TEOREMA INTERPOLASI UNTUK LOGIKA PREDIKAT LoRW+ DAN LoR+ - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

(1)

SKRIPSI

Disusun Oleh :

INDRIYO LUKITO

J2A 004 022

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS DIPONEGORO

SEMARANG

(2)

ABSTRAK

Pada Tugas Akhir ini, dipelajari mengenai pembuktian teorema interpolasi untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+. Logika predikat LoRW+ adalah logika

proposisional LoRW+ yang dilengkapi dengan aturan quantifiers. Sedangkan

(3)

ABSTRACT

(4)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang.

Logika intuisionistik (intuitionistic logics) merupakan formulasi suatu

logika yang dikenalkan oleh Gentzen pada tahun 1935. Formulasi tersebut yang

kemudian lebih dikenal sebagai sistem sequent tipe-Gentzen LJ memuat tiga

aturan struktural yaitu aturan weakening, contraction dan exchange. Sedangkan

logika substruktural adalah logika yang tidak memuat salah satu atau beberapa

aturan-aturan struktural tersebut.

( Troelstra dan Schwichtenberg, 2000)

Pada logika substruktural distributif, sistem sequent tipe Gentzen

berisi dua jenis struktur yang lebih kompleks yaitu intensional dan extensional,

yang mana dapat berkaitan satu sama lain. Di dalam struktur intensional bisa

terdapat struktur extensional. Di dalam struktur extensional bisa terdapat struktur

intensional. Begitu juga seterusnya. Kemudian karena kekomplekskan, maka

beberapa kesulitan akan muncul. Pada tulisan ini, dengan menggunakan sistem

logika predikat LoRW+ dan LoR+, kita akan menyelesaikan kesulitan dan

menunjukkan bahwa teorema interpolasi berlaku untuk logika RW+ dan R+ yaitu

(5)

1.2 Perumusan Masalah.

Berdasar latar belakang yang sudah dijelaskan, permasalahan yang

akan diangkat dalam Tugas Akhir ini adalah akan dibuktikan bahwa teorema

interpolasi berlaku untuk sistem logika substruktural distributif tanpa aturan

weakening. Teorema interpolasi tersebut secara berturut-turut dapat dibuktikan

untuk logika predikat LoRW+ dan LoR+.

1.3 Pembatasan Masalah.

Penulisan Tugas Akhir ini hanya membahas pembuktian teorema

interpolasi untuk logika predikat L_oRW₊_danL_oR₊ _{yang hanya mempunyai satu}

sequent inisial saja, yaitu AA.

1.4 Tujuan Penulisan.

Berdasarkan permasalahan di atas, maka tujuan penulisan Tugas Akhir

ini adalah untuk membuktikan bahwa teorema interpolasi berlaku pada sistem

logika substruktural distributif tanpa aturan weakening khususnya untuk logika

predikat LoRW+ dan LoR+.

1.5 Sistematika Penulisan.

Tugas Akhir ini terdiri dari 4 bab dan beberapa subbab, Bab I

Pendahuluan yang berisi latar belakang, perumusan masalah, pembatasan

masalah, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. Pada Bab II diberikan Dasar

(6)

Pembahasan yang membahas tentang pembuktian teorema interpolasi untuk

sistem logika substruktural distributif dan perluasannya tanpa aturan weakening

yaitu pada logika predikat LoRW+ dan LoR+. Sedangkan pada Bab IV berisi

tentang kesimpulan dari pembahasan-pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dan

(7)

BAB II

DASAR TEORI

Pada bagian ini dibahas teori-teori yang menunjang pembahasan.

2.1 Logika proposisional LoRW+.

Sebelum mempelajari tentang logika proposisional LoRW+, diberikan

beberapa definisi berikut :

Definisi term yaitu :

Definisi 2.1.1 (http://en.wikipedia.org/wiki/Formula.html)

1. Suatu variabel adalah term.

2. Suatu konstanta adalah term.

3. Jika f adalah simbol fungsi dan t t₁, ,...,₂ t adalah term maka n f t t



1, ,...,2 tn



adalah term.

Contoh :

1. m, n, y, z.

2. 6, 7, 8, 9.

3. f( a, b ) = a2 + b2.

Definisi proposisi yaitu :

Definisi 2.1.2 (http://en.wikipedia.org/wiki/Formula.html )

(8)

2. Jika R adalah simbol relasi dan t1,…,tn adalah term maka R



t1,...,tn



adalah proposisi.

Contoh :

1. m = 3.

2. R ( 5,3 ). R menyatakan lebih dari R( 5,3 ) = 5 >3.

Definisi formula yaitu :

Definisi 2.1.3 (http://en.wikipedia.org/wiki/Formula.html)

1. Proposisi adalah formula.

2. Jika A adalah formula dan B adalah formula maka



AB

 

, AB

 

, AB

 

, AB



adalah formula.

3. Jika x adalah variabel dan A(x) adalah formula maka xA x

 

adalah

formula.

4. Jika x adalah variabel dan A(x) adalah formula maka xA x

 

adalah

formula.

Contoh :

1. n = 5.

2. Jika a2 adalah formula dan b2 adalah formula maka



2 2

 

2 2

 

2 2

 

2 2



, ,

, a b a b a b

b

a     adalah formula.

3. xA x

 

= x(2x2> x).

4. xA x

 

= 3

2 1

( x

x

(9)

Definisi subformula yaitu :

Definisi 2.1.4 (http://planetmath.org/encyclopedia/Subformula.html)

Misalkan A adalah formula, maka subformula dari A didefinisikan sebagai

berikut:

1. A subformula dari A.

2. A dan B subformula dari



AB



,



AB



,



AB



dan



AB



.

3. A(t) subformula dari xA x

 

untuk suatu t yang bebas dari x di A(x).

4. A(t) subformula dari xA x

 

untuk suatu t yang bebas dari x di A(x).

Penjelasan dari “t bebas dari x di A(x)”, artinya bahwa setelah

mensubstitusi term t ke variabel x dalam formula A(x), tidak ada variabel

bebas di t menjadi variabel terikat di A(t).

Suatu variabel dikatakan bebas jika dan hanya jika tanpa terikat quantifier.

Untuk lebih jelasnya, maka akan diberikan contoh berikut :

1. y



t2  y2 8



adalah subformula dari x



y



(x2  y2 8



= xA(x)

selama t adalah term yang tidak mengandung variabel y.

2. Jika t=y+2, maka y



y2



2  y2 8



= A(y2) bukan subformula dari







 2  2 8



x y x y karena t mengandung variabel y. Tetapi jika t=z+2,

maka y



z2



2 y2 8



=A(z2) subformula dari z



y



z2 y2 8



(10)

Definisi struktur yaitu :

Definisi 2.1.5 (Surarso, 1998)

1. Suatu formula A adalah struktur.

2. Untuk n  2, jika setiap xi adalah suatu struktur untuk setiap i = 1, ..., n

maka multiset ( x1; ...; xn) dan himpunan ( x1, ..., xn) adalah struktur.

Contoh :

1. m = 3.

2. Misal x1 adalah struktur, x21 adalah struktur, x22 adalah struktur, x3

adalah struktur, x41 adalah struktur, x42 adalah struktur, x5 adalah

struktur, maka :

o _x₂₁_,_x₂₂_dan_x₄₁_,_x₄₂_{merupakan struktur.}_.

o _x₁_{; (}_x₂₁_,_x₂₂_{) ;}_x₃_{; (}_x₄₁_,_x₄₂_{) ;}_x₅_{merupakan struktur.}

Logika proposisional LoRW+ mengandung penghubung logika ,, dan

 ( penggandaan atau fusi).

Sequent pada logika proposisional LoRW+ mempunyai definisi yaitu

sebagai berikut :

Sebuah sequent adalah ekspresi dari bentuk X A dimana X adalah

struktur dan A adalah formula.

Struktur X di sebelah kiri tanda panah sequent disebut anteseden

(antecedent), sedangkan formula A di sebelah kanan tanda panah sequent disebut

(11)

Definisi aturan inferensi pada logika proposisional LoRW+ yaitu :

Pada aturan inferensi, formula yang memuat penghubung logika dan

muncul pada sequent bawah dari aturan untuk penghubung logika selanjutnya

disebut prinsipal formula (formula utama). Struktur dari bentuk ( X1, … ,Xn )

disebut extensional dan bentuk dari ( X1; … ;Xn ) disebut intensional. Untuk

bentuk struktur ( X1; … ;Xn ) dapat diekspresikan oleh formula X1  …  Xn.

Sedangkan bentuk struktur ( X1, … ,Xn ) dapat diekspresikan oleh formula X1…

 Xn. Diasumsikan bahwa ( X1; … ;Xn ) adalah sebuah multiset yang secara tidak

langsung bahwa aturan exchange berlaku untuk  dan diasumsikan bahwa ( X1, …

,Xn ) adalah sebuah multiset yang secara tidak langsung bahwa aturan exchange

dan aturan contraction berlaku untuk .

Sehingga definisi dari logika proposisional LoRW+ yaitu :

Definisi 2.1.8

Sistem sequent tipe Gentzen untuk logika proposisional LoRW+terdiri dari

initial sequent :

A

A

Aturan - aturan untuk logical connectives :

(12)











Selanjutnya, dipelajari tentang logika predikat LoRW+. Logika predikat

LoRW+ adalah logika proposisional LoRW+ yang dilengkapi dengan aturan

quantifiers.

Quantifiers adalah simbol khusus yang digunakan untuk membentuk

kalimat umum tentang semua hal atau tentang beberapa (paling sedikit satu) hal.

(http://en.wikipedia.org/wiki/Predicate_language.html).

Quantifiers ada 2 macam, yaitu:

1. Universal quantifiers ().

1. x diterjemahkan sebagai “untuk setiap x” .

2. xF x

 

disebut sebagai universal generalization.

3. xF x

 

benar jika F x

 

benar untuk setiap x, dengan kata lain, xF x

 

benar jika

 

1 2 ... i

F x F x  F x benar.

2. Existensial quantifiers ().

1. x diterjemahkan sebagai “terdapat x” atau “terdapat paling sedikit satu

x” .

2. xF x

 

disebut sebagai existensial generalization.

(13)

3. xF x

 

benar jika F x

 

benar untuk paling sedikit satu x, dengan kata

lain, xF x

 

benar jika

 

1 2 ... i

F x F x  F x benar.

Definisi aturan quantifiers yaitu :

Definisi 2.2.1 ( Surarso, 1995)

Aturan-aturan quantifiers:

Dimana, t adalah suatu term dan x adalah suatu variable yang memenuhi

syarat eigenvariabel, yaitu x tidak muncul pada sequent bawah dari







dan







.

Sehingga definisi logika predikat LoRW+ yaitu :

Definisi 2.2.2

Sistem sequent tipe Gentzen untuk logika predikat LoRW+terdiri dari initial

sequent :

A

A

Dan aturan-aturan inferensi berikut :

Aturan struktural :

Aturan-aturan untuk logical connectives :

(14)

















dan







.

2.3. Logika Predikat L0R+.

Sebuah ekspresi (X)digunakan untuk menandakan struktur dengan

sebuah indikasi kemunculan struktur X di dalam (X). Kemudian kita misalkan

bahwa (Y) struktur yang diperoleh dari (X) dengan menggantikan indikasi

kemunculan struktur X di dalam (X) dengan sebuah struktur Y.

Logika predikat LoR+ diperoleh dari logika predikat LoRW+ dengan

menambahkan aturan struktural contraction.

(15)

Aturan contraction :

Sistem sequent tipe Gentzen untuk logika predikat L_oR₊_{terdiri dari initial}

sequent :

A

A

Dan aturan-aturan inferensi berikut :

Aturan struktural :

Aturan-aturan untuk logical connectives :

(16)

Aturan-aturan quantifiers :







dan







.

Bukti dari sequent X A dalam L0R+ didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 2.3.2 (Surarso, 1995) :

Sebuah bukti P dari sequent X A adalah sebuah pohon sequent (tree) dari sequent-sequent sebagai berikut :

1. Sequent paling atas adalah inisial sequent.

2. Setiap sequent pada P, kecuali sequent paling bawah, merupakan

sequent atas dari aturan inferensi yang mempunyai sequent bawah

yangtermasuk didalam P.

3. Sequent paling bawah adalah X A.

Definisi bukti dari suatu formula yaitu : ( )

(17)

Definisi 2.3.3 (Surarso, 1995)

Sebuah bukti dari suatu formula A adalah bukti dari sequent  A

2.4 Induksi Matematika

a. Untuk membuktikan suatu sifat S berlaku pada x, dimana x adalah

bilangan asli, yaitu dengan melakukan proses induksi sebagai berikut:

1) The Basis : Dibuktikan sifat S tersebut berlaku pada x = 1.

2) The Induktive step : Dibuktikan jika sifat S berlaku pada x = k, maka

sifat S akan berlaku pula pada x = k+1.

b. Untuk membuktikan suatu sifat S berlaku pada x, dimana x adalah

bilangan asli, yaitu dengan melakukan proses induksi sebagai berikut:

1) The Basis : Dibuktikan sifat S tersebut berlaku pada x = 0.

2) The Induktive step : Dibuktikan jika sifat S berlaku pada x < k, maka

sifat S akan berlaku pula pada x = k.

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction).

Pada pembahasan selanjutnya, induksi matematika yang dipakai adalah

(18)

BAB III

PEMBAHASAN

Pada logika substruktural distributif, sistem sequentnya berisi dua jenis

struktur yaitu pertama, intensional dimana struktur intensional adalah struktur

yang dihubungkan oleh penghubung intensional “;” sebagai contoh struktur

(X1;…;Xn) dan kedua, extensional dimana struktur extensional adalah struktur

yang dihubungkan oleh penghubung extensional “,” sebagai contoh (X1,…,Xn),

yang mana dapat berkaitan satu sama lain. Di dalam struktur intensional bisa

terdapat struktur extensional. Di dalam struktur extensional bisa terdapat struktur

intensional. Begitu juga seterusnya. Untuk mempermudah pemahaman akan

diberikan contoh sebagai berikut :

X = X1; X2; X3; X4; X5.

= X1;( X21, X22, X23 ); X3;( X41, X42, X43); X5.

= X1;( X21,( X221;X222;X223 ), X23); X3; ( X41,( X421;X422;X423 ), X43); X5.

Pada berikutnya, U{ c / z } akan menandakan bahwa struktur diperoleh dari U

dengan menggantikan kemunculan struktur Z di dalamnya dengan formula C, dan

U { - / z } akan menandakan bahwa struktur diperoleh dari U dengan menghilangkan

kemunculan struktur Z di dalamnya. Himpunan dari variabel proposisional yang

(19)

3.1. Bukti Teorema Interpolasi Untuk Logika Predikat LoRW+ dan LoR+

Sebelum membuktikan teorema interpolasi untuk logika predikat LoRW+

dan LoR+, didefinisikan sebuah kemunculan struktur X dalam U yang extensional

maksimal yaitu jika tidak terdapat kemunculan struktur extensional di dalam U

yang diperlukan. Sebagai contoh ambil U = (M,(N1;N2;N3));A. U adalah

extensional maksimal. M,(N1;N2;N3) adalah extensional maksimal. A adalah

extensional maksimal. Di pihak lain, N1 dan N1;N2;N3 adalah bukan extensional

maksimal.

Selanjutnya dibuktikan bahwa interpolasi berlaku untuk logika predikat

LoRW+ dan LoR+ dengan menunjukkan bentuk berikut berlaku

Teorema 3.1. Misalkan bahwa UD adalah sequent yang terbukti. Misalkan

juga jika Z adalah kemunculan struktur yang extensional maksimal dalam U.

Maka dalam Z terdapat formula C sedemikian sehingga :

1) Z Cterbukti. 2) U{C/Z}D terbukti.

3) V ( C )  V ( Z )  [V ( U{ - / Z })  V ( D )].

3.1.1. Bukti Teorema 3.1 Untuk Logika Predikat LoRW+

Pertama kita mempertimbangkan bukti dari teorema di atas untuk logika

predikat LoRW+. Teorema itu dibuktikan dengan induksi pada banyaknya dari

aturan inferensi dalam gambar bukti dari sebuah sequent U D. Kita perhatikan

upper sequent dari aturan inferensi terakhir yaitu U D. Karena banyaknya

(20)

berdasarkan aturan induksi matematika sequent tersebut memenuhi teorema 3.1.

Dari sini didapatkan bahwa U D juga memenuhi teorema 3.1.

Kasus 1. Aturan terakhir adalah (E – weak). Di sini U D harus berbentuk

D Y X 

( , ) dan aturan terakhirnya adalah bentuk berikut :

( )

) , (

) (

weak E

D Y X

D X

 



 

Andaikan Z adalah sebuah kemunculan struktur yang extensional maksimal dalam

( X,Y ).

Sub kasus 1.1. Z memuat tampilan X,Y.

Berikut dibuktikan bahwa :

1) Z C terbukti.

2) (X,Y){C/Z}D terbukti.

3) V ( C )  V ( Z ) [V (( X,Y ){ - / Z } )  V ( D )].

Andaikan W Z{/Y}_dan Z (X,Y). Maka kita perhatikan sequent atas.

Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C sedemikian

sehingga :

1) W C terbukti.

2) (X){C/W}D terbukti.

3) V ( C )  V ( W )  [V (( X ){ - / W })  V ( D )].

Mengingat hubungan W Z{/Y} dan Z (X,Y) serta dengan menerapkan

)

(Eweak sehingga :

(21)

) (

) , (

) ,

( { / }

weak E

C Y X

C Y

X Y

 





 

Selanjutnya, (X){C/W}(X,Y){C/Z}. Jadi dengan 2) (X,Y){C/Z}D

terbukti.

Karena V ( W )  V ( Z ) dan V (( X ){ - / W }) = V (( X,Y ){ - / Z } ).

Bukti :

 V ( W ) = V ((X,Y){/Y} )...( I ).

V ( Z ) = V ((X,Y) ) ...( II ).

Terlihat bahwa formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II )

tetapi tidak demikian sebaliknya. Jadi V ( W )  V ( Z ).

 V (( X ){ - / W }) = V (( X ){/Z{/Y}} ) = V (( X ){/(X,Y){/Y}})....( I ).

V (( X,Y ){ - / Z } ) = V (( X, Y ){/(X,Y)} ) ...( II ).

Dengan ( I ) dan ( II ) didapat bahwa V (( X ){ - / W }) = V((X,Y){- / Z } ).

Jadi dengan 3) V ( C )  V ( Z ) [V (( X,Y ){ - / Z } )  V ( D )].

Sub kasus 1.2. Z adalah kemunculan struktur yang terluar dari tampilan X,Y.

1) Z C terbukti.

2) (X,Y){C/Z}D terbukti.

3) V ( C )  V ( Z ) [V (( X,Y ){ - / Z } )  V ( D )].

Maka kita perhatikan sequent atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi

terdapat sebuah formula C sedemikian sehingga :

(22)

1) Z C terbukti.

U   dan aturan terakhirnya adalah bentuk di bawah ini :

; ()

Andaikan Z adalah kemunculan struktur extensional maksimal dalam U.

1) Z C terbukti.

2) U{C/Z}AB terbukti.

3) V ( C )  V ( Z ) [V ( U{ - / Z } )  V ( AB )].

Maka kita pertimbangkan sequent atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi

1) Z C terbukti.

2) U{C/Z};AB terbukti.

(23)

3) V ( C )  V ( Z )  [V ( U{ - / Z }; A )  V ( B )].

( perhatikan bahwa terdapat (U;A){C/Z}U{C/Z};A dan (U;A){/Z}U{/Z};A).

Karena bentuk ( U ; A ){ C / Z } dan ( U ; A ){ - / Z } adalah sebuah multiset, maka

dapat ditulis juga berturut-turut ke dalam bentuk ( U ){ C / Z } ; A dan ( U ){ - / Z }; A

Sekarang, dengan menerapkan () pada U{C/Z};AB kita mendapatkan

B A

U{C/Z}  . Jadi dengan 2) kita dapat bukti dari U{C/Z}AB sebagai

berikut :

) ( ;

} / {

 

 

B A U

Z C



Kemudian, V ( U{ - / Z } ; A )  V ( B ) = V ( U{ - / Z })  V ( A B ).

Bukti : karena formula yang muncul pada struktur sebelah kiri muncul juga pada

struktur sebelah kanan begitu juga sebaliknya sehingga V ( U{ - / Z } ; A ) 

V ( B ) = V ( U{ - / Z })  V ( A B ).

Jadi dengan 3)V ( C )  V ( Z )  [V ( U{ - / Z } )  V ( AB )].

Kasus 3. Aturan terakhir adalah (). Di sini Z D adalah bentuk

D X B

A 

( ; ) dan aturan terakhir adalah bentuk sebagai berikut :

X  A (B)D

Andaikan Z adalah kemunculan struktur extensional maksimal dalam

) ;

(AB X

 .

D X B

A 

(24)

Sub kasus 3.1. Zmemuat tampilan AB;X .

1) Z{AB;X/AB;X}C terbukti.

2) (AB;X){C/Z}D terbukti.

3) V ( C )  V ( Z ) [V ((AB;X){/Z})  V ( D )].

Andaikan W Z{B/AB;X}_danZ(AB;X). Maka kita perhatikan sequent

kanan atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C

sedemikian sehingga :

1) W C terbukti.

2) (B){C/W}D terbukti.

3) V ( C )  V ( W )  [V (( B ){ - / W })  V ( D )].

Mengingat hubungan W Z{B/AB;X} dan Z(AB;X) sehingga kita

mempunyai bentuk sebagai berikut :

Dengan menerapkan () pada sequent kiri atas X A dan sequent W C

kita mendapatkan Z C. Jadi dengan 1) kita dapat bukti dari Z C sebagai berikut :

A X 



C Z{B/AB;X)



Selanjutnya, (B){C/W}(AB;X){C/Z}D. Jadi dengan 2)

D X

B

A C Z 

( ; ){ / } terbukti.

)

(

(25)

)

Catatan bahwa pada kasus ini kita dapat menulis aturan terakhir ke dalam bentuk :

)

(26)

2) (Y;AB;X1;X2){C2C1/Z}D terbukti.

3) V( C2 C1 )  V( Y;AB;X1 ) [V( (Y ; A B; X1; X2 ){ - / Y;AB;X1}

 V( D )].

Andaikan WZ{B/AB;X1}Y;B. Maka kita perhatikan sequent kanan atas.

Dengan menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C1 sedemikian

sehingga :

1a) W C1 terbukti.

2a) (Y;B){C1/W}D terbukti.

3a) V ( C1)  V ( W )  [V ((Y ; B ){ - / W })  V ( D )].

Kemudian kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa

induksi terdapat sebuah formula C2 sedemikian sehingga :

(27)

Kemudian, dengan menerapkan () pada X2C2dan (Y;B){C1/W}D

kita mendapatkan sequent

(28)

Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) begitupun

sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 )  [V( X2 )  V( Y ; B )

{ - / Y ; B_} )  V( D )] = [V( ( Y ; A  B ; X₁; X₂ )_{ - / Z }  V( D )].

Jadi dengan 3a) dan 3b) V( C2 C1 )  V( Y;AB;X1 )  [V( (Y ; A B;

X1; X2 ){ - / Y;AB;X1}  V( D )].

Sub kasus 3.3. Z memuat tampilan A  B dan sebuah kemunculan struktur di

dalam X, tetapi Z bukan terdiri dari X bukan pula terdiri dari kemunculan struktur

terluar dari AB;X .

A X X1; 2

(B)B()

dan ambil Z  AB;X1.

1) AB;X1C2C1 terbukti.

2) (AB;X1;X2){C2C1/Z}D terbukti.

3) V( C2 C1 )  V( AB;X1 ) [V( (A B; X1; X2 ){ - / AB;X1 }V( D )].

Andaikan WZ{B/AB;X1}B. Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan

menggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C1 sedemikian sehingga :

2a) (B){C1/W}D terbukti.

3a) V ( C1)  V ( W )  [V ((B ){ - / W })  V ( D )].

D X

X B

A 

(29)

(30)

Terakhir, V( C2 C1 )  [V( B )  V( X1)  V( A )] = V( Z ) dan V( C2 C1 )

 [V( X2 )  V( B ){ - / B_} ) V( D )] = [V( (A  B ; X₁; X₂ )_{_{- / Z}_}  V(D )].

Bukti :

 V ( C1C2)  [V ( B )  V( X1)  V ( A )]...( I ).

V( Z ) = V( A  B ; X1) ...( II ).

sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 )  [V( B )  V( X1) 

V( A )] = V( Z ) .

 V( C2 C1 )  [V( X2 )  V( B ){ - / B_} ) V( D )]= V( C₂ C₁ )  [V(

X2)  V( D )] ...( I ).

[V( ( A  B ; X1 ; X2 ){ - / Z }  V(D )] = [V( ( A B ; X1; X2 ){ - /

1 ;X B

A }  V( D )] = [V( ( X2 )  V( D )] ...( II ).

sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 )  [V( X2 )  V( B ){ - /

B_} ) V( D )] = [V( (A  B ; X₁; X₂ )_{_{- / Z}_}  V(D )].

Jadi dengan 3a) dan 3b) didapat V( C2 C1 )  V( AB;X1 )  [V( ( A

B; X1; X2 ){ - / AB;X1 }  V( D )].

Sub kasus 3.4. Z memuat tampilan A  B dan sebuah kemunculan struktur

terluar dari AB;X , tetapi Z bukan terdiri dari kemunculan struktur di dalam X.

X  A (Y;B)B()

D X B A

Y  

(31)

dan ambil Z Y;AB.

1) Y;ABC2C1 terbukti.

2) (Y;AB;X2){C2C1/Z}D terbukti.

3) V( C2 C1 )  V( Y;A B )  [V( (Y ; A B ; X2 ){- / Y ; A B}V(D )].

Andaikan WZ{B/AB}Y;B. Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan

2a) (Y;B){C1/W}D terbukti.

3a) V ( C1)  V ( W )  [V ((Y ; B ){ - / W })  V ( D )].

1b) X C2 terbukti.

2b) X{C2/X}A terbukti.

3b) V ( C2)  V ( X )  [V (X{ - / X } )  V ( A )].

Mengingat hubungan WZ{B/AB}Y;B sehingga kita mempunyai bentuk

sebagai berikut :

Dengan menerapkan () pada X{C2/X}Adan W C1 kita mendapatkan

1 2

;C C

Z  . Maka dengan 1a) dan 2b) dan dengan menerapkan ()_ke

dalamnya, kita dapat memperoleh bukti dari Z C2C1 sebagai berikut :

A C2



Y;BC1



1 2

;A B C C

Y   

)

(

1 2

;

;A BC C

Y  

)

(32)

Kemudian, dengan menerapkan () pada X C2 dan (Y;B){C1/W}D,

kita mendapatkan sequent (Y;B;X){C2C1/W}D.

} / { }

/

{ 2 1 ( ; ; ) 2 1

) ; ;

(Y B X C C W Y AB X C C W

 . Jadi dengan 2a) dan 1b) kita

dapat memperoleh bukti dari (Y;AB;X){C2C1/Z}D sebagai berikut :

2 C X 



D C 

( 1)



Terakhir, V( C2 C1 )  [V( Y ; B )  V( A )] = V( Z ) dan V( C2 C1 )  [V(

X )  V( Y ; B ){ - / Y ; B_} )  V( D )] = [V( ( Y ; A B ; X )_{_{- / Z}_}  V( D )].

Bukti :

 V ( C1C2)  [V ( Y ; B )  V ( A )]...( I ).

V( Z ) = V( Y ; A  B ) ...( II ).

sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 )  [V( Y ; B )  V( A )]

= V( Z ).

 V( C2 C1 )  [V( X )  V( Y ; B ){ - /Y ; B_} )  V( D )] = V( C₂ C₁ )

 [V( X )  V( D )] ...( I ).

[V( ( Y ; A B ; X ){ - / Z }  V( D )]= [V( ( Y ; A B ; X ){ - / Y;AB

} ) V( D )]= [V( ( X )  V( D )] ...( II ).

sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 )  [V( X )  V(B { - /B}

)  V( D )] = [V( ( A  B ; X ){ - / Z } )  V( D )].

D X C

C  

( 2 1; )

)

(33)

Jadi dengan 3a) dan 3b) didapat V( C2 C1 )  V( Y;A B ) [V( ( Y ; A B

; X2 ){ - / Y ; A B }  V( D )].

Sub kasus 3.5. Z = A  B.

A X 

(B)B()

dan ambil ZAB.

1) ABC2C1 terbukti.

2) (AB;X2){C2C1/Z}D terbukti.

3) V( C2 C1 )  V( A B ) [V( ( A B ; X ){ - / A B }  V( D )].

Andaikan W Z{B/AB}B. Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan

2a) (B){C1/W}D terbukti.

3a) V ( C1)  V ( W )  [V ((B ){ - / W })  V ( D )].

Maka kita perhatikan sequent kiri atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi

terdapat sebuah formula C2 sedemikian sehingga :

1b) X C2 terbukti.

2b) X{C2/X}A terbukti.

3b) V ( C2)  V ( X )  [V (X{ - / X } )  V ( A )]. D X B

A 

(34)

Mengingat hubungan W Z{B/AB}B sehingga kita mempunyai bentuk

dalamnya, kita dapat memperoleh bukti dari Z C2C1 sebagai berikut :

(35)

 V( C2 C1 )  [V( X )  V(B ){ - /B_} )  V( D )] = V( C₂ C₁ )  [V(

X )  V( D )] ...( I ).

[V( ( A  B ; X ){ - / Z }  V( D )] = [V( ( A  B ; X ){ - / AB } 

V( D )] = [V( ( X )  V( D )] ...( II ).

sebaliknya sehingga terbukti bahwa V( C2 C1 )  [V( X )  V(B ){ - /B_}

)  V( D )] = [V( ( A  B ; X ){ - / Z }  V( D )].

Jadi dengan 3a) dan 3b) didapat V( C2 C1 )  V( AB ) [V( ( AB ; X ){ -

/ A B }  V( D )].

Sub kasus 3.6. Z terdiri sebuah kemunculan struktur di dalam X dan sebuah

kemunculan struktur terluar dari AB;X , tetapi Z bukan hanya terdiri dari X

bukan pula AB.

Perhatikan bahwa pada kasus ini kita dapat menulis aturan terakhir ke dalam

bentuk :

) ( )

; ; ; (

) ; ( ;

2 1 2

1

 

 

 



D Y X X B A

D Y B A

X X

dan ambil Z X2;Y .

1) X2;YC2C1 terbukti.

2) (AB;X1;X2;Y){C2C1/Z}D terbukti.

(36)

Andaikan W Z{/X2}Y. Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan

2a) (B;Y){C1/W}D terbukti.

3a) V ( C1 )  V ( W )  [V (( B ; Y ){ - / W })  V ( D )].

1b) X2C2 terbukti.

2b) X1;X2{C2/X2}A terbukti.

3b) V ( C2)  V ( X2)  [V ( X1; X2{ - / X2 } )  V ( A )].

Mengingat hubungan W Z{/X2}Y sehingga kita mempunyai bentuk sebagai

berikut :

Dengan menerapkan () pada X2C2 dan W C1 kita dapat

memperolehZC2C1. Jadi dengan 1a) dan 1b) kita dapat memperoleh bukti

dari ZC2C1 sebagai berikut :

2

2 C

X 



) (

1 

C Y



Kemudian, dengan menerapkan () pada X1;X2{C2/X2}A dan

D Y

B C W 

( ; ){ 1/ } kita mendapatkan (AB;X1;X2;Y){C2;C1/Z}D. Jadi

dengan 2a) dan 2b) dan dengan menerapkan () ke dalamnya, kita dapat

memperoleh bukti dari (AB;X1;X2;Y){C2C1/Z}Dsebagai berikut : 1

* 2

2;Y C C

(37)

A

Sub kasus 3.7. Zadalah sebuah kemunculan struktur di dalam tampilan X.

(38)

1) Z C terbukti.

2) X{C/Z}A terbukti.

3) V ( C )  V ( Z )  [V ( X{ - / Z })  V ( A )].

Sekarang, dengan menerapkan () pada X{C/Z}A dan sequent kanan atas

D B 

( ) , kita mendapatkan (AB;X){C/Z}D. Jadi dengan 2) kita dapat

memperoleh bukti dari (AB;X){C/Z}D sebagai berikut :

.

A X{C/Z}



D B 

( )



Karena [V ( X{ - / Z })  V ( A )]  [V( ( A  B ; X ){ - / Z } )  V( D )].

Bukti :

 [V ( X{ - / Z })  V ( A )] ...( I ).

[V( ( A  B ; X ){ - / Z } )  V( D )] ...( II ).

Formula yang muncul pada ( I ) muncul juga pada ( II ) tetapi tidak

sebaliknya sehingga [V ( X{ - / Z })  V ( A )]  [V( ( A  B ; X ){ - / Z

} )  V( D )].

Jadi dengan 3) didapat V ( C )  V ( Z ) [V( ( A  B ; X ){ - / Z } )  V( D )].

D X

B

A C Z  ( ; ){ / }

)

(39)

Sub kasus 3.8. Z adalah kemunculan struktur terluar dari tampilan AB;X .

1) Z C terbukti.

2) (AB;X){C/Z}Dterbukti.

3) V ( C )  V ( Z )  [V ((AB;X){/Z})  V ( D )].

1) Z C terbukti.

X,   dan aturan terakhir adalah bentuk sebagai berikut :

(40)

1) X,YC1C2 terbukti.

2) C1C2AB terbukti.

3) V( C1  C2 )  V( X , Y ) V( A  B ).

1a) X C1 terbukti.

2a) C1A terbukti.

3a)V( C1 ) V( X ) V( A ).

Kemudian kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan menggunakan hipotesa

1b) Y C2 terbukti.

2b) C2B terbukti.

3b) V ( C2)  V ( Y )  V ( B ).

Mengingat bahwa Z  X,Y sehingga kita mempunyai bentuk sebagai berikut :

Dengan menerapkan () pada X C1 dan Y C2 kita dapat memperoleh

2 1

,Y C C

X   . Jadi dengan 1a) dan 1b) sequent ini terbukti.

) (

, 1 2

2

1 



 



C C Y X

C Y C X

 

Kemudian, dengan menerapkan () pada C1A dan C2B kita dapat

(41)

kita dapat memperoleh C1C2AB. Jadi dengan 2a) dan 2b) sequent

( ) dan aturan terakhir adalah bentuk berikut :

)

Andaikan Z adalah sebuah kemunculan struktur extensional maksimal dalam ( A

 B ).

Sub kasus 5.1. Z memuat tampilanA  B.

1) Z C terbukti.

2) (AB){C/Z}D terbukti.

3) V ( C )  V ( Z )  [V ((  ){ - / Z } )  V ( D )].

Andaikan W Z{A,B/AB}_dan Z (AB) . Maka kita perhatikan sequent

atas. Dengan mengggunakan hipotesa induksi terdapat sebuah formula C

(42)

1) W C terbukti.

2) (A,B){C/W}D terbukti.

3) V ( C )  V ( W )  [V (( , ){ - / W } )  V ( D )].

Mengingat hubungan W Z{A,B/AB} dan Z (AB) sehingga kita

mempunyai bentuk sebagai berikut :

Dengan menerapkan () pada W C kita dapat memperoleh Z C. Jadi

dengan 1) Z C terbukti.

) ( )

( )

( { , / }

  

 

 

 

C B A

C B

A A B A B 

Kemudian, (AB){C/Z}D equivalen pada (A,B){C/W}D. Jadi dengan

2) (AB){C/Z}D terbukti.

Terakhir, V( W ) = V( Z ) dan ( , ){ - / W } = (  ){ - / Z } .

Bukti :

 V( W ) = V( Z{A, B /AB) = V((AB){A, B /AB) ...( I ).

V( Z ) = V((AB)) ...( II ).

sebaliknya sehingga V( W ) = V( Z ).

 ( , ){ - / W } = ( , ){ - / Z{A,B/AB} } = ( , ){ - / (AB){A,B/AB} } ....( I ).

)

( 

 { - / Z } = (  ){ - / (AB) } ...( II ).

(43)

Sub kasus 5.2. Z tidak memuat tampilanA  B.

1) Z C terbukti.

2) (AB){C/Z}Dterbukti.

3) V ( C )  V ( Z )  [V ((AB){/Z})  V ( D )].

1) Z C terbukti.

Andaikan Z adalah kemunculan struktur extensional maksimal dalam X;Y.

B A Y

(44)

Sub kasus 6.1. Z= X ; Y.

Catatan bahwa dengan kondisi untuk Z, pada kasus ini Z  X;Y.

1) X;YC1C2 terbukti.

2) C1C2AB terbukti.

3) V( C1  C2 )  V( X ; Y ) V( A  B ).

2a) C1A terbukti.

3a)V( C1 ) V( X ) V( A ).

Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan menggunakan hipotesa induksi

1b) Y C2 terbukti.

2b) C2B terbukti.

3b) V ( C2)  V ( Y )  V ( B ).

Mengingat bahwa Z  X;Y sehingga kita mempunyai bentuk sebagai berikut :

Dengan menerapkan () pada X C1 dan Y C2 kita dapat memperoleh

2 1

;Y C C

X   . Jadi dengan 1a) dan 1b) sequent ini terbukti.

1 C X 

Y C2()



2 1

;Y C C

X  

(45)

Maka, dengan menerapkan () pada C1A dan C2B kita dapat

memperoleh C1;C2AB. Maka dengan menerapkan () pada sequent ini

kita dapat memperoleh C1C2AB. Jadi dengan 2a) dan 2b) sequent terakhir

juga terbukti.

A

C1 C2B

Terakhir, dengan 3a) dan 3b) didapat V( C1  C2 )  V( X ; Y ) V( A  B ).

Sub kasus 6.2. Z memuat sebuah kemunculan struktur di dalam X dan sebuah

kemunculan struktur di dalam Y, tetapi Z tidak memuat tampilan X dan tampilan

Y.

A X X1; 2

Y1;Y2B()

dan ambil Z  X2;Y1.

1) X2;Y1C1C2 terbukti.

2) X1;X2;Y1;Y2{C1C2/X2;Y1}AB terbukti.

3) V ( C1* C2)  V( X2 ; Y1 )  [V ( X1; X2 ; Y1; Y2{ - / X2 ; Y1 } )  V( A * B)]. B

A Y Y X

X1; 2; 1; 2 *

) (

) (

 

B A C C

  

 

2 1

(46)

1a) X2C1 terbukti.

2a) X1;X2{C1/X2}A terbukti.

3b) V ( C1)  V ( X2)  [V ( X1; X2{ - / X2 } )  V ( A )].

Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan menggunakan hipotesis induksi

1b) Y1C2 terbukti.

2b) Y1;Y2{C2/Y1}B terbukti.

3b) V ( C2 )  V ( Y1)  [V ( Y1; Y2{ - / Y1 } )  V ( B )].

Mengingat bahwa Z  X2;Y1, sehingga kita mempunyai bentuk sebagai berikut :

Dengan menerapkan () pada X2C1 dan Y1C2 kita dapat memperoleh

2

1 C

C

Z  . Jadi dengan 1a) dan 1b), sequent ini terbukti.

1

2 C

X 

) (

2 1

  C Y

Maka, dengan menerapkan () pada X1;X2{C1/X2}A dan Y1;Y2{C2/Y1}B

kita mendapatkan X1;X2;Y1;Y2{C1;C2/Z}AB_. Maka dengan menerapkan

)

( pada X1;X2{C1/X2}A dan Y1;Y2{C2/Y1}B kita mendapatkan

B A Y

Y X

X1; 2; 1; 2{C1C2/Z}  _.Jadi dengan 2a) dan 2b), sequent ini terbukti. 2

1 1

2;Y C C

X  

(47)

A X

X1; 2{C1/X2}

B Y

Y1; 2{C2/Y1}

Terakhir, V( C1* C2 )  V( X2 ; Y1)dan V( C1* C2 )  V( X1; Y2)  V( A * B )].

Bukti :

 V ( C1* C2 )  [V ( X2 )  V ( Y1 )] = V ( C1* C2 )  V ( X 2; Y1 )

terbukti.

 V ( C1* C2 ) [{V( X2 )  V ( X1;X2{ - / X2 } )  V ( A )} {V( Y1 ) 

V(Y1;Y2{- / Y1}) V( B )}] .

= V ( C1* C2) [{V( X2 ) {V( Y1 )}  { V ( X1;X2{ - / X2 } )  V ( A )

 V(Y1;Y2{- / Y1}) V( B )}] .

= [V ( C1* C2) V( X2) V( Y1 )]  [V ( C1* C2 )  V ( X1 ; X2{ - / X2 }

 V (Y1 ; Y2{- / Y1})  V ( A ) V( B )] .

=[V ( C1* C2) V( X2 ) V( Y1 )]  [V ( C1* C2)  V ( X1)  V ( Y2)

 V ( A * B )] .

Terbukti bahwa V ( C1* C2)  V ( X1 ; Y2 )  V ( A * B )].

Jadi dengan 3a) dan 3b) didapat V ( C1* C2 )  V( X2 ; Y1 )  [V ( X1; X2 ; Y1 ;

Y2{ - / X2 ; Y1 } )  V ( A * B)].

B A Y

Y X

X1; 2; 1; 2{C1;C2/X2;Y1} 

B A Y

Y X

X1; 2; 1; 2{C1C2/X2;Y1} 

) (

) (

(48)

Sub kasus 6.3. Z memuat tampilan X dan sebuah kemunculan struktur di dalam

Y, akan tetapi Z tidak memuat tampilan Y.

A X 

Y1;Y2B(*)

dan ambil Z  X;Y1.

1) X;Y1C1C2 terbukti.

2) X;Y1;Y2{C1C2/X;Y1}AB terbukti.

3) V ( C1* C2 )  V( X ; Y1)  [V (X ; Y1; Y2{ - / X ; Y1 } )  V ( A * B)].

1a) X C1 terbukti. 2a) X{C1/X}A terbukti.

3b) V ( C1)  V ( X )  [V (X{ - / X } )  V ( A )].

Maka kita perhatikan sequent kanan atas. Dengan menggunakan hipotesis induksi

3b) V ( C2)  V ( Y1)  [V ( Y1; Y2{ - / Y1 } )  V ( B )].

Mengingat bahwa Z  X;Y1 sehingga kita mempunyai bentuk sebagai berikut :

Dengan menerapkan (*) pada X C1 dan Y1C2 kita dapat memperoleh

2

1 C

C

B A Y Y

(49)

(50)

Sub kasus 6.4. Z memuat tampilan Y dan sebuah kemunculan struktur di dalam

X, akan tetapi Z tidak memuat tampilan X.

A X X1; 2

Y B(*)

dan ambil Z  X2;Y .

1) X2;YC1C2 terbukti.

2) X1;X2;Y{C1C2/X2;Y}AB terbukti.

3) V ( C1* C2)  V( X2 ; Y )  [V ( X1; X2 ; Y{ - / X2 ; Y } )  V ( A * B)].

1a) X2C1 terbukti.

2a) X1;X2{C1/X2}A terbukti.

3b) V ( C1 )  V ( X2)  [V ( X1; X2{ - / X2 } )  V ( A )].

1b) Y C2 terbukti.

2b) Y{C2/Y}B terbukti.

3b) V ( C2 )  V ( Y )  [V ( Y{ - / Y } )  V ( B )].

Dengan menerapkan (*) pada X2C1 dan Y C2 kita dapat memperoleh

2

1 C

C

B A Y X

(51)

(52)

Jadi dengan 3a) dan 3b) didapat V ( C1* C2 )  V( X2; Y )  [V ( X1; X2 ; Y{ - /

2

X ; Y } )  V ( A * B)].

Sub kasus 6.5. Z memuat sebuah kemunculan struktur di dalam X.

1) Z C terbukti.

2) X{C/Z};YABterbukti.

3) V ( C )  V ( Z )  V ( X{ - / Z }; Y )  V ( A * B ).

1) Z C terbukti.

2) X{C/Z}A terbukti.

3) V ( C )  V ( Z )  [V ( X{ - / Z })  V ( A )].

Sekarang, dengan menerapkan () pada X{C/Z}A dan sequent kanan atas

B

Y  , kita mendapatkan X{C/Z};Y AB. Jadi dengan 2) sequent ini

terbukti.

A X{C/Z}

Y B()

Kemudian dengan V ( X{ - / Z })  V ( A )  V ( X{ - / Z }; Y )  V ( A * B ) dan

dengan 3) didapat V ( C )  V ( Z )  V ( X{ - / Z }; Y )  V ( A * B ). Catatan

pada kasus ini adalah karena bentuk X{ C / Z } ; Y dan X{ - / Z } ; Y adalah multiset

sehingga bisa ditulis X{ C / Z } ; Y = X ; Y{ C / Z } dan X{ - / Z } ; Y = X ; Y{ - / Z }.

B A Y

X{C/Z};  

 

(53)

Sub kasus 6.6. Z adalah sebuah kemunculan struktur di dalam Y.

A X 

Y1;Y2B(*)

dan ambil Z  X;Y1.

1) X;Y1C1C2 terbukti.

2) X;Y1;Y2{C1C2/X;Y1}AB terbukti.

3) V ( C1* C2)  V( X ; Y1 )  [V (X ; Y1 ; Y2{ - / X ;Y1 } )  V ( A * B)].

2a) X{C1/X}A terbukti.

3b) V ( C1)  V ( X )  [V (X{ - / X } )  V ( A )].

terdapat formula C2 sedemikian sehingga :

3b) V ( C2 )  V ( Y1)  [V ( Y1; Y2{ - / Y1} )  V ( B )].

Dengan menerapkan (*) pada X C1 dan Y1C2 kita dapat memperoleh

2

1 C

C

B A Y Y

(54)

Andaikan Z adalah sebuah kemunculan struktur extensional maksimal dalam