SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA

(1)

SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA

TINGKAT SMA

1. Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 1000 sedemikian hingga jumlah digit pertama dan digit terakhirnya 10

Jawab :

Karena jumlah angka pertama dan angka terakhirnya adalah 10, maka pasangan angka pertama dan angka terakhir yang mungkin adalah (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)

Untuk (1,9)

a. Tanpa angka tengah 2 angka yaitu 19 dan 91

b. Satu angka ditengah 20 angka, yaitu 109 … 199 (10 angka) dan kebalikanya (10 angka)

c. Dua angka tengah : banyaknya sesuai jumlah kombinasi 2 angka dari angka 0 sampai 9 yaitu 10! : 2! = 10 x 9 = 90 dikurangi dengan 10 pasang angka yang sama yaitu 00, 11, … 99. Sehingga jumlahnya adalah 80.

Total jumlah semua bilangan untuk kombinasi dua angka ditengah adalah 160 ( dikali 2, karena satu bentuk berawal 1 dan berakhir 9 dan bentuk lainya merupakan kebalikannya)

Sehingga keseluruhannya adalah 182 angka.

Dengan cara yang sama kita dapatkan pula banyak kombinasi angka untuk pasangan (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)

Dan akhirnya kita akan dapatkan total keseluruhan banyak bilangan adalah :

182 + 182 + 182 + 182 + 91 = 819 (ingat : pasangan (5,5) hanya dihitung sekali saja)

2. Hitunglah hasil dari 12_{– 2}2_{+ 3}2_{– 4}2_{+ 5}2_{– 6}2_{+ …. + 2009}2_{– 2010}2

+ 20112

Jawab :

12_{– 2}2_{dapat diubah menjadi (1 – 2) (1 + 2) = – 1 – 2, 3}2_{– 4}2_dapat

diubah menjadi (3 – 4)(3 + 4) = – 3 – 4, dan seterusnya. Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi :

-1. -2, -3, -4, -5, -7, … , -2009, -2010, 20112_{, atau :}

- (1 + 2 + 3 + 4 + … + 2009 + 2010) + 20112

- ½ x 2010 x 2011 + 20112

2011 (-1005 + 2011) 2011 x 1006 = 2023066

(2)

1111_{– 11, 7}7_{– 7, 5}5_{– 5, 3}3_{– 3,}

22_{– 2}

Jawab :

1111_{– 11 = 11 (11}10_{– 1) ⟾ bukan prima (bisa dibagi 11)}

22_{– 2 = 2 (2 – 1) = 2 ⟾ prima}

4. Carilah seluruh pasangan bilangan yang mempunyai FPB 4 dan KPK 120

Jawab :

FPB 4 berarti bersama yang tekecil dari kedua bilangan adalah 22

KPK 120 berarti faktor-faktor terbesar dari kedua bilangan adalah 23

. 3 . 5,

Maka pasangan bilangannya adalah

22 _{dengan 2}3_{. 3 . 5 ⟾ 4 dengan 120}

22 _{. 3 dengan 2}3_{. 5 ⟾ 12 dengan 40}

22 _{. 5 dengan 2}3_{. 3 ⟾ 20 dengan 24}

22 _{. 3. 5 dengan 2}3_{⟾ 60 dengan 8}

5. Berapa digit satuan dari 17103_{+ 5?}

Jawab :

Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup hanya memperhatikan angka terakhir dari 7103

Jika kita urutkan mulai dari 71_{, 7}2_{, 7}3_{, 7}4_{, dan seterusnya, maka kita}

akan dapatkan pola angka satuanya sebagai berikut : 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1

Dan jika kita tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka satuan sebagai berikut :

2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6 Yang artinya untuk pangkat yang tepat habis dibagi 4, maka angka satuannya = 2, jika bersisa 1, maka angka satuannya 4, jika bersisa 2, maka angka satuanya 8, dan jika bersisa 3, maka angka satuanya 6

Dan karena pangkatnya 103, serta 103 = 25 x 4 + 3, maka angka terakhirnya adalah 6

(3)

Jawab :

Karena kedua bilangan berbeda dan angka-angka penyusunya juga berbeda, maka selisih paling kecil adalah 11111

Yang salah satunya dipenuhi oleh 59731 dan 48620, sedangkan angka-angka lain dapat diperoleh dengan membolak-balikan susunan angka tersebut.

7. Jika 1998 = ps_qt_ru_{, dengan p, q, dan r bilangan prima, hitunglah p}

+ q + r + s + t + u?

Jawab :

1998 = 2. 33_{. 37}

Sehingga p + q + r + s + t + u = 2 + 3 + 37 + 1 + 3 + 1 = 47

8. Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan 2002 : (m2_{– 2) juga merupakan bilangan bulat positif}

Jawab :

Karena 2002 = 2. 7. 11. 13, maka m2_{– 2 harus sama dengan nilai}

salah satu faktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor tersebut.

Dan yang memenuhi m sebagai bilangan bulat positif adalah : m2_{– 2 = 2, dengan m = 2}

m2_{– 2 = 7, dengan m = 3}

m2_{– 2 = 14, dengan m = 4}

9. Tentukan sisa pembagian 132011_{oleh 10}

Jawab :

Karena dibagi 10, maka sisa pembagiannya adalah angka satuan dari bilangan tersebut. Dan untuk mendapatkan angka satuannya, kita cukup dengan memperhatikan angka satuan dari 32011_.

Untuk itu perhatikan pola angka satuan dari 3, 32_{, 3}3_{, 3}4_{, 3}5_{, …}

sebagai berikut :

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … dengan pola pengulangan 3, 9, 7, 1 Karena 2011/4 = 502 bersisa 3, maka sebagaimana pada

pembahasan soal nomor 5 di atas, kita dapatkan angka satuannya adalah 1

Berarti sisa pembagianya adalah 1

(4)

Jawab :

Misalkan N adalah bilangan dengan a sebagai digit puluhan dan b

sebagai digit satuan M = ab

N = 10a + b

M + N = 118

ab + 10a + b = 118

karena a dan b adalah digit satuan yang merupakan bilangan bulat positif mulai dari 0 hingga 9 dan a tidak nol, maka kita tinggal mencari mana yang cocok.

Jika a = 1, maka b = 45 ⟾ tidak cocok Jika a = 2, maka b = 32,67 ⟾ tidak cocok Jika a = 3, maka b = 22 ⟾ tidak cocok Jika a = 4, maka b = 15,6 ⟾ tidak cocok Jika a = 5, maka b = 11,33 ⟾ tidak cocok Jika a = 6, maka b = 8,28 ⟾ tidak cocok Jika a = 7, maka b = 6 ⟾ cocok