Probabilitas dan Statistika Teorema Bayes. Adam Hendra Brata

Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika

“Teorema Bayes”

Introduksi - Joint Probability

Peluang Kejadian Bersyarat

Jika munculnya A mempengaruhi peluang

munculnya kejadian B atau sebaliknya, A dan B adalah kejadian bersyarat, sehingga:

Jika A dan B saling bebas, maka A  B = , sehingga P(A | B) = 0

) (

) ) (

|

( p B

B A

B p A

p 



Introduksi Teorema Bayes

Joint Probability – Hukum Perkalian

Contoh Joint Probability – Hukum Perkalian

 Berapa peluang terpilih anak berambut lurus dengan syarat hitam ?

Jenis

Rambut Warna

Hitam Tidak hitam

Lurus 2 0

Ikal 2 4

Keriting 1 2

Introduksi Teorema Bayes

Introduksi - Diskusi

Diskusi

 Bagaimana cara menghitung peluang bersyarat jika terdapat 2 atau lebih kondisi yang saling terkait ?

 Jika misalkan 1 kejadian dipengaruhi oleh beberapa kejadian yang lain ?

Introduksi Teorema Bayes

Teorema Bayes

Teorema Bayes

Teorema Bayes

 Nama teorema Bayes diambil dari nama penemu teorema tersebut, yaitu Reverend Thomas Bayes (1702 – 1761)

 Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa,

berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi peristiwa sebelumya

 Teorema Bayes menyempurnakan teorema probabilitas bersyarat yang hanya dibatasi

oleh 2 buah kejadian sehingga dapat diperluas untuk n buah kejadian

 Dikembangkan secara luas dalam statistika inferensia / induktif

Introduksi

Teorema Bayes

Teorema Bayes

Teorema Bayes

 Aplikasi teorema Bayes banyak ditemukan pada bidang komputer cerdas sebagai salah satu dasar dari metode machine learning dan data mining

Introduksi

Teorema Bayes

Teorema Bayes

Diagram Venn Teorema Bayes



Digunakan bila ingin menghitung

probabilitas  P(B1|A), P(B2|A), …., P(Bn|A)

Introduksi

Teorema Bayes

B¹

B2

B3

A Bn

A Bn

Teorema Bayes

Konsep Formula Teorema Bayes

 Misalkan peristiwa {B1,B2,….,BN} merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel S dengan P(Bn) ≠ 0 untuk n = 1,2,…,N

Dan misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) ≠ 0

Introduksi

Teorema Bayes

untuk N = 3

 

 







^N

n

N

n

n n

n

A P B P A B

B P A

P

1 1

)

| ( ) (

) (

)

(

(1)

Teorema Bayes

Konsep Formula Teorema Bayes

 Berdasar teorema Probabilitas Bersyarat :

 Probabilitas bersyarat suatu peristiwa A,

dengan syarat peristiwa B didefinisikan sebagai:

P(A|B) = P(A  B) / P(B) ; P(B) > 0 (2)

Atau

P(B|A) = P(B  A) / P(A) ; P(A) > 0 (3)

 Dimana berdasar teori himpunan kita ketahui : P(A  B) = P(B  A) (4)

Introduksi

Teorema Bayes

Teorema Bayes

Konsep Formula Teorema Bayes

 Sehingga dari persamaan (3) dengan (4) didapatkan :

P(AB) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) (5)

 Maka

P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A)

P(B|A) = P(A|B) P(B) / P(A) (6) Introduksi

Teorema Bayes

Teorema Bayes

Konsep Formula Teorema Bayes

 Berdasarkan hubungan probabilitas A dengan probabilitas kejadian bersyarat sebagaimana ditunjukkan persamaan (1), yaitu :

Introduksi

Teorema Bayes





^N

n

n n

P B B

A P

A

P ( ) ( | ) ( )

Teorema Bayes

Konsep Formula Teorema Bayes

 Sehingga Probabilitas suatu kejadian yang

dibatasi oleh n buah kejadian sebagai syaratnya akan kita peroleh dari penurunan rumus sebagai berikut :

Introduksi

Teorema Bayes

N n

B A P B

P

B A P B

P A

P

B A

A P B

P

_N

n

n n

n n

n

n

; 1 , 2 ,..

)

| ( ) (

)

| ( ) (

) (

) ) (

| (

1



 

 



) (

)

| ( ...

) ( )

| ( )

( )

| (

) (

)

| ) (

| (

2 2

1

1 n n

n n

n

P A B P B P A B P B P A B P B

B P B

A A P

B

P    

Teorema Bayes

Formula Teorema Bayes

 Secara umum formula teorema Bayes adalah sebagai berikut :

Introduksi

Teorema Bayes

𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵

Peluang Posterior

Peluang Prior Peluang Likelihood

Peluang Evidence

Teorema Bayes

Formula Teorema Bayes

 Peluang Posterior adalah prediksi peluang

munculnya satu kejadian berdasarkan informasi dari kejadian yang lain

 Peluang Prior adalah peluang munculnya suatu kejadian yang sudah kita yakini sebelumnya dan bisa jadi kejadian ini dipengaruhi kejadian yang lain

 Peluang Likelihood adalah peluang yang menyatakan derajat kemungkinan pengaruh

suatu informasi kejadian terhadap kejadian yang lain

 Peluang Evidence adalah sebuah ukuran pembanding konstan berdasarkan peluang suatu informasi kejadian

Introduksi

Teorema Bayes

Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (1)

 Sebuah Warnet biasanya membutuhkan koneksi internet yang cukup agar semua aktivitas pelanggannya terjamin dari adanya pemutusan aliran paket data internet. Terdapat dua sumber layanan data internet (ISP) yang digunakan, yaitu ISP A dan ISP B (untuk backup). Bila koneksi internet ISP A padam maka secara otomatis ISP B akan aktif dan memberikan aliran data untuk seluruh PC Client . Masalah yang selama ini menganggu adalah ketidakstabilan koneksi internet, baik dari ISP A

maupun ISP B, yang akan mengganggu kenyamanan

pelanggan. Selama beberapa tahun terakhir, diketahui bahwa probabilitas terjadinya koneksi internet mati adalah 0.1,

dengan kata lain peluang bahwa warnet itu menggunakan ISP A adalah 0.9 dan peluang menggunakan ISP B adalah

0.1.Peluang terjadi ketidakstabilan pada koneksi ISP A maupun ISP B masing-masing 0.2 dan 0.3.

Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (1) Pertanyaan :

1. Berapa peluang terjadi ketidakstabilan koneksi internet (secara keseluruhan, baik dengan ISP A maupun ISP B) ?

2. Bila suatu saat diketahui terjadi ketidakstabilan koneksi internet , maka berapakah probabilitas saat itu koneksi internet berasal dari ISP B ?

Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (1)

1. Peluang terjadi ketidakstabilan koneksi internet Diketahui :

P(B1) = 0.9 P(B2) = 0.1 P(A|B1) = 0.2 P(A|B2) = 0,3

B1 : Peristiwa ISP A digunakan B2 : Peristiwa ISP B digunakan

A : Peristiwa terjadinya ketidakstabilan Koneksi Internet

Maka :

P(A) = P(B1).P(A|B1) + P(B2).P(A|B2)

= (0.9).(0.2)+(0.2).(0.3)

= 0.21

Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (1)

2. Peluang terjadi ketidakstabilan koneksi internet jika koneksi internet berasal dari ISP B ?

Diketahui : P(B1) = 0.9 P(B2) = 0.1 P(A|B1) = 0.2 P(A|B2) = 0,3

B1 : Peristiwa ISP A digunakan B2 : Peristiwa ISP B digunakan

A : Peristiwa terjadinya ketidakstabilan Koneksi Internet

Maka dengan menggunakan rumus probalilitas bersyarat diperoleh :

P(B2|A) = P(B2 ∩ A) / P(A)

= P(B2).P(A|B2) / P(A)

= 0.03 / 0.21

= 0.143

Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (2)

 Suatu sistem komunikasi biner yang transmitter-nya

mengirimkan sinyal hanya dua buah, yaitu sinyal 1 atau 0 yang dilewatkan kanal (Channel) untuk mencapai penerima.

 Kanal itu dapat mengakibatkan terjadinya kesalahan

pengiriman. Misalnya pengiriman sinyal 1, ternyata di sisi penerima menerima sinyal 0 (merupakan kesalahan)

 Oleh karena itu ruang sampel berdasarkan kejadian komunikasi ini hanya mempunyai dua elemen, yaitu sinyal 1 dan sinyal 0

Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (2)

 Misalnya himpunan B_n , n=1,2 menyatakan event (kejadian) munculnya simbol sinyal 1 pada sisi pemancar. Sedangkan himpunan A_n , n = 1,2 menyatakan event munculnya sinyal 1 pada sisi penerima sesudah melewati kanal dan sinyal nilai 0 pada sisi penerima.

 Jika probabilitas munculnya sinyal nilai 1 dan nilai 0 dianggap memiliki probabilitas berikut :

  ^{B 0,6 dan P}   ^{B 0,4}

P

₁



₂



Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (2)

 Probabilitas bersyarat menggambarkan pengaruh kanal ketika sinyal-sinyal itu ditransferkan. Sinyal 1 yang dikirimkan dan diterima sebagai sinyal 1 dengan probabilitas 0,9.

 Sedangkan Simbol dengan nilai 0 adalah:

 

 ^{A | B}  ^0,1

P

0,9 B

| A P

1 2

1 1





 

 A | B  0,9 P

0,1 B

| A P

2 2

2 1





Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (2)

 Diagram Binary Symmetric Communication System

)

| (A₂ B₂ P

)

| (A₁ B₂ P

)

| (A₂ B₁ P

)

| (A₁ B₁ P

0,1

0,9

0,1

0,9

A¹

A² B¹

B²

P(B¹)=0,6

P(B²)=0,4

Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (2) Pertanyaan :

1. Berapakah probabilitas sinyal dengan syarat yang dikirimkan benar pada sisi penerima A1 dan A2 jika dilakukan

perhitungan dengan menggunakan teorema Bayes ?

2. Berapakah probabilitas sinyal dengan syarat yang dikirimkan salah pada sisi penerima A1 dan A2 jika dilakukan

perhitungan dengan menggunakan teorema Bayes ?

Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (2) Solusi :

 Jumlah probabilitas bersyarat kedua kejadian adalah berjumlah 1

P(A 1|B1 ) + P(A 2|B1 ) = 1

 Jadi probabilitas kejadian A1 dan A2 adalah sebagai berikut : P(A ₁) = P(A ₁|B₁ ) P(B ₁) + P(A ₁|B₂ ) P(B ₂)

= 0,9(0,6) + 0,1(0,4)

= 0,58

P(A ₂) = P(A ₂|B₁ ) P(B ₁) + P(A ₂|B₂ ) P(B ₂)

= 0,1(0,6) + 0,9(0,4)

= 0,42

Teorema Bayes

Contoh Soal Teorema Bayes (2) Solusi :

 Probabilitas kejadian pada sisi penerima (benar), setelah melewati kanal

 Sedang probabilitas diterima sinyal yang salah pada sisi

penerima setelah pengirim mengirimkan sinyal 1 atau 0 adalah:

0,857 0,42

0,36 0,42

0,9(0,4) )

P(A

) )P(B B

| ) P(A

A

| P(B

0,931 0,58

0,54 0,58

0,9(0,6) )

P(A

) )P(B B

| ) P(A

A

| P(B

2

2 2

2 2

2

1

1 1

1 1

1

















0,143 0,42

0,06 0,42

0,1(0,6) )

P(A

) )P(B B

| ) P(A

A

| P(B

0,069 0,58

0,04 0,58

0,1(0,4) )

P(A

) )P(B B

| ) P(A

A

| P(B

2

1 1

2 2

1

1

2 2

1 1

2

















Terimakasih dan Semoga

Bermanfaat v^^