• Tidak ada hasil yang ditemukan

Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik"

Copied!
17
0
0

Teks penuh

(1)

  FOURIER April 2013, Vol. 2, No. 1, 54 – 70

 

APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA RANGKAIAN LISTRIK Arifin1, Muhammad Wakhid Musthofa2, Sugiyanto3

1,2,3Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga Abstrak

Menyelesaikan persamaan diferensial sering terkendala oleh masalah syarat awal atau syarat batas. Masalah syarat batas ini sering dijumpai pada penerapan persamaan diferensial, salah satunya adalah rangkaian listrik.

Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat batas pada persamaan diferensial salah satu diantaranya adalah metode transformasi Laplace. Transformasi Laplace yang didefinisikan dengan dapat digunakan untuk mencari solusi dari suatu sistem persamaan diferensial koefisien konstan.

Metode penyelesaian suatu rangkaian Listrik dengan menggunakan transformasi Laplace adalah dengan mengubah persamaan diferensial dari domain waktu (t) ke dalam

domain frekuensi (s), memetakan masalah nilai awal ke dalam persamaan pembantu,

menyelesaikan dengan perhitungan aljabar, dan menggunakan invers transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi khusus secara langsung dari sistem persamaan diferensial rangkaian listrik tersebut.

Kata kunci: Transformasi Laplace, invers transformasi Laplace, persamaan diferensial orde dua koefisien konstan dan rangkaian listrik.

1. PENDAHULUAN

Metode Transformasi Laplace(Laplace Transformation) merupakan suatu metode yang

dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yang memetakan masalah nilai awal ke dalam suatu persamaan aljabar atau suatu sistem persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode aljabar dan tabel transformasi Laplace. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquas De Laplace (1749 – 1827) seorang matematikawan Perancis dan

seorang guru besar di Paris. Dengan metode transformasi Laplace akan dihasilkan solusi khusus secara langsung sesuai dengan kondisi masalah nilai awal yang diberikan.

Rangkaian listrik adalah suatu kumpulan elemen atau komponen listrik yang saling dihubungkan dengan cara-cara tertentu dan paling sedikit mempunyai satu lintasan tertutup. Suatu rangkaian listrik dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial orde dua koefisien konstan. Oleh sebab itu, solusi rangkaian listrik tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi Laplace. Namun, ada suatu rangkaian yang tidak menimbulkan masalah atau kesulitan untuk dianalisa dengan matematika biasa, yaitu rangkaian yang hanya memuat satu elemen rangkaian listrik.

(2)

55

Elemen rangkaian listrik dapat dikelompokkan ke dalam elemen atau komponen aktif dan pasif. Elemen aktif adalah elemen yang menghasilkan energi, dalam hal ini adalah sumber tegangan dan sumber arus. Elemen lain adalah elemen pasif dimana elemen ini tidak dapat menghasilkan energi, yaitu elemen yang hanya dapat menyerap energi (resistor), elemen yang dapat menyimpan energi (induktor) dan elemen yang menyerap energi dalam bentuk medan magnet (kapasitor).

Suatu rangkaian yang sulit dapat dianalisis/diselesaikan dengan menggunakan transformasi Laplace. Hal ini disebabkan oleh karakteristik dari tiap-tiap elemen rangkaian listrik yang berbeda meskipun secara definitif vR, vL, dan vC adalah besarnya arus yang

mengalir pada elemen R, L, dan C.

2. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE

Penerapan yang cukup penting dari transformasi Laplace salah satunya adalah untuk menentukan penyelesaian persamaan diferensial linear dengan koefisien kostan. Dalam skripsi ini hanya dibatasi pada persamaan diferensial orde dua koefisien konstan.

Metode transformasi Laplace secara khusus digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dan memenuhi syarat awal. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini adalah dengan mengambil transformasi Laplace dari persamaan diferensial yang diberikan, lalu menggunakan syarat-syarat awalnya. Ini memberikan suatu persamaan aljabar dalam transformasi Laplace dari penyelesaian yang diinginkan. Dengan mengambil invers dari transformasi Laplace yang telah dibentuk maka diperoleh penyelesaiannya.

Berikut ini diberikan prosedur / langkah-langkah mencari penyelesaian suatu persamaan diferensial linear orde dua berkoefisien konstan menggunakan transformasi Laplace (John Bird, 2007: 637 ).

Diberikan suatu persamaan diferensial linear orde dua, yaitu:

" ′ (1)

dengan syarat awal y(0) dan y’(0).

Langkah pertama. Bentuk persamaan ke dalam trasformasi Laplace.

Jika {y(t)} = Y(s), dan {r(t)} = R(s). Dengan menerapkan transformasi Laplace pada kedua

ruas persamaan (1), maka dihasilkan:

" ′

" ′

(3)

Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik

Langkah kedua. Masukkan nilai awal y(0) dan y’(0) serta susun persamaan (2) ke dalam Y(s)

(persamaan pembantu).

0 0

0 0

. (3)

Langkah ketiga. Jika mengandung pecahan parsial, maka gunakan metode jumlahan pecahan

parsial untuk menyelesaikan persamaan (3).

. (4)

Langkah keempat. Ambil invers transformasi Laplace persamaan (4) maka diperoleh

solusi/penyelesaian untuk persamaan (1).

0 0

. Contoh 1. Carilah penyelesaian dari 2 " 5 ′ 3 0,

dengan syarat awal y (0) = 4dan y’(0) = 9.

Dengan menggunakan prosedur/langkah-langkah di atas, maka diperoleh:

2 " 5 ′ 3 0

2 " 5 ′ 3 0

2 2 0 2 0 5 5 0 3 0

untuk 0 4 dan 0 9, maka:

2 8 18 5 20 3 0 2 5 3 8 38 8 38 2 5 3 8 38 2 1 3 .

Menggunakan metode jumlahan pecahan parsial, maka:

8 38

2 5 3 2 1 3 .

Diperoleh,

8 38 3 2 1 .

Untuk 3 maka 14 7 atau 2. Untuk maka 42 atau 12. Jadi,

(4)

57 8 38 2 5 3 12 2 1 2 3 . Dengan invers transformasi Laplace didapat,

12 2 1 2 3 12 2 12 2 3 6 1 1 2 2 13 6 2 .

Jadi, solusi dari persamaan diferensial tersebut yaitu, 6 2 . Contoh 2. Tentukan solusi dari " 4 ′ 4 8 ,

dengan syarat awal y(0) = 0 dan y’(0)=12.

Seperti penyelesaian pada contoh 1. maka diperoleh,

" 4 ′ 4 8 " 4 4 8 0 ′ 0 4 4 0 4 8 12 4 4 8 4 4 8 12 8 4 4 12 4 4 8 2 12 2 .

Y(s) tidak mengandung pecahan parsial, maka langsung ditentukan y(t) yang merupakan

solusi yang di inginkan.

8 1 2 12 12 .

Untuk , sedangkan untuk , diselesaikan dengan integral transformasi Laplace.

Telah diketahui , dan 1 2 1 2 1 4 0 12 1 4 1 4.

(5)

Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik Diperoleh, 1 2 1 2 1 4 1 4 0 . Jadi, 8 1 2 12 12 8 14 14 14 14 12 14 2 2 2.

Contoh 3. Diberikan persamaan diferensial,

" 4 ′ 8 8 cos 2t 6 sin 2

dengan syarat awal y (0) = 4 dan y ’(0) = 10.

Jika kedua ruas ditransformasi ke dalam transformasi Laplace, maka:

" 4 ′ 8 8 cos 2t 6 sin 2

0 0 4 4 0 8 .

Untuk syarat awal y (0) = 4 dan y’(0) = 10, maka:

4 8 4 6 8 2 2 4 122 4 2 4 8 2 2 4 122 4 4 6 8 2 2 4 12 2 4 4 6 2 4 8 2 2 4 12 2 4 4 8 2 2 4 8 2 2 4 12 2 4 4 2 2 4 2 2 4.

Lalu menggunakan invers transformasi laplace, maka diperoleh,

8 2 2 4 12 21 4 4 2 2 4 2 2 4 8 4 sin 2t 12

(6)

59

2 sin 2t 32 t cos 2 4 cos 2 74 sin 2 .

3. ELEMEN RANGKAIAN LISTRIK DALAM DOMAIN-S

Untuk dapat mentransformasi suatu rangkaian listrik ke dalam transformasi Laplace, maka perlu didefinisikan elemen-elemen di dalam rangkaian tersebut ke dalam domain-s.

Adapun transformasi elemen-elemen rangkaian listrik ke dalam domain-s didefinisikan sebagai berikut.(John Bird, 2007: 640).

1. Resistor (R)

Dalam domain waktu (t), resistor didefinisikan oleh hukum Ohm, yaitu: .

Transformasi Laplace dari persamaan ini yaitu, .

Diperoleh di dalam domain-s,

. (5)

2. Kapasitor (C)

Sebuah kapasitor dalam domain waktu (t) didefinisikaan sebagai,

atau 1 .

Transformasi Laplace dari persamaan ini yaitu,

1 1

.

Diperoleh impedansi kapasitor dalam domain-s,

. (6)

3. Induktor (L)

Sebuah induktor dalam domain waktu (t) didefinisikaan sebagai,

.

Transformasi Laplace dari persamaan ini yaitu, 0 .

Impedansi Induktor dalam domain-s didefinisikan oleh,

(7)

Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik

4. APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA RANGKAIAN LISTRIK

Jika diberikan suatu rangkaian listrik, maka prosedur/langkah-langkah untuk mencari penyelesaiannya dengan menggunakan transformasi Laplace yaitu, (John Bird, 2007:642): 1. Gunakan hukum yang berlaku pada rangkaian tersebut untuk menentukan persamaan

diferensialnya (Hukum Kirchoff dan hukum Ohm).

2. Ambil transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan yang terbentuk. 3. Masukkan nilai awal yang diberikan dan susun persamaan pembantu. 4. Gunakan invers transformasi Laplace untuk menentukan penyelesaiannya.

Contoh 4. Diberikan suatu rangkaian L-R-C seperti pada Gambar 1. tentukan besar arus yang mengalir dalam rangkaian tersebut jika pada saat t = 0 diberi tegangan sebesar v dan i (0) = 0.

Gambar 1. Rangkaian Listrik Satu

Pada rangkaian listrik (Gambar 1) dapat dibentuk sebuah persamaan diferensial dengan menggunakan hukum II Kirchoff yaitu:

0

0 atau 1

.

Ambil transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan dan maka diperoleh, 1

0 1 0 .

Didapatkan persamaan pembantu,

⁄ 0

1 01 0 1

(8)

61 dengan substitusi i(0) = 0, maka:

1 1

/

1 .

Dengan penggunaan kuadrat sempurna, maka:

2 1 2 2 1 2 2 1 2 ∙ 1 2 1 2 1 2 ∙ 1 2 2 1 2 .

Dengan memisalkan , dan , maka: 1

2

∙ .

Dengan menggunakan invers transformasi Laplace, maka diperoleh

1 2 ∙ 1 2 ∙ . 1 2 ∙ sin .

(9)

Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik

Jadi, dengan mensubstitusi nilai a dan b, maka diperoleh solusi untuk rangkaian pada Gambar

1. di atas yaitu: 1

2

∙ sin 1 2 .

Contoh 5. Tentukan besar arus yang mengalir dalam rangkaian berikut ini jika saklar ditutup pada saat t = 0.

Gambar 2. Rangkaian Listrik Dua Dengan menggunakan hukum II Kirchoff diperoleh

0

0

0,1 5 20 101 2 0.

Jika ditransformasi ke domain-s maka

0,1 5 20 101 2 0

0,1 0,1 0 5 20 10 2 0

0,1 5 20 101 2 0,1 0

Saklar baru dinyalakan sehingga pada saat awal belum ada arus yang mengalir (i(0)=0). Jadi,

2 0,1 5 5 10 2 0,1 5 5 10 2 0,1 50 5 10

(10)

63 20 50 5 10 20 50 25 5 10 25 20 25 499375 20 25 499375 20 25 √499375 ∙ √499375 √499375 20 √499375∙ √499375 25 √499375 20 706,7 ∙ 706,7 25 706,7 . Diperoleh , yaitu: 0,0283 ∙ 25706,7706,7 0,0283 ∙ 25706,7706,7 0,0283 ∙ sin 706,7 .

Jadi, besar arus listrik yang mengalir pada rangkaian di atas, yaitu:

0,0283 ∙ sin 706,7 Ampere.

Contoh 6. Tentukan besar arus yang mengalir jika saklar ditutup pada saat t=0 dalam

rangkaian berikut ini!

Gambar 3. Rangkaian Listrik Tiga

(11)

Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik

Dari Gambar 3. diperoleh persamaan dengan menggunakan hukum II Kirchoff: Persamaan pada loop I:

10 0,02 0,02 100 0,

dan persamaan pada loop II:

0,02 5 0,02 0.

Jika kedua persamaan ditransformasi ke domain-s, maka diperoleh:

10 0,02 0,02 100 0 10 0,02 0,02 100 0 10 0,02 0,02 100, 8 dan 0,02 5 0,02 0 0,02 5 0,02 0 0,02 5 0,02 . 9 Dari persamaan (9), diperoleh

0,02

0,02 5 250 . 10 Jika persamaan (10) disubstitusikan ke dalam persamaan (8), maka

10 0,02 0,02 250 100 10 0,02 0,02 250 100 10 2500 0,02 5 0,02 250 100 15 2500 100 250 100 250 15 2500 100 250 15 166,667 6,667 250 166,667 . 11 Menggunakan metode jumlahan pecahan parsial, maka diperoleh

(12)

65 6,667 250 166,667 166,667 atau 6,667 250 166,667 untuk s = 0, 6,667 250 166,667 10 untuk s = 166,667, 6,667 83,334 166,667 3,334.

Jadi, didapatkan nilai I1 (s), yaitu:

10 3,334

166,667,

dengan mensubstitusikan persamaan (11) ke dalam persamaan (10), maka 250

6,667 250

166,667 6,667

166,667 .

Dengan menggunakan invers transformasi laplace maka diperoleh penyelesaian untuk I1 (s),

dan I2 (s) yaitu: 10 3,334 166,667 10 3,334 , , dan 6,667 166,667 ⟺ 6,667 , .

Contoh 7. Tentukan besar arus yang mengalir jika saklar ditutup pada saat t=0 dalam

rangkaian berikut ini!

Gambar 4. Rangkaian Listrik Empat

Dari Gambar 4 di atas diperoleh persamaan dengan menggunakan hukum II Kirchoff. Persamaan pada loop I:

(13)

Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik

10 0,21 10 50,

dan persamaan pada loop II:

50 10 50.

Jika kedua persamaan tersebut ditransformasi ke domain-s maka diperoleh persamaan:

10 5 10 ; dan (12)

50 10 . (13)

Dari persamaan (13), diperoleh

/ 0.2 . (14)

Dengan mensubstitusi persamaan (14) ke dalam persamaan (12), maka:

10 5 10 1 0.2 50

8 5 40

8 5 40

40

8 5 5 0,625 (15)

Dengan mensubstitusi persamaan (15) ke dalam persamaan (12), maka 50 10

50

1 0.2 5

0,625 1 1 0,625. (16)

Dengan menggunakan invers transformasi laplace maka diperoleh penyelesaian untuk I1 (s),

dan I2 (s) yaitu: 5 0,625 5 , , dan 1 1 0,625 1 , .

Contoh 8. Diberikan suatu rangkaian di bawah ini. Saklar S1 ditutup pada saat t = 0, tetapi

(14)

67

Gambar 5. Rangkaian Listrik Lima

Dari rangkaian, terdapat dua kondisi awal yang diberikan yaitu nilai tegangan awal, 0 untuk kapasitor yaitu sebesar 3 Volt, dan nilai arus awal sebesar 2 Ampere untuk induktor L1 atau 0 2 .

Untuk t > 0, lalu ubah rangkaian Gambar 5. ke dalam domain-s seperti berikut.

Gambar 6. Rangkaian Listrik Enam

Dari Gambar 6. arus dalam induktor L1 digantikan oleh sumber tegangan 1V. Ini diperoleh

dari ∙ 0 0,5 ∙ 2 1 .

Lalu dengan menggunakan hukum II Kirchoff, diperoleh: 1 3/

1/ 2 /2 1 /2 0. 17

(15)

Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik 1/ 2 /2 1 3/ 1/ 2 /2 2 0 2 4 2 3 2 4 2 2 0 2 . 2 4 2 3 2 4 2. 0 2 . 2 4 2 3 2 4 2 4 2 4 2. 2 4 2 4 0 2 . 2 3 2 4 4 8 2 2 4 0 2 . 2 4 4 8 2 2 3 2 2 4 4 8 2 2 3 8 10 4 2 3 2 3 8 10 4. 18 Lalu difaktorkan menjadi

2 3

8 10 4

2 3

6,57 1,43 0,61 . 19

Dengan metode jumalahan pecahan parsial didapat

2 3 6,57 1,43 0,61 6,57 1,43 0,61 2 3 1,43 0,61 6,57 . Untuk 6,57 maka 2 6,57 6,57 3 6,57 1,43 6,57 0,61 46,9098 34,3798 1,36.

Untuk 0, dan 1,36 maka ,, 0,12. Untuk 1, 1,36 dan 0,12 diperoleh

2 4 1,36 1 1,43 0,61 0,12 1 6,57

8 4,12 7,57 0,96

7,57 4,84 atau 0,64.

(16)

69 1,36 6,57 0,64 0,12 1,43 0,61 1,36 6,57 0,64 0,46 0,58 1,43 0,51 0,1 1,36 6,57 0,64 0,715 0,91 1,43 0,51 0,1 1,36 6,57 0,64 0,715 0,715 0,316 0,91 0,715 0,316 .

Dengan menggunakan invers transformasi Laplace, maka diperoleh penyelesaian dari persamaan rangkaian listrik di atas, yaitu:

1,36 6,57 0,64 0,715 0,715 0,316 1,64 0,7150,91 0,316 1,36 6,57 0,64 0,715 0,715 0,316 1,84 0,7150,316 0,316 1,36 , 0,64 , cos 0,316 1,84 , sin 0,316 .

Dari hasil yang diperoleh tersebut, untuk → ∞ maka → 0. 5. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil studi literatur yang dilakukan tentang aplikasi transformasi Laplace pada rangkaian listrik, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

1. Transformasi Laplace memiliki manfaat dalam menyelesaikan suatu persamaan diferensial terutama persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan: " ′

, yaitu secara langsung didapatkan penyelesaian khusus dari nilai awal atau syarat batas yang diberikan.

2. Langkah-langkah untuk mengaplikasikan transformasi Laplace dalam menyelesaikan suatu rangkaian listrik, yaitu: menentukan persamaan diferensial dalam domain-t dari suatu

rangkaian listrik dengan menggunakan hukum pada rangkaian tersebut (hukum Ohm atau hukum Kirchoff); membentuk persamaan pembantu dengan menggunakan transformasi

(17)

Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik

Laplace; mensubstitusikan nilai awal atau syarat batas yang diberikan ke dalam persamaan pembantu; menyelesaikan persamaan pembantu dengan perhitungan aljabar, termasuk dengan metode jumlahan pecahan parsial; dan menggunakan invers transformasi Laplace untuk menentukan solusi yang merupakan penyelesaian khusus dari rangkaian listrik tersebut.

6. DAFTAR PUSTAKA

[1] Ayres, Frank. 1972. Theory and Problem Of Differential and Integral Calculus, 2nd Edition. New York:

McGraw-Hill Companies.

[2] Attenborough, Mary. 2003. Mathematics for Electrical Engineering and Computing. Oxford: Newnes.

[3] Bird, John. 1997. Electrical Circuit Theory and Technology, Third edition. USA : Elsevier Inc.

[4] Budi, Mismail. 1995. Rangkaian Listrik. Bandung: ITB.

[5] Chen, Wai-Kai.2004.The Electrical Engineering Handbook.USA:Elsevier Inc.

[6] Darmawijaya, Soeparna, Dkk.__.MATEMATIKA DASAR I. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.

[7] Dedy, Endang, dkk. 2003. KALKULUS I. Bandung : JICA.

[8] Fidiyah, Suci. 2006. Aplikasi Transformasi Laplace pada Penyelesaian Persamaan Aliran Panas dan Persamaan Gelombang. Malang: UMM.

[9] Farlow, Stanley J. 1994. Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. New York: John Wiley Inc.

[10] Gazali, Wikaria dan Soedadyatmodjo.2007.KALKULUS Edisi kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu.

[11] Harini, Meyriska Aulia. 2005. Transformasi Laplace dari masalah Nilai Batas pada Persamaan Diferensial Parsial. Semarang: FMIPA UNNES.

[12] Havil, Julian. 2003. Gamma: Exploring Euler’s Constant.New Jersey: Princeton University.

[13] Holbrook, James G. 1959. Laplace Transforms for Electronic Engineers. NewYork: Pregamon Press.

[14] Karris, Steven T. 2006. Circuit Analysis II with MATLAB® Computing and Simulink® / SimPowerSystem®

Modeling. California: Orchard publications.

[15] Logan , J. David. 2006. A First Course in Differential Equations. USA: Spinger.

[16] Maxfield, Clive, dkk. 2008. Electrical Engineering, Know It All. USA : Elsevier Inc.

[17] Nahvi, Mahmood and Joseph A. Edminister. 1986. Theory and Problem Of Electric Circuits, fourth Edition.

New York: McGraw-Hill Companies.

[18] Prayudi.2006. Matemamatika Teknik Edisi Pertama. Yogyakarta: Graha Ilmu.

[19] Powell, Ray. 1995. Introduction to Electric Circuits. London: Arnold.

[20] Power, David L. 2006. Boundary Value Problem and Partial Differential Equations, Fifth Edition. USA :

Elsevier Inc.

[21] Purcell, Edwind J. 1984. Calculus with Analytic Geometry, 4th Edition. Arizona: Prentice-Hall.

[22] Ramdhani, Mohammad. 2005. Rangkaian Listrik.(Diktat Kuliah). Bandung : STT Telkom.

[23] Rahardi, Rustanto, Herman Hudojo dan Imam Supemo. 2003. Persamaan Diferensial Biasa. Malang:

UNM.

[24] Spiegel, Murray, R. 1965. Laplace Transformation, Schaum’s Series. New York: Mc Graw-Hill

Companies.

[25] Stourd, K.A. dan Dexter J. Both. 2003. Engineering Mathematics, Fifth Edition. New York: Mc Graw-Hill.

[26] Udiansari, Risqi. 2009. Menyelesaikan Getaran Pegas dengan Transformasi Laplace. Malang: FMIPA-UMM.

Gambar

Gambar 3. Rangkaian Listrik Tiga
Gambar 4. Rangkaian Listrik Empat
Gambar 5. Rangkaian Listrik Lima

Referensi

Dokumen terkait

Dijelaskan bahwa implementasinya di lapangan menghadapi kendala utama ketika pada sistem keluar masuk barang di bagian gudang, jadi pada Inside Distro Jakarta dalam sistem

American Encyclopedia dalam Hasibuan (2012:143) : “Motivasi adalah kecenderungan dalam diri seseorang yang membangkitkan topangan dan mengarahkan

Berdasarkan hasil pengujian dengan beberapa skenario, kontrol lampu dan sistem penjadwalan dapat dilakukan menggunakan aplikasi Android melalui komunikasi

Tabel karakteristik responden Dusun Tongkoh, Desa Dolat

Psikomotor adalah bagian dari jiwa seseorang yang mengacu pada tindakan atau perilaku. Apabila seseorang ingin mengetahui sikap orang lain, sering ditafsirkan melalui aspek

lintasan dan tinggi gelombang laut yang menuju sekitar Pantai Mutiara dengan.. mempertimbangkan pengaruh transformasi gelombang, seperti

Sedangkan setelah tertutupi kontaminan minyak pelumas, garam, pasir dan air nilai kekesatan pada jenis perkerasan lentur berturut-turut adalah 28.0, 36.0, 41.0, dan 41,9.

Oksida pewarna adalah bahan yang sangat vital dalam pembuatan sebuah produk keramik dan memberikan unsur- unsur semiotic yang dibutuhkan dalam menghadirkan desain yang