaan, hiburan, semangat dan sudah menjadi
saudaraku sendiri
Bu Endang, dosen pembimbing yang telah membimbingku selama ini dengan
kesabaran dan dukungan beliau lah yang telah memberikan manfaat besar
bagiku
Teman-Teman Matsub 2012, yang telah memberikanku kesadaran betapa
vii
PEMILIHAN BANDWIDTH PADA ESTIMATOR
NADARAYA-WATSON DENGAN TIPE KERNEL GAUSSIAN PADA DATA TIME
SERIES
(Studi Kasus: Penutupan Indeks Harga Saham Harian Jakarta Islamic Index (JII) Periode 1 Januari 2016 −30April 2016)
Oleh:
JOKO ANDY SAPUTRA 12305141003
ABSTRAK
Regresi nonparametrik merupakan analisis regresi dengan pendugaan model dilakukan berdasarkan pendekatan yang tidak terikat asumsi bentuk kurva regresi tertentu, namun dibentuk sesuai dengan informasi yang ada dalam data. Salah satu jenis fungsi yang dapat digunakan untuk menduga bentuk regresi nonparametrik adalah fungsi kernel Gaussian.
Pada regresi kernel, terdapat beberapa estimator yang dapat digunakan untuk memodelkan harga saham Jakarta Islamic Index (JII) dalam rentang waktu 1 januari 2016 sampai dengan 30 april 2016, salah satunya adalah estimator Nadaraya-Watson. Dalam melakukan analisis regresi kernel, diperlukan suatu konstanta penghalus yang disebut dengan
bandwidth. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai bandwidth yang
sesuai dengan data adalah metode bandwidth “Rule of Thumb”, metode Unbiased Cross Validation (UCV), metode Biased Cross Validation (BCV), dan metode Complete Cross Validation (CCV).
Perhitungannya menggunakan bantuan software R 3.2.3 dan SPSS versi 20. Untuk mengetahui metode yang lebih baik dalam mengestimasi kasus harga saham Jakarta Islamic
Index (JII) tersebut digunakan perbandingan nilai Mean Square Error (MSE). Nilai MSE yang
paling kecil diperoleh menggunakan metode bandwidth “Complete Cross Validation”. Hasil estimasi menunjukkan bahwa pada nilai parameter bandwidth “Complete Cross Validation”
menghasilkan kurva yang tidak cukup mulus tetapi nilai hasil estimasinya dekat dengan titik data aktual.
viii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi berjudul “PEMILIHAN BANDWIDTH PADA ESTIMATOR NADARAYA-WATSON DENGAN TIPE KERNEL GAUSSIAN PADA DATA TIME SERIES”. Penulisan skripsi ini dibuat untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.
Skripsi ini tidak dapat diselesaikan tanpa bantuan, dukungan serta bimbingan beberapa pihak. Penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.
2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.
3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Negeri Yogyakarta serta Penasehat Akademik yang telah memberikan serta motivasi selama studi.
4. Ibu Endang Listyani, M.S dosen pembimbing yang telah berkenan memberikan waktu luang, arahan, bimbingan serta dengan penuh kesabaran meneliti setiap kata demi kata dalam skripsi ini.
5. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan ilmu kepada penulis.
ix
7. Seluruh teman-teman matematika angkatan 2012 yang telah menghibur serta menyemangati penulis.
8. Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini hingga selesai.
Penulis menyadari adanya ketidaktelitian, kekurangan dan kesalahan dalam penulisan tugas akhir skripsi ini. Oleh karena itu, penulis menerima kritik dan saran yang bersifat membangun. Semoga penulisan tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak yang terkait.
Yogyakarta, ... Agustus 2016 Penulis
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN ... iii HALAMAN PERNYATAAN ...iv MOTTO ... v HALAMAN PERSEMBAHAN ...vi ABSTRAK ... vii KATA PENGANTAR ... viii DAFTAR ISI ... x DAFTAR GAMBAR ... xii DAFTAR TABEL ... xiii BAB I PENDAHULUAN ... 1 C. Ekspektasi dan Variansi Variabel Random ... 12 D. Distribusi Peluang Bersama ... 14 E. Distribusi Bersyarat ... 15 F. Mean Square Error (MSE) ... 16
xi
xii
DAFTAR GAMBAR
xiii
DAFTAR TABEL
Lampiran 1
Data Harga Saham Jakarta Islamic Indeks (JII) Periode 1 Januari 2016- 30April 2016
Waktu (dalam harian)
Harga Saham JII
74 679,51
75 678,59
76 682,56
77 683,12
78 678,81
79 666,42
80 663,19
81 656,41
82 653,26
74 679,51
75 678,59
76 682,56
77 683,12
78 678,81
79 666,42
80 663,19
81 656,41
Lampiran 2
estimasi_kern4=ksmooth(x1,y1,kernel="normal",bandwidth=4.770918,n.points=n1) estimasi_kern4
est4=data.frame(estimasi_kern4$x,estimasi_kern4$y) est4
errork4=(estimasi_kern4$y-y1)^2 errork4
MSEK4=sum(errork4)/n1 MSEK4
#PLOT
plot(x1,y1,xlab="Time(Waktu)",ylab="HargaSaham")
Lampiran 3
Hasil output program SPSS versi 20 dan software R 3.2.3 1. Uji Linearitas Harga Saham Jakarta Islamic Indeks (JII)
ANOVAa
Model Sum of Squares df Mean Square F Sig.
1
Regression 53891,335 1 53891,335 382,058 ,000b
Residual 11284,429 80 141,055
Total 65175,764 81
a. Dependent Variable: JII
b. Predictors: (Constant), Waktu
Uji Hipotesis
� : Terdapat hubungan linear antara waktu dan harga saham JII
� : Tidak terdapat hubungan linear antara waktu dan harga saham JII Tingkat signifikansi � = , 5 terdapat hubungan linear antara waktu dan harga saham Jakarta Islamic Indeks (JII).
2. Uji Normalitas Harga Saham Jakarta Islamic Indeks (JII)
Tests of Normality
Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk
Statistic df Sig. Statistic df Sig.
JII ,133 82 ,001 ,939 82 ,001
a. Lilliefors Significance Correction
Uji Hipotesis
� : Data berdistribusi normal
� : Data tidak berdistribusi normal Tingkat signifikansi � = , 5
