• Tidak ada hasil yang ditemukan

Probabilitas dan Statistika Ruang Sampel. Adam Hendra Brata

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Membagikan "Probabilitas dan Statistika Ruang Sampel. Adam Hendra Brata"

Copied!
30
0
0

Teks penuh

(1)

Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika

“Ruang Sampel”

(2)

Probabilitas

Probabilitas

Probabilitas adalah suatu ilmu untuk

memprediksi suatu kejadian (event) atau dapat disebut peluang suatu kejadian berdasarkan

pendekatan matematis.

Dengan ilmu probabilitas, kita dapat

memprediksikan suatu kejadian berdasar

kumpulan data yang telah diolah dengan ilmu statistik.

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(3)

Ruang Sampel

Ruang Sampel

Ruang Sampel adalah kumpulan semua even (kejadian) atau himpunan dari semua outcome yang mungkin dari suatu eksperimen random dinyatakan dengan S

Suatu elemen/unsur/anggota pada Ruang

sampel (S ) disebut titik sampel (sample point)

Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel dibedakan menjadi ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu

Probabilitas - Ruang

Sampel

Pencacahan Permutasi Kombinasi

(4)

Ruang Sampel

Ruang Sampel

Ruang sampel S dikatakan diskrit , bila ruang sampel tersebut mengandung titik (unsur) yang berhingga atau tak berhingga yang dapat

disusun menurut barisan sederhana - Percobaan pelemparan uang koin

Sedangkan ruang sampel dikatakan kontinu , bila ruang sampel mengandung titik yang tak hingga yang dinyatakan dalam garis real atau dinyatakan dalam interval dengan semesta bilangan real

- Percobaan pengukuran tinggi badan Probabilitas

- Ruang Sampel

Pencacahan Permutasi Kombinasi

(5)

Ruang Sampel

Contoh Ruang Sampel

Eksperimen melempar sebuah mata koin dua kali (dua buah koin yang dilempar sekali), maka ruang sampelnya :

S = { GG , GA , AG , AA}

Eksperimen pelemparan sepasang dadu merah dan hijau, maka ruang sampelnya :

S = {(x,y) | x = 1 , 2 , … , 6 ; y = 1 , 2 , … ,6 }

Eksperimen mengukur berat badan seseorang yang beratnya antara 45,5 dan 50,5 , maka ruang sampelnya :

S = { x | 45,5 < x < 50,5 } Probabilitas

- Ruang Sampel

Pencacahan Permutasi Kombinasi

(6)

Ruang Sampel

Pelemparan 2 Keping Koin Probabilitas

- Ruang Sampel

Pencacahan Permutasi Kombinasi

(7)

Ruang Sampel

Pelemparan 2 Keping Koin

Angka A

Angka A Garuda G

Garuda G

E1 = AA E2 = AG

E3 = GA

E4 = GG Angka A

Garuda G

Koin 1 Koin 2 Hasil

Kejadian Koin 1 Koin 2

E1 Angka Angka

E2 Angka Garuda

E3 Garuda Angka

E4 Garuda Garuda

Probabilitas - Ruang

Sampel

Pencacahan Permutasi Kombinasi

(8)

Pencacahan

Pencacahan

Pencacahan adalah menyatakan banyaknya kemungkinan berbeda dari suatu persoalan

Contoh

Berapa banyak rute yang dapat ditempuh dari kota S ke kota T, jika diketahui jaringan jalan seperti

berikut ?

S A T

X1

X2

X3

Y1

Y2

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(9)

Pencacahan

Aturan Penjumlahan (Sum Rule)

Jika ada suatu prosedur terdiri dari m-buah pekerjaan, T1, T2, …, Tm, yang masing-masing dapat dilakukan dengan n1, n2, …, nm cara, dan setiap pasang pekerjaan tersebut tidak dapat

dilakukan secara bersamaan, maka akan ada n1 + n2 + … + nm cara untuk melakukan pekerjaan ini

Contoh

Prodi TIF UB akan memberikan hadiah sebuah komputer kepada seorang mahasiswa atau

seorang dosen secara eksklusif. Ada berapa

banyak pilihan berbeda jika ada 800 mahasiswa dan 110 orang dosen di TIF ?

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(10)

Pencacahan

Aturan Penjumlahan (Sum Rule)

Contoh

Prodi TIF UB akan memberikan hadiah sebuah komputer kepada seorang mahasiswa atau

seorang dosen secara eksklusif. Ada berapa

banyak pilihan berbeda jika ada 800 mahasiswa dan 110 orang dosen di TIF ?

Jawab: Ada 800 + 110 = 910 buah pilihan Probabilitas

- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(11)

Pencacahan

Aturan Perkalian (Product Rule)

Jika ada suatu prosedur yang terdiri atas pekerjaan-pekerjaan yang dilakukan secara berurutan T1, T2, …,Tm yang masing-masing dapat dilakukan dengan n1, n2, …, nm buah cara, maka akan ada n1×n2 ⋅ …×nm buah cara untuk mengerjakan prosedur tersebut

Contoh

Nomor polisi yang tertulis di plat nomor kendaraan bermotor dibuat dengan 3 buah abjad. Ada berapa buah kemungkinan kode yang dapat dibuat?

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(12)

Pencacahan

Aturan Perkalian (Product Rule)

Contoh

Nomor polisi yang tertulis di plat nomor kendaraan bermotor dibuat dengan 3 buah abjad. Ada berapa buah kemungkinan kode yang dapat dibuat ?

Jawab : Ada 26 buah kemungkinan untuk huruf pertama, kemudian 26 buah kemungkinan untuk huruf kedua dan 26 kemungkinan lain untuk huruf terakhir. Jadi terdapat 26⋅26⋅26 = 17576 buah nomor polisi yang berbeda yang bisa dibuat dari 3 buah abjad

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(13)

Permutasi

Permutasi

Penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula

Susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil seluruhnya atau sebagian

Permutasi memperhatikan urutan, ( AB ≠ BA ) Probabilitas

- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(14)

Permutasi

Permutasi

Terdapat beberapa jenis permutasi, yaitu :

1. Permutasi dari n benda yang berlainan

2. Permutasi dari n benda berlainan yang diambil k sekaligus

3. Permutasi dengan elemen yang sama

4. Permutasi siklis atau permutasi dari n benda yang disusun secara melingkar

5. Permutasi dengan penyekatan Probabilitas

- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(15)

Permutasi (n)

Permutasi dari n Benda yang Berlainan

Contoh

Berapakah permutasi dari 4 kartu huruf A, B, C dan D yang nantinya digunakan untuk sebuah kode ?

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(16)

Permutasi (n,k)

Permutasi dari n Benda yang Berlainan yang Diambil k Sekaligus

Contoh

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka - angka 3, 5, dan 7?

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(17)

Permutasi (n,k)

Permutasi dari n Benda yang Berlainan yang Diambil k Sekaligus

Contoh

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka- angka 3, 5, dan 7?

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka

berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama dengan permutasi yang terdiri atas dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P (3, 2)

P (3, 2) = 3!/(3-2)! = 3!/1! = 3 x 2 x 1!/1! = 3 x 2 = 6 Probabilitas

- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(18)

Permutasi Elemen Identik

Permutasi dengan Elemen yang Sama

Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k :

Contoh

Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur,

yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak 2 kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc ?

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(19)

Permutasi Elemen Identik

Permutasi dengan Elemen yang Sama

Contoh

Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur,

yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak 2 kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc ?

Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang

jumlahnya adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur:

a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0 = a1 maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(20)

Permutasi Elemen Identik

Permutasi dengan Elemen yang Sama

Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing- masing adalah sebanyak k1, k2, ..., km, maka :

Contoh

Hitunglah banyak permutasi huruf yang mungkin terjadi jika diberikan huruf m,a,t,e,m,a,t,i,k,a ?

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(21)

Permutasi Siklis

Permutasi dengan n Benda yang Disusun Secara Melingkar

Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!

Contoh

Dalam sebuah rapat ada 8 orang duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang berlainan dalam rapat tersebut ?

Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai  abcdefgh

Jadi Permutasinya : (8-1)! = 7!

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(22)

Permutasi dengan Penyekatan

Permutasi dengan Penyekatan

Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!

Banyaknya permutasi dari n benda jika n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua dan seterusnya hingga nk berjenis ke k adalah :

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(23)

Permutasi dengan Penyekatan

Permutasi dengan Penyekatan

Contoh

Ada 9 bola lampu disusun seri. Berapa cara menyusun bola lampu tersebut jika 3

diantaranya merah, 4 biru dan 2 hijau ? Probabilitas

- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

! 1260 2

! 4

! 3

!

9 

(24)

Kombinasi

Kombinasi

Kombinasi adalah penggabungan beberapa objek dari suatu kelompok tanpa

memperhatikan urutan

Dengan kata lain, kombinasi adalah

pengelompokan beberapa objek tanpa melihat urutan seperti halnya permutasi

Rumus kombinasi dari n benda yang

berlainan bila diambil sebanyak r adalah :

Probabilitas - Ruang

Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

)!

(

!

! r n

r nCr n

 

(25)

Kombinasi

Kombinasi

Contoh

Dalam babak penyisihan suatu turnamen sepak bola, ada 4 tim yang satu sama lain akan

bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah ?

Untuk menentukan banyaknya pertandingan yang terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat urutannya lagi

C (4, 2) = 4!/(4-2)! 2!

= 4!/(2! 2!) = 4 x 3 x 2!/(2! 2!)

= 4x 3/ 2 x 1 = 12/2 = 6 Probabilitas

- Ruang Sampel Pencacahan Permutasi Kombinasi

(26)

Tugas 4

• Mengerjakan soal – soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu

• Mengerjakan soal – soal tersebut dengan cara menghitung dan ditulis di kertas

• Dikumpulkan pada pertemuan berikutnya (besok)

(27)

Tugas 4

1. Ada 5 buku matematika, 4 buku fisika dan 3 buku kimia.

Tentukan banyak cara menyusun buku tersebut dalam sebuah rak jika :

a. peletakannya sembarang

b. buku fisika harus berkumpul jadi satu

c. buku fisika tidak boleh berkumpul jadi satu

2. Permutasikan semua susunan huruf : STATISTIKA

(28)

Tugas 4

3. Di dalam sebuah kelas dilangsungkan pemilihan pengurus kelas dengan 4 jabatan tersedia. Di dalam kelas tersebut terdapat 7 orang calon pengurus. Berapa kemungkinan cara agar setiap posisi jabatan dijabat oleh seorang siswa yang menjadi calon pengurus?

Ketua Wakil Sekretaris Bendahara

G F

D E

B C

A

(29)

Tugas 4

4. Seorang petani akan membeli 3 ekor ayam, 2 ekor kambing, dan 1 ekor sapi dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam, 4 ekor kambing, 3 ekor sapi. Dengan berapa cara

petani tersebut dapat memilih ternak – ternak yang di inginkannya ?

(30)

Terimakasih dan Semoga

Bermanfaat v^^

Referensi

Dokumen terkait

Batu ini mungkin terbentuk di di ginjal kemudian turun ke saluran kemih bagian bawah atau memang terbentuk di saluran kemih bagian bawah karena adanya stasis urine seperti pada

Kegiatan pelatihan dan pengabdian diikuti 40 peserta dari guru MGMP Matematika SMP Kota Pekalongan. Kegiatan ini merupakan kelanjutan dari kerjasama yang dilakukan antara

Berdasarkan diagram tersebut dapat diperoleh informasi bahwa sejumlah 58.82% menyatakan bahwa atribut ketahanan produk berpengaruh dan 12.94% sangat berpengaruh terhadap keputusan

Berdasarkan Hukum Lotka, kepengarangan tunggal dosen UIN Jakarta pada jurnal terindeks Scopus hanya menghasilkan 0,034 (3%) dari keseluruhan hasil publikasi Dengan demikian

Berdasarkan hasil uji-t diperoleh ketiga variabel pengaruh secara parsial berpengaruh positif dan signifikan terhadap pendapatan pengusaha jual beli motor bekas di Manna

plantarum sebagai agensia probiotik untuk pembuatan okara probiotik drink (b) kemampuan kedua kultur tersebut dalam mengasimilasi kolesterol pada produk yang dihasilkan

Akad nikah diadakan untuk selamanya dan seterusnya agar suami istri dapat mewujudkan rumah tangga sebagai tempat berlindung, menikmati curahan kasih sayang dan

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah dijabarkan, maka permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan ini adalah mengenai bagaimana