PELABELAN ANTIPODAL PADA GRAF SIKEL

(1)

Puspa Novita Sari1, Bambang Irawanto2, Bayu Surarso3

1,2,3_{Jurusan Mate matika FS M Uni versitas Di ponegoro}

Jl. Prof. H. Soe darto, S.H. Te mbal ang Se mar ang

ABSTRACT. Let � be a graph with diameter � . An antipodal labelings of �is a function � that assigns to each vertex a non-negative integer (label) such that for any two vertices and , it is satisfied that � − �( ) � − �( , ), where d(u,v) is the distance between and . Let _� denote the cycle graph on n vertices, antipodal labelings gives an ordering of the vertices ₀, 1,…, −1 by

permutation � then determine label of every vertices with _�( ),�( 1),�( 2),…,�( −1). Antipodal

labelings sustain that antipodal vertices have the same label. The span of an antipodal labeling _� is ma x � − � : , ∈ �(�) . The antipodal nu mber for � denoted by an(�) is the min imu m span of an antipodal labeling for �. In this essay we learning step of antipodal labelings for cycle � so that antipodal number of cycle graph can be seen.

Keywords : antipodal labeling, cycle graph, d ia meter, antipodal number.

I. PENDAHULUAN

Teori graf merupakan salah satu ilmu terapan matematika yang hingga kini terus

dikembangkan. Salah satu topik yang sangat menarik dalam graf adalah pelabelan

graf. Pelabelan graf merupakan suatu fungsi yang memetakan himpunan titik dari

suatu graf ke bilangan asli. Pelabelan graf diperkenalkan pertama kali oleh Rosa

pada tahun 1967. Pelabelan yang merupakan salah satu masalah penugasan frekuensi

(frequency assignment problem) adalah pelabelan radio-k (radio k-labeling).

Pelabelan radio mencakup himpunan terbesar dari pembatasan yang memungkinkan,

pembatasan tersebut berlaku untuk pasangan titik pada semua jarak yang mungkin.

Pelabelan radio adalah pelabelan permasalahan graf, diusulkan oleh Chartrand,

dimana dapat dianalogikan dengan penetapan frekuensi pada pemancar saluran FM

untuk menghindari gangguan sinyal. Pemancar radio yang berdekatan secara

geografis harus mempunyai frekuensi yang sangat berbeda, sedangkan

pemancar radio dengan perbedaan geografis yang besar dapat mempunyai frekuensi

yang hampir sama. Secara umum, dimodelkan dengan memisalkan pemancar

(2)

Pada kasus � = diam � −1, k-labeling dinamakan pelabelan antipodal

(antipodal labeling). Bilangan antipodal (antipodal number) graf �, dinotasikan

an(�) yaitu rentang minimum pelabelan antipodal pada � [2]. Radio labeling adalah

fungsi satu-satu, sedangkan pada pelabelan antipodal, dua simpul pada jarak

diam(�) bisa saja mendapat label yang sama. Dengan kata lain, dua simpul yang

berhadapan atau antipodal bisa saja mendapat label yang sama [3]. Oleh karena itu,

pelabelan jenis ini dinamakan pelabelan antipodal (antipodal labeling).

Pelabelan antipodal pada graf sikel pertama kali dipelajari oleh Chartrand, dkk,

dimana batas umum an(�) dapat diperoleh. Pelabelan antipodal pada sikel �

dipelajari oleh G. Chartrand, D. Erwin, dan P.Zhang (2000), dengan batas bawah

an(� ) untuk kasus ≡2 (mod 4) telah dibuktikan.

Pada tugas akhir ini akan ditunjukkan batas bawah an(� ) untuk kasus ≡

1 (mod 4), serta memperbaiki batas bawah dari an(� ) untuk kasus ≡0 (mod 4).

II. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pembahasan dalam Tugas Akhir ini dibagi menjadi tiga sub bagian, yaitu

pelabelan antipodal pada graf sikel � dengan ≡0 (mod 4), ≡1 (mod 4), dan

≡3 (mod 4).

Definisi 2.1 [2]

Antipodal labeling graf � adalah suatu fungsi � ∶ � � →{0, 1, 2,…} sehingga

untuk setiap dua titik dan berlaku � − �( ) � − �( , ). Dengan �

adalah diameter graf � dan �( , ) adalah jarak antara titik dan .

Rentang (span) fungsi � dinotasikan sp � = max⁡{� − � ∶ , ∈ � � }.

Rentang minimum yang berlaku untuk semua k-labeling pada graf � dinamakan

(3)

Diberikan himpunan { ₀, ₁,…, ₋₁} =�(�), dimana ₀, ₁,…, ₋₁ =�(� )

adalah urutan titik pada sikel � dan berlaku 0 =�( ) �( ₁) �( ₂) �( ₋₁), sehingga rentang � adalah �( ₋₁).

Untuk �= 0, 1, 2,…, −2, ditetapkan distance gap dan label gap sebagai berikut,

�� = � �, �+1 dan �� =�( �+1)− �( �) Berlaku pernyataan �_� � − �_�.

Teorema 2.5 [2]

Untuk setiap tiga titik , dan pada sikel � berlaku,

� , + � , + � , .

Bukti

Misalkan � , ,� , � , . Jika kedua titik dan tersebut terletak pada

setengah sikel, maka :

� , +� , = � ,

� , +� , +� , = � , +� ,

� , +� , + � , = 2 � ,

Dengan kata lain, � , + � , + � ,

Lemma 2.6 [2]

Misalkan � adalah pelabelan antipodal pada � , 3, dengan label � ₀

� 1 �( −1). Misalkan, = 4�+�, untuk �= 0,1,3. Maka untuk

0 � −3 berlaku � _�₊₂ − � _� = �_�+�_�₊₁ �.

Bukti

Menurut Definisi 2.4 yaitu �_� � − �_�.

Akibatnya diperoleh,

� _�+1 − � � � − � �+1, � ,

� _�+2 − � �+1 � − � �+2, �+1 ,

(4)

Dengan menjumlahkan ketiga pertidaksamaan tersebut diperoleh,

Pembahasan berikut yang selanjutnya membuktikan Lemma 2.6 untuk berbagai nilai

(5)

(3) an(� ) � 2�+ 1 , jika �= 3.

Bukti

Misalkan � adalah pelabelan antipodal pada � . Maka menurut Definisi 2.3, rentang

� adalah � ₋₁ .

� ₋1 = 0 +� 1 − � 1 +� 2 − � 2 + +� −2 − � −2

+� ₋₁ − � ₋₁

Karena � ₀ = 0, akibatnya

� −1 = � 1 − � 0 + � 2 − � 1 + + � −2 − � −3

+ [� ₋₁ − � ₋₂ ]

Menurut Definisi 2.4 yang menyatakan �_� =�( _�₊₁)− �( _�)

Akibatnya � ₋₁ =�₀ +�₁ +…+� ₋₂.

Pembuktian selanjutnya dengan menggunakan beberapa teorema dan lemma berikut

untuk berbagai nilai yang berbeda.

A. Pelabelan Antipodal pada Graf Sikel � untuk ≡ (�� )

Pada sikel �₄_�, diameter sikel dinotasikan � = diam �₄_� = 2�. Langkah- langkah

pelabelan antipodal pada sikel �₄_� didefinisikan sebagai berikut.

i. Beri urutan setiap titik pada �₄_� dengan ₀, ₁, ₂,…, ₄_�−₂, ₄_�−₁. Dengan

ketentuan � 0 = 0, dan untuk 1 � 2�,

� 2� = (� 2� −2 + �) mod , jika � bilangan ganjil;

(� 2� −2 +�+ 1)mod , jika � bilangan genap.

� 2�+ 1 = � 2� + 2� mod , untuk 1 � 2� −1.

ii. Beri label setiap titik pada �₄_� dengan �( ₀),�( ₁),…,�( ₄_�−₂),�( ₄_�−₁).

Untuk 1 � 2� berlaku ketentuan sebagai berikut.

� 0 = 0 dan �( 2�) =

�( ₂_�−₂) +�, jika � bilangan ganjil

�( ₂_�−₂) +�+ 1, jika � bilangan genap

(6)

Bukti Akibat 2.7 (1)

Misalkan = 4� maka adalah bilangan genap. Menurut Lemma 2.6 yang

menyatakan bahwa untuk kasus = 4� berlaku �_�+�_�₊₁ �, akibatnya berlaku

pertidaksamaan berikut ini,

�0+�1 �

�2+�3 �

� −4+� −3 �

Pada fungsi antipodal �₋₃, bilangan indeks −3 adalah bilangan ganjil, sebab

adalah bilangan genap. Jika pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut dijumlahkan

maka akan diperoleh,

�0+�1+�2+ +� −4 +�−3 �

−3 + 1

2 �

−2 2

Menurut Definisi 2.4 yang menyatakan �_� =�( _�₊₁)− �( _�).

Sehingga diperoleh � ₋₂ =�( ₋₁)− � ₋₂ = �( ₄_�−₁)− � ₄_�−₂

=�( ₂₂_�−₁₊₁)− � ₂₍₂_{� −}₁₎

Menurut bahasan sebelumnya diperoleh �( ₂_�₊₁) = � ₂_� , akibatnya

� ₋2 =�4� −2= �( 22�−1 +1)− � 2(2� −1) = 0. Sehingga diperoleh,

�0+�1+�2 +�3 +�4+�5 + +� −8+� −7+� −6+�−5+� −4+� −3 +�−2

� −2

2 + 0 �

−2

2 �

4� −2

2 � 2� −1

Akibatnya, an(�₄_�) �(2� −1).

B. Pelabelan Antipodal pada Graf Sikel � untuk ≡ ( � )

Pada sikel �₄_�₊₁, diameter sikel dinotasikan � = diam �₄_�₊₁ = 2�. Pelabelan

antipodal pada sikel �₄_�₊₁ dibagi menjadi dua kasus. Langkah- langkah pelabelan

antipodal pada sikel �₄_�₊₁ didefinisikan sebagai berikut.

1. Jika � adalah bilangan ganjil.

i. Beri urutan setiap titik pada �₄_�₊₁ dengan ₀, ₁, ₂,…, ₄_�, ₄_�₊₁. Dengan

(7)

� 2� = �� mod untuk �= 0, 1, 2,… , 2�

� 1 =� 4� +�= 3� −� −1 2

� 2�+ 1 = � 2� −1 +� mod untuk � = 1,2,…,2� −1

ii. Beri label setiap titik pada �₄_�₊₁ dengan

�( ₀),�( ₁),�( ₂),…,�( ₄_�),�( ₄_�₊₁). Dengan ketentuan sebagai berikut.

� 2� = �� untuk �= 0, 1, 2,… , 2�

� 2�+1 =

� −1

2 +�� untuk �= 0, 1, 2,…, 2� −1 2. Jika � adalah bilangan genap

i. Beri urutan setiap titik pada �₄_�₊₁ dengan ₀, ₁, ₂,…, ₄_�, ₄_�₊₁. Dengan

ketentuan sebagai berikut.

� 2� =�� mod untuk � = 0, 1, 2,… , 2� � 1 = 2�+ 1

� 2�+ 1 = � 2� −1 +� mod , jika � bilangan ganjil

� 2� −1 +�+ 1 mod , jika � bilangan genap

ii. Beri label setiap titik pada �₄_�₊₁ dengan

�( ₀),�( ₁),�( ₂),…,�( ₄_�),�( ₄_�₊₁). Dengan ketentuan sebagai berikut.

� 2� =�� untuk � = 0, 1, 2,… , 2�

�( ₁) = 0

� 2�+1 = � 2�−1

+�, jika � adalah bilangan ganjil

�( ₂_�−₁) +�+ 1, jika � adalah bilangan genap

Bukti Akibat 2.7 (2)

Misalkan = 4�+ 1, akibatnya bilangan adalah suatu bilangan ganjil. Menurut

Lemma 2.6 yang menyatakan bahwa untuk kasus = 4�+ 1 berlaku �_�+�_�₊₁ �.

Akibatnya berlaku pertidaksamaan berikut ini,

�0 +�1 �

�2 +�3 �

(8)

Pada fungsi antipodal �₋₂, bilangan indeks −2 adalah bilangan ganjil, sebab

adalah bilangan ganjil. Jika pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut dijumlahkan

Rentang fungsi � dinyatakan dengan,

� ₋1 = �0 +�1 +…+�−3 +�−2 �

langkah pelabelan antipodal pada sikel �₄_�₊₃ didefinisikan sebagai berikut.

i. Beri urutan setiap titik pada �₄_�₊₃ dengan ₀, ₁, ₂,…, ₄_�₊₁, ₄_�₊₂. Untuk

1 � 2�+ 1 berlaku ketentuan sebagai berikut.

� 0 = 0

� 2� = (� 2� −2 +�+ 1) mod , jika � bilangan ganjil;

(� 2� −2 +�) mod , jika � bilangan genap.

Untuk 1 � 2� berlaku ketentuan sebagai berikut,

� 1 = 2�+ 2 dan � 2�+ 1 = � 2� −1 +�+ 1 mod

ii. Beri label setiap titik pada �₄_�₊₃ dengan �( ₀),�( ₁),…,�( ₄_�₊₁),�( ₄_�₊₂).

Untuk 1 � 2� berlaku ketentuan sebagai berikut.

(9)

�2+�3 �

� ₋3+� −2 �

Pada fungsi antipodal �₋₂, bilangan indeks −2 adalah bilangan ganjil, sebab

adalah bilangan ganjil. Jika pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut dijumlahkan

Rentang fungsi � dinyatakan dengan,

� ₋1 = �0+�1+…+� −3+� −2 �

Pelabelan antipodal memungkinkan dua simpul yang saling antipodal atau

berhadapan mendapat label yang sama. Bilangan antipodal adalah rentang minimum

pelabelan, akibatnya jika diberikan suatu himpunan { ₀, ₁,…, ₋₁} = �(�),

dimana ₀, ₁,…, ₋₁ = �(� ) adalah urutan dan berlaku 0 = �( ) �( ₁)

�( ₂) �( ₋₁), maka bilangan antipodal pelabelan � adalah �( ₋₁).

Pada pelabelan antipodal graf sikel, diperoleh langkah- langkah sebagai berikut.

Nyatakan banyaknya simpul sebagai = 4�+�, kemudian tentukan

0, 1, 2,…, −1 pada simpul-simpul sikel � . Untuk nilai � yang ditentukan berdasarkan = 4�+�, akan diperoleh simpul-simpul ₀, ₁, ₂,…, ₋₁

berdasarkan formula yang berbeda-beda untuk nilai �= 0,1,3. Langkah selanjutnya

adalah menentukan label setiap simpul ₀, ₁, ₂,…, ₋₁ dengan

�( ₀),�( ₁),�( ₂),…,�( ₋₁). Hasil pelabelan �( ₀),�( ₁),�( ₂),…,�( ₋₁)

ditentukan berdasarkan formula yang berbeda-beda untuk nilai �= 0,1,3.

(10)

IV. UCAPAN TERIMA KASIH

Banyak pihak yang telah membantu dalam penyelesaian Tugas Akhir ini. Oleh

karena itu, rasa hormat dan terimakasih penulis ingin sampaikan kepada :

1. Drs. Solichin Zaki, M.Kom selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains

dan Matematika Universitas Diponegoro.

2. Bapak Bambang Irawanto, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing I yang telah

memberikan bimbingan, arahan, dan nasehat- nasehatnya selama ini.

3. Bapak Bayu Surarso, M.Sc, PhD, selaku dosen pembimbing II yang juga telah

membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya Tugas Akhir ini.

4. Semua pihak yang telah membantu hingga selesainya tugas akhir ini, yang tidak

dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT membalas segala

kebaikan yang telah Anda berikan kepada penulis, Amin.

V. DAFTAR PUSTAKA

[1] Puspitasari, Ambar. 2012. Skripsi Bilangan Radio pada Graf Gear. UNDIP.

Semarang.

[2] Su-tzu Juan, Justie and Daphne Der-Fen Liu. 2012. Antipodal Labelings for

Cycles. Ars Combinatoria Vol.103, hal : 81-96.

[3] William, Albert and Kenneth, Charles Robert. 2011. Radio Antipodal Number