PASTA FISIKA – 12 SMA IPA
4. VEKTOR
A. Vektor Secara Geometri
1. Ruas garis berarah
AB
= b – a2. Sudut antara dua vektor adalah
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
B. Vektor Secara Aljabar
1. Komponen dan panjang vektor: a =
a1 a2 a3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ (¿) (¿)¿ ¿
¿ = a1i + a2j + a3k;
|a| =
√
a
12+
a
22+
a
322. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
ab =
a1 a2 a3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ (¿) (¿)¿ ¿ ¿ b1 b2 b3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ (¿) (¿)¿ ¿ ¿ =
a1±b1
a2±b2
a3±b3
¿ righ ¿ ¿ ¿ (¿) (¿)¿ ¿
¿ ; ka = k a1 a2 a3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ (¿) (¿)¿ ¿ ¿ = ka1 ka2 ka3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ (¿) (¿)¿ ¿ ¿
C. Dot Product
Apabila diketahui a =
a1 a2 a3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ (¿) (¿)¿ ¿
¿ dan b = b1 b2 b3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ (¿) (¿)¿ ¿
¿ , maka:
1. a · b = |a| |b| cos
= a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos = |a|2 + |b|2 + 2 a · b
4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos = |a|2 + |b|2 – 2 a · b 5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
D. Proyeksi Vektor
1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b
pada a
|p| =
a
⋅
b
|
a
|
2. Vektor proyeksi ortogonal :
vektor proyeksi b pada a
p =
a
⋅
b
|
a
|
2⋅
a
1. UN 2004
Diketahui a = i + 2j + 3k,
b = – 3i – 2j – k, dan c = i – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …
A. 2i – 4j + 2k
B. 2i + 4j – 2k C. –2i + 4j – 2k
D. 2i + 4j + 2k
E. –2i + 4j + 2k
Jawab : E 2. UN 2005
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah …
A.
√
10
B
.
√
13
C
.
√
15
D. 3
√
2
E. 9√
2
Jawab : D3. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah …
A. –2 atau 6 D. –6 atau 2 B. –3 atau 4 E. 2 atau 6 C. –4 atau 3 Jawab : A 4. UN 2006
Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k,
b = –4i + 8j + 10k dan
c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a
tegak lurus b maka vektor a – c = …
A. –58i – 20j –3k
B. –58i – 23j –3k
C. –62i – 20j –3k
D. –62i – 23j –3k
E. –62i – 23j –3k
5. UN 2012/A13 Diketahui vektor
p
2
−1
¿
ri gh
¿ ¿ ¿
4
−3
6
¿
ri gh
¿ ¿ ¿ (¿ ) (¿ ) ¿
⃗a=¿ ¿
¿ dan
2
−1 3
¿
righ
¿ ¿ ¿
(¿) (¿)¿
⃗c=¿ ¿
¿ .
Jika
⃗
a
tegak lurus⃗
b
, maka hasil dari(⃗
a
−
2
⃗
b
)
·(
3
⃗
c
)
adalah…
A. 171 D. –111
B. 63 E. –171
C. –63 Jawab : E
6. UN 2012/B25
Diketahui vektor
a
=
i
+
2
j
−
x k
,b
=
3
i
−
2
j
+
k
, danc
=
2
i
+
j
+
2
k
. Jikaa
tegak lurusc
,maka (
a
+b
)· (a
–c
) adalah ...A. –4 B. –2 C. 0
D. 2 E. 4 Jawab : C 7. UN 2012/D49
Diketahui vektor
a
=
i
−
x j
+
3
k
,b
=
2
i
+
j
−
k ,
danc
=
i
+
3
j
+
2
k
. Jikaa
tegak lurusb
maka 2a
·(
b
−
c
)
adalah….A. – 20 B. – 12 C. – 10 D. – 8 D. – 1 Jawab : A 8. UAN 2003
Diberikan vektor a =
−2
p
2√2
¿
righ
¿ ¿ ¿
(¿) (¿)¿ ¿
¿
dengan p Real dan vektor b =
1 1 √2
¿
righ
¿ ¿ ¿
(¿) (¿)¿ ¿
¿ Jika a dan b membentuk
sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …
A.
12 4
√
7
B.
C.
5 4
√
7
D.
5 14
√
7
E.
2 7
√
7
Jawab : D
9. UN 2012/A13
Diketahui vektor
⃗
a
=
4
⃗
i
+
2
⃗
j
+
2
⃗
k
dan⃗
b
=
3
⃗
i
+
3
⃗
j
. Besar sudut antara vektor⃗
a
dan⃗
b
adalah….A. 30 B. 45 C. 60
B. 90 E. 120 Jawab : A
10.UN 2012/E52
Diketahui titik A (1, 0, –2), B(2, 1, –1), C (2, 0, –3). Sudut antara vektor
AB
denganAC
adalah….A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 E. 120 Jawab : D
11.UN 2011 PAKET 46
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili
⃗
AB
dan vmewakili
⃗
AC
, maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah …A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
D. 120 Jawab : B12.UN 2010 PAKET A
Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan
b sama dengan …
A. 30º B. 45º C. 60º D. 90º D. 120º Jawab : C
13.UN 2009 PAKET A/B
Diketahui balok ABCD EFGH dengan
AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika
⃗
AC
wakil vektor umaka sudut antara vektor u dan v
adalah …
A. 0 B. 30 C. 45 D. 60 E. 90 Jawab : e
14.UN 2011 PAKET 12
Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, – 1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …
A. D.
π
6
B.
π
2 E. 0
C.
π
3 Jawab : B
15.UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = …
A. –7
B. –6
C. 5
D. 6
E. 7
Jawab : E 16.UN 2012/B25
Diketahui vektor
a
=
9
i
−
2
j
+
4
k
danb
=
2
i
+
2
j
+
k
. Proyeksi orthogonal vektora
padab
adalah ...A.
4
i
−
4
j
−
2
k
B.2
i
+
2
j
+
4
k
C.4
i
+
4
j
+
2
k
D.8
i
+
8
j
+
4
k
E.18
i
−
4
j
+
8
k
Jawab : C17.UN 2011 PAKET 12
Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k
dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah … A. i – j + k
B. i – 3j + 2k
C. i – 4j + 4k
E. 6i – 8j + 6k
Jawab : B
18.UN 2010 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor
⃗
AB
pada⃗
AC
adalah …A.
1
4 (3i + j – 2k)
B.
3
14 (3i + j – 2k)
C.
−
1
7 (3i + j – 2k)
D.
−
3
14 (3i + j – 2k)
E.
−
3
7 (3i + j – 2k)
Jawab : C
19.UN 2007 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor
AB
terhadap
AC
adalah … A. 2i – 4j + 2kB. 2i – 4j – 2k
C. 2i + 4j – 2k
D. i – 2j – k
E. i + 2j – k
Jawab : B
20.UN 2007 PAKET A
Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor
AB
padaAC
adalah …A. –12i + 12j – 6k
B. –6i + 4j – 16k
C. –4i + 4j – 2k
D. –6i – 4j + 16k
E. 12i – 12j + 6k
Jawab : C
21.UAN 2003
Jika w adalah hasil proyeksi
orthogonal dari vektor v =
2
−3 4
¿
righ
¿ ¿ ¿
(¿) (¿)¿ ¿
¿
u =
−1 2
−1
¿
righ
¿ ¿ ¿
(¿) (¿)¿ ¿
¿ , maka w = …
A.
1
−1 3
¿
righ
¿ ¿ ¿
(¿) (¿)¿ ¿
¿ D.
2
−4 2
¿
righ
¿ ¿ ¿
(¿) (¿)¿ ¿
¿
B.
0
−1
−2
¿
righ
¿ ¿ ¿
(¿) (¿)¿ ¿
¿ E.
−2 4
−2
¿
righ
¿ ¿ ¿
(¿) (¿)¿ ¿
¿
C.
0 1 2
¿
righ
¿ ¿ ¿
(¿) (¿)¿ ¿
¿ Jawab : D
“ Adam Malik pernah bercita-cita menjadi orang nomor satu di
dunia, walaupun akhirnya tidak tercapai tetapi setidaknya beliau
menjabat Wakil Perisiden RI yang ke-3”
“Buatlah cita-citamu setinggi awan, walaupun akhirnya tidak
mencapai awan ,
minimal kakimu sudah menginjak puncak gunung”
“Terkadang cita-cita besar bagaikan sebuah mimpi, tetapi
ternyata
banyak orang hebat di dunia ini diawali dengan mimpi-mimpinya”
