Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
16
(2004), 519–533
Algebraic independence over
Q
ppar
Peter BUNDSCHUH
et
Kumiko NISHIOKA
R´esum´e. Soit f(x) une s´erie enti`ere P
n≥1ζ(n)xe(n), o`u (e(n))
est une suite r´ecurrente lin´eaire d’entiers naturels, strictement croissante, et (ζ(n)) une suite de racines de l’unit´e dans Qp, qui satisfait `a une hypoth`ese technique convenable. Alors nous nous sommes particuli`erement int´eress´es `a caract´eriser l’ind´ependance alg´ebrique surQpdes ´el´ementsf(α1), . . . , f(αt) deCp en fonction des α1, . . . , αt ∈ Qp, deux `a deux distincts, avec 0 < |ατ|p < 1 pourτ = 1, . . . , t. Une application remarquable de notre r´esultat principal dit que, dans le cas e(n) = n, l’ensemble {f(α)|α ∈
Qp,0 < |α|p < 1} est alg´ebriquement ind´ependant sur Qp, si (ζ(n)) satisfait `a “l’hypoth`ese technique”. Nous terminerons par une conjecture portant sur des suites (e(n)) plus g´en´erales.
Abstract. Let f(x) be a power series P
n≥1ζ(n)xe(n), where
(e(n)) is a strictly increasing linear recurrence sequence of non-negative integers, and (ζ(n)) a sequence of roots of unity in Qp
satisfying an appropriate technical condition. Then we are mainly interested in characterizing the algebraic independence overQpof the elements f(α1), . . . , f(αt) from Cp in terms of the distinct α1, . . . , αt∈Qp satisfying 0<|ατ|p<1 for τ= 1, . . . , t. A strik-ing application of our basic result says that, in the casee(n) =n, the set{f(α)|α∈Qp,0<|α|p<1}is algebraically independent overQpif (ζ(n)) satisfies the “technical condition”. We close with a conjecture concerning more general sequences (e(n)).
PeterBundschuh
Manuscrit re¸cu le 21 mars 2003.
520 PeterBundschuh, KumikoNishioka
4-1-1 Hiyoshi, Kohoku-ku Yokohama 223-8521, Japan
