10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 1

(1)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 1

Pengantar

Variabel Random

Variabel Random Diskrit

Nilai Ekspektasi dan Variansi Variabel Random Diskrit

Variabel Random Kontinyu

Kovariansi dan Korelasi

Distribusi Bivariat

Moment Generating Function

Fungsi Transformasi

The Law of Large Number

Variabel Random

3

Output sebuah proses dapat dikategorikan defect (B) dan baik

(G). Dari 4 produk berurutan akan ada 2*2*2*2=24 _{= 16}

kemungkinan kemunculan, sehingga membentuk ruang sample:

BBBB BGBB GBBB GGBB

BBBG BGBG GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB GGGB

BBGG BGGG GBGG GGGG

Jika kemunculan defect dan baik sama (equally likely) [P(G)=P(B) = 1/2], dan sebuah kemunculan independen dengan kemunculan

berikutnya, maka probabilitas dari setiap kemunculan:

(1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16.

(2)

Jumlah produk baik (G) dari 4 kemunculan adalah:

BBBB (0) BGBB (1) GBBB (1) GGBB (2) BBBG (1) BGBG (2) GBBG (2) GGBG (3) BBGB (1) BGGB (2) GBGB (2) GGGB (3) BBGG (2) BGGG (3) GBGG (3) GGGG (4)

Setiap kemunculan dinyatakan dengan sebuah nilai numerik Semua kemunculan diberikan nilai numerik

Nilai yang diberikan berbeda untuk setiap kejadian urutan

Jumlah produk baik (G) adalah sebuahvariabel random:

Variabel Random adalah sebuah fungsi yang memberikan

nilai numerik tunggal (tetapi variabel) pada setiap elemen dalam ruang sample.

3-2 Variabel Random (1)

Karena variabel random X = 3 terjadi dengan 4 urutan BGGG,

GBGG, GGBG, atau GGGB,

P(X = 3) = P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB) = 4/16

Distribusi probabilitas dari sebuah variabel random

membentuk tabel semua nilai variabel random dan probabilitasnya. x P(x) 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 16/16=1 0 1 2 3 4 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 N um b e r o f g i rls , x P (x ) 0 .0 6 2 5 0 .2 5 0 0 0 .3 7 5 0 0 .2 5 0 0 0 .0 6 2 5

P ro b ab ility D is trib u tio n o f th e N um b e r o f G irls in F o ur B irths

Variabel Random (2)

Jumlah produk baik

(3)

Percobaan melempar dua buah dadu, ada 36 hasil.

Variabel random X menyatakan jumlah angka sisi dadu:

2 3 4 5 6 7 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 8 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 9 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 10 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 11 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 12 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 x P(x)* 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36 1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 0.17 0.12 0.07 0.02 x p (x )

Probability Distribution of Sum of Two Dice

36 / ) ) 7 ( 6 ( ) ( : Fungsi * _P _x = − −_x2

Variabel Random (3)

Sebuah variabel random diskrit:

z Memiliki jumlah nilai yang terhitung

z Memiliki ruang di antara nilai yang berurutan

z Memiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai individual

Sebuahvariabel random diskrit:

z Memiliki jumlah nilai yang terhitung

z Memiliki ruang di antara nilai yang berurutan

z Memiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai individual

Sebuah variabel random kontinyu:

z Memiliki jumlah nilai yang tidak terhitung dan tidak terbatas

z Bergerak secara kontinyu di antara nilai-nilai

z Tidak memiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai ukuran

Sebuahvariabel random kontinyu:

z Memiliki jumlah nilai yang tidak terhitung dan tidak terbatas z Bergerak secara kontinyu di antara nilai-nilai

z Tidak memiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai ukuran

Variabel Random Diskrit-Kontinyu

(4)

[

]

1 0

1

0 1

. for all values of x.

2. Corollary: all x P x P x P X ( ) ( ) ( ) ≥ = ≤ ≤

∑

Distribusi probabilitas untuk variabel random diskrit X

memenuhi dua kondisi berikut

3-3 Variabel Random Diskrit

F x P X x P i

all i x

( )= ( ≤ =) ( )

≤

∑

Fungsi distribusi kumulatif,

F(x)

, dari variabel random diskrit X adalah: x P(x) F(x) 0 0.1 0.1 1 0.2 0.3 2 0.3 0.6 3 0.2 0.8 4 0.1 0.9 5 0.1 1.0 1 5 4 3 2 1 0 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 .0 x F (x)

C um ulative P rob ability D istrib ution of the Numb er o f S witc hes

Fungsi Distribusi Kumulatif (1)

(5)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 9 x P(x) F(x) 0 0.1 0.1 1 0.2 0.3 2 0.3 0.6 3 0.2 0.8 4 0.1 0.9 5 0.1 1.0 1

Probabilitas bahwa paling banyak ada 3 switch

5 4 3 2 1 0 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 .0 x P (x ) P X( ≤3)=F( )3

Fungsi Distribusi Kumulatif (2)

Probabilitas bahwa paling banyak ada 3 switch

x P(x) F(x) 0 0.1 0.1 1 0.2 0.3 2 0.3 0.6 3 0.2 0.8 4 0.1 0.9 5 0.1 1.0 1

Probabilitas bahwa ada lebih dari satu switch:

5 4 3 2 1 0 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 .0 x P (x ) P X( > = −1) 1 F( )1 F( )1

Fungsi Distribusi Kumulatif (3)

(6)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 11 x P(x) F(x) 0 0.1 0.1 1 0.2 0.3 2 0.3 0.6 3 0.2 0.8 4 0.1 0.9 5 0.1 1.0 1

Probabilitas bahwa ada dari satu sampai tiga switch:

5 4 3 2 1 0 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 .0 x P( x )

Probabilitas ada satu sampai tiga switch

F( )0

F( )3

F(1≤X≤3)=F( )3−F( )0

Fungsi Distribusi Kumulatif (4)

5 4 3 2 1 0 Mean dari distribusi probabilitas adalah ukuran pemusatan sebagai rata-rata dari distribusi frekuensi, yang juga adalah rata-rata terbobot dari setiap nilai variabel random, dimana nilai probabilitas merupakan bobotnya.

Mean juga merupakan nilai harapan (atau ekspektasi) dari

sebuah variabel random.

Nilai ekspektasidari sebuah variabel random diskrit X adalah jumlah setiap nilai yang dikalikan dengan nilai

probabilitas-nya:

_µ

₌ ₌

_∑

E X xP x all x ( ) ( ) x P(x) xP(x) 0 0.1 0.0 1 0.2 0.2 2 0.3 0.6 3 0.2 0.6 4 0.1 0.4 5 0.1 0.5 1.0 2.3 = E(X)=µ 2.3

3-4 Nilai Ekspektasi dan Variansi

Variabel Random Diskrit

(7)

Dilakukan percobaan melemparkan sebuah koin yang seimbang. Jika muncul sisi muka akan mendapat manfaat sebesar Rp. 1 juta, sedangkan jika muncul sisi belakang akan rugi sebesar Rp. 1 juta. Nilai ekspektasi dari persoalan

tersebut adalah

E(X) = 0.

Sebuah percobaan dengan

ekspektasi 0 dikenal sebagai sebuah

“fair game”

.

Dilakukan percobaan melemparkan sebuah koin yang seimbang. Jika muncul sisi muka akan mendapat manfaat sebesar Rp. 1 juta, sedangkan jika muncul sisi belakang akan rugi sebesar Rp. 1 juta. Nilai ekspektasi dari persoalan

tersebut adalah

E(X) = 0.

Sebuah percobaan dengan

ekspektasi 0 dikenal sebagai sebuah

“

fair game”

.

x P(x) xP(x) -1 0.5 -0.50 1 0.5 0.50 1.0 0.00 = E(X)=µ -1 1 0

Sebuah “Fair Game”

Number of items, x P(x) xP(x) h(x) h(x)P(x) 5000 0.2 1000 2000 400 6000 0.3 1800 4000 1200 7000 0.2 1400 6000 1200 8000 0.2 1600 8000 1600 9000 0.1 900 10000 1000 1.0 6700 5400

Contoh: Penjualan bulanan diketahui mengikuti distribusi probabilitas seperti di

samping. Misalkan perusahaan mengeluarkan ongkos tetap bulanan sebesar $8000 dan setiap item menghasilkan keuntungan $2. Tentukan ekspektasi keuntunganh(x) bulanan.

Nilai ekspektasi dari sebuah fungsivariabel random diskrit X adalah:

E h X h x P x

all x

[ ( )]=

∑

( ) ( )

(8)

Nilai Ekspektasi (2)

E h X

h x P x

all x

[ ( )]

=

∑

( ) ( )

=

5400

Nilai ekspektasi dari sebuah

fungsi linier

sebuah variabel

random:

E(aX+b)=aE(X)+b

Dalam contoh ini:

E(2X-8000)=2E(X)-8000=(2)(6700)-8000=5400 Number of items, x P(x) xP(x) h(x) h(x)P(x) 5000 0.2 1000 2000 400 6000 0.3 1800 4000 1200 7000 0.2 1400 6000 1200 8000 0.2 1600 8000 1600 9000 0.1 900 10000 1000 1.0 6700 5400

Variansi

dari sebuah variabel random adalah ekspektasi kuadrat penyimpangan dari rata-rata (mean):

σ 2 µ 2 µ 2 2 2 2 2 = = − = − = − = ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥− ⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥

∑

V X E X x P x E X E X x P x xP x all x all x all x ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )

Deviasi standar

dari sebuah variabel random adalah

akar kuadrat dari variansi:

σ=SD X( )= V X( )

(9)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 17 Number of Switches, x P(x) xP(x) (x-µ) (x-µ)2 _P(x-µ)2 _x2_P(x) 0 0.1 0.0 -2.3 5.29 0.529 0.0 1 0.2 0.2 -1.3 1.69 0.338 0.2 2 0.3 0.6 -0.3 0.09 0.027 1.2 3 0.2 0.6 0.7 0.49 0.098 1.8 4 0.1 0.4 1.7 2.89 0.289 1.6 5 0.1 0.5 2.7 7.29 0.729 2.5 2.3 2.010 7.3 Number of Switches, x P(x) xP(x) (x-µ) (x-µ)2 _P(x-µ)2 _x2_P(x) 0 0.1 0.0 -2.3 5.29 0.529 0.0 1 0.2 0.2 -1.3 1.69 0.338 0.2 2 0.3 0.6 -0.3 0.09 0.027 1.2 3 0.2 0.6 0.7 0.49 0.098 1.8 4 0.1 0.4 1.7 2.89 0.289 1.6 5 0.1 0.5 2.7 7.29 0.729 2.5 2.3 2.010 7.3 σ µ µ 2 2 2 _{2 01} 2 2 2 2 7 3 2 32 2 01 = = − = ∑ − = = − = ∑⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − ∑⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = − = V X E X x all x P x E X E X x all x P x all xxP x ( ) [( ) ] ( ) ( ) . ( ) [ ( )] ( ) ( ) . . .

Variansi dan Deviasi Standar (2)

Variansi darifungsi linier dari sebuah variabel random:

V a X b

(

+ =

)

a V X

2

( )

=

a

2

σ

2 Number of items, x P(x) xP(x) x2_P(x) 5000 0.2 1000 5000000 6000 0.3 1800 10800000 7000 0.2 1400 9800000 8000 0.2 1600 12800000 9000 0.1 900 8100000 1.0 6700 46500000 σ σ σ σ 2 2 2 2 2 2 2 2 8000 46500000 6700 1610000 1610000 1268 86 2 8000 2 4 1610000 6440000 2 8000 2 2 1268 86 2537 72 = = − = ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥− ⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − = = = = − = = = = − = = = ∑ ∑ − V X E X E X x P x xP x SD X V X V X SD x all x all x x x ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( . ) . ( )

(10)

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 19 Mean atau nilai ekspektasi dari penjumlahanvariabel

random adalah penjumlahan nilai ekepektasinya:

µ

₍_{X Y}₊₎

=

E X Y

(

+ =

)

E X

( )

+

E Y

( )

= +

µ µ

_X _Y

Contoh: E(X) = $350 dan E(Y) = $200 E(X+Y) = $550

Variansi dari penjumlahan variabel random yang

independen adalah jumlah variansinya: . independen Y dan X jika hanya dan jika ) ( ) ( ) ( 2 2 ) ( 2 Y X Y X V X Y V X V Y

σ

+ = + = + = +

Contoh: V(X) = 84 dan V(Y) = 60 V(X+Y) = 144

Sifat-sifat Mean dan Variansi

Teorema Chebyshev untuk distribusi probabilitas adalah sama halnya untuk distribusi frekuensi.

Untuk sebuah variabel random X dengan mean m, deviasi standar s, dan untuk setiap

k

> 1 berlaku:

P X k k ( − <

µ

σ

) ≥ −1 1₂ 1 1 2 1 1 4 3 4 75% 1 1 3 1 1 9 8 9 89% 1 1 4 1 1 16 15 16 94% 2 2 2 − = − = = − = − = = − = − = =

Sekurangnya berada deviasi standar

dari mean 2

3 4

(11)

Sebuah variabel random kontinyu adalah variabel random yang dapat bernilai apapun dalam suatu interval.

Probabilitas variabel random kontinyu X ditentukan oleh fungsi densitas

(probability density function), dinyatakan olehf(x), dengan sifat sbb: 1. f(x) > 0 untuk setiapx.

2. Probabilitas bahwaXberada diantaraadanbadalah luas area di bawah kurva f(x) di antara titika dan b.

3. Luas total area di bawah kurvaf(x)adalah 1.00.

Fungsi distribusi kumulatif odari variabel random kontinyu adalah:

F(x) = P(X < x) = area di bawahf(x) diantara nilai terkecil yang mungkin dariX (seringkali∝) dan titikx.

Sebuah variabel random kontinyuadalah variabel random yang dapat bernilai apapun dalam suatu interval.

Probabilitas variabel random kontinyu X ditentukan oleh fungsi densitas

(probability density function), dinyatakan olehf(x), dengan sifat sbb: 1. f(x) > 0 untuk setiapx.

2. Probabilitas bahwaXberada diantaraadanbadalah luas area di bawah kurva

f(x) di antara titika dan b.

3. Luas total area di bawah kurvaf(x)adalah 1.00.

Fungsi distribusi kumulatifodari variabel random kontinyu adalah:

F(x) = P(X < x) = area di bawahf(x) diantara nilai terkecil yang mungkin dariX

(seringkali∝) dan titikx.

3-5 Variabel Random Kontinyu

F(x) f(x) x x 0 0 b a F(b) F(a) 1 b a

}

P(a ≤ X ≤ b) = luas area

dibawah f(x) di antara titik

a dan b = F(b) - F(a) P(a ≤ X ≤ b)=F(b) - F(a)

Fungsi Densitas dan Distribusi

Kumulatif

(12)

Sifat-sifat Fungsi Densitas

• < < = ∫b = − afx t dt Fx b Fx a b X a P[ ] ( ) ( ) ( )

• F_X(x) adalah fungsi tidak menurun (

non decreasing

function

)

• Dengan teori limit diperoleh Fx(∞)=∫−∞∞fx(t)dt=1 dan

0 )

(−∞ =

x

F , sehingga 0≤F_X(x)≤1

• Jika

f

x

(x)

adalah kontinyu maka

∫ +∆ =∆ = ∆ + ≤ ≤ x x x fx t dt xfx E x x X x P[ ] () ( ) dimana x∆ >0 dan

x

E

x

≤

+

∆

• P[X >x]=1−P[X ≤x]=1−F_x(x)

• Jika variabel random

X

adalah diskrit, maka

P(X

i

)

>0 dan

∑

∞ =1 = 1 ) ( i i X P

Ekspektasi dan Variansi (1)

• Variabel random

X

dalam rentang

R

. Ekspektasi variabel random

X

adalah integral perkalian semua nilai variabel random dengan fungsi densitasnya dan dinotasikan oleh

∫

∈ ⋅ = R x dx x f x X E( ) ( ) _.

• Variabel random

X

dalam rentang

R

. Variansi variabel random

X

adalah integral perkalian kuadrat nilai fungsi dengan fungsi densitasnya dan dinotasikan oleh

(

)

[

]

2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( X E dx x f x dx x f X E x X V R x i R x i − ⋅ = ⋅ − =

∫

∈ ∈

(13)

Ekspektasi dan Variansi (2)

Nilai ekspektasi dikenal sebagai metoda estimasi tidak

bias (

unbiased

) terhadap harga rata-rata variabel random

(

the first moment

), sedangkan nilai variansi dikenal

sebagai metoda estimasi tidak bias (

unbiased

) terhadap

penyimpangan (variansi) variabel random.

Fraksi pertama pada persamaan variansi dikenal sebagai

momen kedua (

the second moment

), dengan demikian

variansi dapat disusun dari pengurangan momen kedua dengan kuadrat momen pertama atau

variansi

= (

second moment

) - (

first moment

)2_.

3-6 Kovariansi dan Korelasi (1)

Kovariansi (biasa dinyatakan dengan σ ) menjelaskan 12

penyebaran relatif nilai variabel random terhadap lokasi ekspektasinya secara simultan untuk dua variabel random. Kovariansi diformulasikan oleh persamaan berikut

[

( ( ))( ( ))

]

) , ( Cov X1 X2 = E X1−E X1 X2−E X2 =E(X₁⋅X₂)−

[

E(X₁)⋅E(X₂)

]

.

Koefisien korelasi menjelaskan kekuatan hubungan antara dua variabel rom dan diformulasikan sebagai berikut

2 1 12 2 1 2 1 ) ( ) ( ) , ( Cov σ σ σ ρ ⋅ = ⋅ = X V X V X X

(14)

Kovariansi dan Korelasi (2)

Jika variabel random X1 dan X2 saling independen, maka

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 X E X E dx x f x dx x f x dx dx x f x x f x dx dx x x f x x X X E ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ −

• Dua variabel random yang saling independen secara

teoritis memiliki koefisien korelasi nol ρ=0, tidak perlu

dihitung secara empiris.

• Perlu dibedakan antara dua variabel yang independen dan yang tidak berkorelasi (koefisien korelasi kecil atau nol).

3-7 Distribusi Bivariat (1)

Untuk setiap hasil [x1i,x2j] dari dua variabel random [X1, X2],

fungsi distribusinya disebut sebagai fungsi distribusi kumulatif bivariat, dan didefinisikan oleh

] [ ) ( 1, 2 1 1 2 2 2 1 x x P X x danX x Fxx = ≤ ≤ .

Fungsi padat kemungkinan bivariat f_x₁_x₂(x₁_,x₂) adalah

2 1 2 1 2 1 2 2 , 1 2 1 ) ( ) ( x x x x F x x f xx x x _∂ _∂ ∂ = _{, jika} 2 1 2 / x x F ∂ ∂

∂ _{ada. Dari fungsi}

padat kemungkinan bivariat fx1x2(x1,x2), dapat ditentukan

besarnya nilai kemungkinan untuk rentang tertentu ∫ ∫−∞ −∞ = 1 2 2 1 2 1 2 1 2 , 1 2 1 ( ) ( , ) α α dx dx x x f x x Fx x xx

(15)

Distribusi Bivariat (2)

Contoh :

Ada dua variabel random dari hasil pengelasan, yaitu diameter (X1) dan kekuatan (

strength

) (X2). Diketahui

bahwa rentang variable random adalah 0≤ x₁<0.25 cm dan

2000

0≤ x2≤ kg dan diasumsikan berdistribusi uniform

otherwise 0 2000 0 , 25 . 0 0 ) , ( ₅₀₀1 ₁ ₂ 2 1 = ≤ ≤ < ≤ = x x x x f

Besar probabilitas bahwa P(0.1≤X₁≤0.2 ,100≤X₂≤200)

adalah 50 1 2 . 0 1 . 0 2 1 500 1 200 100

=

∫

dx

_.

Distribusi Bersyarat dan Marginal (1)

• Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat

Fx

1

(x

1

)

dan

fx

1

(x

1

)

dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada sebagian rentang variabel random

pasangannya (

x

2), disebut distribusi kemungkinan

bersyarat

(

conditional

).

• Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk univariat

Fx

1

(x

1

)

dan

fx

1

(x

1

)

dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada seluruh rentang variabel random

(16)

Distribusi Bersyarat dan Marginal (2)

Jika p(x₁_i,x₂_j) atau f(x1,x2) diketahui:

• Untuk variabel random X1 distribusi marginalnya adalah :

L , 3 , 2 , 1 ) , ( ) ( all 2 1 1 1 x =∑p x x i= p j i j i (diskrit), atau ∫ ∞ ∞ − = 1 2 2 1 1(x) f(x,x)dx f (kontinyu).

• Untuk variabel random X2 distribusi marginalnya adalah :

L , 3 , 2 , 1 ) , ( ) ( all 2 1 2 2 x =∑p x x j= p i i j j (diskrit), atau ∫ ∞ ∞ − = 1 2 1 2 2(x ) f(x,x)dx f (kontinyu).

Distribusi Bersyarat dan Marginal (3)

Contoh :

Pertimbangkan dua variabel random dari hasil pengelasan, yaitu diameter (X1) dan kekuatan (

strength

) (X2) dari

contoh sebelumnya.

Distribusi marginal X1 dan X2 dari bivariatnya adalah: otherwise. 0 25 . 0 0 4 ) ( 1 2000 0 2 500 1 1 1 = < ≤ = = _∫ dx x x f dan otherwise. 0 2000 0 ) ( 2000 2 1 25 . 0 0 1 500 1 2 2 = < ≤ = = _∫ dx x x f

(17)

Distribusi Bersyarat dan Marginal (4)

Jika

A

dan

B

merupakan dua kejadian sedemikian sehingga diperoleh rentang A=[X1≤α]danB=[β1 ≤X2 ≤β2], maka dari

persamaan kemungkinan bersyarat dapat diperoleh ∫ ∫ ∫−∞ = ∩ = ₂ 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ) ( ) , ( ) ( ) ( ) | ( _β β α β β dx x fx x dx x x x fx B P B A P B A P dimana

P(B)

diasumsikan

≠

0

.

Selanjutnya dengan cara yang sama dan variabel random X2

tidak dalam seluruh rentang (tapi pada batas tertentu, β), maka dapat diformulasikan fungsi densitas probabilitas bersyarat fx1(α | X2 =β).

Distribusi Bersyarat dan Marginal (5)

Formulasi fungsi densitas probabilitas bersyarat diberikan oleh persamaan ) ( ) , ( ) | ( 2 2 1 2 1 _β β α β α x x x f f X fx = = ⇔ α β α β α ∂ = ∂ = = ) ( | ) | ( 1 2 2 1 X Fx X fx ,

dan dengan cara yang sama

) ( ) , ( ) | ( 1 2 1 2 _α β α α β fx x fx fx = .

Persamaan terakhir ini disebut teorema Bayes untuk fungsi densitas probabilitas seperti halnya teorema Bayes untuk nilai kemungkinan.

(18)

3-8 Moment Generating Function (1)

Definisi:

Untuk variabel random X, moment generating function

)

(t

MX

dari fungsi distribusinya adalah nilai ekspektasi dari

tX

e

, dan secara matematis diformulasikan sebagai berikut

kontinyu X ) ( diskrit X ) ( ) ( ) ( all dx x f e x P e e E t M tx i i tx tX X i ∫ ∑ ∞ ∞ − ⋅ ⋅ = =

Jika

moment generating function

untuk sebuah fungsi

distribusi probabilitas ada, maka

moment generating function

tersebut adalah

unique

(menentukan pola proses stokastik

yang diikuti oleh sebuah variabel random).

Moment Generating Function (2)

Dengan menggunakan power series, dapat diperoleh

momen-momen sebagai berikut

L L L L L L + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + = + + + + + = ! ' ! 2 ' 2 ' 1 ! ! 2 2 ! ! 2 2 2 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 r t r t X r t r t tX r X t X t tX r r r r t t M X E X E t X E e E tX e µ µ µ

Selanjutnya, untuk beberapa momen awal (momen ke-r),

dapat dievaluasi dengan turunannya (ke-r) pada kondisi

dimana t=0 :

[

]

' 0 0 | ) ( r tX _t _r t X dt d _M _t _E_X _e r r µ = = = = .

Dua momen awal yang penting, yaitu M'_X(0)=E[X], ] [ ) 0 ( 2 '' _E _X

M X = , menjelaskan rata-rata dan variansi melalui

2 2_] ₍ _[ _]) [ ] [X E X E X V = − .

(19)

Moment Generating Function (3)

Contoh: Sebuah variabel random X mengikuti distribusi

binomial otherwise 0 , , 2 , 1 , 0 , ) 1 ( ) ( = = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − n x p p x n x p x n x K

Fungsi pembangkit momennya adalah t n

X t pe p

M ()=( +(1− )) .

Turunan pertama dan kedua fungsi pembangkit momen

tersebut adalah 1 )) 1 ( 1 ( ) ( ' = t + t− n− X t npe pe M dan 2 )) 1 ( 1 )( 1 ( ) ( '' = t − + t + t− n− X t npe p npe p e M .

Dengan demikian dapat ditentukan rata-rata adalah np t M _X _t = = = =0 ' 1 µ ' ()|

µ dan momen kedua '' ()| 0 (1 )

'

2 =M X t t= =np −p+np

µ ,

sehingga variansi adalah ' 2 (1 ) ( )2 (1 )

2−µ =np − p+np − np =np − p

µ .

3-9 Fungsi Transformasi (1)

Seringkali dua variabel random mengalami transformasi atau merupakan fungsi dari variabel random yang lain. Misalkan

variabel random t merupakan transformasi dari sebuah

variabel random normal dan sebuah variabel random chi-kuadrat.

Pembentukan fungsi distribusi melalui transformasi dilakukan dengan langkah-langkah berikut :

1. Diperoleh fungsi dari dua variabel random x1 dan x2 sebagai

(20)

Fungsi Transformasi (2)

2. Jika diamati variabel random lain yang juga merupakan fungsi

dari dua variabel random x1 dan x2 sebagai berikut

) , ( ₁ ₂ 2 X X H Z = .

3. Dari kedua fungsi transformasi, dapat dibentuk fungsi-fungsi

berikut x1 =G1(y,z) dan x2 =G2(y,z).

4. Hitung turunan dari ∂_∂x_y1

, z x ∂ ∂ 1 , ∂_∂x_y2 dan z x ∂ ∂ 2 .

5. Tentukan fungsi gabungan untuk y dan z dengan fungsi berikut

l(y,z)=h[G₁(y,z),G₂(y,z)]⋅J(y,z), dimana z x y x z x y x z y J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 1 1 ) , ( = _.

6. Tentukan fungsi marginal y dengan f(y)=

∫

l(y,z)dz_.

3-10 The Law of Large Number (1)

Sebuah eksperimen dilakukan berulang kali sebanyak

n

kali. Misalkan hanya ada 2

outcomes

, yaitu sukses dan

gagal, maka P S( )= p dan P G( )= − =1 p q yang berharga

konstan untuk j= 1 2 3, , ,_{L .},n

Definisikan X_j =⎧_⎨

⎩

0, Outcome adalah Gagal

1, Outcome adalah Sukses , dan

Y = X₁+X₂+ +_L X_n,

adalah jumlah sukses dari eksperimen tersebut, maka Y n/

(21)

The Law of Large Number (2)

Ekspektasi dan variansi

Y

adalah

[

]

E Y( )= ⋅n E X( _j)= ⋅n (0⋅q)+ ⋅(1 p) =np, dan

[

]

V Y( )= ⋅n V X( j)= ⋅n (02⋅q)+(12⋅p)−p2 =np(1−p).

Karena p$=( /1 n)⋅Y, maka E p($ ) ( / )= 1 n ⋅E Y( )= p dan V p(_{$ ) ( / )}= 1 n 2⋅V Y( )= p(1_n−p).

The law of large number

menyatakan bahwa

[

]

P p p p p n $− <ε ≥ − ( − ) ε 1 1 2 , atau P p

[

p

]

p p n $− ≥ε ≤ ( − ) ε 1 2 yang diturunkan dari P p p k p p n k $− < ( − ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ≥ − 1

1 1₂ (

chebyshev’s inequality

). Jika

digunakan ε=k p(1−p) /n, maka dihasilkan

[

]

P p p p p n $− <ε ≥ − ( − ) ε 1 1 ₂ .

The Law of Large Number (3)

Untuk ε > 0 dan n→ ∞, maka P p

[

$ −p <ε

]

→1 (kepastian, memiliki

konvergensi secara probabilistik). Jika dituliskan P p

[

$ −p <ε

]

≥ −1 α,

maka dengan menentukan ε dan α, dapat dicari n≥ p(1−p)

2

ε α .

Contoh : Sebuah proses memiliki kemungkinan memberikan produk

cacat sebesar p (unknown). Diinginkan dengan kemungkinan 0.95

bahwa error $p p− tidak lebih dari 0.01, maka n≥ p( −p)

( . ) .

1 0 0120 05.

Asumsikan bahwa proporsi cacat maksimum adalah 0.5. Maka

n≥ 50000, artinya keinginan untuk mencapai perbedaan estimasi

kecil (akurat) dengan probability tinggi (presisi) mensyaratkan ukuran sampel yang sangat besar.