BAB 2 TEORI DASAR (2-3) (2-4) E = Medan Listrik H = Medan Magnet

(1)

BAB 2

TEORI DASAR

2.1 PRINSIP DASAR GPR

Radar merupakan alat yang digunakan untuk mendeteksi jarak atau arah suatu benda (anomali) dengan gelombang radio sebagai sumber radiasi. Salah satu pengembangan aplikasi gelombang radio adalah Ground Penetrating Radar (GPR) yang digunakan untuk memberikan gambaran struktur dibawah permukaan bumi.

2.1.1 Propagasi Gelombang Elektromagnetik Pada Medium

Berdasarkan persamaan Maxwell, Perambatan gelombang elektromagnetik pada medium dapat diturunkan sebagai berikut:

(2-1)

(2-2)

dalam bentuk lain,

(2-3)

(2-4) E = Medan Listrik

H = Medan Magnet

Melihat persamaan di atas dapat diketahui bahwa sifat elektrik medium yang ditentukan oleh konduktivitas listrik, permitivitas dan permeabilitas sangat mempengaruhi perambatan gelombang elektromagnetik pada medium. Saat mengenai objek gelombang elektromagnetik yang dipancarkan akan dipantulkan, diteruskan atau dihamburkan sesuai dengan medium yang dilewatinya. GPR akan merekam pantulan gelombang elektromagnetik dari struktur di bawah permukaan.

(2)

karakteristik kecepatan dan pantulan dari gelombang elektromagnetik akan ditentukan oleh konstanta dielektrik yang dalam hal ini merupakan permitivitas ( dari lapisan bumi.

(m/s) (2-5)

Hubungan antara panjang gelombang dari frekuensi dan kecepatan gelombang diturunkan dengan persamaan

(2-6)

2.1.2 Pantulan Gelombang Elektromagnetik

Pulsa gelombang elektromagnetik yang dipancarkan GPR dari transmitter mengenai medium kemudian sinyal pantul akan diterima oleh receiver. Data rekaman dari radar (radargram) akan ditampilkan dalam bentuk sinyal amplituda terhadap waktu. Analisa akan dilakukan pada respon amplituda terhadap waktu untuk mendapatkan informasi jarak antara medium perambatan gelombang yang berbeda. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 waktu (ns) in te n si ta s m e d a n E

gambar 1 respon sinyal pada GPR.

Pola sinyal pantul ditampilkan dengan bentuk sinyal dengan amplituda lebih kecil dibandingkan dengan amplituda sinyal datang.

Pola sinyal yang dipantulkan kembali, berdasarkan proses di atas, digunakan untuk mengetahui informasi dari suatu medium. Geometri dan kontras sifat material dari setiap objek atau medium menentukan karakteristik dan besarnya sinyal pantul. Perambatan gelombang yang menemui berbagai macam kondisi dan deretan sifat elektrik dari berbagai macam medium mengakibatkan besarnya amplitudo sinyal pantul menjadi sangat variatif.

(3)

Hal ini lah yang menjadi masalah pada aplikasi GPR karena medium yang variatif akan mengakibatkan fluktuasi tegangan pada range frekuensi tertentu dari suatu perangkat elektronik yang disebabkan oleh delay propagasi yang terjadi antara waktu transmit sinyal dan waktu sinyal pantulan yang diterima di receiver. Waktu delay ini merepresentasikan jarak dari objek yang didapat dari hasil pembagian waktu dengan kecepatan rambat gelombang elektromagnetik pada suatu medium.

gambar 2 delay propagasi gelombang elektromagnetik pada GPR.

Prinsip kerja GPR (radar pada umumnya) adalah mengukur waktu delay. Delay propagasi perambatan gelombang elektromagnetik pada GPR dituliskan dalam persamaan sederhana ,

_(2-7)

Sehingga didapat estimasi jarak adalah;

)

(

2 m

t

v

d

=

Δ

(2-8)

merupakan waktu tempuh gelombang elektromagnetik merambat melalui medium, d adalah jarak antena dengan batas medium dan v adalah kecepatan rambat gelombang elektromagnetik dalam medium.

Pantulan akan terjadi ketika gelombang elektromagnetik mengenai medium yang bersifat konduktif atau material logam lainnya yang berada dibawah permukaan bumi seperti pipa, kabel dan sebagainya.

Pada gambar 2, gelombang elektromagnetik yang datang pada bidang dengan medium yang berbeda atau dengan konstanta dielektrik yang berbeda yaitu dan

akan dipantulkan dengan amplituda sebesar Γ. Γ didefinisikan sebagai koefisien pantul pada bidang,

Transmitte Receiver

d _{Medium 1}

(4)

2 1 2 1 ε ε ε ε + − = Γ _(2-9)

Persamaan (2-9) menunjukan besarnya amplituda gelombang pantul dari dua medium yang berbeda. Besarnya koefisien pantul Γ berkisar antara . Amplituda maksimum terjadi jika materialnya berupa logam dan koefisien pantul akan bernilai Γ = -1.

2.2 Finite Difference Time Domain (FDTD)

FDTD merupakan suatu metode untuk memodelkan medan elektro-magnetik terhadap medium dalam domain waktu. Metode ini dikembangkan pertama kali oleh K.S Yee [3] untuk menganalisa medan elektromagnetik. Geometri area observasi dibagi-bagi menjadi sel-sel kecil dalam bentuk persegi, balok atau kubus. Turunan parsial pada spasial dan temporal didekati dengan finite cental Defference baik orde satu,dua atau yang lebih tinggi. Konsep dasar dari metode ini adalah mencacah persamaan differensial tersebut dalam bentuk diskrit pada kawasan ruang dan waktu .

2.2.1 Penurunan Persamaan FDTD

Hal penting yang harus diperhatikan adalah saat merumuskan analisa pada ruang terbuka maka perlu ditentukan suatu batas serap khayalan pada sekeliling area observasi untuk menghindari pantulan gelombang yang tidak diinginkan (anechoid chamber). t D E H ∂ ∂ + = × ∇ σ _t (2-10) t B E ∂ ∂ − = × ∇ (2-11)

Pendekatan finite central difference(FCD) ditunjukan pada persamaan (2-12) dan (2-13)

(5)

x t z y x x F t z y x x F x F Δ Δ − − Δ + = ∂ ∂ ( ₂ , , , ) ( ₂ , , , ) (2-12) t t t z y x F t t z y x F t F Δ Δ − − Δ + = ∂ ∂ ( , , , ₂ ) ( , , , ₂ ) (2-13)

Persamaan di atas menunjukan FCD orde satu, jika orde dua makaΔxdiganti dengan Δ . Keakurasian pendekatan FCD akan semakin meningkat seiring x2 dengan semakin tingginya orde namun beban komputasi juga akan semakin meningkat.

Daerah analisa dalam FDTD dibagi menjadi beberapa sel kecil dan kawasan waktu dihitung secara diskrit. Maka setiap sel sampling pada selang waktu tertentu berukuran (Δx,Δy,Δz,nΔt). ) , , , (Δx Δy Δz nΔt _{dapat dinotasikan} n k j i n _i _j _k _F F t x y x F( , , , )= (, , )= |_, _, _sehingga x k j i F k j i F x F n n Δ − − + = ∂ ∂ ( ₂1, , ) ( ₂1, , ) (2-14) t k j i F k j i F t F n n Δ − = ∂ ∂ + (, , ) −2(, , ) 1 2 1 (2-15)

(6)

Gambar 3. Pembagian ruang analisa menjadi sel-sel kecil

Kemudian langkah selanjutnya medan listrik dan medan magnet diletakkan secara bergantian pada kawasan waktu dan spasial seperti gambar.4.

Gambar 4. Penempatan medan listrik dan medan magnet pada kawasan waktu disktri dan spasial diskrit

Maka turunan medan listrik dan medan magnet dapat dihitung dengan pendekatan

FCD orde satu sebagai berikut.

_t E E t E n n t n t Δ − = ∂ ∂ − Δ − = 1 ) 5 . 0 ( (2-16) t H H t H n n t n t Δ − = ∂ ∂ + − Δ = 5 . 0 5 . 0 ) ( (2-17)

Penurunan Persamaan FDTD untuk dua dimensi terhadap persamaan (2-1),(2-2). En-1 En En+1 En+2

Hn-0.5 Hn+0.5 Hn+1.5 Hn+2.5

(7)

Didefinisikan notasi Del pada koordinat kartesian sebagai berikut : _s _xx _s _yy _s _zz z y x ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ (2-18) dimana, 0

ωε

α

σ

j k s x x x x = + ₊ (2-19) 0 ωε α σ j k s y y y y = + ₊ (2-20) 0

ωε

α

σ

j k s z z z z = + ₊ (2-21)

Parameter Sk digunakan untuk memanipulasi daerah batas serap sehingga semua

gelombang yang datang pada batas serap tidak terpantulkan kembali. Pada daerah analisa, nilai Sk di-set 1.

Pada saat medan listrik hanya ada pada sumbu y (Ey) dan komponen medan

magnet pada sumbu x (Hx) dan sumbu z (Hz) , maka mode ini disebut mode

tranversal magnetik (TM). Pada saat medan magnet hanya pada sumbu y (Hy)

dan komponen medan listrik ada pada sumbu x ( Ex) dan sumbu z (Ez) , maka

mode ini disebut mode tranversal elektric (TE). Pemodelan survey GPR pada bidang xy menggunakan mode TM, dan permodelan survey borehole menggunakan mode TE.

Berdasarkan (2-18) , maka untuk mode TM 2D , (2-1) dapat ditulis menjadi

H j x z E s z x E s y z y x ωμ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ − 1 ˆ 1 ˆ ₍₁₎ (2-22)

(8)

x y z H j z E s ∂ = ωμ ∂ − 1 (2-23) z y x H j x E s ∂ = ωμ ∂ 1 (2-24)

Dan persamaan (2-2) dapat ditulis

y y x z z x E j E z H s x H s ∂ =

σ

+

ωε

∂ − ∂ ∂ 1 1 (2-25)

Untuk mode TE 2D maka

x x y z E j E z H s ∂ =σ + ωε ∂ 1 (2-26) z z y x E j E x H s ∂ =σ + ωε ∂ − 1 (2-27) y z x x z H j x E s z E s ∂ =

ωμ

∂ − ∂ ∂ 1 1 (2-28)

Pada daerah observasi diset sx = sy = sz = 1.

Sehingga t H H z E E t H z E H j z E x _in_j n j i x n j i y n j i y x y x y Δ − = Δ − ⇒ ∂ ∂ = ∂ ∂ − ⇒ = ∂ ∂ − − + + + + 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , , 1 ,

_μ

μ

ωμ

(2-29)

(9)

Sehingga dapat diturunkan persamaan FDTD sebagai berikut z E E t H H n j i y n j i y j i n j i x n j i x _Δ − Δ − = + + − + + + , 1 , 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , μ (2-30)

Dengan cara yang sama maka diperoleh

x E E t H H n j i y n j i y j i n j i x n j i z _Δ − Δ − = + + − + + + , , 1 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 μ (2-31) ∂ ∂ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ ⇒ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ y y x z y y x z _E E z H x H E j E z H x H ε σ ωε σ (2-32) t E E E z H H x H H n j i y n j i y j i n j i y j i n j i x n j i x n j i x n j i z Δ − + = Δ − − Δ − + +₊ + − + + + − + + , 1 1 , , 5 . 0 , , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0

_σ

_ε

(2-33) Untuk menghitung 5 . 0 , + n j i y E

σ

_{maka digunakan pendekatan sebagai berikut}

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + = + + + ) ( ) ( 2 ) ( 1 1 5 . 0 c E b E E a E E n n n n n σ σ σ σ (2-34)

Pendekatan (a) sering meyebabkan divergensi atau sangat lambat untuk konvergen sehingga jarang dipakai[2]. Cara berikutnya yang sering digunakan adalah cara (b) dan (c). Pada kasus dalam paper ini dipilih pendekatan (b).

2 1 , , 5 . 0 , + + + = n j i y n j i y n j i y E E E (2-35)

(10)

Sehingga (2-33) dapat ditulis menjadi ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ − − Δ − Δ + Δ + Δ + Δ − = Δ + Δ + Δ − Δ = Δ − − Δ − Δ − Δ + + = Δ − − Δ − + − + + + − + + + + + − + + + − + + + + + + − + + + − + + z H H x H H t t E t t E E t t E t t z H H x H H t E t E E E z H H x H H n j i x n j i x n j i x n j i z j i j i n j i y j i j i j i j i n j i y n j i y j i j i n j i y j i j i n j i x n j i x n j i x n j i z n j i y j i n j i y j i n j i y j i n j i y j i n j i x n j i x n j i x n j i z 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 , , , , , , , 1 , 1 , , , , , , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 , , 1 1 , , 1 , , , , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 σ ε σ ε σ ε ε σ ε σ ε ε σ σ (2-36)

Seperti yang telah disebutkan pada awal pembahasan FTDT, hal penting yang harus diperhatikan adalah saat merumuskan model analisa pada ruang terbuka maka perlu ditentukan suatu batas serap khayalan pada sekeliling area observasi untuk menghindari pantulan gelombang yang tidak diinginkan (anechoid chamber). Rumusan pendekatan batas serap telah dikemukakan oleh beberapa peneliti diantaranya Mur[4], Higdon[5], Liao[6], Berenger-Perfect Match Layer[7] . Batas serap Mur, Liao, Higdon diturunkan berdasarkan konsep dasar yang sama, walaupun efisiensi hasil analisa lebih rendah dibanding PML namun penggunaan memorinya lebih optimal dibanding PML.

Parameter Sk digunakan untuk memanipulasi daerah batas serap sehingga semua

gelombang yang datang pada batas serap tidak terpantulkan kembali. Pada daerah analisa, nilai Sk di-set 1.

Invers fourier transform (2-9)

)] ( [ 2 0 1

(

)

₀

)

(

k k k k t k k k k

e

k

t

s

α σ ε

ε

σ

δ

− + −

₌

₋

(2-37)

Sehingga pada daerah PML (2-23) sd(2-25) menjadi

z E t z s z E kz t H y e y x ∂ ∂ ∗ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ ) ( 1 μ (2-38) x E t x s x E kx t H y e y z ∂ ∂ ∗ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ ) ( 1 μ (2-39)

(11)

z H t z s x H t x s z H kz x H kx t E E x e z e x z y y _∂ ∂ ∗ − ∂ ∂ ∗ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ +ε 1 1 () ( ) σ (2-40) z H t z s z H kz t E E x y _e y x _∂ ∂ ∗ + ∂ ∂ = ∂ ∂ +ε 1 ( ) σ (2-41) x H t x s x H kx t E E z y _e y z _∂ ∂ ∗ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ +ε 1 ( ) σ (2-42) z E t z s x E t x s x H kx z E kz t H _x e z e z x y ∂ ∂ ∗ + ∂ ∂ ∗ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ) ( ) ( 1 1 μ (2-43)

Pada penelitian ini hanya disimulasikan mode TM dua dimensi saja , sehingga penurunan persamaan FDTD pada PML dilakukan pada persamaan (2-39),(2-40),(2-41).

[

]

[

n

]

j i j i n j i y n j i y n j i y n j i y j i z n j i x n j i x H D E E E E Dc Hxz H 5 . 0 , 5 . 0 , 1 , , 1 , 2 , 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , + + 27 + 27 − + + − + + + = − − + − + − Ψ (2-44)

[

]

[

n

]

j i j i n j i y n j i y n j i y n j i y j i x n j i z n j i z H D E E E E Dc Hzx H _, ₀_.₅ _, ₀_.₅ 1 , , 1 , 2 , 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , + ₊ 27 ₊ 27 ₋ + + − + + + = − − + − + − Ψ (2-45)

[

]

[

]

[

0.5

]

, 5 . 0 , , 5 . 0 , 5 . 1 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 1 5 . 0 , 5 . 1 , 5 . 0 , 5 . 1 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 1 5 . 0 , 5 . 1 , , , 1 , 27 27 27 27 ] [ + + + − + − + + + + + − + − + + + + + Ψ − Ψ + + − + − − + − + − + = n j i n j i j i c n j i x n j i x n j i x n j i x j i bz n j i z n j i z n j i z n j i z j i bx n j i y j i a n j i y Eyz Eyx C H H H H C H H H H C E C E (2-46) Dimana t t C_a Δ + Δ − = ε ε 2 2 (2-47)

(12)

k k t t C k bk ₊_Δ _Δ Δ = 24 ) 2 ( 2 ε (2-48) t t C_c Δ + Δ = ε 2 (2-49) k kk t D_k Δ Δ = 24 μ (2-50) μ t Dc= Δ (2-51)

[

, 2 , 1 , , 1

]

5 . 0 , 1 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 , [ ] + + 27 + 27 − − + + + = Ψ + − + − + Ψ j i y n j i y n j i y n j i y j i n j i j i n j i Bz Hxz Az E E E E Hxz (2-52)

[

, 2 , 1 , , 1

]

5 . 0 , 1 5 . 0 , 5 . 0 , 5 . 0 , [ ] + ₊ 27 ₊ 27 ₋ − + + + = Ψ + − + − + Ψ j i y n j i y n j i y n j i y j i n j i j i n j i Bx Hzx Ax E E E E Hzx (2-53)

[

0.5

]

, 5 . 1 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 1 5 . 0 , 5 . 1 , 5 . 0 , , , [ ] 27 27 + − + − + + + + − + − + − + Ψ = Ψ n j i z n j i z n j i z n j i z j i n j i j i n j i Bx Eyx Ax H H H H Eyx (2-54)

[

0.5

]

, 5 . 1 5 . 0 , 5 . 0 5 . 0 , 1 5 . 0 , 5 . 1 , 5 . 0 , , , [ ] 27 27 + − + − + + + + − + − + − + Ψ = Ψ n j i z n j i z n j i z n j i z j i n j i j i n j i Bz Eyx Az H H H H Eyz (2-55) ) 1 ( 2 − + = _k k k k k k k B k k A

α

σ

(2-56)

(13)

)] ( [ 0 k k k k t k e B α σ ε + Δ − = (2-57)

2.2.2 Ukuran Pencuplikan Spasial dan Temporal

Penentuan besarnya sel atau ukuran pencuplikan spasial (Δx, zΔ )dan ukuran pencuplikan temporal (Δt) harus dilakukan terlebih dahulu sebelum melakukan penghitungan persamaan FDTD yang telah diturunkan.

Keakurasian yang didapatkan persamaan FDTD akan semakin tinggi seiring dengan semakin kecilnya sel atau ukuran pencuplikan, namun hal ini harus dibayar dengan beban komputasi dan sumberdaya memori yang besar.

Penentuan ukuran sampling temporal (Δt) sangat menetukan kestabilan dari proses komputasi. Jika Δtmelebihi nilai tertentu maka akan terjadi ketidakstabilan komputasi. Nilai maksimum dari Δt sebagai berikut

2 2 min min 7 6 − − ₊_Δ Δ = Δ z x t

μ

ε

(2-58)

Penentuan parameter PML berdasarkan Berenger kmax >=1, sedang nilai

max

σ _{ditentukan berdasarkan nilai konduktivitas bahan masimum yang akan} dihitung. ⎩ ⎨ ⎧ − + = PML pada k d observasi daerah pada k_k _m ), 1 ( 1 , 1 max (2-59) ⎩ ⎨ ⎧ + = PML pada d observasi daerah pada m k ), ( 1 , 0 max

σ

(2-60) 2.3. Transmisi Pulsa

(14)

Pada GPR, transmitter akan memancarkan pulsa-pulsa frekuensi tinggi. Pulsa elektromagnetik yang dipancarkan kebawah permukaan bumi akan dipantulkan, diteruskan atau dihamburkan berdasarkan medium yang dilewati kemudian diterima oleh receiver.

2.3.1 Lebar Pulsa

Lebar pulsa didefinisikan sebagai durasi waktu pancaran pulsa. Lebar pulsa akan berpengaruh terhadap resolusi dan jarak.

Gambar 5. Lebar Pulsa

Bandwidth dari sistem didefinisikan sebagai kebalikan dari lebar pulsa.

B Lebar Pulsa 1 =