Metode Binomial Menentukanhasil Perpangkatan dari Persamaan

METODE BINOMIAL MENENTUKANHASIL

PERPANGKATAN DARI PERSAMAAN

Maslen Sibarani

Teknik Informatika Universitas Persada Indonesia YAI Jakarta Jl Salemba Raya no 7-9 Jakarta Pusat 10340

Email : maslensibarani@yahoo.co.id Abstrak

Dalam aljabar dikenal apa yang disebut persamaan, setiap persaman terdiri dari variabel, suku dan konstanta dengan operasi didalamnya. Penjabaran dari perpangkatan dari suatu persaman adalah dengan mengubah ke bentuk perkalian, sehingga hasil perpangkatan dari persamaan merupakan perkalian dari persamaan. Jika pangkat dari persaman adalah pangkat dua, maka hasil dari perpangkatan tersebut adalah dengan mengalikan tiap suku pada persaman pertama dengan tiap suku pada persamaan ke dua. Apabila persaman dengan dipangkat tiga maka hasil tiap suku perkalian dari persamaan pertama dengan persaman kedua dikalikan dengan tiap suku pada persaman ketiga. Demikian seterusnya. Persoalan yang dihadapi apabila persaman banyak suku dipangkatkan pula dengan pangkat tinggi tentunya pekerjaaan yang rumit dan membosankan dan memakan waktu yang lama. Untuk memecahkan persoalan ini perpangkatan dari persamman tersebut diekspansi dalam bentuk fungsi dimana koefisien dari tiap suku menggunakan koefisien Binomial.

Kata kunci:Pangkat Binomial

Abstract

In algebra known equations. Each equation consists of variables, terms and constants with operations inside. The elaboration the power for equation done by converting it to the multiplication form, so the result of the power of the equation is the multiplication of the equation. If the power of the equation is a squared, then the result of that power done by multiplying each term in the first equation with each term in the second equation. If the equation is lifted to three then the result of each multiplication term from the first equation with the second is multiplied by each term in the third equation. And so on. The problems faced when the equation of many terms also powered by high rank. Of course the work is complicated, boring, and takes a long time. To solve this problem the power of the equation is expanded in form of a function where the coefficients of each term use the binomial coefficients.

PENDAHULUAN

Tujuan Penting dalam pemecahan persoalan dalam matematika adalah mengerjakan memahami masalah yang terkandung dalam persoalan tersebut. Dengan memahami permasalah yang ada dapat mencari solusi yang lebih sederhana dalam memecahkan persoalan yang dihadapi. Pemecahan persolan dalam matematika tentunya sesuai dengan sifat sifat dan definisi atau aturan dalam yang ada. Kesalah yang sering terjadi dalam memcahkan persolan dalam matematika karena tidak mengikuti aturan yang ada dalam pengerjaan persolalan. Demikain pula bilangan berpangakat. Apabila bilangan a dipangkatkan dengan n maka harus mengalikan a sebanyak n kali. Selanjutnya jika dibagi atau dikurang tentunya menggunakan sifat-sifat perpangkatan. Apalagi kalau persamaan terdiri dari tiga suku atau lebih dipangkatkan dengan n. Cara kerjanya sama dengan persamaan terdiri dari dua suku yaitu membuat perpangatan dari persaamam menjadi perkalian sebanyak n kali. Hasil perpangatan dari persaman adalah dengan mengalikan tiap suku dari persamaan pertama dengan tiap suku pada persaman kedua. Selanjutnya tiap suku dari hasil persaman pertama dengan kedua dikaliakan dengan tiap suku dari persaman ketiga, demikan seterusnya sampai pada persamaan ke –n. Proses menetukan hasil perpangkatan cara ini adalah cara yang rumit. Maka tujuan penulisan ini adalah mencari cara yang mudah dalam mengerjakan memecahkan persolaan perpangkatan. Metode yang digunakan dalam menetukan hasil perpangkatan dari suatu persamaan adalah dengan malakukan ekspansi perpangkatan dari persamaan. Dimana

koefisien-koefisien dari ekspasi dari perpangkatan tersebut adalah menggunakan distribusi binomial.

LANDASAN TEORI

Menetukan hasil perpangkat an sesuai dengan pengertian dari pangkat bilangan bahwa bilangan a dikalikan n kali atau an = a.a.a. ...a sebanyak n kali. Demikian pula hasil perpangkatan dari (x+y)n _{adalah dengan mengubah} ke bentuk perkalian yaitu (x+y)n ₌ (x+y)(x+y) (x+y) ... (x+y) sebanyak n kali . hasil perpangkatan tersebut adalah dengan mengalikan tiap suku dari (x+y) satu persatu tiap suku (x+y) sebanyak n kali. Misalanya (x+y)2 =(x+y).(x+y) = x.x + xy + yx + y.y = x2 _{+2xy + y}2_{, demikian pula (x+ y)}3₌ (x+ y)(x+ y)(x+ y)=(x2 _{+2xy + y}2_{)(x +} y)= x2 .x+2xy.x + y2. x +x2 .y+2xy.y + y2.y = x2 +3x2 y+ 3xy2 + y3. Maka bentuk (x+y)n = (x+y)(x+y) (x+y) ... (x+y) dijabarkan dengan mengalikan tiap suku dari (x+y) dengan setiap suku ( x+y) sebanyak n kali.

Untuk persaman k variabel yang dipangkatkan dengan n bentuk umumnya (x1+ x2+ .... + xk)n sesuai dengan sifat pada aljabar bahwa hasil perpangakat n dari suatu bilangan adalah mengalikan dari n bilangan tersebut. Sehingga dengan menggunakan sifat tersebut bahwa hasil perpangkatan dari (x1+ x2+ .... + xk)n adalah dengan mengubah bentuk (x1+ x2+ .... + xn)n = (x1+ x2+ ....+ xk) (x1+ x2+ ...+ xk) (x1+ x2+ ...+ xk)... (x1+ x2+ ...+ xk). Perkalian tiap suku dari persamaan 1, 2, 3, ..., k . kalau prose ini digunakan maka akan mengalami kesulitan, maka menetukan hasil dari perpangakan adalah melakukan ekspansi dengan koefisien dari ekspansi adalah distribusi binomial ‘Proses perpangkatan dari suatu persamaan adalah sebagai berikut,

1 ) (a+b = a+ b 2 ) (a+b = a2 _{+2ab+ b}2 ₌       0 2 _a2 ₊       1 2 _{ab +}       2 2 b2 3 ) (a+b = a3 +3a2 b + 3ab2+ b3 =       0 3 _a3 ₊       1 3 _a2 _{b +}       2 3 ab2+ _      3 3 b3 4 ) (a+b =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 = 4 4 4 3 3 4 2 2 2 4 3 1 4 4 0 4 b ab b a b a a _      +       +       +       +       5 ) (a+b = 5 4 5 3 2 10 2 3 10 4 5 5 _{a b a b a b ab b} a + + + + + = 5 5 5 4 1 4 5 3 2 3 5 2 3 2 5 4 1 5 5 0 5 b b a b a b a b a a _      +       +       +       +       +       6 ) (a+b = 6 5 6 4 2 15 3 3 20 2 4 15 5 6 6 _{a b a b a b a b ab b} a + + + + + + = 6 6 6 5 5 6 4 2 4 6 3 3 3 6 2 4 2 6 5 1 6 6 0 6 b ab b a b a b a b a a _      +       +       +       +       +       +       = 6 5 6 4 2 15 3 3 20 2 4 15 5 6 6 _{a b a b a b a b ab b} a + + + + + +

Koefisian–koefisian dari setiap suku dari dapat dipergunakan dengan segitiga

Pascal

Menemukan pola tersebut kita akan membutuhkan pola bilangan dalam setiap baris segitiga Pascal. Semua bilangan dalam setiap baris tersebut merupakan koefisien dari ekspansi pangkat dari binomial.

contoh,

1.

(

x

+

y

)

4=x4+4x3y+6x2

y

2 +6x

y

3+

y

4= 4 0

0

4

y

x













+

y

x

3

1

4













+ 2 2

2

4

y

x













+ 1 3

3

4

y

x













+ 4 0

4

4

y

x













=

∑













= − 4 0 4

4

i i i

y

x

i

Koefisien dari ekspansi pangkat 4 binomial tersebut adalah 1, 4, 6, 4, dan 1 yang merupakan bilangan-bilangan pada baris ke-4 pada segitiga Pascal. Menurut Teorema Binomial,

Sehingga secara ekspasi umum

perpangkatan dari persamaan adalah sbagai berikut

1.

(

x

+

y

)

2 = x2 + 2xy +

y

2= 0 2

0

2

y

x













+



xy











1

2

+ 0 2

2

2

y

x













=

∑













= − 2 0 2

2

i i i

y

x

i

2.

(

x

+

y

)

3=x3+3x2y+3x

y

2+

y

3= 0 3

0

3

y

x













+

x

2

y

1

3













+ 1 2

2

3

y

x













+ 3 0

3

3

y

x













= _∑ = −       3 0 3 3 i i y i x i 1 n=1 n=2 1 2 1 n=3 _{1 3 3 1} n=4 ₄ 6 4 1 n=5 _{1 5} 10 10 5 n=6 1 6 15 20 15 1 1 1 6

3.

(

x

+

y

)

4=x4+4x3y+6x2

y

2+6x 3

y

+

y

4= 4 0

0

4

y

x













+

x

3

y

1

4













+ 2 2

2

4

y

x













+ 1 3

3

4

y

x













+ 0 4

4

4

y

x













=

∑













= − 4 0 4

4

i i i

y

x

i

... ... ... ... ... ... Secara umum

(

)

n

y

x

+

= 0

0

x

y

n

_n













+

n

x

n 1

y

1

−













+ 2 2

2

x

y

n

_n−













+ 3 3

3

x

y

n

_n−













+.... i i n

y

x

i

n

₋













+....+

x

y

n

n

n

₀













=

∑













= − n i i i n

y

x

i

n

0

Koefisien koesien

x

n−i

y

i dari

(

)

n

y

x

+

adalah













i

n

1.

(

x

−

y

)

2 = x2 - 2xy +

y

2= 0 2

0

2

y

x













-



xy











1

2

+ 0 2

2

2

y

x













=

∑



−











= − 2 0 2

)

1

(

2

i i i i

y

x

i

2.

(

x

−

y

)

3=x3-3x2y+3x

y

2-

y

3= 0 3

0

3

y

x













-

x

2

y

1

3













+ 1 2

2

3

y

x













-3 0

3

3

y

x













=

∑



−











= − 3 0 3

)

1

(

3

i i i i

y

x

i

3.

(

x

−

y

)

4=x4-4x3y+6x2

y

2 -6x

y

3+

y

4= 4 0 0 4 y x       _{- x}3_y 1 4       + 2 2

2

4

y

x













- 1 3 3 4 y x       ₊ 0 4 4 4 y x       =

∑



−











= − 4 0 4

)

1

(

4

i i i i

x

y

i

... ... ... ... ... ... Secara umum

4.

(

x

−

y

)

n= 0

0

x

y

n

_n













-

n

x

n 1

y

1

−













+ 2 2

2

x

y

n

_n−













- 3 3

3

x

y

n

_n−













+.... i i n

y

x

i

n

₋













+....+

x

y

n

n

n

₀













=

∑



−











= − n i i i n i

x

y

i

n

0

)

1

(

Koefisien koesien

x

n−i

y

i dari

(

)

n

y

x

−

adalah













−

i

n

i

)

1

(

Catatan













i

n

=

)!

(

!

!

i

n

i

n

−

Ekspansi fungsi polinomial

1.

(

ax

+

by

)

2=a2 x2+2abxy+b2

y

2 = 2 2 0

0

2

y

x

a













+



abxy











1

2

+ 2 2

2

2

y

b













=

∑













= − − 2 0 2 2

2

i i i i i

y

x

b

a

i

2.

(

ax

+

by

)

3=a3 x3+3a2bx2y+3a 2 b x

y

2b3₊

y

3 = 3 3 0

0

3

y

x

a













+

a

2

bx

2

y

1

3













+ 2 1 2

2

3

y

x

ab













+ 3 0 3

3

3

y

x

b













= i i i i i

b

x

y

a

i

− = −

∑













₃ 3 0 3

3

3.

(

ax

+

by

)

4=a4 x4+4a3b x3y+6 2 2_b a x2

y

2+6x

y

3+

y

4= 0 4 4

0

4

y

x

a













+

a

3

bx

3

y

1

4













+ 2 2 2 2

2

4

y

x

b

a













+

.

3 3

3

4

xy

b

a













+ 4 0 4

4

4

y

x

b













= i i i i i y x b a i − = − ∑ _      ₄ 4 0 4 4 ... ... ... ... ... ... Secara umum

4.

(

ax

+

by

)

n= 0

0

a

x

y

n

_{n n}













+

y

x

b

a

n

_{n 1 n 1}

1

− −













+ 2 2 2 2

2

a

b

x

y

n

_{n− n−}













+ 3 3 3 3

3

a

b

x

y

n

_{n− n−}













+.... i i n i i n

b

x

y

a

i

n

_{− −}













+....+ n n

x

y

b

n

n

₀













= i i n n i i i n

y

x

b

a

i

n

₋ = −

∑













0

Koefisien koesien

x

n−i

y

i dari

(

ax

+

by

)

n adalah

a

n i

b

i

i

n

₋













5.

(

ax

−

by

)

2=a2 x2-2abxy + 2 b

y

2= 2 2 0

0

2

y

x

a













-



abxy











1

2

+ 2 0 2

2

2

y

x

b













=

∑



−











= − − 2 0 2 2

)

1

(

2

i i i i i i

a

b

x

y

i

6.

(

)

3 by ax+ =a3 x3-3a2bx2y+3ab2 x

y

2-b3

y

3

= 3 3 0

0

3

y

x

a













-

a

2

bx

2

y

1

3













+ 2 1 2

2

3

y

x

ab













- 3 0 3

3

3

y

x

b













= i i i i i i

a

b

x

y

i

− = −

∑



−











₃ 3 0 3

)

1

(

3

7.

(

ax

+

by

)

4=a4 x4+4a3b x3y+6 2 2_b a x2

y

2+6x

y

3+

y

4= 0 4 4

0

4

y

x

a













-

a

3

bx

3

y

1

4













+ 2 2 2 2

2

4

y

x

b

a













- _. 3 3 3 4 xy b a       ₊ 4 0 4 4 4 y x b       ₌ i i i i i i y x b a i − = − ∑ _ −      ₄ 4 0 4 ) 1 ( 4 ... ... ... ... ... ... Secara umum

8.

(

ax

−

by

)

n= 0

0

a

x

y

n

_{n n}













-

y

x

b

a

n

_{n 1 n 1}

1

− −













+ 2 2 2 2

2

a

b

x

y

n

_{n− n−}













- 3 3 3 3

3

a

b

x

y

n

_{n− n−}













+.... i i n i i n i

a

b

x

y

i

n

_{− −}

−













)

1

(

+....+ n n n

b

x

y

n

n

₀

)

1

(













−

= i i n n i i i n n

a

b

x

y

i

n

₋ = −

∑



−











0

)

1

(

Koefisien koesien

x

n−i

y

i dari

(

)

n

by

ax

−

adalah i

a

n i

b

i

i

n

₋













−

1

)

(

Untuk perpangkatan persamaan dengan banyak suku, menentukan hasil perpangkatan persamaan adalah sebagai berikut. Menetukan koesian (x+y+z)3 = 3 } ) {(x+y +z = _      0 3 ₃ ) (x+y + _      1 3 ₂ ) (x+ y z+ _      2 3 (x+y)z2₊       3 3 z3 = x3+3x2y+3x

y

2+

y

3+ 3( x2 + 2xy + y2_)z+3xz2 _{+ 3yz}2_+z3 = x3+3x2y+3x 2

y

+

y

3 + 3x2 z+ 6xyz + 3y2z+3xz2 + 3yz2+z3

Untuk perpangkatan pankat n dari persamaan dengan banyak suku, menentukan hasil perpangkatan persamaan adalah sebagai berikut.

n

k

x

x

x

x

1

2

3

...

)

(

+

+

+

+

= ∏ = ∑ = + + +      m t t k t x n n k k k k k k k kn n 1 ... 3 . 2 1 1, 2, 3..., Bukti Bentuk

n

n

x

x

x

x

1

2

3

...

)

(

+

+

+

+

=

∏ = ∑ = + + +      m t t k t x n n k k k k k k k kn n 1 ... 3 . 2 1 1, 2, 3...,

n

m

x

x

x

x

1

2

3

...

1

)

(

+

+

+

+

+

₌

n

m

x

m

x

m

x

x

x

x

1

2

3

...

1

)

(

1

))

{(

+

+

+

−

+

+

+

= K m x m x m k m x k x k x k x n K m k k k k k k k kn K n ) 1 ( 1 1 ... 3 3 2 2 1 1 1 ... 3 . 2 1 1, 2, 3..., 1, + + − − + ∑ − + − + + +      − Dengan menggunakan induksi

1 1 1 1 1 1 ... 3 3 2 2 1 1 1 ... 3 . 2 1 1, 2,3..., 1, + + ∑ + +      + + − − + ∑ − + − + + +      − m k m x m k m x m k m k km km K m k m x k x k x k x n K m k k k k k k k kn K n = 1 1 1 1 ... 3 3 2 2 1 1 1 1 ... 3 . 2 1 1, 2,3..., 1, , 1 + + − − + ∑ = + + + − + + +         + − m k m x m k m x m k m x k x k x k x n m k m k m k k k k k k k km km km n Sebab       +       −1, , 1 ..., 3 , 2 , 1 km km K K m k k k k n =       + −1, , 1 ..., 3 , 2 , 1 k k km km km k n Maka ! 1 ! ! . ! ! 1 !... 2 ! 1 ! + − km km n K m k k k n ₌ ! 1 !... 2 ! 1 ! + m k k k n METODOLOGI

Penelitian ini dilaksanakan dengan metode studi literatur. Kajian yang terkait penelitian dilakukan terlebih dahulu dengan mempelajari berbagai sumber baik yang tersaji dalam bentuk buku, jurnal maupu laporan penelitian yang relevan dengan topik yang akan dibahas. Konsep dasar tentang pembuktian dan beberapa metode dasar pembuktian beserta penjelasan dirangkum dalam pemikiran(mind map). Selanjutnya

pejabaran akan disajikan contoh

diselesaikan dengan menggunakandengan distribusi

Binomial.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Telah dibuktikan penjabaran perpangkatan dari persamaan dengan Distribusi binomial , berikut ini adalah pemmecahan atau pembahasan masalah yang berkaitan dengan perpangkatan dari suatu persamaan.

1.

(

)

8

y

x

+

₌ 8 0 8 x       + y x7 1 8       + 2 6 2 8 y x       + 3 5 3 8 y x       + 4 4 4 8 y x       + 5 3 5 8 y x       + 6 2 6 8 y x       + 7 7 8 xy       + 8 8 8 y       = x8 + 8x7y+ 2 6 ! 6 !. 2 ! 8 y x + 3 5 ! 5 !. 3 ! 8 y x +

4

4

!

4

!.

4

!

8

y

x

+ 5 3 ! 5 !. 3 ! 8 y x + 6 2 ! 6 !. 2 ! 8 y x + 7 ! 7 !. 1 ! 8 xy + 8 ! 8 !. 0 ! 8 y = x8 + 8x7y+28x6y2+ 56x5y3+ 4 4 70x y ₊56x3y5₊28x2y6₊8xy7₊y8 2.

(

2x+3y

)

8= 8 8 2 0 8 x       + y x7 3 . 7 2 1 8       + 2 6 2 3 6 2 2 8 y x       + 3 5 3 3 5 2 3 8 y x       + 4 4 4 3 4 2 4 8 y x       + 5 3 5 3 3 2 5 8 y x       +

6 2 6 3 2 2 6 8 y x       + 7 7 3 . 2 . 7 8 xy       + 8 8 3 8 8 y       = 256x8 + 3072x7y + 16128x6y2 + 48384x5y3 + 90720x4y4 + 5 3 108864x y ₊ 81648x2y6 ₊ 7 34992xy ₊ 6561y8 Menetukan koesian 3 ) (x+y+z ₌ {(x+y)+z}3 ₌ 3 ) ( 0 3 y x+       + (x y)2z 1 3 +       + 2 ) ( 2 3 z y x+       + 3 3 3 z       =x3+3x3y+3xy2+y3+3(x2+2xy+ 2 y )z+3xz2+ 3yz2+ z3 =x3+3x2y+3xy2+y3+3x2 z+6xyz+3y2z+3xz2+ 3yz2+ z3 Menentukan koefisien perpangkatan

dari persamaan

n

k

x

x

x

x

1

2

3

...

)

(

+

+

+

+

adalah sebagai berikut

Koefisiaen

dari

k

n

k

x

n

x

n

x

n

x

1

1

2

2

3

3

...

, dimana

n

k

n

n

n

n

1

+

2

+

3

+

...

+

=

adalah

! !... 3 ! 2 ! 1 ! k n n n n n

atau

Koefisiaen dari

k

n

k

x

n

x

n

x

n

x

1

1

2

2

3

3

...

, dimana

n

k

n

n

n

n

1

+

2

+

3

+

...

+

=

adalah

=

























−

−











 −













k

n

k

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

....

3

2

1

2

1

1

Seperti kasus berikut

1.

Koefisien

x2y

dari

(x+y+z)3

adalah

!

0

!

1

!

2

!

3

=

1

.

2

1

.

2

.

3

= 3 atau

























1

1

2

3

= 3

2.

Koefisien

x6y4z5

dari

15 ) (x+y+z

adalah

!

5

!

4

!

6

!

15

=

)

1

.

2

.

3

.

4

.

5

).(

1

.

2

.

3

.

4

!.(

6

!

6

.

7

.

8

.

9

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

=

630630 atau





































5

5

4

9

6

15

=

!

9

!

6

!

15

.

!

5

!

4

!

9

!

5

!

5

=

!

9

).

1

.

2

.

3

.

4

.

5

.

6

(

!

9

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

!

5

).

1

.

2

.

3

.

4

(

!

5

.

6

.

7

.

8

.

9

.1

= (5005).( 126) = 630630

3.

Koefisien

a5b3c4d2

dari

14 ) (a+b+c+d

adalah

!

2

!

4

!

3

!

5

!

14

=

)

1

.

2

)(

1

.

2

.

3

.

4

).(

1

.

2

.

3

!.(

5

!

5

.

6

.

7

.

8

.

9

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

=2522520 atau

                        2 2 4 6 3 9 5 14 =

!

9

!

5

!

14

.

!

6

!

3

!

9

!

2

!

4

!

6

.1

= 2002.84.15=2522520

4.

Koefisien

x5y4z4

dari

13 ) 5 2 3 ( x− y+ z

adalah

4

5

4

)

2

(

5

3

!

4

!

4

!

5

!

13

−

=

625

.

16

.

243

.

)

1

.

2

.

3

.

4

).(

1

.

2

.

3

.

4

!.(

5

!

5

.

6

.

7

.

8

.

9

.

10

.

11

.

12

.

13

= 218918700000

atau

35( 2)4.54 4 4 4 8 5 13 −                   =

!

8

!

5

!

13

.

!

4

!

4

!

8

243. 16. 625

= 1287. 70. 243. 16. 625

= 218918700000

KESIMPULAN

Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa menetukan perpangakatan dari persamaan dengan distribusi Binomial yang persaman terdisi dari dua suku tidak mengalami kesulitan. Apabila persaman terdisi dari tiga suku atau lebih dipangkatkan dengan pangkat tinggi n kita bisa menetukan koefisien dari suku yang dinginkan dengan menggunakan koefisian Binomial.

REFERENSI

Adamchic,V, 2005, Graph Theory, Concep of

Mathematics

Distel, R, 2000, Graph Theory elecktrik Edition

2000. New York: Springer – Verlag

Lefebvre, M. 2006. Applied

Probability and

Statistics.Springer, New York.

Liu,C.L., "Elements of Discrete Mathematics",

New York : McGraw Hill, 1986.

Rossen, Kenneth H, "Discrete Mathematics and It's

Applications", Edisi Ke-3, New York : McGraw Hill, 1995.

Sardomono Mp,2011, Statistik Problitas , Tangerang,

Penerbit Andi. Seymour Lipschut. Ph.D., "Discrete

Mathematics",

Edisi Ke-3, New York : McGraw Hill, 1976

Supranto, J. 2001. Pengukuran

Tingkat Kepuasan

Pelanggan. Rineka Cipta, Jakarta

Walpole, R.E., R.H. Myers., S.L.

Myers., and K. Ye.2012.

Probability and Statistics for

Engineers and Scientists Edition.