Nilai harapan suatu variabel acak x ditulis E (x) didefinisikan E (x) = Σ x. f (x) Var (x) = σ x 2 = E [ x E (x) ] 2 = E (x 2 ) { E (x) } 2

Pertemuan ke- 4 BAB III

POPULASI, SAMPEL & DISTRIBUSI TEORITIS VARIABEL DISKRIT DAN FUNGSI PROBABILITAS 3.1 Variabel Random atau Variabel Acak

• Variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan dinamakan variabel random. Contoh:

Bila 2 mata uang dilempar 1 x , maka ruang sampelnya : S = { AA,AG, GA , GG }

Variabel Acak yang terdapat dalam fungsi probabilitas : a. Variabel diskrit

Variabel diskrit hanya dapat dinyatakan dengan nilai – nilai yang terbatas jumlahnya , dan dinyatakan dengan bilangan bulat.

b. Variabel kontinu

Variabel kontinu dinyatakan dengan harga yang terdapat dalam suatu interval.

Fungsi

FungsiDistribusiDistribusi

Jika kita mempunyai variabel acak x maka fungsi sebenarnya adalah Σ f( x ) ; x diskrit (dinyatakan dengan sigma ) F ( x ) = P ( X ≤x ) =

∫ f ( x ) dx ; x kontinu (dinyatakan dengan integral)

3.2 Nilai Harapan (Mean/Rata–rata) dan Varians Distribusi Diskrit

Nilai harapan suatu variabel acak x ditulis E (x) didefinisikan E (x) = Σx. f (x)

Var (x) = σ_x2_{= E [ x – E (x) ]} 2 _{= E (x}2_{) – { E (x) }} 2

Jika k suatu bilangan , maka E ( k ) = k Contoh : E (3) = 3 dan seterusnya.

Latihan Soal

1 .Dua buah dadu dilempar . Jika x = jumlah mata dadu yang timbul , berapakah:

a. P (3 < x ≤6)

b. Rata–rata (Nilai harapan) Jawab: a. P (3 < x ≤6) = P (x = 4) + P (x = 5) + P (x = 6) = f (4) + f (5) + f (6) = 3/36 + 4/36 + 5/36 = 12/36 = 1/3 b. E (x) = Σx . f(x) = 2.1/36 + 3.2/36 + 4.3/36 + 5.4/36 + 6.5/36 + 7.6/36 + 8 .5/36 + 9 . 4/36 + 10.3/36 + 11.2/36 + 12.1/36 = 252/36 = 7

2 . Jika Nilai E (x) = 1/3 dan E (x2_{) = 1/3 . Tentukan Nilai Variansnya.}

Jawab: Var (x) = E (x2_{) – { E (x) }}2

= 1/3 – (1/3)2_{= 1/3 – 1/9 = 2/9}

3 . Jika E (x) = 2 , berapa nilai dari : a. E [ 3 (x + 2)] b. E [x – 3 (x + 2)] Jawab: a. E [ 3 (x + 2) ] = E [ 3x + 6 ] = E (3x) + E (6) = 3. E (x) + 6 = 3 . 2 + 6 = 6 + 6 = 12 b. E [ x – 3 (x + 2) ] = E (x) – E [ 3 (x + 2) ] = 2 – 12 = -10

4. Jika x mata dadu seimbang , berapa nilai harapan (rata – rata) nya ?

Jawab:

E (x) = ΣΣΣΣx . f (x)

= 1 .1/6 + 2 .1/6 + 3 .1/6 + 4 .1/6 + 5 .1/6 + 6 . 1/6 = 21/6 = 3,5

Fungsi probabilitas dengan variabel diskrit terdiri dari : 1. Distribusi Binomial

2. Distribusi Poisson 3.3 Distribusi Binomial Rumus Distribusi Binomial :

b (x / n , p) = P (X = x)= _n C _x px_{. q}n-x_{; x = 0,1,…n}

q = 1 – p Dimana : - b ( x / n , p ) ≥≥≥≥0

- ΣΣΣΣb ( x/n , p ) = ( q + p )n_{= 1}

Rata – rata ( Mean ) = µµµµ_x= n . p Varians ( x ) = σσσσ_x2_{= n . p . q}

Distribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusi binomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.

Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi

4

syarat sebagai berikut :

1. Jumlah percobaan harus tetap

2. Setiap

percobaan

harus

menghasilkan

dua

alternatif

yaitu

sukses

atau

tidak

sukses

merupakan percobaan Binomial.

3. Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas

yang sama untuk sukses.

4. Percobaan – percobaan tersebut harus bebas

satu sama lain.

Latihan Soal

1. Bila sekeping uang logam yang seimbang dilempar sebanyak 6 kali, berapa:

a. probabilitas memperoleh 5 sisi gambar

b. probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi gambar Jawab: a. n = 6 ; p = ½ ; q = 1 – p = 1 – ½ = ½ b ( x / n , p ) = b ( 5/6 , ½ ) = ₆C₅( ½ )5_{. ( ½ )}6-5 = 6! (½)5_{. (½)}1_{= 3/32} 5!.1! b. n = 6 ; x = 6 ; p = 1/2 b ( x/n , p ) = b ( 6/6 , ½ ) = ₆C₆( ½ )6_{. ( ½ )}6-6 = 6 ! ( ½ )6_{. ( ½ )}0_{= 1/64} 6!0!

Probabilitas memperoleh ≥5 sisi gambar adalah :

b ( 5/6 , ½ ) + b ( 6/6 , ½ ) = 3/32 + 1/64 = 6/64 + 1/64 = 7/64

2. Jika x berdistribusi Binomial dengan n = 4 dan p = 1/6 , berapa : a. Rata – rata dari x

b. Varians (x)

Jawab : a. n = 4 ; p = 1/6 ; q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6 E ( x ) = n.p = 4.1/6 = 2/3

b. Var ( x ) = σσσσ_x2_{= n.p.q = 4.1/6.5/6 = 20/36}

= 5/9

3. Ada 4000 paku pada sayap . Probabilitas kerusakan sebuah paku khusus pada permukaan sayap pesawat terbang adalah 0,001. Berapa E (x) nya ?

3.4 Distribusi Poisson Ciri-ciri Distribusi Poisson

Digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya kejadian menurut satuan waktu atau ruang. Distribusi Poisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusi binomial.

Rumus Distribusi Poisson f ( x ) = µx _{. e}-µ _{= p ( x/n , p )}

x!

Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828… Rata – rata = µ_x = n . p

Varians (x) = σ_x2= n . p

Dalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnya adalah sama

Latihan soal !

1. Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapa probabilitas timbulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5 kali ?

Jawab:

probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak satu kali adalah :

p = 1.( ½ )5_{= 1/32}

Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi :

f( x ) = 64 1 / 32 x _{31 / 32} 64-x

Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, maka diambil µ=n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :

f ( x ) = µx . e-µ _{= 2}x_{. e}-2 _{; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}

x ! x ! e-2_{= 0 ,1353}

x 0 1 2 3 4 5 f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036

2. Jika x berdistribusi Poisson dengan n = 7 dan p = 1/4 berapa :

a. Rata – rata x b. Varians (x)

jawab : a. E (x) = n . p = 7.1/4 = 7/4 b. Var (x) = n . p = 7 . 1/4 = 7/4

3. Mata uang dilempar 6 kali . Jika x = banyaknya gambar, berapa E (x) ?

Jawab : n = 6 ; p = ½ E (x) = n.p = 6.1/2 = 3

¼

1/12 1/6 1/8 3/8

P(X)

8 12 16 20 24

X

Latihan soal:

1. Dari tabel diatas tentukan: a. mean X;

b. standar deviasi X; c. E(2X – 3 )2

2. Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan

E{(X-1)2_{} =10 dan E{(X-2)}2_{} = 6 , tentukan mean X dan}

simpangan baku X.

3. Bila sekeping uang logam dilemparkan 6 kali, hitunglah probabilitas memperoleh:

a. 5 muka b. paling sedikit 5 muka

4. Bila 20 dadu dilemparkan sekaligus, tentukanlah: a. rata-rata dari banyaknya muncul muka 3;

b. simpangan baku dari banyaknya muncul muka 3! 5. Bila variabel acak X berdistribusi binomial dengan

n = 100, p = 0,005, hitunglah P(X=15)!

6. Bila 5 uang logam dilemparkan sebanyak 128 kali, hitunglah probabilitas munculnya 5 muka sebanyak 0,1,2,3,4 dan 5 dari seluruh pelemparan!

3.5 Aplikasi Excel menghitung distribusi Binomial Langkah-langkahnya sbb:

1. Klik icon fxatau klik icon insertdan pilihfx function. 2. Pilih menu statisticalpadafunction category

3. Pilih menu Binomdistpadafunction name, danOK.

Maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:

Nilai P(x) ada pada baris Formula result atau tanda (=)

BINOMDIST

Number_s : ………… (masukkan nilai X) Trials : ……….. (masukkan nilai n) Probability : ………… (masukkan nilai p) Cumulative: ………… (tulis kata False)

Contoh :

PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90% diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero. Berapa peluang hanya 13 buah diterima?

Jawab:

Langkah-langkahnya

1. Klik icon fxatau klik icon insertdan pilihfx function

2. Pilih menu statisticalpadafunction category

3. Pilih menu POISSON padafunction name, tekanOK

maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:

Distribusi Poisson

POISSON

X : ………… (masukkan nilai x)

Mean : ……….. (masukkan nilaiµ)

Cumulative : ………… (tulis FALSE / 0 )

Contoh:

Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen?

Jawab:

Untuk menghitung dist. Binomial dengan SPSS langkah-langkahnya sbb: 1. Definisikan variabel x, lalu ketik nilai variabelnya

2. Kilk menu transform dan pilih compute

3. Ketik ekspresi perhitungan seperti pada layar dibawah ini, tekanOK

maka tampil hasil perhitungan pada data editor seperti pada gambar 2

Gambar 2

P( X=13 ) 0,2669

Untuk menghitung dist. Poisson langkah-langkahnya sbb: 1. Definisikan variabel x, lalu ketik data misal 1 sampai 5 2. Kilk menu transform dan pilih compute

3. Ketik ekspresi perhitungan seperti pada layar dibawah ini, tekan

OK

maka tampil hasil perhitungan pada data editor seperti pada gambar 2

P(X=5) = 0,127 Gambar 2

SOAL – SOAL LATIHAN

01. Suatu variabel acak diskrit, maka nilai harapan , E(x) fungsinya akan dinyatakan dengan :

a. Σx.f(x) c. Σf(x) b. ∫ f(x)dx d. ∫ x.f(x)dx

02. Suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan acak dimana nilainya bervariasi adalah….

a. Variabel random c. Permutasi b. Probabilitas d. Kombinasi

02. Suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan acak dimana nilainya bervariasi adalah….

a. Variabel random c. Permutasi b. Probabilitas d. Kombinasi

03. Jika E (x) = -2 maka nilai dari E [3(x-2)] adalah :

a. - 6 c. -12

b. - 8 d. -4

03. Jika E (x) = -2 maka nilai dari E [3(x-2)] adalah :

a. - 6 c. -12

b. - 8 d. -4

04. Jika x variabel berdistribusi binomial, dan banyaknya observasi adalah 10 dan peluang sukses 1/5, maka nilai harapan x adalah:

a. ½ c. 2

04. Jika x variabel berdistribusi binomial, dan banyaknya observasi adalah 10 dan peluang sukses 1/5, maka nilai harapan x adalah:

a. ½ c. 2

b. 50 d. 25

05. Fungsi distribusi peluang variabel X diskrit diketahui sebagai berikut:

Maka nilai harapan X adalah:

a. 1 c. 3 b. 2 d. 4 0,4 0,3 0,2 0,1 P(X) 4 3 2 1 X

05. Fungsi distribusi peluang variabel X diskrit diketahui sebagai berikut:

Maka nilai harapan X adalah:

a. 1 c. 3

b. 2 d. 4

01. Suatu variabel acak diskrit, maka nilai harapan , E(x) fungsinya akan dinyatakan dengan :

a. Σx.f(x) c. Σf(x) b. ∫f(x)dx d. ∫x.f(x)dx 0,4 0,3 0,2 0,1 P(X) 4 3 2 1 X