Materi FEM
• Aljabar matrix
• Analisis struktur metode matrix
• Teori elastisitas
• Virtual work and energi
• Konsep metode element hingga
• Program komputer dan aplikasi
Teori Elastisitas
Respons suatu struktur solid bentuk sembarang akibat external forces
Persamaan Keseimbangan (3D)
F searah sb. X = 0
= 0
+
+
+
x y z F x y z
z z y
y x z
y
x x
xyx zx
x
= 0
+ +
+
x yx zx
x
F
z y
x
= 0
+ +
+
y zy
y
xy
F
z y
x
= 0
+ +
+
z yz z
xz
F
z y
x
Persamaan differensial keseimbangan
Persamaan Keseimbangan (3D)
M terhadap sb. X, sb. Y dan sb. Z
yx xy
zx xz
zy
yz
= ; = ; =
State of stress pada suatu titik dalam struktur → diperlukan 6 komponen tegangan independen:
yz xz
xy z
y
x
, , , , ,
Persamaan Keseimbangan pada boundary
Differential element pada permukaan solid dengan luas S
n m
l
X
s=
x +
xy +
xz
Forces acting on a boundary element of surface area S
Normal dari permukaan bid luar element tetrahedral mempunyai cosinus arah l, m, n.
n m
l
Y
s=
xy +
y +
yz n m
l
Z
s=
xz +
yz +
z
Static boundary condition
Strain-Displacements Equation (3-D)
Deformation of 3-Dimensional Body
2 2
2
2
dx dy dz
ds = + +
Sebelum terjadi deformasi :
Setelah terjadi deformasi :
d s
2= d x
2+ d y
2+ d z
2Deformation of 3-Dimensional Body
z z w
y y v
x x u
−
=
−
=
−
=
Chain rule of partial differentiation :
z dz dy u
y dx u
x du u
+
+
=
dz dw
z d
dy dv
y d
dx du
x d
+
=
+
=
+
=
2 2
2 2
2 2
2
dx dy dz 2 du dx 2 dv dy 2 dw dz du dv dw
s
d = + + + + + + + +
( )
2 2 22
2
ds 2 du dx dv dy dw dz du dv dw
s
d − = + + + + +
z dz dy v
y dx v
x dv v
+
+
=
z dz dy w
y dx w
x dw w
+
+
=
( )
dydz dxdz
dxdy
dz dy
dx ds
s d
yz xz
xy
z y
x
2 2
2
2 2
2
2 2 22 2
+ +
+ +
+
=
−
( d s
2− ds
2)
: Deformation of the body“strain measures”
Strain-Displacements Equation (3-D)
• u, v, w adalah continous, single valued functions of x, y, z dan kecil sekali dibanding dimensi struktur
• Asumsi: kuadrat atau perkalian derivatif pertama dapat diabaikan
z w
y v x u
z y x
=
=
=
z u x
w
z v y
w
y u x
v
xz yz xy
+
=
+
=
+
=
• Strain-displacement equation → fungsi linear
• Physical meaning :
x = perubahan panjang serat per unit panjang serat, yang semula searah sb. X → longitudinal strain
xy = perubahan sudut antara line elements tergambar akibat deformasi, pada bid. XY → shearing strain
Physical meaning :
x = perubahan panjang serat per unit panjang serat, yang semula searah sb. X → longitudinal strain
xy = perubahan sudut antara line elements tergambar akibat deformasi, pada bid. XY → shearing strain
x v y
u x
v y u
+
= +
=
=
=
=
=
2 1
xy 2
2
1 1
kecil
sin sin
Compatibility Equation
1. Komponen regangan dan displacement harus memenuhi kondisi deformasi pada semua titik dalam struktur (body).
2. Displacement harus konsisten dengan constraints pada boundaries-nya.
3. Element struktur harus berdeformasi sedemikian sehingga konsisten dengan deformasi element-elemen sebelahnya.
4. u, v, w → continuity conditions dan single valued untuk tiap titik tinjauan
➢ Komponen displacement u, v, w → fungsi kontinyu dari x, y, z → dapat ditentukan regangan x y z xy yz xz pada semua titik secara unique dan konsisten dengan displacement
➢ Diberikan komponen regangan x y z xy yz xz → 6 pers dengan 3 bilangan tidak diketahui (u, v, w) → overdetermined, tidak single valued
Perlu persamaan tambahan untuk mencapai kontinuitas dan single values = compatibility equation
Compatibility Equation
Stress – Strain Equation
1. Static condition → variabel kinetic = gaya dan tegangan
2. Kinematic conditions → variabel kinematic = dispacements dan regangan
➢ Diperlukan constitutive equations untuk menghubungkan kondisi 1 & 2
➢ Sifat dari bahan struktur menentukan (pers. Tegangan-regangan) → uji Lab
➢ Bahan struktur elastis → Hukum Hooke → Generalized Hooke’s Law:
Dua kondisi dalam analisis struktur:
Stress – Strain Equation
➢ Bahan elastis - homogen → setiap titik pada struktur memiliki sifat yang sama.
Koefisien a11, a12, … a66 konstan
➢ Bahan elastis - homogen - isotropic → E, G, sama untuk semua arah. 36 koefiesien berkurang hanya melibatkan 3 konstanta : E, G,
) 1
(
2 +
= E
G
/G /G /G 1 (
1 (
1 (
xz yz xy
xz yz xy
z x
z z
z x
y y
z y
x x
E E E
=
=
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
xz yz xy
G G G
) 1 ( )
2 1 )(
1 (
) (
) 1 ( )
2 1 )(
1 (
) (
) 1 ( )
2 1 )(
1 (
) (
=
=
=
+ +
− +
+
= +
+ +
− +
+
= +
+ +
− +
+
= +
xz yz xy
z z
y x
z
y z
y x
y
x z
y x
x
E E E E E E
Stress – Strain Equation
➢ Secara matrix, pers tegangan – regangan
+ +
− +
−
−
−
−
−
=
xz yz xy z y x
xz yz xy z y x
E E
E E
E E
E E
E
E E
E
) 1 ( 0 2
0 0
0 0
) 0 1 ( 0 2
0 0
0
0 ) 0
1 ( 0 2
0 0
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0 1
−
−
− −
−
−
−
= +
xz yz xy z y x
xz yz xy z y x
E
2 ) 2 1 0 (
0 0
0 0
2 0 ) 2 1 0 (
0 0
0
0 2 0
) 2 1 0 (
0 0
0 0
0 )
1 (
0 0
0 )
1 (
0 0
0 )
1 (
2 1 )(
1 (
Teori Elastisitas 2-D
➢ Plane Stress
➢ Plane Strain
➢ Axissymmetry
Plane Stress
➢ Struktur tipis, beban luar yang bekerja arahnya dalam bidang struktur tsb.
Plane Stress
➢ z, zx dan zy sangat kecil dibanding komponen lain 0
➢ Komponen tegangan yg diperhitungkan x, y dan xy
0
)
1 ( 2
0
1
1
xz yz
+ =
=
=
=
−
=
− +
=
−
=
xy xy
xy
x y
y
y x
z y
x x
E G
E
E E
(
1 1 (
1 (
z x
z z
z x
y y
z y
x x
E E E
+
−
=
+
−
=
+
−
=
/G /G /G
xz yz xy
xz yz xy
=
=
=
Plane Stress
➢ Stress-strain equation struktur “plane stress” (dalam bentuk matrix):
+
−
−
=
xy y x
xy y x
E E
E
E E
) 1 ( 0 2
0
1 0 1 0
− −
=
xy y x
xy y x
E E
) 1 0 (
0
0 1
0 1
) 1
( 2
= E
E = skalar → modulus elastis[E] = matrix yang menghubungkan dan
Plane Stress
➢ Pers keseimbangan 3D: Pers keseimbangan 2D (Plane Stress)
= 0
+ +
+
x yx zx
x F
z y
x
= 0
+ +
+
y zy
y
xy F
z y
x
= 0
+ +
+
z yz z
xz F
z y
x
➢ Static boundary condition
n m
l
X
s=
x +
xy +
xz n m
l
Y
s=
xy +
y +
yz n m
l
Z
s=
xz +
yz +
z
= 0
+ +
x x yx
y F x
= 0
+ +
y y
xy F
y x
m l
X
s=
x +
xy m l
Y
s=
xy +
y
Plane Stress
➢ Pers strain-displacement
z w
y v x u
z y x
=
=
=
z u x
w
z v y
w
y u x
v
xz yz xy
+
=
+
=
+
=
y u x
v y v x u
xy y x
+
=
=
=
=
v u
x y
y x
xy y x
0
0
= D u
Plane Strain
➢ Struktur panjang (relatif panjang dibanding dimensi lintang)
➢ Beban bekerja sepanjang struktur dengan arah pada bidang X-Y
➢ Kedua ujung struktur praktis tidak bisa bergerak
Plane Strain
➢ Komponen displacement pada arah Z (yaitu w) = 0. Komponen displacement lain u dan v adalah fungsi dari x dan y saja
➢ z = 0 ; xz = 0 ; dan yz = 0
z z
y x
z
y z
y x
y
x z
y x
x
E E E E E E
) 1 ( )
2 1 )(
1 (
) (
) 1 ( )
2 1 )(
1 (
) (
) 1 ( )
2 1 )(
1 (
) (
+ +
− +
+
= +
+ +
− +
+
= +
+ +
− +
+
= +
xz yz xy
G G G
=
=
=
xz yz xy
xy xy
y x
y
y x
x
E
E E
E E
) 1 ( 2
) 2 1 )(
1 (
) 1 ( )
2 1 )(
1 (
) 2 1 )(
1 ( )
2 1 )(
1 (
) 1 (
= +
− +
+ −
−
= +
− + +
− +
= −
Plane Strain
➢ Stress-strain equation struktur “plane strain” (dalam bentuk matrix):
− −
−
−
= +
xy y x
xy y
x E
2 ) 2 1 0 (
0
0 )
1 (
0 )
1 ( ) 2 1 )(
1 (
= E
− −
=
xy y x
xy y x
E E
) 1 0 (
0
0 1
0 1
) 1
( 2
➢ Stress-strain equation struktur “plane stress” (dalam bentuk matrix):
Plate Bending
➢ Struktur tipis (a >> t ; b >> t)
➢ Beban luar bekerja dgn arah ⊥ bid struktur
Plate Bending
➢ Seperti plane stress, z, zx dan zy sangat kecil dibanding komponen lain 0
➢ Stress-strain equation:
− −
=
xy y x
xy y x
E E
) 1 0 (
0
0 1
0 1
) 1
( 2
= E
Plate Bending
➢ Pada “mid surface” → displacement hanya dianggap terjadi pada arah Z (⊥
pelat), yaitu w (komponen u dan v dianggap nol) Komponen arah Z dari displacement = f (X dan Y)
Slope in x direction:
Curvature:
“Twist” di (X1, Y1)
y x
w
2
2 2
x w
x w
Asumsi “Kirchoff” (generalisasi) teori Bernaulli untuk “Beam”
Plate Bending
➢ Setiap garis yang ⊥ “mid-surface” sebelum terjadi bending, tetap ⊥ “mid- surface setelah terjadi bending
u = displacement arah x
x Z w
−
=
2 2
x Z w x
u
x
−
=
=
y x Z w x
v y
u
xy
−
= +
=
2 2v = displacement arah y
y Z w
−
=
2 2
y Z w y
v
y
−
=
=
−
−
−
=
y x Z w
y Z w
x Z w
xy y x
2 2 2
2 2
2
Dalam notasi matrix:
Plate Bending
➢ Stress resultants
Mx = bending moment per unit length
“about X-axis”
( )
z dzdz E z
M
t
t
y x
t
t x
x 1 (1 )
2 /
2 /
2 2
/
2
/
−−
− +
=
=
+
−
= y
w x
D w
Mx 2
2 2
2
+
−
= y
w x
D w
My 2
2 2
2My = bending moment per unit length “about Y-axis”
) 1
(
12 2
3
= Et− D
Flexural rigidity of the plate
Plate Bending
➢ Stress resultants
Mxy = twisting moment per unit length due to xy
y x D w
dz z
M
t
t xy
xy
−
−
=
=
− 2 2 /
2 /
) 1 (
1
Myx = Mxy → besarnya sama, bekerja pada bidang yang berbeda Myx = twisting moment per unit length due to yx
Plate Bending
➢ Ditinjau differential element dx dy pada pelat yang dibebani beban terbagi rata/satuan luas (⊥ pelat)
Mx My Mxy Qx Qy → f(X,Y)
Q arah Z = 0 : + = 0
+
y Q x
Qx y
M terhadap sb. X : xy y Qy y
M x
M =
+
M terhadap sb. Y : x xy Qx y
M x
M =
+
−
= +
+
2 2 2
2 2
2 y
M y
M x
Mx xy y
Pers Differensial dari equilibrium of plate
Plate Bending
−
= +
+
2 2 2
2 2
2 y
M y
M x
Mx xy y
The Governing Differential Equation for Deflection of thin plate
(Langrange)
+
−
= y
w x
D w
Mx 2
2 2
2
+
−
= y
w x
D w
My 2
2 2
2y x D w
Mxy
−
−
= (1
) 2D y
w y
x w x
w =
+
+
4 4 2
2 4 4
2
2
Plate Bending
➢ Persamaan untuk “shear forces” Qx dan Qy
+
−
= +
= 2 2 2 2
y w x
w D x
y M x
Qx Mx xy
+
−
= +
= 2 2 2 2
y w x
w D y
x M y
Qy My xy
Plate Bending
➢ Persamaan untuk xz, yz, dan z
Equilibrium equations (3D) dengan body forces = 0
= 0
+
+
z y
x
xy xz
x
− −
=
xy y x
xy y x
E E
) 1 0 (
0
0 1
0 1
) 1
( 2
−
−
−
=
y x Z w
y Z w
x Z w
xy y x
2 2 2
2 2
2
y dz x
t
z
x xy
xz
= − +
2
/
y x
w Z
E
x w y
w Z
E
y w x
w Z
E
xy y x
+
−
=
+
−
−
−
=
+
−
−
−
=
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
) 1
(
) 1
(
) 1
(
Plate Bending
➢ Persamaan untuk xz
−
=
2
22 1 3
t z t
Q
x
xzt Q
xxz z
xz
2
3
max
=
0=
=➢ Persamaan untuk yz
−
=
2
22 1 3
t z t
Q
y
yzt Q
yz yz yz
2 3
max
=
0=
== 0
+ +
+
z yz z
xz
F
z y
x
Plate Bending
➢ Persamaan untuk z → Equilibrium equations (3D) dengan body forces = 0
y dz x
t
z
xz yz
z
= − +
/2
−
=
2
22 1 3
t z t
Q
x
xz
−
=
2
22 1 3
t z t
Q
y
yzPelat tipis dengan lendutan kecil :
y z
x z
+
−
−
=
2
33 1 2
3 2 4
3
t z t
z
z
= = −
=−2
max t
z z z
Plate Bending
➢ Distribusi komponen tegangan x, y,, dan xy pada pelat
Plate Bending
➢ Effective transverse force per unit length (V) di tepi pelat
➢ Bidang tepi pelat // sb. X (bidang Y)
Ditinjau 2 elemen diferensial berurutan, sepanjang masing-masing dx
➢ Pada batas antara 2 elemen seolah-olah terjadi gaya transversal efektif per satuan panjang, Vy
−
+
−
=
−
+ +
= x y
w y
D w x M
M M Q
Vy y yx yx yx 2
3 3
3
) 2
( )
( )
(
−
+
−
=
−
+ +
= ( ) ( ) 3 3 (2 ) 3 2
y x
w x
D w y M
M M Q
Vx x xy xy xy
Plate on Elastic Foundation
➢ Pelat yang dibebani langsung berada di atas tanah
➢ ks = coefficient of subgrade reaction → pelat mendapat perlawanan dari tanah sebesar : (ks.w) ; dengan w = w (x,y)
➢ Governing equation :
The Governing Differential Equation for Deflection of thin plate (Langrange)
D y
w y
x w x
w =
+
+
4 4 2
2 4 4
2
2
D w k y
w y
x w x
w = − s
+
+
4 4 2
2 4 4
2
2
Axisymetri Problems
➢ Hubungan antara sistem koordinat Cartesian dan Cylindrical:
z Z
r Y
r X
=
=
=
sincos
=
+
=
−
x y y x
r
1 2 2
2
tanAxisymetri Problems
➢ Strain-displacement equation:
z w y v x u
z y x
=
=
=
z u x
w
z v y
w
y u x
v
xz yz xy
+
=
+
=
+
=
z w
v r r u r u
zz rr
=
+
=
=
1
+
=
+
=
− +
=
w r z v
r w z
u
r v r v u
r
z rz r
1 1
u, v, w displacement arah r, , z Axisymetric problem:
- Geometri dan pembebanan simetri terhadap sb z (tidak tergantung )
- Diperoleh dari Body of revolution terhadap sumbu putar z - v = 0; u = f(r,z) ; w = g(r,z)
Axisymetri Problems
➢ Strain-displacement equation:
r = 0 ; z = 0
=
w u
r z
z r
r
rz zz rr
0 1 0
0
r = 0 ; z = 0
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
= +
rz zz rr
rz zz rr
E
2 0 1
0 0
2 0 1 2
1 2
1
2 0 1 2
1 2
1
2 0 1 2
1 2
1 1
) 1 (
= E
Pemodelan elemen hingga untuk axissymmetry probles dapat menggunakan elemen segitiga, segi empat dan quadrilateral → dapat menggunakan lower order maupun higher order displacement functions
