Probabilitas dan Statistika Distribusi Peluang Diskrit 1. Adam Hendra Brata

(1)

Adam Hendra Brata

Probabilitas dan

Statistika

“Distribusi Peluang Diskrit 1”

(2)

Distribusi Peluang

Distribusi Peluang

 Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masing-masing, dan peluang terjadinya

peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang disebut

dengan distribusi

 Distribusi peluang untuk suatu variabel acak menggambarkan bagaimana peluang

terdistribusi untuk setiap nilai variabel acak  Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu

fungsi peluang, dinotasikan dengan p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak

Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

(3)

Distribusi Peluang

Distribusi Peluang

 Ada dua jenis distribusi, sesuai dengan variabel acaknya

 Jika variabel acaknya variabel diskrit, maka distribusi peluangnya adalah distribusi

peluang diskrit, sedangkan jika variabel acaknya variabel yang kontinu, maka

distribusi peluangnya adalah distribusi kontinu

(4)

Distribusi Uniform

Distribusi Uniform

 Distribusi seragam (uniform distribution) diskrit adalah probabilitas distribusi diskrit yang paling sederhana

 Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang semua perubah acaknya

mempunyai probabilitas yang sama

 Bila variabel acak X mengambil nilai-nilai x1, x2, … , xk dengan probabilitas yang sama, maka probabilitas distribusi diskrit diberikan oleh :

k

x

k

x

f

(

;

)



1 ,



₁

,

₂

,



,

Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x

(5)

Distribusi Uniform

Contoh Soal

Dalam suatu percobaan, jika sebuah dadu dilempar sebanyak 6 kali, maka setiap elemen dari ruang sampel

S = {1,2,3,4,5,6} memiliki nilai peluang yang sama yaitu 1/6, karena kesamaan semua nilai peluang ini, kita dapat menyebut bahwa percobaan tersebut berdistribusi seragam (Uniform)

Hitunglah nilai Mean dan Variansinya !

6 ,

5 ,

4 ,

3 ,

2 ,

1 ,

6

1 )

6 ;

(

x



x



f

k

x

k

x

f

(

;

)



1 ,



₁

,

₂

,



,

(6)

Distribusi Uniform

Contoh Soal Mean : Varians :



     k i i k i i i x k x k x f X E 1 1 1 ) ; ( ] [ 



        k i i k i i i x k x k x f X E 1 2 1 2 2 2 ) ( 1 ) )( ; ( ] ) [(    

5 .

3

6

5

4

3

2

1 







12

35

6 )

5 .

3

6 (

...

)

5 .

3

2 (

)

5 .

3

1 (

2 2 2 2

















(7)

Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli

 Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa

usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2 kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan

percobaan bebas satu sama lainnya, serta probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya, maka proses ini disebut proses Bernoulli

(8)

Distribusi Bernoulli

 Suatu eksperimen yang hasilnya selalu diklasifikasikan sebagai S (sukses) dan G

(gagal) saja dengan P(S)=p dan P(G)=q=1-p, jika X adalah variabel acak yang menyatakan sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi probabilitas Bernoulli sebagai fungsi probabilitas sebagai berikut : Mean : Varians : Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

(9)

Distribusi Bernoulli

Contoh Soal

Pada ujian pilihan ganda (4 pilihan), maka Peluang memilih mendapat jawaban benar adalah P(S)=1/4. Sedangkan, Peluang untuk mendapat jawaban salah adalah P(G)=3/4.

Hitunglah nilai Mean dan Variansinya !

µ = E(Xj) = p = 1/4

(10)

Distribusi Bernoulli

 Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses Bernoulli adalah : - Distribusi binomial - Distribusi geometrik - Distribusi hipergeometrik Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

(11)

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

 Distribusi binomial merupakan salah satu contoh proses Bernoulli

 Pada proses Bernoulli, suatu eksperimen sering terdiri dari beberapa usaha yang

berulang-ulang, dimana tiap usaha hanya mempunyai

dua kemungkinan keluaran: sukses atau gagal, kepala atau ekor, barang cacat atau barang

bagus, dll Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

(12)

Distribusi Binomial

 Fungsi distribusi probabilitas f(x) yang menyatakan dari n kali eksperimen

(pengambilan) yang independen mengandung x buah yang sukses adalah :

n

.,

…

0,1,2,

=

Dengan x

)

,

;

(

p

x

q

n x

x

n

p

n

x

b

_















adalah notasi kombinasi untuk C(n, x)

      x n Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

(13)

Distribusi Binomial

 Ciri – ciri distribusi Binomial

 Eksperimen terdiri dari n kali pengulangan  tiap kali pengulangan hanya mempunyai

dua kemungkinan keluaran: “sukses” atau ”gagal”, dll

 Probabilitas “sukses” di tiap percobaan, p, besarnya tetap dari satu percobaan ke

berikutnya

 Satu percobaan dengan yg berikutnya bersifat independen Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

(14)

Distribusi Binomial

Contoh Soal

3 barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik, diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat.

Misalkan yang cacat disebut cacat dan banyaknya kesuksesan merupakan perubah acak X dengan nilai 0 sampai 3

Hasil X TTT TCT TTC CTT TCC CTC CCT CCC 0 1 1 1 2 2 2 3

C=cacat ; T=tidak cacat (baik) Karena barang diambil secara acak, dan misalkan dianggap menghasilkan 25% barang cacat, maka

3 1 3 9 4 4 4 64

P(TCT)  P(T)P(C)P(T)  ( )( )( ) 

Probabilitas untuk hasil kemungkinan yang lain dilakukan dengan cara yang sama

(15)

Distribusi Binomial

Contoh Soal

Dengan persamaan Binomial

Distribusi perubah acak X dinyatakan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n) Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat

Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan probabilitas x sukses dalam n usaha suatu percobaan binomial b(x;n,p)

9

1

4

64

2

2 2 3

P(X



)



f( )



b( ; , )



0 1 2

x n x

n

b(x;n,p)

p q

;x

, , ,....,n

x



 



_{ }



 

3 1 4

3

x x

0 1 2 3

b(x; , )

p q

;x

, , ,

x



 



_{ }



 

0

1

n x

b(x;n,p)





(16)

Distribusi Binomial

 Mean / Nilai Harapan (Ekspektasi) dan Variansi dari distribusi binominal :

npq

)

1 (

)

(

2







p

np

x

E

x



(17)

Distribusi Binomial

Contoh Soal

Probabilitas sebuah komponen mobil tidak rusak ketika

dijatuhkan adalah 3/4. Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4 komponen yang dijatuhkan akan tidak rusak ?

Probabilitas sebuah komponen mobil tidak rusak ketika

dijatuhkan adalah 3/4. Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4 komponen yg dijatuhkan akan tidak rusak ?

128 27 16 1 16 9 )! 2 4 ( ! 2 ! 4 ) 4 1 ( ) 4 3 ( 2 4 ) 4 3 , 4 ; 2 ( 2 4 2                     x nx  q p x n p n x b

(18)

Distribusi Binomial

Latihan Soal

1. 90% produk yang dihasilkan sebuah perusahaan berkualitas baik. Kepala bagian produksi mengambil 5 produk, berapa probabilitas bahwa sebuah produk tidak berkualitas baik ?

2. Peluang telur tidak menetas adalah 0,2 dan jika terdapat 5 telur, tentukan peluang dari :

a. jika semua telur menetas b. minimal 4 telur menetas

(19)

Distribusi Multinomial

Distribusi Multinomial

 Percobaan binomial akan menjadi percobaan multinomial jika tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin

 Misalnya hasil produksi pabrik dapat

dikelompokan menjadi barang baik, cacat, dan masih bisa diperbaiki

(20)

Distribusi Multinomial

Distribusi Multinomial

 Bila suatu usaha dapat menghasilkan k macam hasil

 Dengan probabilitasnya maka distribusi perubah acak yang menyatakan banyaknya kejadian

Dalam n-usaha bebas adalah

1 2 k E ,E ,....,E 1 2 k p ,p ,....,p 1 2 k X , X ,...., X 1 2 k E ,E ,....,E 1 2 1 2 1 2 ₁ ₂ 1 2 k k x x x k; k k n f(x ,x ,...,x p ,p ,...,p ,n) p p ...p x ,x ,...,x        1 k i i

x

n





1

k i i

p





Dengan _dan Distribusi Peluang Distribusi Uniform Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Multinomial

(21)

Distribusi Multinomial

Contoh Soal

Dua buah dadu dilempar 6 kali, berapa probabilitas akan mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kombinasi lainnya 3 kali ?

(22)

Terimakasih dan Semoga

Bermanfaat v^^