Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
17
(2005), 801–823
On coefficient valuations of Eisenstein
polynomials
par
Matthias K ¨
UNZER
et
Eduard WIRSING
R´esum´e. Soit p ≥ 3 un nombre premier et soient n > m ≥ 1. Soit πn la norme de ζpn−1 sous C
p−1. Ainsi Z(p)[πn]|Z(p) est une extension purement ramifi´ee d’anneaux de valuation discr`ete de degr´e pn−1. Le polynˆome minimal de π
n sur Q(πm) est un polynˆome de Eisenstein; nous donnons des bornes inf´erieures pour lesπm-valuations de ses coefficients. L’analogue dans le cas d’un corps de fonctions, comme introduit par Carlitz et Hayes, est etudi´e de mˆeme.
Abstract. Let p ≥ 3 be a prime, let n > m ≥ 1. Let πn be the norm ofζpn−1 underC
p−1, so thatZ(p)[πn]|Z(p) is a purely ramified extension of discrete valuation rings of degreepn−1. The
minimal polynomial ofπnoverQ(πm) is an Eisenstein polynomial; we give lower bounds for its coefficient valuations at πm. The function field analogue, as introduced by Carlitz and Hayes, is studied as well.
MatthiasK¨unzer
Universit¨at Ulm Abt. Reine Mathematik D-89069 Ulm, Allemagne
E-mail:kuenzer@mathematik.uni-ulm.de
EduardWirsing
Universit¨at Ulm Fak. f. Mathematik D-89069 Ulm, Allemagne
E-mail:ewirsing@mathematik.uni-ulm.de
