Dr. Suparman, M.Si., DEA 1

(1)

Variabel Random :

Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.

Percobaan (experiment):

Melemparkan 1 mata uang logam.

Ruang Sampel (sample space):



^M^,^B



S S

M

B



1

0 X

Variabel random X menyatakan jumlah munculnya muka. Maka X(M) = 1 dan X(B) = 0.

Jenis variabel random : 1. Variabel random diskrit 2. Variabel random kontinu

Nilai variabel random X

(2)

Dr. Suparman, M.Si., DEA 2

Contoh 2.1 hal 19 :

Suatu stok transistor diketahui memiliki 4 cacat dan 3 tidak cacat. Dua transistor diambil satu per satu tanpa dikembalikan.

Bila Y menyatakan jumlah transistor cacat yang diambil. Tentukanlah nilai yang mungkin dari variabel random Y.

Percobaan :

Ruang Sampel :



^MM^,^MB^,^BM^,^BB



S

S

MM

MB



2

1

X

BM

BB 0



MMM,MMB,MBM,MBB, S

S 

X

S 

Y

? ?



BBB , BBM ,

BMB ,

BMM

MMM

MMB

MBM

MBB

BMM

BMB

BBM

BBB

2

1

0

3

(3)

Fungsi probabilitas :

S

M

B



1

0 X

 

^M ⁾

(

P ₂

) 1 1 X (

f  

1. Fungsi probabilitas diskrit 2. Fungsi probabilitas kontinu

Fungsi Probabilitas Diskrit (hal. 20) :

Misalkan X menyatakan variabel random diskrit. Maka f(X) merupakan fungsi probabilitas variabel diskrit X jika :

0 ) x ( f .

1 



^

x

1 ) x ( f . 2

Fungsi probabilitas disebut juga fungsi massa probabilitas atau distribusi probabilitas.

Contoh :

Satu mata uang logam dilempar sebanyak 2 kali. Misalkan X menyatakan variabel random byknya muncul muka. Tentukan distribusi probabilitas variabel random X.

 

^B ⁾

(

P 2

) 1 0 X (

f  

X 0 1

f(x) 1/2 1/2

X 0 1 2

(4)

Contoh :

x 0 1 2 3

f(x)

Contoh :

Satu dadu dilempar sebanyak 1 kali.

Misalkan X menyatakan variabel random muncul byknya titik. Tentukan distribusi probabilitas variabel random X.

x 1 2 3 4 5 6

f(x)

8 /

1 3 / 8 3 / 8 1 / 8

6 /

1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

(5)

Contoh 2.3 hal 20 :

Suatu pengiriman 8 bahan pembersih yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat.

Bila seseorang membeli 2 bahan pembersih secara random, cari distribusi probabilitas banyaknya yang cacat.

C C

C TC

TC TC

TC

0

1

2

X 0 1 2

f(x)

Distribusi probabilitas



10 15 3

(6)

Contoh :

Jawab :

Distribusi probabilitas variabel random X

X 0 1 2 3 4

f(X)

24

0 4 ) 0 X ( f



 







 16

 1

Contoh 2.4 hal 21 :

Empat orang konsumen ditanyai pendapatnya apakah akan membeli atau tidak suatu produk.

Jika X menyatakan banyaknya konsumen yang menjawab membeli, hitung probabilitas dari X 16

1

16 4

16 6

16 4

16 1

Atau dgn rumus lain

x 4 x(1/2) )

2 / 1 x ( ) 4 x (

f   ^ 4

, 3 , 2 , 1 , 0 x untuk

(7)

Example (Prasanna Sahoo p. 48) :

A box contains 5 colored balls, 2 black and 3 white. Balls are drawn successively without replacement. If the variabel random x is the number of draws until the last black ball is obtained, find the probability density function for the random variable x.

Answer :

Let B denote the black ball and let W denote the white ball. Then the sample space S of this experiment is given by

X 2 3 4 5

f(X) ₁₀¹ ₁₀² ₁₀³ ₁₀⁴

or

10 1 ) x

x (

f 



5 , 4 , 3 , 2 x  for

(8)

Tugas Mandiri (dikumpulkan minggu depan):

Eksperimen:

1. Ada n bola dalam suatu kotak, di mana n adalah nomor presensi + 5.

2. Dari n bola tersebut, terdapat 2 bola hitam dan sisanya bola putih.

3. Ambil 3 bola secara acak tanpa pengembalian.

4. Misalkan variabel random x menyatakan banyak bola putih dalam pengambilan tersebut.

Pertanyaan:

Misalkan S adalah ruang sampel.

1. Tentukan n(S)

2. Tentukan fungsi distribusi variabel random x

3. Tentukan rumus fungsi probabilitias dari variabel random x.

4. Buat histogrammnya

X ... ... ... ...

f(X) ... .... .... ....

(9)

Distribusi Kumulatif Diskrit :

Misalkan X menyatakan variabel random diskrit. Misalkan f(X) menyatakan fungsi probabilitas variabel diskrit X. Maka distribusi kumulatif variabel random X, dinotasikan dengan F(X), jika

) x X ( P ) x (

F  





 t xf(t)

x f(x) F(x) 0 0.25 0.25 1 0.50 0.75

2 0.25 1

x f(x) F(x) 0 0.25 0.25 1 0.30 0.55 2 0.25 0.80

3 0.20 1

(10)

Contoh 2.5 hal 22 :

Hitunglah distribusi kumulatif dari variabel random X dengan fungsi probabilitas



 



  x 3 8 ) 1 x ( f

untuk x = 0, 1, 2 dan 3. Dan f(x) = 0 untuk nilai x yang lainnya.

X 0 1 2 3

f(X) ? ? ? ?

X 0 1 2 3

F(X) ? ? ? ?

10 Contoh :

X 0 1

f(X) 1/2 1/2

X 0 1

F(X) 1/2 1

Contoh :

X 0 1 2

f(X) 1/4 1/2 1/4

X 0 1 2

F(X) 1/4 3/4 1

(11)

Contoh :

X 0 1

F(X) 1/2 1

X 0 1

f(X) ? ?

X 0 1 2

F(X) 1/4 3/4 1

X 0 1 2

f(X) ? ? ?

X 0 1 2 3

f(X) ? ? ? ?

X 0 1 2 3

F(X) 1/8 1/2 7/8 1

(12)

Fungsi probabilitas kontinu

Misalkan X menyatakan variabel random kontinyu. Maka f(X) merupakan fungsi probabilitas variabel kontinu X jika :

0 ) x ( f .

1 



^f(x)dx 1 .

2

Catat :







 ^b

a f(x) dx )

b x a ( P

Contoh 2.6 hal 23 :

Misalkan bahwa kesalahan memprediksi seorang insinyur merupakan variabel random X yang mempunyai fungsi probabilitas :





   



lainnya yg

x utk 0

2 x 1 utk 3x

1 )

x ( f

2

(a) Tunjukkan bahwa (b) Hitunglah P(0<x<1)

^f(x)dx1

^f(x)dx   







  

 ²

1 2

dx 0 dx 3x dx 1 0



 ²

1

2 dx 3x 1

2

1

x3

9 1



 





 

 





 



 ³ ( 1)³ 9 ) 1 2 9( 1

1

) 1 x 0 (

P   ^0¹ 2dx 3x 1

1

0

x3

9 1 







 







 



 ³ (0)³ 9 ) 1 1 9( 1

9

1

(13)

Distribusi Kumulatif Kontinu (hal. 24) :

Misalkan X menyatakan variabel random kontinu. Dan f(X) merupakan fungsi probabilitas variabel diskrit X. Maka F(x) merupakan distribusi kumulatif variabel random X dinyatakan jika

) x X ( P ) x (

F  



 ^x f(t)dt

Contoh 2.8 hal 24 :

Carilah distribusi kumulatif dari variabel random X yang mempunyai fungsi probabilitas



  

 utk x lainnya x

x x

f 0,

1 0

, ) 4

( ³















1 0

4

0 0

)

( ³

x x x

x x

f

Jawab :

0 x

dt 0 dt ) t ( f ) x (

F ^x ^x

0

1 0  x 

dt ) t ( f )

x (

F 



^x



_⁰_0dt ₀^x4t³dt

x t

0 4 4 4 





x4



 1 x

dt ) t ( f ) x (

F ^x

dt dt

t

dt ^x

_⁰_0 ¹₀4 ³ ₁ 0

1 0 4 4 4 



 t

1















1 1

1 0

0 0

)

( ⁴

x x x

x x

F

(14)

















lainnya x

utk 0

2 x 1 x

2

1 x 0 x

) x ( f

Latihan Soal :

 ) x ( F







 _ 

0 x , e 2

0 x ,

) 0 x (

f ₂_x

F ( x ) 















1 x 0

1 x 0 x

4

0 x 0

) x (

f ³

F ( x ) 

















2 x 0

2 x 0 2

/ ) x 2 (

0 x 0

) x (

f

F ( x ) 

(15)

Misalkan F(x) menyatakan fungsi distribusi kumulatif dari variabel random x. Jika turunan dari F(x) ada, maka berlaku :

dx ) x ( ) dF x (

f 

Contoh 2.9 hal 25 :

Diketahui suatu fungsi distribusi kumulatif













1 ,

1

1 0

,

0 ,

0 )

( ⁴

x x x

x x

F

Tentukanlah fungsi probabilitas f(x).

Jawab : _x_₀

dx ) x ( ) dF x (

f 

0

1 0 x

dx ) x ( ) dF x (

f 

4x3



1 x

dx ) x ( ) dF x (

f 

0















1 0

4

0 0

)

( ³

x x x

x x

f

(16)















 







2 x ,

1

2 x 1 9 ,

1 x

, 0 )

x ( F

3

Latihan Soal :

 ) x ( f

 









 

^

0 x ,

0 0 x , ) x 1 ( ) 1

x ( F

2

 ) x ( f



























2 / 3 x , 1

2 / 3 x 1 , 2 / 1 x

1 x 0 , 2

/ x

0 x , 0

) x (

F

f ( x ) 



















2 x 1

2 x 1 )

x / 1 2 x ( 2

1 x 0

) x ( F



)

x

(

f

(17)

Pemicu Motivasi : 1. Visualisasi

2. Tanggungjawab 3. Kesukaan

4. Gerakan

Seseorang akan termotivasi bila ia mengetahui tujuan

dan harapan dari aktivitasnya

Seseorang akan termotivasi bila ia

mempunyai tanggungjawab

Seseorang akan termotivasi bila ia melakukan aktivitas yang

disukainya

Seseorang akan termotivas bila ia

telah biasa melakukan aktivitas

(18)

Ekspektasi / Harapan Matematik :

Misalkan X menyatakan variabel random dan f(X) merupakan fungsi probabilitas variabel random X yang bersesuaian. Maka ekspektasi dari variabel random X , ditulis dgn E(X)





x

) x ( xf )

x (

E Jika x diskrit

dan E(x) 



^xf (x)dx Jika x kontinu Contoh :

Diketahui distribusi probabilitas berikut :

x 0 1

f(x) 1/2 1/2 Tentukanlah E(x)

Contoh :

x 0 1 2

f(x) 1/4 2/4 1/4 Tentukanlah E(x)

Contoh :

x 0 1 2 3

f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Tentukanlah E(x)

) 2 / 1 ( 1 ) 2 / 1 ( 0 ) x (

E  

2 /

 1

) 4 / 1 ( 2 ) 2 / 1 ( 1 ) 4 / 1 ( 0 ) x (

E   

 1

(19)

Contoh :

x 0 1

f(x) 1/2 1/2 Tentukanlah E(x²)

Contoh :

x 0 1 2

f(x) 1/4 2/4 1/4 Tentukanlah E(x³)

Contoh :

x 0 1 2 3

f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Tentukanlah E(x⁴)

) 2 / 1 ( 1 ) 2 / 1 ( 0 ) x (

E

²



²



²

2 /

 1

^{Soal 2 :}

x 2 3 4 5 6

f(x) 0.01 0.25 0.4 0.3 0.04 Tentukanlah E(2x+3)

(20)

Contoh :





   



lainnya yg

x utk 0

2 x 1 utk 3x

1 )

x ( f

2

Tentukanlah E(x)



^

 xf ( x ) dx )

x ( E



 ^







 



2

2 1

1

xf ( x ) dx xf ( x ) dx xf ( x ) dx









²

1

2

dx 0 3 x

x 1 0







²

1

3

dx 3 x

1

2

1

x

4

12 1





 

 

4  5

















lain yang x

0

2 x 1 x

2

1 x 0 x

) x ( f

Latihan Soal :

 ) x ( E















1 x 0

1 x 0 x

4

0 x 0

) x (

f ³

E ( x ) 

















2 x 0

2 x 0 2

/ ) x 2 (

0 x 0

) x (

f

E ( x ) 

(21)

Contoh :





   



lainnya yg

x utk 0

2 x 1 utk 3x

1 )

x ( f

2

Tentukanlah E(x²)



^

 x f ( x ) dx )

x (

E

² ²



 ^







 



2

2 2 1 1 2 2

dx ) x ( f x dx

) x ( f x dx

) x ( f x









^x

1

2

x dx 0

3 x 1 0







²

1

4

dx 3 x

1

















lainnya x

utk 0

2 x 1 x

2

1 x 0 x

) x ( f

Latihan Soal :

 ) x ( E

³















1 x 0

1 x 0 x

4

0 x 0

) x (

f ³

E ( x

⁴

) 

















2 x 0

2 x 0 2

/ ) x 2 (

0 x 0

) x (

f

E ( x  2 ) 

 

(22)

Contoh :

Misalkan X menyatakan variabel random diskrit. Jika a dan b adalah kosntanta, tunjukkan bahwa

b ) x ( aE )

b ax (

E   

Contoh :

Misalkan X menyatakan variabel

random kontinyu . Jika a dan b adalah kostanta, tunjukkan bahwa

b ) x ( aE )

b ax (

E   

Contoh :

random. Jika a dan b adalah konstanta, tunjukkan bahwa

) )]

b ax ( E ) b ax ([(

E    ²

) )]

x ( E x ([

E

a²  ²



Untuk x diskrit ^ ^



^

x

) x ( f ) b ax ( )

b ax ( E

] ) x ( bf ) x ( axf [

x



^





^





x x

) x ( f b ) x ( xf a

b ) x (

aE 



Untuk x kontinu _E₍_ax__b₎_



^ ₍_ax__b₎_f₍_x₎_dx

b ) x (

aE 



dx ] ) x ( bf ) x ( axf

[ 





^

dx ) x ( f b dx ) x ( xf

a

 

^



 



(23)

Contoh

(Kasus : PEMILU LEGISLATIF 9 APRIL 2014)

(24)

populasi

sampel

parameter

statistik





2

^x

s

2

) (x

 E

) ] ([  

²

 E x





ⁿ

i

x

i

n

¹

1

 

  _iⁿ_ x_i x

n ¹

)2 1 (

1

(25)

Mean variabel random

Misalkan X menyatakan variabel random diskrit dan f(X) merupakan fungsi probabilitas variabel random X yang bersesuaian. Maka mean dari variabel random X , ditulis dgn 

) x (

E Jadi 







x

) x (

xf Jika x diskrit dan



^



 xf (x)dx Jika x kontinu

Contoh 2.14 hal. 31 :

Misalkan variabel random X menjalani harga-harga 1, 2, 3, 9, 10 dan 11 dengan probabilitas 1/6, tentukan meannya.

Jawab :

) x (

E





 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 

6 11 1 6 10 1 6 9 1 6 3 1 6 2 1 6 1 1

6

x 1 2 3 9 10 11

f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Contoh 2.15 :



 

 0 x lainnya 100 x

x / 20000 )

x ( f

3



^

) x (

E





  ^



 100

100xf(x)dx xf(x)dx



^



 100 3 dx x

20000 x

0



(26)

Misalkan



_x ^dan



_ax__b

Masing-masing menyatakan mean dari variabel random X dan aX+b, buktikan bahwa :

b a

_x

b

ax

  



_

Contoh 2.18 hal 33 :

Jika



_x

 12

hitunglah



₂_x_₁

(27)

Contoh 2.16 :

Misalkan X menyatakan banyaknya jam lembur karyawan di suatu perusahaan mempunyai distribusi probabilitas

x 4 5 6 7 8 9

f(x) ^1/2 ^1/12 ^1/6 ^1/6 ^1/6 ^1/6 Andaikan g(x) = 2x-1 menyatakan uang lembur para karyawan yang dibayar perusahaan. Carilah nilai harapan uang lembur karyawan

Nilai harapan uang lembur karyawan adalah

 



 ⁹

4

x (2x 1)f(x) )

1 x 2 ( E

Contoh 2.17 :



  

 0 xlainnya 1 x 0 x

) 4 x ( f

2



^ 



3) (4x 3)f(x)dx x

4 ( E



atau



^

 xf(x)dx )

x ( E



3 ) x ( E 4 ) 3 x 4 (

E   



atau

 

 ⁹_x ₄xf(x) )

x ( E

1 ) x ( E 2 ) 1 x 2 (

E   



(28)

Variansi variabel random

Misalkan X menyatakan variabel random diskrit dan f(X) merupakan fungsi

probabilitas variabel random X yang bersesuaian. Maka variansi dari variabel random X , ditulis dgn ²

) ] x ([

E ²

2  

 Jadi



^^





x

2

2 (x ) f(x) Jika x diskrit dan



^ 



² (x )²f(x)dx Jika x kontinu

Contoh 2.19 hal 34:

x 1 2 3

f(x) 0.3 0.4 0.3

Contoh 2.20 :





   



lainnya yg

x utk 0

2 x 1 utk 3x

1 )

x ( f

2





²





²

(29)

Contoh :

x 0 1 2 3

f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Tentukanlah µ dan σ²

Contoh :





   



lainnya yg

x utk 0

2 x 1 utk 3x

1 )

x ( f

2

Tentukanlah µ dan σ² Buktikan bahwa :

2 2

2

 E ( x )  



(30)

Contoh :

x 0 1 2 3

f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Tentukanlah σ²

Soal 2 :

x 2 3 4 5 6

f(x) 0.01 0.25 0.4 0.3 0.04 Tentukanlah σ²



















2 x 0

2 x 1 x 2

1 x 0 x

) x ( f

Latihan Soal :



²















1 x 0

1 x 0 x

4

0 x 0

) x (

f ³ ² 

















2 x 0

2 x 0 2

/ ) x 2 (

0 x 0

) x (

f ² 

(31)

Misalkan



²_x ^dan



_ax² __b

Masing-masing menyatakan variansi dari variabel random X dan aX+b, buktikan bahwa :

2 x 2 2

b

ax

 a 



_

Contoh 2.21 hal 35 :

Jika ²

1 x 2 

1 

2 x





hitunglah

(32)

Tugas Kel (@3mhs)

random. Jika a dan b adalah konstanta, tunjukkan bahwa

) )]

b ax ( E ) b ax ([(

E    ² a²E([xE(x)]²) Buktikan bahwa :

2 2

2

 E ( x )  



Misalkan



²_x ^dan



²_ax__b

Masing-masing menyatakan variansi dari variabel random X dan aX+b, buktikan bahwa :

2 x 2 2

b

ax

 a 



_





   



lainnya yg

x utk 0

2 x 1 utk 3x

1 )

x ( f

2

Tentukanlah µ dan σ²