Universitas Gadjah Mada
PENDAHULUAN
Riset Operasional (Operation Research) kadang-kadang juga disebut sebagai management science atau System An/ysis. Riset Operasional adalah suatu teknik pengambilan keputusan untuk memecahkan masalah praktis dalam suatu sistem yang diarahkan pada pencapaian solusi yang optimum.
Teknik pengambilan keputusan praktis itu dilakukan dengan melakukan riset/pengamatan terhadap keterkaitan setiap komponen dan operasi dan sistem tersebut kemudian diabtraksikan dalam bentuk model. Dan model itu kemudian dapat dilakukan analisis dengan teknik komputasi atau simulasi sehingga diperoleh solusi yang optimal. Oleh karena itu Operations Research sering disebut juga sebagai Research on Operations.
Berdasarkan model pemecahan masalah kita kenal beberapa teknik pengambilan keputusan dalam operations research yaitu Linear programming, Transportation problem, Network modeling, Dynamic programming, Inventory theory, Queuing theory, Markov process, dan Time series fortcasting
LINEAR PROGRAMMING
Linear programming (LP) merupakan teknik pengambilan keputusan dalam masalah alokasi sumber daya yang terbatas yang secara bersamaan diperlukan oleh beberapa aktivitas sedemikian rupa sehingga akan memperoleh hasil yang optimum terbaik. Pemecahan masalah dengan Linear Programming dilakukan dengan cara mengabtraksikan masalah tersebut kedalam bentuk model mathematik. Kata linear dan LP memberikan pengertian bahwa fungsi mathematik dalam model tersebut semua dalam bentuk fungsi linear.
Contoh Kasus Linear Programming
”Windor GlassCo”, merupakan suatu perusahaan kaca yang memproduksi kusen alumunium dan kusen kayu dengan berbagai ukuran. Untuk menghasilkan produk itu diperlukan 3 macam bengkel. Bengkel-1 untuk pembuatan kerangka alumunium, bengkel 2 untuk pembuatan kerangka kayu, dan bengkel - 3 untuk penyetelan dan pemasangan kaca pada kerangka kusen. Karena menghadapi masalah pemasaran, perusahaan itu terpaksa menghentikan pembuatan beberapa produk yang kurang laku, narnun akibatnya 3 bengkel yang dimilikinya mempunyai kelebiahan kapasitas kerja. Untuk memanfaatkan kelebihan kapasitas kerja itu, perusahaan akan memproduksi 2 macam produk yang sangat laku di pasaran yaitu kusen alumunium ukuran 2 x 3
meter, dan kusen kayu ukuran 2 x 3 m. Karena kedua produk itu sam dikerjakan pada bengkel - 3 masalahnya adalah menentukan berapa unit masing masing produk itu harus dibuat agar bengkel tersebut dapat dimanfaatkan dengan hash yang paling baik. Untuk mem
menugaskan pada tim OR untuk menyelesaikaimya. Setelah mengamati setiap komponen dan operasi dan perusahaan itu. Tim OR menentukan untuk meneliti : 1) kelebihan kapasitas kerja dan masing
dan masing-masing produk, 3) unit keuntungan dan masing pengamatan ditabulasikan sebagai berikut:
Formulasi Model Mathrmatik
Misalkan X1 dan X2 berturut
diproduksi tiap hari, dan Z adalah total keuntungan tiap hari yang akan diperoleh dari penjualan 2 macam produk tersebut, maka secara mathematik dapat dirumuskan bahwa:
Z = 3 X 1 + 5 X 2 Dengan
Z = total keuntungan yang diperoleh (Rp/har X1 = laju produksi produk-1(unit/har
X2 = laju produksi produk-2 (unit/hari
X1 dan X2 merupakan variabel keputusan dari menentukan berapa nilai X1
rnaksirnum namun tidak melampa tersedia.
Dari tabel di atas menunjukkan b membutuhkan 1 jam kapasitas kerja
, dan kusen kayu ukuran 2 x 3 m. Karena kedua produk itu sam 3 masalahnya adalah menentukan berapa unit masing masing produk itu harus dibuat agar bengkel tersebut dapat dimanfaatkan dengan hash yang paling baik. Untuk memecahkan masalah itu pihak manajemen menugaskan pada tim OR untuk menyelesaikaimya. Setelah mengamati setiap komponen dan operasi dan perusahaan itu. Tim OR menentukan untuk meneliti : 1) kelebihan kapasitas kerja dan masing masing bengkel, 2) penggunaan kapasitas kerja masing produk, 3) unit keuntungan dan masing-masing produk. Hasil pengamatan ditabulasikan sebagai berikut:
Formulasi Model Mathrmatik
dan X2 berturut-turut adalah unit produk-1 dan produk-2 yang akan adalah total keuntungan tiap hari yang akan diperoleh dari penjualan 2 macam produk tersebut, maka secara mathematik dapat dirumuskan
euntungan yang diperoleh (Rp/hari) 1(unit/hari)
2 (unit/hari)
merupakan variabel keputusan dari model dan sasarannya adalah dan X2 agar Z = 3 x 1 + 5 x 2, mencapai nilai yang rnaksirnum namun tidak melampaui kendala keterbatasan kapasitas bengkel yang Dari tabel di atas menunjukkan bahwa pembuatan setiap unit produk-1
membutuhkan 1 jam kapasitas kerja bengkel-1 secara matematik dapat dirurnuskan , dan kusen kayu ukuran 2 x 3 m. Karena kedua produk itu sama-sama 3 masalahnya adalah menentukan berapa unit masing-masing produk itu harus dibuat agar bengkel tersebut dapat dimanfaatkan dengan
ecahkan masalah itu pihak manajemen menugaskan pada tim OR untuk menyelesaikaimya. Setelah mengamati setiap komponen dan operasi dan perusahaan itu. Tim OR menentukan untuk meneliti : 1) pasitas kerja masing produk. Hasil
2 yang akan adalah total keuntungan tiap hari yang akan diperoleh dari penjualan 2 macam produk tersebut, maka secara mathematik dapat dirumuskan
model dan sasarannya adalah , mencapai nilai yang engkel yang 1 tiap han 1 secara matematik dapat dirurnuskan
Universitas Gadjah Mada
bahwa X1<= 4, dengan cara yang sama bentuk mathematik kendala untuk bengkel-2 adalah 2 X 2 <= 12, dan kendala untuk bengkel-3 adalah : 3 X1 + 2 X2 <= 18, dan karena laju produksi tidak mungkin negative maka X1 0 dan X2 .
Dalam bahasa mathematik, penyelesaian masalah tersebut dengan teknik LP adalah menentukan berapa besarnya nilai X1 dan X2 untuk:
Memaksimumkan : Z = 3 X 1 + 5 X 2
Dengan kendala : X1 <= 4
2 X2 <= 12 3 X1 + 2 X 2 <= 18 dan X1 0, X2 0
Komputasi Linear Programming Metode Grafik
Setelah selesai menyusun model mathematik dan masalah yang akan dipecahkan, langkah selanjutnya adalah menghitung berapa besarnya nilai variabel keputusan agar fungsi objectif mencapai nilai yang optimum.
Contoh kasus “Wyndor Glass Co” merupakan model LP yang sangat kecil, kasus itu hanya terdiri dari 2 variabel keputusan. Untuk kasus seperti itu dapat dipecahkan dengan metode grafik, yaitu dengan cara menggambarkan dalam grafik 2 dimensi dengan absis sebagai sumbu X1 dan ordinat sebagai sumbu X2.
Metode Simplex
Metode simplex merupakan metode yang sangat efisien dan prosedur yang paling digunakan untuk komputasi linear programming. Prinsip dari Metode Simplex komputasi simultan untuk menghitung besarnya multi variabel yang akan oleh Gaus Yordan.
Prosedur Komputasi Metode Simplex
1. Memasukkan slack vanabel untuk merubah bentuk fungsi kendala dan bentuk (<) menjadi ( = ) Mak : Z = 3X1 + 5X2 Kendala : X1 <= 4 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 <= X1, X2 >= 0
X3, X4 dan X5 adalah slack variable 2. Penyusunan dalam bentuk tabel
X3, X4, dan X5 adalah diseb kolom nilai, sedangkan X1
Solusi awal: X1 =0, X2 =0, X3 =4, X4 = 12, X5 = 18 dan fungsi objectif Z Kesimpulan : belum optimal
Komputasi Metode Simplex
Memasukkan slack vanabel untuk merubah bentuk fungsi kendala dan bentuk (<)
Mak : Z – 3X1 – 3X2 Kendala : <= 4 X1 + X3 <= 12 2X2 + X4 <= 18 3X1 + 2X2 + X5 >= 0 X1, X2, X3, X4, X5
X3, X4 dan X5 adalah slack variable Penyusunan dalam bentuk tabel awal simplex
X3, X4, dan X5 adalah disebut variabel dasar besamya sama dengan harga pada nilai, sedangkan X1 dan X2 disebut variabel non dasar dan nilainya = 0
=0, X2 =0, X3 =4, X4 = 12, X5 = 18 dan fungsi objectif Z = Kesimpulan : belum optimal
Memasukkan slack vanabel untuk merubah bentuk fungsi kendala dan bentuk (<)
= 0 = 4 = 12 = 18 >= 0
abel dasar besamya sama dengan harga pada nya = 0
3. Mulai Komputasi
Menentukan variabel non dasar yang akan menjadi variabel dasar yang baru, dan menentukan variabel dasar y
masuk
Persamaan IV bentuk simplek tidak memiliki slack variabel yang akan dimasukkan sebagai initial basic variabel dalam tabel dalam tabel awal. OIeh karena itu diperlukan tambahan variabel baru yang dis
persamaan IV menjadi 3 X1
Dengan syarat bahwa pada solusi akhir nilai
Solusi awal : X3 = 4 X4 = 12 X5 = 18 X1, X2 = 0 Metode Big M
Tabel itu bila dilanjutkan
akan menghasilkan X5 = 0, untuk mengatasi itu maka digunakan Metode Big M, Fungsi objektifsekarang diubah menjadi:
Z = 3X1 + 5X2 – M –X5
M : suatu bilangan yang relative
Menentukan variabel non dasar yang akan menjadi variabel dasar yang baru, dan menentukan variabel dasar yang akan digantikan oleh variabel dasar yang baru
Persamaan IV bentuk simplek tidak memiliki slack variabel yang akan dimasukkan sebagai initial basic variabel dalam tabel dalam tabel awal. OIeh karena itu diperlukan tambahan variabel baru yang disebut artificial variabel, sehingga
3 X1 + 2 X2 + X5 = 18
Dengan syarat bahwa pada solusi akhir nilai dari X5 harus 0
Fungsi objectif : Z = 0
dengan iterasi tidak menjamin bahwa pada akhir solusi akan menghasilkan X5 = 0, untuk mengatasi itu maka digunakan Metode Big M, Fungsi objektifsekarang diubah menjadi:
relative sangat besar
Menentukan variabel non dasar yang akan menjadi variabel dasar yang baru, dan ang akan digantikan oleh variabel dasar yang baru
Persamaan IV bentuk simplek tidak memiliki slack variabel yang akan dimasukkan sebagai initial basic variabel dalam tabel dalam tabel awal. OIeh karena itu ebut artificial variabel, sehingga
dengan iterasi tidak menjamin bahwa pada akhir solusi akan menghasilkan X5 = 0, untuk mengatasi itu maka digunakan Metode Big M,
Fungsi oblektif tersebut akan mencapai nilai yang maksimumkan bila X5 = 0 Untuk menyusun tabel simplex bentuk fungsi objectif
Iterasi – 1 Hasil Iterasi – 1 Solusi : X1 =0, X2 = 6, X3 = 4, X4 = 0, X5 = 6 Fungsi obejctif Z = 30, Iterasi – 2 Hasil iterasi – 2
tersebut akan mencapai nilai yang maksimumkan bila X5 = 0 Untuk menyusun tabel simplex bentuk fungsi objectif diubah bentuknya menjadi
Solusi : X1 =0, X2 = 6, X3 = 4, X4 = 0, X5 = 6
Kesimpulan : belum optimal
tersebut akan mencapai nilai yang maksimumkan bila X5 = 0 diubah bentuknya menjadi
Solusi : X1 = 2, X2 = 6, X3 = 2, X4, X5 = 0 Fungsi objectif Z = 36,
Model Linear Programming
Dalarn contoh kasus “Wyndor Glass Co”, terlihat bahwa d
terdiri dari 3 sumber daya yang dialokasikan terbatas (kapasitas bengkel) yang dimanfaatkan untuk 2 macam aktivitas (memproduksi produk
Seandainya suatu model mempunyai (m) sumber daya yang terbatas dan akan digunakan untuk melakukan (n) a
keuntungan dan variabel keputusan Xj daya ke-i, kemudian aij unit sumber daya ke maka data itu dapat ditabulasikan sbb:
Dari tabel di tersebut kemudian data dibuat model mathematik sebagai berikut: Maksimumkan: Z = Cl X1 + C2 X
Dengan kendala A11 X1 A2 Am1 X1 X1,
Model seperti tersebut diatas disebut bentuk standard dan masalah linear programming. Setiap permasalahan yang model mathematiknya menghasilkan model seperti itu maka
Namun demikian tidak semua dalam bentuk standar seperti
1. Fungsi objectif bukan memaksimumkan tetapi justru meminimumkan 2. Fungsi kendala bukan (<=) tetapi ( = )
3. Fungsi kendala bukan (<=) tetapi ( >= ) 4. Variabel keputusan belum pasti
Solusi : X1 = 2, X2 = 6, X3 = 2, X4, X5 = 0
Kesimpulan : telah mencapai optimal
Model Linear Programming
Dalarn contoh kasus “Wyndor Glass Co”, terlihat bahwa dalam model itu hanya 3 sumber daya yang dialokasikan terbatas (kapasitas bengkel) yang dimanfaatkan untuk 2 macam aktivitas (memproduksi produk-2 dan produk
Seandainya suatu model mempunyai (m) sumber daya yang terbatas dan akan digunakan untuk melakukan (n) aktivitas kemudian misalkan (c) adalah unit
tungan dan variabel keputusan Xj, dan (bi) adalah nilai kendala dari
i, kemudian aij unit sumber daya ke-1 yang dipenlukan untuk aktivitas j, maka data itu dapat ditabulasikan sbb:
di tersebut kemudian data dibuat model mathematik sebagai berikut: Z = Cl X1 + C2 X2 + ………. + Cn Xn
A11 X1 + A12 X2 + ………….+ Am Xn <= Bi A2 1 X1 + X22 X2 + ………+ A2n Xn <= B2 Am1 X1 + Am2 X2 + ……. + AmnXn <= Bm
, X2 >= 0
seperti tersebut diatas disebut bentuk standard dan masalah linear permasalahan yang model mathematiknya menghasilkan masalah tersebut diklasifikasikan dalam kelompok LP. semua masalah LP akan menghasilkan model mathematik dalam bentuk standar seperti diatas, misalnya:
Fungsi objectif bukan memaksimumkan tetapi justru meminimumkan Fungsi kendala bukan (<=) tetapi ( = )
Fungsi kendala bukan (<=) tetapi ( >= )
Variabel keputusan belum pasti >= 0 tetapi mungkin negative atau positif
alam model itu hanya 3 sumber daya yang dialokasikan terbatas (kapasitas bengkel) yang
2 dan produk-2). Seandainya suatu model mempunyai (m) sumber daya yang terbatas dan akan
ktivitas kemudian misalkan (c) adalah unit an (bi) adalah nilai kendala dari sumber 1 yang dipenlukan untuk aktivitas j,
di tersebut kemudian data dibuat model mathematik sebagai berikut:
seperti tersebut diatas disebut bentuk standard dan masalah linear permasalahan yang model mathematiknya menghasilkan tersebut diklasifikasikan dalam kelompok LP. P akan menghasilkan model mathematik
Model LP Dengan Fungsi Kendala ( = )
Persamaan IV bentuk simplek tidak memiliki slack variabel yang akan dimasukkan sebagai initial basic variabel dalam tabel dalam tabel awal. OIeh karena itu diperlukan tambahan variabel baru yang disebut artificial variabel, sehingga persamaan IV menjadi 3 X1
Dengan syarat bahwa pada solusi akhir nilai
Solusi awal : X3 = 4 X4 = 12 X5 = 18 X1, X2 = 0 Metode Big M
Tabel itu bila dilanjutkan dengan iterasi tidak menjamin bahwa pada akhir solusi akan menghasilkan X5 = 0, untuk mengatasi itu maka digunakan Metode Big M, Fungsi objektifsekarang diubah menjadi:
Z = 3X1 + 5X2 – M –X5
M : suatu bilangan yang relative
Fungsi oblektif tersebut akan mencapai nilai yang maksimumkan bila X5 = 0 Untuk menyusun tabel simplex bentuk fungsi objectif
Z – 3 X1 – 5 X2 + M X5 = 0
Model LP Dengan Fungsi Kendala ( = )
Persamaan IV bentuk simplek tidak memiliki slack variabel yang akan dimasukkan sebagai initial basic variabel dalam tabel dalam tabel awal. OIeh karena itu an variabel baru yang disebut artificial variabel, sehingga
3 X1 + 2 X2 + X5 = 18
Dengan syarat bahwa pada solusi akhir nilai dari X5 harus 0
Fungsi objectif : Z = 0
Tabel itu bila dilanjutkan dengan iterasi tidak menjamin bahwa pada akhir solusi akan menghasilkan X5 = 0, untuk mengatasi itu maka digunakan Metode Big M, Fungsi objektifsekarang diubah menjadi:
relative sangat besar
tersebut akan mencapai nilai yang maksimumkan bila X5 = 0 Untuk menyusun tabel simplex bentuk fungsi objectif diubah bentuknya menjadi
5 X2 + M X5 = 0
Persamaan IV bentuk simplek tidak memiliki slack variabel yang akan dimasukkan sebagai initial basic variabel dalam tabel dalam tabel awal. OIeh karena itu an variabel baru yang disebut artificial variabel, sehingga
Tabel itu bila dilanjutkan dengan iterasi tidak menjamin bahwa pada akhir solusi akan menghasilkan X5 = 0, untuk mengatasi itu maka digunakan Metode Big M,
tersebut akan mencapai nilai yang maksimumkan bila X5 = 0 diubah bentuknya menjadi
Sehingga dihasilkan table awal sbb :
Solusi Awal : X1 = 0, X2 = 0, X3 = 4, X4 = 12X dan X5 = 18 Fungsi objecyif Z = ( 3 ) ( 0 ) + ( 5 ) ( 0 ) + ( 0 ) ( 4 ) + ( 0 ) ( 12 ) itu tidak fisibel karena seharusnya Z = 0
Pers. I perlu dimodifikasi dengan cara sebagai berikut : I Z – 3X1 5 – X2 + 0 X3
III 3 X1 + 2 X2 + X5
I Z – 3 X1 – 5 X2 + 0 X3 + 0 X3 + 0 X4 + MX5 IIIxM 3M X1 + 2M X2 + M X5
Z – (3M + 3) X1 –
Masukkan kembali kedalam table simplex diperoleh hasil sebagai beri
Solusi awal: X1 = 0,X2 = 0,X3 = 4, X4 = 12, X5 = 18,Z = Sehingga dihasilkan table awal sbb :
= 0, X3 = 4, X4 = 12X dan X5 = 18
Fungsi objecyif Z = ( 3 ) ( 0 ) + ( 5 ) ( 0 ) + ( 0 ) ( 4 ) + ( 0 ) ( 12 ) – ( M ) ( 18 ) solusi itu tidak fisibel karena seharusnya Z = 0
Pers. I perlu dimodifikasi dengan cara sebagai berikut :
X2 + 0 X3 + 0 X4 + M X5 = 0
= 18 5 X2 + 0 X3 + 0 X3 + 0 X4 + MX5 = 0
3M X1 + 2M X2 + M X5 = 18 M
(2M + 5) X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0X5 = - 18 M Masukkan kembali kedalam table simplex diperoleh hasil sebagai berikut :
= 0,X2 = 0,X3 = 4, X4 = 12, X5 = 18,Z = - 18 M Interasi - 1
( M ) ( 18 ) solusi
Solusi ; X1 = 4, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 12, X5 = 6, Fungsi objectif Z = belum optimal
Solusi ; X1 = 4, X2 = 3, X3 = 0, X4 = 6, X5 = 0, Fungsi objektif Z = 27, belum optimal
Hasil Interasi - 1
Solusi ; X1 = 4, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 12, X5 = 6, Fungsi objectif Z = Interasi – 2
Hasil Interasi – 2
X2 = 3, X3 = 0, X4 = 6, X5 = 0, Fungsi objektif Z = 27, belum Solusi ; X1 = 4, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 12, X5 = 6, Fungsi objectif Z = -6M + 12,
Model Linear programming dengan kendala (>=) Contoh: Z mak = 3 X 1 + 5 X 2 X1 <= 4 2 X 2 <= 12 3 X 1+ 2 X 2 >= 18 Kendala: 3 X1 + 2 X 2 >= 18 Dapat diubah dengan mengkalikan -3 X 1 – 2 X2 + X5= -18
kemudian masukkan slack variabel kedalam persamaan tersebut -3 X 1- 2 X2 + X5=- 18
dan akan menghasilkan tabel awal sbb:
Dari tabel awal itu akan menghasilkan solusi awal sebagai berikut: X1 = 0, X2 = 0, X3 = 4, X4 = 12, dan X5 =
Solusi yang dihasilkan tersebut tidak fisibel karena X5 = X5>=0
Seandainya persamaan tersebut dikalikan dengan
3 X1 + 2 X2 X5 = 18, dan akan menghasilkan tabel awal sebagai be Model Linear programming dengan kendala (>=)
18 2 >= 18
mengkalikan —1, sehingga menjadi: kemudian masukkan slack variabel kedalam persamaan tersebut dan akan menghasilkan tabel awal sbb:
tabel awal itu akan menghasilkan solusi awal sebagai berikut: 4, X4 = 12, dan X5 = -18, fIingsi objektif Z = 0,
Solusi yang dihasilkan tersebut tidak fisibel karena X5 = -18, padahal seharusnya Seandainya persamaan tersebut dikalikan dengan -1, maka akan berubah menjadi
an akan menghasilkan tabel awal sebagai berikut:
18, padahal seharusnya 1, maka akan berubah menjadi
Tabel tersebut tetap belurn dapat rnenghasilkan solusi yang fisibel karena koefisien variabel dasar untuk X5 ni
Persarnaan : 3 X1 + 2 X2
kemudian dimasukkan variabel artificial X6, akan diperoleh: 3 X1 + 2
dan menambahkan Big M dalam fungsi objektif Z = 3 X1 +
X5 disebut sebagai surplus va variabel pada solusi awal.
Untuk menyusun kedalam bentuk tabel awal diperlukan modifikasi dan fungsi objektif dengan cara sebagai berikut:
I Z – 3 X1 – 5 X2 + IV 3 X1 + 2 X2 - X5 I Z – 3 X1 - 5 X2 + M IV x M 3MXI + 2 M X2- MX5
Z - (3M+3) X1 - (2M
Masukkan dalam tabel simplex diperoleh hasil sebagai be
Solusi awal : X1= 0, X2 =
dilakukan iterasi akan diperoleh hasil sebagai berikut: Minimumkan: Z = 3X1 + 5X2
Kendala X1
2X2 3 X1
abel tersebut tetap belurn dapat rnenghasilkan solusi yang fisibel karena koefisien nilainya - 1, padahal seharusnya + 1
+ 2 X2 - X5 = 18 dianggap sebagai kendala dengan tanda ( kemudian dimasukkan variabel artificial X6, akan diperoleh:
X2 - X5 + X6 = 18 ahkan Big M dalam fungsi objektif
X1 + 5 X2 - MX6
X5 disebut sebagai surplus variabel, variabel ini tidak dimunculkan sebagai Basic variabel pada solusi awal.
Untuk menyusun kedalam bentuk tabel awal diperlukan modifikasi dan fungsi objektif dengan cara sebagai berikut:
M X6 = 0
X5 + X6 = 18
M X6 = 0
MX5 + M X6 = 18M
(2M+5) X2 + MX5 = -18M an dalam tabel simplex diperoleh hasil sebagai berikut:
Tabel Awal
0,X3 = 4, X4 = 12, X5 = 0,X6 18, Z= -18M akan diperoleh hasil sebagai berikut:
Minimasasi 5X2 X1 =4 2X2 =12 3 X1 + 2 X2 >= 18 X1, X2 >= 0
abel tersebut tetap belurn dapat rnenghasilkan solusi yang fisibel karena koefisien 18 dianggap sebagai kendala dengan tanda ( = ),
dak dimunculkan sebagai Basic Untuk menyusun kedalam bentuk tabel awal diperlukan modifikasi dan fungsi
Secara mathematik merninirn
harga negatif dari fungsi itu, sehingga: Minimurnkan Z = 3 X1 + 5 X2, sama dengan Maksimurnkan : -Z = -3 X bentuknya menjadi: Maksimumkan : -Z = -3 X Kendala : X1 2 X2 = 12 3 X1 + 2 X2 >= 18 X1, X2 >=
Langkah selanjutnya adalah
simplek, dengan lebih dahulu dilakukan modifikasi karena adanya kendala yang tidak standar atau ( >= ) dengan cara sebagai berikut:
I -z +3 X1+ 5 X2
III 2MX2
IV 3 MX 1+ 2M
-Z - (3M - 3) X1 - (4M
matik merninirnumkan suatu fungsi sarna dengan rnernaksirnumkan dari fungsi itu, sehingga:
+ 5 X2, sama dengan
3 X1 — 5 X2, dengan demikian model di atas dapat dirubah 3 X1 —5 X2
= 4 2 X2 = 12
+ 2 X2 >= 18
Langkah selanjutnya adalah menyusun model tersebut kedalam bentuk tabel simplek, dengan lebih dahulu dilakukan modifikasi karena adanya kendala yang
>= ) dengan cara sebagai berikut: X2 + M X4 + M X6 = 0 2MX2 + M X4 = 12 M 2M X2 – M X5 + M X6 = 18 M (4M-5) X2 + MX5 = - 30 M Interasi-1 Hasil Interasi - 1
umkan suatu fungsi sarna dengan rnernaksirnumkan
5 X2, dengan demikian model di atas dapat dirubah
menyusun model tersebut kedalam bentuk tabel simplek, dengan lebih dahulu dilakukan modifikasi karena adanya kendala yang
Suatu Perusahaan perkebunan mempunyai 3 kebun dan 3 gudang pupuk yang lokasinya saling terpisah satu dengan lainnya. Masing
pupuk 35 ton, 40 ton dan 40 ton. Sementara itu masing mempunyai stok pupuk 45 ton, 50 ton dan 20 ton.
Karena lokasi yang berbeda biaya angkut tiap ton pupuk dan gudang ke kebun berbeda pula sesuai dengan jaraknya, yaitu sebagai berikut:
.
Interasi-2
MODEL TRANSPORTASI
Suatu Perusahaan perkebunan mempunyai 3 kebun dan 3 gudang pupuk yang terpisah satu dengan lainnya. Masing-masing kebun memerlukan pupuk 35 ton, 40 ton dan 40 ton. Sementara itu masing-masing gudang mempunyai stok pupuk 45 ton, 50 ton dan 20 ton.
Karena lokasi yang berbeda biaya angkut tiap ton pupuk dan gudang ke kebun eda pula sesuai dengan jaraknya, yaitu sebagai berikut:
Suatu Perusahaan perkebunan mempunyai 3 kebun dan 3 gudang pupuk yang masing kebun memerlukan masing gudang Karena lokasi yang berbeda biaya angkut tiap ton pupuk dan gudang ke kebun
Namun secara teknis waktu untuk iterasi dengan menggunakan metode simplex terhadap masalah tersebut sebetulnya terlalu panjang, ada metode lain yang pendek waktu interasinya yaitu dengan menggunakan metode transportasi.
Solusi awal metode transportasi
Ada 3 cara:
1. Metode North-west corner 2. Metode Vogel Approximatiom 3. Metode Rusell’s Approximation
un secara teknis waktu untuk iterasi dengan menggunakan metode simplex tersebut sebetulnya terlalu panjang, ada metode lain yang
nya yaitu dengan menggunakan metode transportasi.
Solusi awal metode transportasi
west corner Metode Vogel Approximatiom Metode Rusell’s Approximation
un secara teknis waktu untuk iterasi dengan menggunakan metode simplex tersebut sebetulnya terlalu panjang, ada metode lain yang lebih
Solusi awal: Z = 25.5 + 20.20 + 10.10 + 40.8 + 20.20 = 1345
Modified Distribution Method (MODI)
Untuk mendapatkan solusi yang optimum dan solusi awal yang diperoleh dan 3 cara
tersebut di atas, diperlukan langkah Solusi awal : North-west corner
Solusi awal: Z = 25.5 + 20.20 + 10.10 + 40.8 + 20.20 = 1345
Modified Distribution Method
Untuk mendapatkan solusi yang optimum dan solusi awal yang diperoleh dan 3 tersebut di atas, diperlukan langkah iterasi dengan metode MODI
west corner
Network adalah abstraksi dan pelaksanaan suatu proyek yang digambarkan dalam bentuk garis-garis yang menunjukkan hubungan antara satu
kegiatan lainnya. Network scheduling merupakan teknik penjadwalan dengan sasaran agar proyek tersebut dapat terlaksana tepat kontrol dan tepat waktu. Ada dua metode dalam network scheduling yaitu CPM (Critical Path Method) dan PERT (Program Evaluation and Review Technique). Kedua metode di atas sering juga disebut dengan istilah CPS (Critical Path Scheduling)
Langkah Membuat Network
1. Menentukan daftar kegiatan (aktivitas), dan alokasi waktu 2. Menentukan keterkaitan antar kegiatan
3. Menyusun network atas dasar kedua informasi di atas 1. Menentukan daftar kegiatan
Contoh Proyek Pembuatan Mesin Pertanian
NETWORK SCHEDULING
Network adalah abstraksi dan pelaksanaan suatu proyek yang digambarkan dalam garis yang menunjukkan hubungan antara satu kegiatan dengan kegiatan lainnya. Network scheduling merupakan teknik penjadwalan dengan sasaran agar proyek tersebut dapat terlaksana tepat kontrol dan tepat waktu. Ada dua metode dalam network scheduling yaitu CPM (Critical Path Method) dan Evaluation and Review Technique). Kedua metode di atas sering juga disebut dengan istilah CPS (Critical Path Scheduling)
Langkah Membuat Network
Menentukan daftar kegiatan (aktivitas), dan alokasi waktu Menentukan keterkaitan antar kegiatan
ork atas dasar kedua informasi di atas Menentukan daftar kegiatan
Contoh Proyek Pembuatan Mesin Pertanian
Network adalah abstraksi dan pelaksanaan suatu proyek yang digambarkan dalam kegiatan dengan kegiatan lainnya. Network scheduling merupakan teknik penjadwalan dengan sasaran agar proyek tersebut dapat terlaksana tepat kontrol dan tepat waktu. Ada dua metode dalam network scheduling yaitu CPM (Critical Path Method) dan Evaluation and Review Technique). Kedua metode di atas sering
3. Membuat network
Setiap kegiatan digambarkan oleh sebuah garis panah yang pa ujungnya diberi nomor.
Contoh :
Network di atas menggarnbarkan waktu 4 unit waktu dan dimulai dan titik kadang aktivitas design itu
Setiap kegiatan digambarkan oleh sebuah garis panah yang pa
Network di atas menggarnbarkan bahwa aktivitas design mempunyai alokasi unit waktu dan dimulai dan titik 1, dan berakhir pada titik 2
design itu dapat pula disebut dengan aktivitas 1-2
Setiap kegiatan digambarkan oleh sebuah garis panah yang pada setiap
mempunyai alokasi
Kadang-Gambar di atas rnenunjukkan bahwa akhir kegiatan A merupakan awal kegiatan B dan keterkaitan antara kedua kegiatan itu ditulis dengan simbol A< B.
Network di atas menggambarkan bahwa akhir aktivitas B dan C baru dapat dimulai bila aktivitas A telah selesai, akhir aktivitas A merupakan awal dan aktivitas B dan C, keterkaitan
Network di atas menggambarkan bahwa aktivitas L baru dapat dimulai setelah aktivitas J dan. K telah selesai, akhir aktiv
aktivitas L, keterkaitan itu ditulis dengan simbol J< K, dan K< L
Network di atas menggambarkan aktivitas khayal, yaitu aktivitas dengan alokasi waktu 0 unit waktu, aktivits
Tiga aktivitas dengan keterkaitan A dengan network sbb:
Gambar di atas rnenunjukkan bahwa akhir kegiatan A merupakan awal kegiatan antara kedua kegiatan itu ditulis dengan simbol A< B.
Network di atas menggambarkan bahwa akhir aktivitas B dan C baru dapat aktivitas A telah selesai, akhir aktivitas A merupakan awal dan aktivitas B dan C, keterkaitan itu ditulis dengan simbol A< B, C
di atas menggambarkan bahwa aktivitas L baru dapat dimulai setelah aktivitas J dan. K telah selesai, akhir aktivitas J dan K merupakan awal dan aktivitas L, keterkaitan itu ditulis dengan simbol J< K, dan K< L
di atas menggambarkan aktivitas khayal, yaitu aktivitas dengan alokasi waktu 0 unit waktu, aktivits ini diperlukan pada kondisi sbb:
as dengan keterkaitan A < C dan B < C tidak boleh digambarkan Gambar di atas rnenunjukkan bahwa akhir kegiatan A merupakan awal kegiatan
antara kedua kegiatan itu ditulis dengan simbol A< B.
Network di atas menggambarkan bahwa akhir aktivitas B dan C baru dapat aktivitas A telah selesai, akhir aktivitas A merupakan awal dan
di atas menggambarkan bahwa aktivitas L baru dapat dimulai setelah itas J dan K merupakan awal dan
di atas menggambarkan aktivitas khayal, yaitu aktivitas dengan alokasi C tidak boleh digambarkan
Network di atas salah karena dua aktivitas (A dan B) menggunakan titik awal dan titik akhir yang sama. Untuk mengatasi itu maka dapat digunakan aktivitas dummy seperti di bawah mi:
Atau
Network di atas salah karena dua aktivitas (A dan B) menggunakan titik awal dan titik akhir yang sama. Untuk mengatasi itu maka dapat digunakan aktivitas
rti di bawah mi:
Network di atas salah karena dua aktivitas (A dan B) menggunakan titik awal dan titik akhir yang sama. Untuk mengatasi itu maka dapat digunakan aktivitas
PERT
PERT digunakan untuk menganalisis
waktunya bersifat stokastik yang distribusinya mengikuti pola beta Beta distribution :
Batas bawah (optimistic estimate) Mode (most like estimate)
Batas atas (pesimistic estimate)
digunakan untuk menganalisis time scheduling proyek yang dialokasi bersifat stokastik yang distribusinya mengikuti pola beta distribution. Batas bawah (optimistic estimate) : (a)
Mode (most like estimate) : (m) Batas atas (pesimistic estimate) : (b)
proyek yang dialokasi distribution.
