Adam Hendra Brata
Probabilitas dan Statistika
“Ruang Sampel”
Probabilitas
Probabilitas
Probabilitas adalah suatu ilmu untuk
memprediksi suatu kejadian (event) atau dapat disebut peluang suatu kejadian berdasarkan
pendekatan matematis.
Dengan ilmu probabilitas, kita dapat
memprediksikan suatu kejadian berdasar
kumpulan data yang telah diolah dengan ilmu statistik.
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Ruang Sampel
Ruang Sampel
Ruang Sampel adalah kumpulan semua even (kejadian) atau himpunan dari semua outcome yang mungkin dari suatu eksperimen random dinyatakan dengan S
Suatu elemen/unsur/anggota pada Ruang
sampel (S ) disebut titik sampel (sample point)
Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel dibedakan menjadi ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu
Probabilitas - Ruang
Sampel
Pencacahan Permutasi Kombinasi
Ruang Sampel
Ruang Sampel
Ruang sampel S dikatakan diskrit , bila ruang sampel tersebut mengandung titik (unsur) yang berhingga atau tak berhingga yang dapat
disusun menurut barisan sederhana - Percobaan pelemparan uang koin
Sedangkan ruang sampel dikatakan kontinu , bila ruang sampel mengandung titik yang tak hingga yang dinyatakan dalam garis real atau dinyatakan dalam interval dengan semesta bilangan real
- Percobaan pengukuran tinggi badan Probabilitas
- Ruang Sampel
Pencacahan Permutasi Kombinasi
Ruang Sampel
Contoh Ruang Sampel
Eksperimen melempar sebuah mata koin dua kali (dua buah koin yang dilempar sekali), maka ruang sampelnya :
S = { GG , GA , AG , AA}
Eksperimen pelemparan sepasang dadu merah dan hijau, maka ruang sampelnya :
S = {(x,y) | x = 1 , 2 , … , 6 ; y = 1 , 2 , … ,6 }
Eksperimen mengukur berat badan seseorang yang beratnya antara 45,5 dan 50,5 , maka ruang sampelnya :
S = { x | 45,5 < x < 50,5 } Probabilitas
- Ruang Sampel
Pencacahan Permutasi Kombinasi
Ruang Sampel
Pelemparan 2 Keping Koin Probabilitas
- Ruang Sampel
Pencacahan Permutasi Kombinasi
Ruang Sampel
Pelemparan 2 Keping Koin
Angka A
Angka A Garuda G
Garuda G
E1 = AA E2 = AG
E3 = GA
E4 = GG Angka A
Garuda G
Koin 1 Koin 2 Hasil
Kejadian Koin 1 Koin 2
E1 Angka Angka
E2 Angka Garuda
E3 Garuda Angka
E4 Garuda Garuda
Probabilitas - Ruang
Sampel
Pencacahan Permutasi Kombinasi
Pencacahan
Pencacahan
Pencacahan adalah menyatakan banyaknya kemungkinan berbeda dari suatu persoalan
Contoh
Berapa banyak rute yang dapat ditempuh dari kota S ke kota T, jika diketahui jaringan jalan seperti
berikut ?
S A T
X1
X2
X3
Y1
Y2
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Pencacahan
Aturan Penjumlahan (Sum Rule)
Jika ada suatu prosedur terdiri dari m-buah pekerjaan, T1, T2, …, Tm, yang masing-masing dapat dilakukan dengan n1, n2, …, nm cara, dan setiap pasang pekerjaan tersebut tidak dapat
dilakukan secara bersamaan, maka akan ada n1 + n2 + … + nm cara untuk melakukan pekerjaan ini
Contoh
Prodi TIF UB akan memberikan hadiah sebuah komputer kepada seorang mahasiswa atau
seorang dosen secara eksklusif. Ada berapa
banyak pilihan berbeda jika ada 800 mahasiswa dan 110 orang dosen di TIF ?
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Pencacahan
Aturan Penjumlahan (Sum Rule)
Contoh
Prodi TIF UB akan memberikan hadiah sebuah komputer kepada seorang mahasiswa atau
seorang dosen secara eksklusif. Ada berapa
banyak pilihan berbeda jika ada 800 mahasiswa dan 110 orang dosen di TIF ?
Jawab: Ada 800 + 110 = 910 buah pilihan Probabilitas
- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Pencacahan
Aturan Perkalian (Product Rule)
Jika ada suatu prosedur yang terdiri atas pekerjaan-pekerjaan yang dilakukan secara berurutan T1, T2, …,Tm yang masing-masing dapat dilakukan dengan n1, n2, …, nm buah cara, maka akan ada n1×n2 ⋅ …×nm buah cara untuk mengerjakan prosedur tersebut
Contoh
Nomor polisi yang tertulis di plat nomor kendaraan bermotor dibuat dengan 3 buah abjad. Ada berapa buah kemungkinan kode yang dapat dibuat?
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Pencacahan
Aturan Perkalian (Product Rule)
Contoh
Nomor polisi yang tertulis di plat nomor kendaraan bermotor dibuat dengan 3 buah abjad. Ada berapa buah kemungkinan kode yang dapat dibuat ?
Jawab : Ada 26 buah kemungkinan untuk huruf pertama, kemudian 26 buah kemungkinan untuk huruf kedua dan 26 kemungkinan lain untuk huruf terakhir. Jadi terdapat 26⋅26⋅26 = 17576 buah nomor polisi yang berbeda yang bisa dibuat dari 3 buah abjad
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi
Permutasi
Penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula
Susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil seluruhnya atau sebagian
Permutasi memperhatikan urutan, ( AB ≠ BA ) Probabilitas
- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi
Permutasi
Terdapat beberapa jenis permutasi, yaitu :
1. Permutasi dari n benda yang berlainan
2. Permutasi dari n benda berlainan yang diambil k sekaligus
3. Permutasi dengan elemen yang sama
4. Permutasi siklis atau permutasi dari n benda yang disusun secara melingkar
5. Permutasi dengan penyekatan Probabilitas
- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi (n)
Permutasi dari n Benda yang Berlainan
Contoh
Berapakah permutasi dari 4 kartu huruf A, B, C dan D yang nantinya digunakan untuk sebuah kode ?
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi (n,k)
Permutasi dari n Benda yang Berlainan yang Diambil k Sekaligus
Contoh
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka - angka 3, 5, dan 7?
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi (n,k)
Permutasi dari n Benda yang Berlainan yang Diambil k Sekaligus
Contoh
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka- angka 3, 5, dan 7?
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka
berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama dengan permutasi yang terdiri atas dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P (3, 2)
P (3, 2) = 3!/(3-2)! = 3!/1! = 3 x 2 x 1!/1! = 3 x 2 = 6 Probabilitas
- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi Elemen Identik
Permutasi dengan Elemen yang Sama
Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k :
Contoh
Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur,
yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak 2 kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc ?
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi Elemen Identik
Permutasi dengan Elemen yang Sama
Contoh
Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur,
yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak 2 kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc ?
Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang
jumlahnya adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur:
a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0 = a1 maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi Elemen Identik
Permutasi dengan Elemen yang Sama
Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing- masing adalah sebanyak k1, k2, ..., km, maka :
Contoh
Hitunglah banyak permutasi huruf yang mungkin terjadi jika diberikan huruf m,a,t,e,m,a,t,i,k,a ?
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi Siklis
Permutasi dengan n Benda yang Disusun Secara Melingkar
Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!
Contoh
Dalam sebuah rapat ada 8 orang duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang berlainan dalam rapat tersebut ?
Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai abcdefgh
Jadi Permutasinya : (8-1)! = 7!
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi dengan Penyekatan
Permutasi dengan Penyekatan
Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!
Banyaknya permutasi dari n benda jika n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua dan seterusnya hingga nk berjenis ke k adalah :
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Permutasi dengan Penyekatan
Permutasi dengan Penyekatan
Contoh
Ada 9 bola lampu disusun seri. Berapa cara menyusun bola lampu tersebut jika 3
diantaranya merah, 4 biru dan 2 hijau ? Probabilitas
- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
! 1260 2
! 4
! 3
!
9
Kombinasi
Kombinasi
Kombinasi adalah penggabungan beberapa objek dari suatu kelompok tanpa
memperhatikan urutan
Dengan kata lain, kombinasi adalah
pengelompokan beberapa objek tanpa melihat urutan seperti halnya permutasi
Rumus kombinasi dari n benda yang
berlainan bila diambil sebanyak r adalah :
Probabilitas - Ruang
Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
)!
(
!
! r n
r nCr n
Kombinasi
Kombinasi
Contoh
Dalam babak penyisihan suatu turnamen sepak bola, ada 4 tim yang satu sama lain akan
bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah ?
Untuk menentukan banyaknya pertandingan yang terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat urutannya lagi
C (4, 2) = 4!/(4-2)! 2!
= 4!/(2! 2!) = 4 x 3 x 2!/(2! 2!)
= 4x 3/ 2 x 1 = 12/2 = 6 Probabilitas
- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi
Tugas 4
• Mengerjakan soal – soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu
• Mengerjakan soal – soal tersebut dengan cara menghitung dan ditulis di kertas
• Dikumpulkan pada pertemuan berikutnya (besok)
Tugas 4
1. Ada 5 buku matematika, 4 buku fisika dan 3 buku kimia.
Tentukan banyak cara menyusun buku tersebut dalam sebuah rak jika :
a. peletakannya sembarang
b. buku fisika harus berkumpul jadi satu
c. buku fisika tidak boleh berkumpul jadi satu
2. Permutasikan semua susunan huruf : STATISTIKA
Tugas 4
3. Di dalam sebuah kelas dilangsungkan pemilihan pengurus kelas dengan 4 jabatan tersedia. Di dalam kelas tersebut terdapat 7 orang calon pengurus. Berapa kemungkinan cara agar setiap posisi jabatan dijabat oleh seorang siswa yang menjadi calon pengurus?
Ketua Wakil Sekretaris Bendahara
G F
D E
B C
A
Tugas 4
4. Seorang petani akan membeli 3 ekor ayam, 2 ekor kambing, dan 1 ekor sapi dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam, 4 ekor kambing, 3 ekor sapi. Dengan berapa cara
petani tersebut dapat memilih ternak – ternak yang di inginkannya ?