E-learning matematika, GRATIS

Penyusun : Nur Aini Indah H, S.Pd. ; Imam Indra Gunawan, S.Si. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.

Imam Indra Gunawan, S.Si.

A. DEFINISI INTEGRAL

Pada bab sebelumnya sudah dibahas tentang diferensial (turunan), sekarang akan dibahas tentang integral. Hubungan antara turunan dengan integral yaitu integral merupakan invers (kebalikan) dari diferensial (turunan). Oleh karena itu, integral juga disebut anti diferensial (anti turunan).

Suatu fungsi F dikatakan sebagai anti turunan (integral) dari fungsi f apabila F’(x) = f(x)

untuk setiap x dalam domain dari F.

Integral dari f (x) dinotasikan sebagai :

∫

f(x)dx =F(x)+C jika dan hanya jika F’ (x) = f (x),

dengan C sembarang konstanta.

B. INTEGRAL TAK TENTU

Hasil pengintegralan f(x) dengan berbentuk F(x) + C dinamakan integral tak

tentu. Berikut beberapa sifat integral tak tentu:

Keterangan: k , C : konstanta Contoh: 1.

_∫

2dx=... Jawab: c x dx= +

∫

2 2 2.

∫

10xdx=.. Jawab: c x dx x + + = +

∫

1 11 1 1 10 10 = x2+c 2 10 C kx dx k = +

∫

. 1 C x n dx xn n + + = +

∫

1 1 1 . 2

C

x

n

k

dx

x

k

n n

+

+

=

+

∫

1

1

.

3

∫

∫

∫

{f(x)±g(x)}dx= f(x)dx± g(x)dx . 4

∫

∫

k f(x)dx=k f(x)dx . 5 , dengan n≠−1 , dengan n≠−1

3.

∫

−

9

x

8

dx

=

..

Jawab:

C

x

dx

x

+

+

−

=

−

+

∫

8 8 1

1

8

9

9

4.

∫

−6₄dx=.. x Jawab: c x dx x dx x − + + − = − = − − − +

∫

∫

4 4 1 4 _{4 1} 6 6 6 x +c= x +c − − = −3 ₂ −3 3 6 c x + = 2₃ 5.

∫

5

x

3

dx

=

..

Jawab:

∫

x

dx

=

∫

x

5

dx

3 5 3

x

+

C

=

x

+

C

+

=

+ 5 8 85 1 5 3 53

1

1

=

₈5 5

x

8

+

C

6. (3 2 ₋7) ₌..

∫

x dx Jawab:

∫

(3x2 −7)dx=

∫

3x2dx−

∫

7dx (7 ) 1 2 3 2 1 1 2 c x c x + − + + = + 3 ₁ 7 ₂ 3 3 c x c x + − − = = x3−7x+C 7. ..5 2( ₋3) ₌

∫

x x dx Jawab:

∫

5x2(x−3)dx=

∫

(5x3−15x2)dx

=

∫

5

x

3

dx

−

∫

15

x

2

dx

) 1 2 15 ( 1 3 5 2 1 2 1 1 3 _{c x c} x + + − + + = + + 3 ₂ 1 4 3 15 4 5 c x c x + − − = = x4−5x3+C 4 5 LATIHAN SOAL 1 Hitunglah! 1. a.

∫

8

dx

=

..

b.

∫

−7dx=.. c. .. 4 3 ₌

∫

dx d.

∫

dx=.. e. −

∫

dx=.. 2. a.

∫

3xdx=.. b.

∫

14

x

dx

=

..

c.

∫

−6xdx=.. d.

_∫

xdx=.. e. .. 6 5 ₌

∫

xdx 3. a. 6 2 ₌..

∫

x dx b. ₋5 8 ₌..

∫

x dx c. 3 5 ₌..

∫

x dx d. .. 2 1 3 ₌

∫

x dx e. .. 5 3 2 ₌

∫

x dx

C

x

C

x

+

=

−

+

−

=

9 9

9

9

4. a.

_∫

3₂dx=.. x b.

_∫

−₄2dx=.. x c. .. 3 2 5 =

∫

dx x d.

∫

1₃dx=.. x e.

∫

−₆1dx=.. x 5. a.

∫

xdx=.. b. 3 4 ₌..

∫

x dx c.

∫

x xdx=.. 6. a.

_∫

(6x+5)dx=.. b. (2 2₋14 ₊16) ₌..

∫

x x dx c. (₋8 4₊ 3₋ 2₊4 ₋1) ₌..

∫

x x x x dx d. (9 2 _{− +} 8₄) ₌..

∫

dx x x x e. ( 1 ) .. 3 3 2 4_{− − =}

∫

dx x x x 7. a. 3 2( ₋4) ₌..

∫

x x dx b.

_∫

(x−1)(5x+4)dx=.. c. 3 4 .. 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

∫

dx x x x d. 2₂ 1 .. 3 5 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +

∫

dx x x x e. 6 2 .. 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −

∫

dx x x x --- Good Luck --- B. INTEGRAL SUBSTITUSI Definisi :

Jika u = g(x) maka du = g’(x) dengan g suatu fungsi yang dapat diturunkan dan F adalah

integral dari f, maka:

C u F du u f dx x g x g f ⋅ =

∫

= +

∫

( ( )) '( ) ( ) ( )

Rumus Integral Substitusi

Keterangan :

u : fungsi dalam x du : turunan pertama dari u

Contoh: 1.

∫

4x(x2+5)3dx= ... Jawab: Misalkan u = x2 + 5 x du dx x dx du 2 2 ⇔ = =

∫

+ =

∫

⋅ x du x u dx x x 2 4 ) 5 ( 4 2 3 3 =

∫

u3⋅2du=2

∫

u3du u +C = u +C + = 3+1 4 4 2 1 3 2 = 1₂u4+C= ₂1(x2 +5)4 +C C u n du un n + + = +

∫

1 1 1 . 6 C u n k du kun n + + = +

∫

1 1 . 7 ,dengan n≠−1 ,dengan n≠−1

2. dx x x

∫

₍ 2 ₋₃₎8 2 = ... Jawab: Misalkan u = (x2 – 3) x du dx x dx du 2 2 ⇔ = = x du x u dx x x 2 . 2 . ) 3 ( 2 2 8 8

∫

∫

₋ − ₌ − C u du u + + − = = − − +

∫

8 8 1 1 8 1 C x C u − + − = + − = −7 ₍ 2 ₃₎−7 7 1 7 1 3.

∫

2x x2+4 dx= ... Jawab: Misalkan u = x2 + 4 x du dx x dx du 2 2 ⇔ = = x du x u dx x x 2 . 2 . ) 4 ( 2 2 1 2 1 2

∫

∫

+ = C u du u + + = =

_∫

2+1 1 2 1 1 2 1 1 C x C u + = + + = 2 3 2 2 3 ) 4 ( 3 2 2 3 1 C x + + = ₍ 2 ₄₎3 3 2 LATIHAN SOAL 2 Hitunglah! 1. a.

_∫

2x(x2+3)5dx=... b.

_∫

6x2(2x3−1)10dx=... c.

_∫

4x3(x4 −2)8dx=... d.

_∫

(x+3)7dx=... e.

_∫

6x(x2−10)6dx=... f.

_∫

12x2(x3+4)9dx=.. g.

_∫

(2x+3)(x2+3x−1)10dx=.. 2. a. dx x x

∫

− 8 2 ₃₎ ( 2 = ... b. dx x x

∫

+ − 10 2 ₁₎ ( 6 = ... c. dx x x x

∫

− + + 4 2 ₂₎ 3 ( 1 6 _{= ...} 3. a.

∫

2x x2+5dx = ... b.

∫

8x x2−1dx= ... c.

∫

(2x+1) x2+x dx=... --- Good Luck --- C. INTEGRAL PARSIAL Keterangan : u, v : fungsi dalam x dv : turunan pertama v du : turunan pertama u Contoh: .. ) 5 8 ( 3 ₊ 4 ₌

∫

x x dx Jawab: Misalkan u = 3x, dv = (8x + 5)4dx du = 3 dx v =

∫

x+ 4dx= (8x+5)5+C 40 1 ) 5 8 (

∫

∫

u

dv

=

u

v

−

v

du

.

8

du v v u dx x x

∫

∫

3 (8 +5)4 = ⋅ − dx x x x (8 5) 3 40 1 ) 5 8 ( 40 1 . 3 + 5−

_∫

+ 5 = dx x x x + −

∫

+ = 5 (8 5)5 40 3 ) 5 8 ( 40 3 C x x x + − ⋅ + + = 5 (8 5)6 48 1 40 3 ) 5 8 ( 40 3 C x x x + − + + = 5 (8 5)6 640 1 ) 5 8 ( 40 3 LATIHAN SOAL 3 Hitunglah! 1. ..

_∫

6x(6x+1)5dx= 2. 2 ( ₋3)10 ₌..

∫

x x dx 3. ..

∫

_x3(_x2 ₊3)5_dx= 4. ..

∫

2_x3(3_x2₋4)5_dx= 5.

_∫

x3 4−2x2 dx=.. --- Good Luck --- D. INTEGRAL TRIGONOMETRI Contoh: 1.

_∫

sin3xdx=.. Jawab: C x dx x =− +

∫

cos3 3 1 3 sin 2. ..

∫

cos(2x+4)dx= Jawab: C x dx x+ = + +

∫

sin(2 4) 2 1 ) 4 2 cos( 3.

_∫

6sin2xdx=.. Jawab: C x dx x =− +

∫

cos2 2 6 2 sin 6 =−3cos2x+C C x dx x a.

∫

sin =−cos + . 9 C b ax a dx b ax c.

∫

sin( + ) =−1cos( + )+ C ax a dx ax b.

∫

sin =−1cos + C x dx x a.

∫

cos =sin + . 10 C b ax a dx b ax c.

∫

cos( + ) = 1sin( + )+ C ax a dx ax b.

∫

cos =1sin +

4.

∫

(sinx+cosx)dx=.. Jawab: C x x dx x x+ =− + +

∫

(sin cos ) cos sin 5.

∫

sinxcosxdx=.. Jawab: dx x dx x x sin2 2 1 cos sin

∫

∫

= C x C x+ =− + − = cos2 4 1 2 cos 2 1 . 2 1 6.

∫

xcosxdx=.. Jawab: Misalkan u = x, dv = cos x dx du = dx, v=

∫

cosxdx=sinx+C

∫

∫

xcosxdx=x.sinx− sinxdx C x x x dx x x = − − +

∫

cos .sin ( cos ) =xsinx+cosx+C LATIHAN SOAL 4 Hitunglah! 1. a.

∫

sinxdx=.. b.

∫

sin2xdx=.. c.

_∫

sin(4x−1)dx=.. d.

∫

sin(2−3x)dx=.. 2. a.

∫

cosxdx=.. b.

_∫

cos6xdx=.. c.

_∫

cos(3x+6)dx=.. d.

_∫

cos(1−5x)dx=.. 3.a. ..

_∫

8sin2xdx= b.

_∫

10cos5xdx=.. c.

_∫

−8sin(4x−3)dx=.. d. cos(2 6) .. 4 1 _{+ =}

∫

x dx 4. a.

_∫

(cos6x−sin2x)dx=.. b.

_∫

2sinxcosxdx=.. c. (1₋2sin2 ) ₌..

∫

xdx 5. a.

_∫

sin2xcos2xdx=.. b. dx x x

∫

_(1−sin2 ₎3 2 sin = ... 6. a.

_∫

xcos3xdx=.. b.

_∫

xsinxdx=.. c.

_∫

x2sinxdx=.. --- Good Luck ---

E. INTEGRAL TENTU

Keterangan:

f(x) : turunan pertama dari F(x)

a : batas atas b : batas bawah Contoh: 1. 86 .. 0 2 ₌

∫

x dx Jawab: 8 0 3 8 0 2 3 6 6 =_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤

∫

x dx x ₌₂₍₈₎3_−2.(0)3_{= 1024} 2. ..4(3 4 4) 1 2_{+ − =}

∫

x x dx Jawab:

[

]

4 1 3 4 1 2 _{4 4) 2 4} 3 ( x + x− dx= x + x− x

∫

= ((4)3 _{+ 2.4 – 4.4) – ((1)}3 _{+ 2.1 – 4.1)} = 56 – (-1) = 57 3. 2 cos .. 3 2 1 =

∫

π π xdx Jawab:

[

]

π π π π 2 3 2 1 2 3 2 1 sin cosxdx= x

∫

π π 2 1 sin 2 3 sin − = = (-1) – 1 = - 2 LATIHAN SOAL 5 Hitunglah! 1. a. 43 .. 1 2 ₌

∫

x dx b. 210 .. 0 =

∫

xdx c. 120 .. 0 3 ₌

∫

x dx d. 28 .. 1 =

∫

− dx 2. a. 3(3 6 1) .. 0 2_{+ − =}

∫

x x dx b. 2(6 2 1) .. 1 2 _{− + =}

∫

x x dx c. 6( 4) .. 2 = +

∫

x dx d. 1(8 3 2 1) .. 1 2 3_{− + + =}

∫

− dx x x x 3. a. sin .. 0 =

∫

π xdx b. 2 cos .. 3 2 1 =

∫

π π xdx c. sin2 .. 2 1 =

∫

π π xdx d. sin2 .. 4 1 0 =

∫

π xdx

[

]

a b a b x F dx x f( ) ( ) . 11

∫

=

)

(

)

(

a

F

b

F

−

=

F. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU

Menghitung luas daerah tak beraturan dengan pendekatan luas persegi panjang

Permasalahan untuk diskusi bersama:

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 ; sumbu x, x = 0 dan x = 3 seperti pada gambar disamping !

jawab

Dengan membagi daerah yang diarsir dengan beberapa persegi panjang dengan lebar

2 1

=

∆x (tampak gambar 2), maka luas daerah

yang diarsir didapat dari pendekatan luas persegi panjang. Untuk interval : 2 1 0≤x≤ ; Luas = 0 2 1 . 0 ) 0 ( ⋅∆x= = f 1 2 1_{≤ ≤} x ; Luas = 8 1 2 1 . 4 1 2 1 _{⋅∆ = =} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f 2 3 1≤x≤ ; Luas = 2 1 2 1 . 1 ) 1 ( ⋅∆x= = f 2 2 3_{≤ ≤} x ; Luas = 8 9 2 1 . 4 9 2 3 _{⋅∆ = =} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f 2 5 2≤x≤ ; Luas = 2 2 1 . 4 ) 2 ( ⋅∆x= = f 3 2 5_{≤ ≤} x ; Luas = 8 25 2 1 . 4 25 2 5 _{⋅∆ = =} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f

Luas daerah yang diarsir

8 55 8 25 2 8 9 2 1 8 1 0+ + + + + ≈ ≈

Bentuk penjumlahan diatas dapat disimbolkan sebagai :

∑

= ⋅∆ ≈ n i i x x f L 1 )

( ; dengan n : banyak persegi panjang yang terbentuk.

Tentu saja hasil diatas bukan hasil yang sesungguhnya, melainkan didapat melalui pendekatan.

Semakin kecil lebar

( )

∆x yang dibuat maka semakin teliti hasil yang didapat

(makin mendekati luas yang sesungguhnya). Hal ini ditunjukan dengan semakin

kecilnya daerah yang tidak diarsir pada gambar 2. Dengan memperkecil lebar

(

∆x→0

)

, maka banyak persegi panjang (n) semakin banyak

(

n→∞

)

. Sehingga luas daerah yang

sebenarnya dapat ditentukan dengan :

∫

∑

⋅∆ = = ∞ → a b n i i n dx x f x x f( ) ( ) lim 1 y x f(x) = x2 0 1 2 3 y x f(x) = x2 0 3 Gambar 1 Gambar 2

1. LUAS DAERAH

Luas daerah yang dibatasi kurva dengan sumbu x bila :

a. daerah berada di atas sumbu x

b. daerah berada di antara dua kurva f(x) dan g(x)

c. daerah berada di bawah sumbu x

dengan menganggap daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = 0 ; f (x) ; x = b dan x = a maka luasnya dirumuskan

[

f

x

]

dx

f

x

dx

L

a b a b

∫

∫

−

=

−

=

0

(

)

(

)

LATIHAN SOAL 6

1. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut: a. c. b. d. y x f(x)= x + 4 0 8 y x f(x) = x2 0 3 y x 0 8 f(x) = x – 8 y 0 -2 4 f(x) = x ) ( ) ( ) (x dx F a F b f L a b − = =

_∫

y x b a f(x)

[

( ) ( )

]

) (x dx F a F b f L a b − − = − =

_∫

f(x) y _x b a Keterangan:

f(x) : kurva yang berada di atas g(x): kurva yang berada di bawah a , b: titik potong kurva f(x) dan g(x) atau batas atas & batas bawah

[

f x g x

]

dx L a b

∫

− = ( ) ( ) f(x) y x a b g(x)

e. f.

2. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut:

a. b.

3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi :

a. f (x) = 4x – x2 ; sumbu x ; antara x = 0 dan x = 3 b. f (x) = x2 – 2x – 3 ; sumbu x ; antara x = 0 dan x = 2 c. y = x2 ; y = x + 2

d. y = x2 – 4x ; y = – x2

--- Good Luck ---

Dengan cara yang sama, luas daerah yang dibatasi kurva dengan sumbu y bila : a. daerah berada di kanan sumbu y

b. daerah berada di antara dua kurva f(y) dan g(y) y x f(x)= x2 _{– 6x} 0 6 y x f(x) = x2 0 6 f(x) = 6 – x y x y = 4x y = x2 _{– 6x + 9 y = x}2 y = 8 - x2 y x ) ( ) ( ) (y dy F a F b f L a b − = =

_∫

Keterangan:

f(y) : kurva yang berada di kanan g(y): kurva yang berada di kiri a , b: titik potong kurva f(y) dan g(y) atau batas atas & batas bawah

[

f

y

g

y

]

dy

L

a b

∫

−

=

(

)

(

)

y x b a f(y) f(y) y x a b g(y)

LATIHAN SOAL 7

1. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut: a. b.

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi parabola y2 = 4x dan 4x – 3y = 4 --- Good Luck ---

Menghitung volume benda putar dengan pendekatan volume tabung

Volume benda putar adalah volume bangun ruang yang terbentuk dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi).

Permasalahan untuk diskusi bersama:

Hitunglah volume benda putar dari daerah yang dibatasi kurva y = f(x) ; sumbu x, x = b dan x = a, jika daerah diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360° (gambar 1)!

jawab

Bangun ruang yang terjadi seperti tampak pada gambar 2.

Dengan membagi bangun ruang dengan beberapa bagian (hampir menyerupai tabung) dengan tinggi sama (∆x), maka volume benda putar yang terbentuk didapat dari pendekatan volume tabung.

Ambil satu bagian sembarang, misal yang diarsir. Volume daerah yang diarsir adalah

≈

∆V Volume tabung

≈π ⋅r2⋅t

≈π ⋅

[

f(x)

]

2⋅∆x

Untuk n bagian yang terjadi maka volume benda

putarnya adalah

_∑

[

]

= ⋅ ⋅∆ ≈ n i i i x x f V 1 2 ) ( π

Semakin kecil tinggi

( )

∆x yang dibuat maka semakin teliti hasil yang didapat

(makin mendekati volume yang sesungguhnya). Dengan memperkecil tinggi

(

∆x→0

)

, maka n→∞. Sehingga volume benda putar yang sebenarnya dapat ditentukan dengan :

[

]

∑

= ∞ → ⋅ ⋅∆ = n i i i n x x f V 1 2 ) ( lim π

[

f x

]

dx a b i

∫

⋅ = π ( )2

[

f x

]

dx a b i

∫

=π ( )2 y x y= f(x) b a Gambar 1 y x y= f(x) b a Gambar 2 ∆x y x y= x 3 y x x + 2y = 12 0 6

[

] [

]

(

)

∫

−

=

a b

dx

x

g

x

f

V

π

(

)

2

(

)

2 y x f(x) a b g(x)

[

f x

]

dx V a b

∫

=

π

( )2

[

f

y

]

dy

V

a b

∫

=

π

(

)

2 y x f(y) b a y x f(x) a b

2. VOLUME BENDA PUTAR

a. Volume Benda Putar bila daerah diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o

♦ Daerah dibatasi kurva dengan sumbu x

♦ Daerah berada di antara dua kurva f(x) dan g(x)

Keterangan:

f(x) : kurva yang berada di atas g(x) : kurva yang berada di bawah a, b : titik potong kurva f(x) dan g(x)

b. Volume Benda Putar bila daerah diputar mengelilingi sumbu y sebesar 360o

[

] [

]

(

)

∫

−

=

a b

dy

y

g

y

f

V

π

(

)

2

(

)

2 ♦ Daerah berada di antara dua kurva f(y) dan g(y)

Keterangan:

f(y) : kurva yang berada di atas/kanan g(y) : kurva yang berada di bawah/kiri a, b : titik potong kurva f(y) dan g(y)

LATIHAN SOAL 8

1. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o

a. f(x) = x – 2 ; dengan batas2≤ x≤6 b. f(x) = 8 – x ; dengan batas2≤ x≤4 c. f(x) = x2 ; dengan batas0≤ x≤3 d. _{f(x)= 4−x}2 _{; dengan batas −1≤ ≤2}

x

2. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 ; y = x + 2 ; diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o

3. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar mengelilingi sumbu y sebesar 360o

a. y = x – 2 ; dengan batas2≤ y≤6 b. y = 4 – x ; dengan batas2≤ y≤4 c. y = x2 _{; dengan batas0≤ ≤5}

y

4. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva x = y2 _; y = 2 ; y = 0 diputar mengelilingi sumbu y sebesar 360o

--- Good Luck ---

DAFTAR PUSTAKA

Noomandiri, BK. , Matematika SMA Untuk Kelas XII Program Ilmu Alam, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004

Purcell, Edwin J. Varberg Dale, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I, Edisi kelima Penerbit Erlangga, Jakarta, 1987

Sartono Wirodikromo , Matematika Untuk SMA kelas XII Program Ilmu Alam, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2006

y x f(y) b a g(y)

UJI KOMPETENSI 1. Hitunglah : a. (18 2₊2 ₋1) ₌..

∫

x x dx b. ..

∫

(_x3₊6_x2_−x+7)_dx= c. 4 3₅ 8 .. 5 6 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −

∫

dx x x x d. 3 1 .. 2 3 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +

∫

dx x x x e. ..( ₊3)( 2 ₋5 ₊6) ₌

∫

x x x dx f. 3(2 2 ₊3)2 ₌..

∫

x x dx

2. Tentukan fungsi f(x) jika diketahui :

a. 5( )₌15 2₋4 ₋ x x x fl dan 0 5 2 ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ f b. 5fl(x)=2x− dan f

( )

1 =2 c. fl(x)=12x−2 dan f

( )

−3 =48

3. Tentukan nilai a , jika diketahui : (2 3) 12

1 = −

∫

x dx a 4. Hitunglah : a.

_∫

(5x+1)(5x2 +2x−8)6dx=.. b. .. 5 2 12 2 ⎟ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +

∫

dx x x

5. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva : a. f(x) = x2−x+2 dengan batas −1≤x≤2 b. f(x) = 3x2+4x−7 dengan batas 0≤x≤2 c. y = 2 – x dan y = x2 d. y = 6 – x dan y= x 6. Hitunglah : a. ..8 2sin( 3 ₋8) ₌

∫

x x dx b. .. 4 4 cos 2 2 2 = − −

∫

dx x x x

7. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x + 7 dan y = 7 – x2 diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o

LATIHAN PEMANTAPAN (Soal-Soal yang Sering Keluar dalam UN)

01. EBT-SMA-96-29

Ditentukan F′(x) = 3x2 + 6x + 2 dan F(2) = 25.

F′(x) adalah turunan dari F(x), maka F(x) = … A. 3x3 + 6x2 + 2x – 27 B. x3 + 3x2 + 2x – 1 C. x3 + 3x2 + 2x + 1 D. x3 + 3x2 + 2x + 49 E. x3 + 3x2 + 2x – 49 02. EBT-SMA-95-28 Diketahui F ′(x) = 3x2 – 4x + 2 dan F(–1) = – 2 , maka F(x) = … A. x3 – 3x2 + 2x – 13 B. x3 – 3x2 + 2x + 4 C. x3 – 3x2 + 2x – 2 D. 9x3 – 12x2 + 2x – 13 E. 9x3 – 12x2 + 2x + 4 03. MD-96-17 F ′(x) = (x + 1) (x + 2) . Jika F(–3), maka F(x) = … A. ₃1_x2 ₊ 2 3_{x + 2x} B. ₃1_x2 ₊ 2 3_{x – 2x} C. ₃1 x2 + ₂3x + 2x – 3 D. ₃1 x2 + ₂3x + 2x + 3 E. (x + 1)2

(

)

4 2 + x 04. MA–99–08 Diketahui dx dF₌ ax + b F(0) – F(–1) = 3 F(1) – F(0) = 5 a + b = … A. 8 B. 6 C. 2 D. –2 E. –4 05. MD-94-25 Jika f(x) = ∫ (x2 + 2x – 1) dx dan f(1) = 0 , maka f(x) = … A. ₃1_x3 _– x2 + x – 1₃ B. 1₃ x3 – ₂1x2 + ₂1x – ₃1 C. 1₃ x3 – ₂1x2 – ₂1x – ₃1 D. 1_3x3 ₊ x2 + x – ₃1 E. 1_3x3 _{+ 2} x2 – 2x – ₃1 06. MD-84-26

Jika F ′ (x) = 1 – 2x dan F(3) = 4, maka

F(x) adalah … A. 2x2 – x – 11 B. –2x2 + x + 19 C. x2 – 2x – 10 D. x2 + 2x + 11 E. –x2 + x + 10 07. MD-91-25

Jika F ′(x) = 8x – 2 dan F(5) = 36 maka

F(x) = … A. 8x2 – 2x – 159 B. 8x2 – 2x – 154 C. 4x2 – 2x - 74 D. 4x2 – 2x - 54 E. 4x2 – 2x - 59 08. MA-94-02 Diketahui ( ) 3 _x dx x df _{= . Jika f(4) = 19,} maka f(1) = … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 09. EBT-SMA-92-29 Diketahui F′ (x) = x x + 1 _dan F(4)

= 9. Jika F′(x) turunan dari F(x), maka F(x) = … A. 2√x + ₃2 x√x + ₃1 B. 2√x + ₃2x√x – ₃1 C. ₃2_√ x + 2x√x + ₃1 D. ₃2_√ x + 2x√x – ₃1 E. 2√x + ₃1x√x + ₃1

10. EBT-SMA-88-28 Ditentukan 1₂ 1 x F '(x) = + dan F(–1) = 0, maka F(x) = … A. −1−1 x B. x x+ −1 C. x x + − 1₃ D. −1+x+2 x E. 1₃+x+2 x 11. EBT-SMA-90-36

Turunan fungsi F adalah f yang

di-tentukan oleh f(x) = 3x2 – 4x + 6.

Apabila ditentukan F(–1) = 0 maka F (x) = ……. A. x3 – 2x2 + 6x B. x3 – 2x2 + 6x – 5 C. x3 – 2x2 + 6x – 9 D. x3 – 2x2 + 6x + 5 E. x3 – 2x2 + 6x + 9 12. EBT-SMA-87-28 ∫ (x2 + 2) dx adalah … A. 3 1 x3 + 2x + C B. 2x3 + 2x + C C. 2 1 x3 + 2x + C D. 3 1 x3 + 2x + C E. 3 1 x3 + 2x2 + C 13. MD-85-21 ∫ x x 2 1 _d x = … A. – x 1 _{+ c} B. - x 2 _{+ c} C. x 1 _{+ c} D. x 2 _{+ c} E. – x 2 1 _{+ c} 14. MD-81-28

∫

sin2xdx = ... A. ₂1_{cos 2x + C} B. –1_{2cos 2x + C} C. 2 cos 2x + C D. –2 cos 2x + C E. –cos 2x + C 15. EBT-SMA-97-30 Nilai

∫

π π − 3 1 6 1 ) sin 5 cos 3 ( x x dx = … A. 4 – 4√3 B. –1 –3√3 C. 1 – √3 D. –1 + √3 E. 4 + 4√3 16. EBT-SMA-96-30

(

)

∫

π π + − 4 2 cos 6 sin 2 x xdx= … A. 2 + 6√2 B. 6 + 2√2 C. 6 – 2√2 D. –6 + 2√2 E. –6 – 2√2 17. EBT-SMA-90-38

(

)

∫

π + 6 0 3 cos 3 sin x xdx = … A. ₃2 B. 1₃ C. 0 D. –₂1 E. –₃2 18. EBT-SMA-89-36 Diberikan ∫ 15x2 (x3 – 1)4dx , selesaikan

dengan langkah-langkah berikut :

a. Misalkan U = x3 – 1

Tentukan dU

b. Ubahlah menjadi ∫f(U) dU dan

selesaikan

c. Hitung integral di atas untuk x = 0

19. EBT-SMA-02-35 dx x x

∫

− 2 3 6 2 _{2 = …} A. 24 B. 18₃2 C. 18 D. 17₃1 E. 17 20. EBT-SMA-01-27 Hasil

∫

−5 3 2 x dx x _{= …} A. 3 5 3 2 ₋ x + C B. 3 5 3 1 ₋ x + C C. 3 5 6 1 ₋ x + C D. ₉1 x3−5 + C E. ₁₂1 x3−5 + C 21. EBT-SMA-99-30 Hasil

∫

+ dx x x 8 2 18 3 2 = … A. −₂3 2x2+8+C B. 9 2x2+8+C C. ₆1 2x2+8+C D. 6 2x2+8+C E. 36 2x2+8+C 22. EBT-SMA-95-32 Diketahui f(x) = 4 2 2 2₋ x x _maka

∫

f(x)dx = … A. 3 2 4 3 1 ₋ x + C B. 3 2 4 3 2 ₋ x + C C. 3 2 4 3 2 ₋ x x + C D. 2_x 3_x2₋4 _{+ C} E. 2 3_x2₋4 _{+ C} 23. EBT-SMA-03-33 Nilai ∫x sin (x2 + 1) dx = … A. –cos (x2+ 1) + C B. cos (x2+ 1) + C C. –1_{2 cos (x}2 _{+ 1) + C} D. 1_{2 cos (x}2 _{+ 1) + C} E. –2 cos (x2 + 1) + C 24. EBT-SMA-88-30

∫ sin5x cos xdx adalah …

A. ₆1_sin6 x + C B. ₆1_cos6 x + C C. –₆1_sin6 x + C D. –₆1_cos6 x + C E. ₄1_sin4 x + C 25. MD-91-26 ∫ sin3x cos x dx = … A. ₄1_sin4 x + C B. ₄1_cos4 x + C C. –₄1_cos2 x + C D. 1_3sin2 x + C E. –₃1_sin4 x + C 26. EBT-SMA-97-32 Hasil dari

∫

+5 3 6 x dx _{adalah …} A. 6 ln (3x + 5) + C B. 3 ln (3x + 5) + C C. 3 ln (6x + 5) + C D. 2 ln (3x + 5) + C E. ln (3x + 5) + C 27. MD-82-19

(

)

∫

+ − 4 2 2 2 1 4 -dx x x = … A. 2 B. 18 C. 20₃1 D. 22 E. 24 3 1 28. MA-79-03

(

)

∫

2 0 2 _{3 7 =} 3x - x + dx … A. 16 B. 10 C. 6 D. 13 E. 22

29. MD-83-19

∫

2 1 31 x x - _d x sama dengan … A. –1₆1 B. ₈1 C. ₈7 D. 1 E. 11₂ 30. MD-87-24 = x dx

∫

2 1 3 … A. ₈3 B. ₈5 C. ₆₄63 D. ₋₁₆₄1 E. ₈7 31. EBT-SMA-02-30 Hasil dari

∫

(

)

− − 1 1 2 _{x 6dx} x = … A. –4 B. –1₂ C. 0 D. ₂1 E. 41₂ 32. EBT-SMA-89-33 Nilai 2_∫ 0 1 2_{x - )}3_dx ( = … A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 E. 160 33. MD-87-19 Jika b > 0 dan 2 3 12 1 = ) dx x ( b

∫

− , maka nilai b = … A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7 34. MD-84-16

Jika p banyaknya himpunan bagian dari

(1,2) dan q akar positif persamaan x2 +

2x – 3 = 0, maka

∫

− = p q x)dx (8 2 … A. 9 B. 5 C. 3 D. 2 E. –6 35. MD-93-22 Jika ₁₀3 0 3 2 2 1 ₌

∫

x dx a ,

∫

− b dx x 0 ) 3 2 ( =4 dan a, b > 0, maka nilai a2 + 2ab + b2 adalah … A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30 36. MD-84-29 Jika

∫

y + x) dx = ( 1 6

1 , maka nilai y dapat

diambil … A.6 B.5 C.4 D.3 E.2 37. MD-95-27

Jika p banyaknya faktor prima dari 42 dan q akar positif persamaan 3x2 – 5x –

2 = 0, maka …

(

)

∫

− p q dx x 3 5 = … A. –3₂1 B. –2₂1 C. 2 2 1 D. 3₃1 E. 5₂1

38. UAN-SMA-04-30

Gradien garis singgung di sembarang titik pada suatu kurva ditentukan oleh rumus y’ = 3x2 – 6x + 2. Jika kurva

tersebut melalui titik (1, –5), maka persamaan kurvanya adalah … A. y = x3 – 3x2 + 2x + 5 B. y = x3 – 3x2 + 2x – 5 C. y = x3 – 3x2 + 2x – 1 D. y = x3 – 3x2 + 2x + 1 E. y = x3 – 3x2 + 2x 39. MA-93-06 Jika dx x df( ) ₌ x3 + x-3 dan f(1) = – 20 11 maka

∫

2 1 f(x )dx= … A. 2 B. 1 C. 1₂ D. 1₄ E. –₄1 39. MD-83-20

∫

π 2 0 = cosxdx … A. 2 B. 0 C. π D. 1 E. 2 1 40. EBT-SMA-00-28

Hasil dari

∫

cosx cos4x dx= …

A. –₅1_{sin 5x –} 3 1_{sin 3} x + C B. ₁₀1 _{sin 5} x + ₆1 sin 3x + C C. ₅2_{sin 5} x + ₅2 sin 3x + C D. 1_{2sin 5x +} 2 1 _{sin 3x + C} E. –₂1_{sin 5} x –₂1 sin 3x + C 41. EBT-SMA-99-29 Nilai

∫

π 6 0 cos 2 cos x xdx= … A. ₆5 B. ₆4 C. ₁₂5 D. –₁₂5 E. –₆5 42. EBT-SMA-03-32 Nilai dari

∫

π 2 0 sin 5 sin x xdx = … A. ₋₂1 B. ₋₆1 C. ₁₂1 D. ₈1 E. ₁₂5 43. EBT-SMA-00-24 Nilai

∫

− = 1 0 6 ) 1 ( 5x x dx … A. ₅₆75 B. 56 10 C. ₅₆5 D. ₋₅₆7 E. ₋10₅₆ 44. EBT-SMA-93-40

∫

xsinxdx = … A. x cos x + sin x + C B. –x cos x + sin x + C C. x sin x – cos x + C D. –x sin x E. x cos x 45. EBT-SMA-96-32

∫

(3x+1)cos2xdx = … A. 1_{2(3x + 1) sin 2x +} 4 3_{cos 2x + C} B. 1_{2(3x + 1) sin 2x –} 4 3_{cos 2} x + C C. 1_{2(3x + 1) sin 2x +} 2 3_{cos 2x + C} D. –₂1_{(3x + 1) sin 2x +} 2 3_{cos 2} x + C E. –₂1_{(3x + 1) sin 2x –} 4 3_{cos 2} x + C

Panjang jari tangan menentukan kecerdasan?

Menentukan seseorang cerdas atau tidak tanpa menguji otaknya memang tidaklah mudah. Apalagi jika hanya mengandalkan tampilan fisik. Seringnya kita mendapatkan fakta yang berseberangan. Seseorang dengan tampilan fisik menarik tak berkorelasi positif dengan kemampuan otaknya yang cerdas. Demikian pula sebaliknya. Meski demikian, berdasarkan hasil penelitian ada bagian tubuh manusia yang bisa digunakan untuk mengungkapkan kecerdasan seseorang.

Mark Brosnan salah satu peneliti dari Universitas Bath mengungkapkan bahwa kecerdasan seseorang dapat dilihat dari perbandingan panjang jari manis dan jari telunjuknya. Seorang anak yang memiliki jari manis lebih panjang daripada jari telunjuk cenderung memiliki kemampuan matematika lebih tinggi daripada kemampuan verbal dan bahasa. Jika perbandingan sebaliknya anak umumnya memiliki kemampuan verbal seperti menulis dan membaca yang lebih baik dari matematika. Panjang jari tangan merefleksikan perkembangan bagian-bagian di otak.

Para ilmuwan telah lama mengetahui bahwa pertumbuhan jari-jari tangan manusia berbeda-beda tergantung hormon testosteron dan estrogen di dalam rahim saat bayi dikandung ibunya. Kadar testosteron yang tinggi diyakini mendukung perkembangan bagian otak yang berhubungan dengan matematika dan pandang ruang. Hormon itu pula yang menyebabkan jari manis tumbuh lebih panjang. Estrogen juga mendorong efek yang sama pada bagian otak, namun yang berhubungan dengan kemampuan verbal. Hormon ini mendukung pertumbuhan jari telunjuk, sehingga lebih panjang dari jari manis.

Untuk menguji hubungan kecerdasan dengan rasio panjang jari tangan, Brosnan dan koleganya membandingkan tes scholastic (SAT) semacam psikotes kepada calon siswa yang mendaftar sekolah dengan panjang cap jari setiap siswa yang telah diminta sebelumnya. Mereka mengukur panjang jari-jari secara teliti menggunakan jangka sorong yang memiliki tingkat ketelitian 0,01 mm. Kemudian rasio panjang jari dicatat untuk memperkirakan perbandingan kadar testosteron dan estrogen.

Hasil tes siswa laki-laki dan perempuan dipisahkan. Mereka menemukan hubungan yang jelas antara tingginya paparan testosteron terlihat dari panjang jari manis yang lebih panjang daripada jari telunjuk dengan nilai uji matematika yang tinggi. Juga tingginya paparan estrogen dengan kemampuan bahasa dan verbal pada sebagian anak perempuan. ”Rasio panjang jari memberikan kita gambaran mengenai kemampuan pribadi yang berhubungan dengan kognitif (daya pikir).” Ujar Brosnan yang akan melaporkan temuannya dalam British Journal of Psychology.