Pertemuan ke- 4 BAB III
POPULASI, SAMPEL & DISTRIBUSI TEORITIS VARIABEL DISKRIT DAN FUNGSI PROBABILITAS
3.1 Variabel Random atau Variabel Acak
• Variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan dinamakan variabel random. Contoh:
Bila 2 mata uang dilempar 1 x , maka ruang sampelnya : S = { AA,AG, GA , GG }
Variabel Acak yang terdapat dalam fungsi probabilitas : a. Variabel diskrit
Variabel diskrit hanya dapat dinyatakan dengan nilai – nilai yang terbatas jumlahnya , dan dinyatakan dengan bilangan bulat.
b. Variabel kontinu
Variabel kontinu dinyatakan dengan harga yang terdapat dalam suatu interval.
Fungsi
FungsiDistribusiDistribusi
Jika kita mempunyai variabel acak x maka fungsi sebenarnya adalah
Σ f( x ) ; x diskrit (dinyatakan dengan sigma ) F ( x ) = P ( X ≤x ) =
f ( x ) dx ; x kontinu (dinyatakan dengan integral) 3.2 Nilai Harapan (Mean/Rata–rata) dan Varians Distribusi Diskrit
Nilai harapan suatu variabel acak x ditulis E (x) didefinisikan E (x) = Σx. f (x)
Var (x) = σx2= E [ x – E (x) ] 2 = E (x2) – { E (x) } 2
Latihan Soal
4. Jika x mata dadu seimbang , berapa nilai harapan (rata – rata) nya ?
Jawab:
E (x) = ΣΣΣΣx . f (x)
Fungsi probabilitas dengan variabel diskrit terdiri dari : 1. Distribusi Binomial
2. Distribusi Poisson 3.3 Distribusi Binomial
Rumus Distribusi Binomial :
b (x / n , p) = P (X = x)= n C x px. qn-x; x = 0,1,…n q = 1 – p
Dimana : - b ( x / n , p ) ≥≥≥≥0
- ΣΣΣΣb ( x/n , p ) = ( q + p )n= 1 Rata – rata ( Mean ) = µµµµx= n . p
Varians ( x ) = σσσσx2= n . p . q
Distribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusi binomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.
Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi
4
syarat sebagai berikut :
1. Jumlah percobaan harus tetap
2. Setiap
percobaan
harus
menghasilkan
dua
alternatif
yaitu
sukses
atau
tidak
sukses
merupakan percobaan Binomial.
3. Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas
yang sama untuk sukses.
Latihan Soal
1. Bila sekeping uang logam yang seimbang dilempar sebanyak 6 kali, berapa:
a. probabilitas memperoleh 5 sisi gambar
b. probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi gambar Jawab: a. n = 6 ; p = ½ ; q = 1 – p = 1 – ½ = ½
b ( x / n , p ) = b ( 5/6 , ½ ) = 6C5( ½ )5. ( ½ )6-5 = 6! (½)5. (½)1= 3/32
5!.1! b. n = 6 ; x = 6 ; p = 1/2
b ( x/n , p ) = b ( 6/6 , ½ ) = 6C6( ½ )6. ( ½ )6-6 = 6 ! ( ½ )6. ( ½ )0= 1/64
6!0!
Probabilitas memperoleh ≥5 sisi gambar adalah :
b ( 5/6 , ½ ) + b ( 6/6 , ½ ) = 3/32 + 1/64 = 6/64 + 1/64 = 7/64
2. Jika x berdistribusi Binomial dengan n = 4 dan p = 1/6 , berapa : a. Rata – rata dari x
b. Varians (x)
Jawab : a. n = 4 ; p = 1/6 ; q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6 E ( x ) = n.p = 4.1/6 = 2/3
b. Var ( x ) = σσσσx2= n.p.q = 4.1/6.5/6 = 20/36 = 5/9
3. Ada 4000 paku pada sayap . Probabilitas kerusakan sebuah paku khusus pada permukaan sayap pesawat terbang adalah 0,001. Berapa E (x) nya ?
3.4 Distribusi Poisson Ciri-ciri Distribusi Poisson
Digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya kejadian menurut satuan waktu atau ruang. Distribusi Poisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusi binomial.
Rumus Distribusi Poisson
f ( x ) = µx . e-µ = p ( x/n , p ) x!
Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828… Rata – rata = µx = n . p
Varians (x) = σx2= n . p
Dalam distribusi Poisson Rata – rata dengan
Variansnya adalah sama
Latihan soal !
1. Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapa probabilitas timbulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5 kali ?
Jawab:
probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak satu kali adalah :
p = 1.( ½ )5= 1/32
Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi :
f( x ) = 64 1 / 32 x 31 / 32 64-x
Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, maka diambil µ=n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :
f ( x ) = µx . e-µ = 2x. e-2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
x ! x ! e-2= 0 ,1353
x 0 1 2 3 4 5 f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036
2. Jika x berdistribusi Poisson dengan n = 7 dan p = 1/4 berapa :
a. Rata – rata x b. Varians (x)
jawab : a. E (x) = n . p = 7.1/4 = 7/4 b. Var (x) = n . p = 7 . 1/4 = 7/4
3. Mata uang dilempar 6 kali . Jika x = banyaknya gambar, berapa E (x) ?
¼
1/12 1/6 1/8 3/8
P(X)
8 12 16 20 24
X
Latihan soal:
1. Dari tabel diatas tentukan:
a. mean X;
b. standar deviasi X;
c. E(2X – 3 )2
2. Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan
E{(X-1)2} =10 dan E{(X-2)2} = 6 , tentukan mean X dan simpangan baku X.
3. Bila sekeping uang logam dilemparkan 6 kali, hitunglah probabilitas memperoleh:
a. 5 muka b. paling sedikit 5 muka
4. Bila 20 dadu dilemparkan sekaligus, tentukanlah: a. rata-rata dari banyaknya muncul muka 3;
b. simpangan baku dari banyaknya muncul muka 3! 5. Bila variabel acak X berdistribusi binomial dengan
n = 100, p = 0,005, hitunglah P(X=15)!
! "
! " #
# $! % & ' ()*
' + , % &
'
!
1-2 3 '
45++4
" #
$
µ
! " #%& ' ( )
6
$ &7$ ) 8
9 ' ) 8 &7$
, 3,
9
-$ :
1-; & + ++ 3 '
. < 9 9 '
' :
Gambar 2
; 3 '
. < 9 ,
' :
P(X=5) = 0,127
SOAL – SOAL LATIHAN
01. Suatu variabel acak diskrit, maka nilai harapan , E(x) fungsinya akan dinyatakan dengan :
a. Σx.f(x) c. Σf(x)
b. f(x)dx d. x.f(x)dx
02. Suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya
hasil suatu percobaan acak dimana nilainya
bervariasi adalah….
a. Variabel random c. Permutasi
02. Suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan acak dimana nilainya bervariasi adalah….
a. Variabel random c. Permutasi
b. Probabilitas d. Kombinasi
03. Jika E (x) = -2 maka nilai dari E [3(x-2)] adalah :
a. - 6 c. -12
b. - 8 d. -4
03. Jika E (x) = -2 maka nilai dari E [3(x-2)] adalah :
a. - 6 c. -12
b. - 8 d. -4
04. Jika x variabel berdistribusi binomial, dan banyaknya observasi adalah 10 dan peluang sukses 1/5, maka nilai harapan x adalah:
a. ½ c. 2
04. Jika x variabel berdistribusi binomial, dan banyaknya observasi adalah 10 dan peluang sukses 1/5, maka nilai harapan x adalah:
a. ½ c. 2
b. 50 d. 25
05. Fungsi distribusi peluang variabel X diskrit diketahui sebagai berikut:
Maka nilai harapan X adalah:
a. 1 c. 3
05. Fungsi distribusi peluang variabel X diskrit diketahui sebagai berikut:
Maka nilai harapan X adalah:
a. 1 c. 3
b. 2 d. 4
01. Suatu variabel acak diskrit, maka nilai harapan , E(x) fungsinya akan dinyatakan dengan :