Pelabelan Product Cordial Gabungan Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm Tertutup SKRIPSI

Pelabelan Product Cordial Gabungan Salinan di antara Graf

Helm dan Graf Helm Tertutup

SKRIPSI

Untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat Sarjana S-1

Disusun oleh

Irfan Setiawan

11610049

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA

e,J

Universitas lstam Negeri Sunan Kaliiaga

nar

rF-',- _{FM-UTNSK-BM-O5-o3/RO}

Hal

: Persetujuan Skipsi

Lamp :

-Kepada

Yth. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijag Yogyakaft

di Yogyakarta

Assalamu?laikum wr. wb.

Setelah membaca, rneneliti, mernberikan petunjuk dan rnengoreKi serta mengadakan perbailon

seperlunya, malo lomi selaku pernbimbing berpendapat bahwa skipsi Saudara:

Nama NIM

: Irfan Setiawan

:1161ffi49

Judul

Skipsi

.: Pdabelan Wrct@rdialGabungan Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm

Teftrtup

sudah dapat dhjukan kembali kepada Prcgram Studi llatematika Fafultas Sains dan Teknologi UIN Sunan

lGluaga Yogtrakafta sebagai sahh sall qarat untuk memperoleh gelar Safiana

Sffi

Satu datam Program Studi MatemaUka Fakullas Sains dan Teknologi.

Dengan ini kami mengharap agar skipsi/trgas akhir Saudam tersebut di atas dapat segera

dimunaqosrphlon. Atas perhatiannya kami ucapkan terima losih.

Wasslamu'alaikum wn wb.

Yogyakarta, 12 Mei 2015

Dra. Khurul Warpati, M.Si.

I

..'.J

Universitas lslam Negeri Sunan Kaliiaga ,4. *

fA'r CERT

t-E'"- Flrl -UI NSK-BM-O5-O3/ RO

Hal

: Persetujuan Skipsi

Lamp :

-Kepada

Yth. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan lGlijag Yogryrakarta

di Yogyakarta

Asglamu'alakum wr. wb.

Setelah membaca, meneliti, mernberikan petunjuk dan mengoreksi serta mengadakan perbaikan seperlunya, malo lomi sdalar pembimbing berpendapat bahwa skipsi Saudam:

Nama NIM

: Irfan Setiawan

:1151ffi219

Judul

Skipsi

.: Pelabelan Wuct@rdial@bungan Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm

TerhrUp

sudah dapat diajulon kembali kepada Program Sh.rdi MatemaUka Fal(ljltas Sains dan Teknologi UIN Sunan KalUaga YogryElGrta sebagai salah saUJ qBrat untrk memperoleh gelar Sarjana Strata Satu dalam Program

S[rdi MatemaUka Fakultas Sains dan Tetnologi.

Dengan ini kami mengharap agar skipsi/tugas akhir Saudar:a tersebut di atas dapat segenr dimunaqsyahkan. Atas perhaUannya kami ucapkan terima kasih.

Wassbmu'abikum wr. wb.

Yogyakarta, 12 lvlei 2015

PAbins

rr_*

t

..={,--V-\Y

Ptuehammad Abrori, S.Si., M.Kom.

NrP. L9720423 199903 1 003

SURAT

PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI

Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama

NIM

Irfan Setiawan 11610049

Prodi/Smt : Maternatika/ VIII

Fakultas Sains dan Teknologr

Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang berjudul "Pelabelan

Prodttct Cordial Gabungan Salinan

di

antara Graf Helm dan Graf Helm Tertr.ttup" adalah benar-benar hasil karya sendiri melainkan bukan jiplakan, kecuali

jika

dalam pengutipan substansi disebutkan sumbernya dalam daftar pustaka dan setrianjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya dalam tugas akhir yang pernah ditulis oleh orang lain.

Yogyakarta, 18 Mei 2015 Yang menyatakan,

vi

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Saya mempersembahkan karya ini untuk

almamater tercinta Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga,

kedua orang tua tercinta

vii

HALAMAN MOTTO

“Janganlah kamu bersikap lemah,

dan jangan pula kamu bersedih hati,

padahal kamulah orang-orang yang paling tinggi derajatnya, jika kamu orang-orang yang beriman”.

(Surah Al-Imran Ayat 139)

“Semangatlah dalam hal yang bermanfaat untukmu,

minta tolonglah pada Allah, dan jangan malas (patah semangat)“.

(H.R. Muslim No. 2664)

“Belajarlah selagi yang lain sedang tidur,

bekerjalah selagi yang lain sedang bermalas-malasan, bersiap-siaplah selagi yang lain sedang bermain dan bermimpilah selagi yang lain sedang berharap” .

viii

KATA PENGANTAR

Penulis menyampaikan puji dan rasa syukur yang sebesar-besarnya ke hadirat Allah Swt., yang telah menganugerahkan segala karunia dan hidayah-Nya, sehingga Penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Sholawat dan salam semoga tercurahkan kepada Nabi Muhammad Saw., beserta keluarga, sahabat, dan seluruh umat Islam di dunia. Amin.

Tugas akhir dengan judul “Pelabelan Product Cordial Gabungan

Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm Tertutup” telah diselesaikan oleh

penulis guna memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Strata Satu di Program Studi Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.

Penulis menyadari sepenuh hati bahwa penulisan tugas akhir ini tidak akan terwujud sebagaimana mestinya tanpa disertai dengan motivasi, arahan, dan bimbingan dari berbagai pihak.

Saya sebagai penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ibu Dr. Maizer Said Nahdi, M.Si. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.

ix

3. Ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk membantu, memotivasi, membimbing dan mengarahkan penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

4. Bapak Abrori, S.Si., M.Kom. selaku Pembimbing II yang telah meluangkan waktu membantu, memotivasi, membimbing dan mengarahkan dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

5. Ibu Malahayati, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik yang telah bersedia mengarahkan dan memberikan motivasi selama menduduki bangku kuliah di Program Studi Matematika.

6. Semua Bapak/Ibu dosen yang telah membimbing saya lewat pengajaran, arahan, dan dukungan selama menempuh pendidikan di kampus tercinta ini.

7. Ayahanda, Ibunda, Kakak, dan Adik tercinta dan tersayang yang selalu memberikan dukungan lewat do’a dan kasih sayang sehingga membuat penulis selalu merasa bersemangat dalam mengerjakan tugas akhir ini. 8. Semua sahabat di Pondok Al-Barokah yang senantiasa selalu mendo’akan

dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

9. Teman-teman seperjuangan Matematika 2011 yang telah setia menjadi teman belajar penulis selama ini.

10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah membantu dalam penyelesaian tugas akhir ini.

xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN SKRIPSI ... ii

HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI ... iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI ... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi

HALAMAN MOTTO ... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... xi

DAFTAR GAMBAR ... xiii

DAFTAR TABEL ... xvi

DAFTAR LAMBANG ... xvii

ABSTRAK ... xviii BAB I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Batasan Masalah ... 6 1.3 Rumusan Masalah... 7 1.4 Tujuan Penelitian ... 7 1.5 Manfaat Penelitian ... 8 1.6 Tinjauan Pustaka ... 8 1.7 Sistematika Penulisan ... 11 1.8 Metode Penelitian ... 12

xii

BAB II LANDASAN TEORI ... 16

2.1 Himpunan ... 16

2.2 Teori Graf... 18

2.3 Fungsi ... 31

2.4 Kombinatorik ... 37

2.5 Nilai Mutlak ... 37

BAB III PELABELAN PRODUCT CORDIAL SISI PADA GRAF HELM DAN GRAF HELM TERTUTUP ... 39

3.1 Pelabelan Product Cordial Sisi ... 39

BAB IV PELABELAN PRODUCT CORDIAL GABUNGAN SALINAN DI ANTARA GRAF HELM DAN GRAF HELM TERTUTUP 62 4.1 Pelabelan Product Cordial ... 62

BAB V PENUTUP... 116

5.1 Kesimpulan ... 116

5.2 Saran ... 117

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Skema Penelitian ... 15

Gambar 2.1 Graf G ... ₁ 19 Gambar 2.2 Graf Tidak Berarah G₂ ... 20

Gambar 2.3 Graf G₃ ... 21

Gambar 2.4 Graf G₄ ... 23

Gambar 2.5 Graf G5 ... 24

Gambar 2.6 Graf TerkoneksiG₆ dan G ... ₇ 25 Gambar 2.7 Graf Sederhana G₈ ... 26

Gambar 2.8 Graf 3-reguler dan 4-reguler ... 27

Gambar 2.9 Graf Lengkap K₁, K dan ₂ K ... ₃ 28 Gambar 2.10 Graf Siklus C₄ dan C₅ ... 29

Gambar 2.11 Graf G₉,G₁₀ dan G₉G₁₀ ... 30

Gambar 2.12 Ilustrasi Fungsi ... 33

Gambar 2.13 Jenis-Jenis Fungsi ... 35

Gambar 3.1 Graf Roda W₃ dan W ... ₅ 40 Gambar 3.2 Graf G₁₁ ... 41

Gambar 3.3 Graf Helm H ... 11 42 Gambar 3.4 Graf Helm Tertutup CH ... ₁₁ 43 Gambar 3.5 Graf Siklus C₆ ... 45

xiv

Gambar 3.7 Graf Siklus C₆ ... 48 Gambar 3.8 Graf Siklus C₇ ... 49 Gambar 3.9 Graf Helm H ... ₁₁ 53

Gambar 3.10 Graf Helm H ... ₇ 54

Gambar 3.11 Graf Helm H ... ₆ 55

Gambar 3.12 Graf Helm H ... ₈ 56

Gambar 3.13 Graf Helm Tertutup CH ... ₁₂ 59

Gambar 3.14 Graf Helm Tertutup CH ... ₇ 61

Gambar 4.1 Graf Gear G₈ ... 64 Gambar 4.2 Graf Gear G₈ ... 66 Gambar 4.3 Graf Gear G3 ... 69

Gambar 4.4 Gabungan Lintasan 3 Salinan Graf Roda W ... ₄ 70

Gambar 4.5 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm H ... ₇ 80

Gambar 4.6 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm H ... ₃ 81

Gambar 4.7 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm H ... ₁₀ 83

Gambar 4.8 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm H ... ₄ 84

Gambar 4.9 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm H ... ₆ 85

Gambar 4.10 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm H ... ₄ 86

Gambar 4.11 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm H ... ₄ 88

Gambar 4.12 Gabungan Lintasan 3 Salinan Graf Helm Tertutup CH . ₇ 92

xv

Gambar 4.14 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm Tertutup CH . ₄ 95

Gambar 4.15 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm Tertutup CH . ₄ 96

Gambar 4.16 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm Tertutup CH . ₄ 97

Gambar 4.17 Gabungan 2 Salinan Graf Helm H dengan Lintasan ₄ P ₉ 101

Gambar 4.18 Gabungan 2 Salinan Graf Helm H dengan Lintasan ₆ P . ₈ 102

Gambar 4.19 Gabungan 2 Salinan Graf Helm H dengan Lintasan ₃ P . ₅ 103

Gambar 4.20 Gabungan 2 Salinan Graf Helm H dengan Lintasan ₅ P . ₅ 104

Gambar 4.21 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Terutup CH dengan ₆

Lintasan P ... ₆ 108

Gambar 4.22 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Tertutup CH dengan ₆

Lintasan P ... 8 109

Gambar 4.23 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Tertutup CH dengan ₈

Lintasan P ... ₉ 110

Gambar 4.24 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Tertutup CH dengan ₇

Lintasan P₁₁ ... 111 Gambar 4.25 Gabungan 2 Salinan Graf Helm H dengan Lintasan ₅ P . ₄ 112

Gambar 4.26 Gabungan 2 Salinan Graf Helm H dengan Lintasan₅ P .. ₄ 113

Gambar 4.27 Gabungan 2 Salinan Graf Helm H dengan Lintasan ₆ P . ₄ 114

Gambar 4.28 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Tertutup CH dengan ₆

xvi

DAFTAR TABEL

xvii

DAFTAR LAMBANG

 : Kurang dari sama dengan

( )V G : Himpunan Simpul ( )E G : Himpunan Sisi n C : Graf Siklus n W : Graf Roda G _n : Graf Gear n H : Graf Helm n

CH : Graf Helm Tertutup

( )

f e : Fungsi Pelabelan Sisi

( )f v : Fungsi Pelabelan Simpul

xviii

PELABELAN PRODUCT CORDIAL GABUNGAN SALINAN DI ANTARA GRAF HELM DAN GRAF HELM TERTUTUP

ABSTRAK

Pelabelan merupakan salah satu konsep yang muncul sebagai hasil perkembangan dari teori graf. Pelabelan graf berperan vital dalam beberapa bidang ilmu pengetahuan, seperti, astronomi, teori pengkodean, x-ray

crystallography, radar dan manajemen database. Pelabelan yang akan digunakan

dalam kasus ini adalah product cordial dan product cordial sisi. Kedua pelabelan tersebut muncul setelah adanya penelitian pelabelan cordial yang dilakukan oleh Cahit. Graf Cordial diinvestigasi oleh Cahit melalui graf famili, sehingga tujuan dalam penelitian ini untuk mengkaji lebih dalam mengenai pelabelan product

cordial sisi pada graf famili yaitu graf helm dan helm tertutup dan product cordial

pada gabungan salinan di antara keduanya. Cara yang digunakan dalam membuktikan kedua pelabelan tersebut yaitu dengan menggunakan aturan kombinatorik dan memperhatikan simpul yang saling adjacent dan sisi yang saling incident.

Terdapat istilah fungsi diinduksi dalam pelabelan product cordial dan

product cordial sisi yang memuat aturan product. Perbedaannya, jika aturan product pada pelabelan product cordial sisi yang digunakan adalah sisinya,

sedangkan product cordial menggunakan simpul-simpulnya. Hasil penelitian menyatakan bahwa dengan menggunakan pola tertentu untuk kasus n ganjil dan genap pada graf helm dan graf helm tertutup berlaku pelabelan product cordial sisi, sedangkan pada gabungan salinan di antara keduanya berlaku pelabelan

product cordial. Graf yang memenuhi pelabelan product cordial disebut sebagai

graf product cordial, sedangkan graf yang memenuhi pelabelan product cordial sisi disebut sebagai graf product cordial sisi.

Kata Kunci: Pelabelan product cordial, pelabelan product cordial sisi, graf helm

1

BAB I

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Teori graf merupakan bagian dari ilmu matematika yang umurnya tergolong muda jika dibandingkan dengan ilmu yang lainnya. Teori graf mulai ditemukan pada tahun 1736 oleh Leonhard Euler (1707-1783). Masalah yang harus dipecahkan pada saat itu adalah terkait dengan jembatan

Konisberg. Jembatan tersebut terdiri atas tujuh jembatan yang terletak di atas

sungai Pregel. Jembatan tersebut hanya boleh dilewati tepat satu kali dalam menempuh empat kawasan yang terhubung satu sama lain di kota Konisberg. Jika empat kawasan tadi diasumsikan sebagai simpul dan tujuh jembatannya sebagai sisi maka terbentuklah awal mula konsep teori graf.

Salah satu hasil dari perkembangan teori graf yaitu munculnya konsep tentang pelabelan atau dikenal dengan istilah valuation yaitu suatu pemetaan yang membawa elemen-elemen graf pada bilangan-bilangan yang biasanya berupa bilangan bulat positif atau non-negatif. Pilihan domain yang paling lazim digunakan adalah semua himpunan simpul dan sisi yang disebut sebagai pelabelan total, himpunan simpul (pelabelan simpul), atau himpunan sisi (pelabelan sisi) (Wallis, 2001).

2

Pelabelan graf memainkan banyak peran vital dalam bidang ilmu pengetahuan. Beberapa contoh dari bidang tersebut adalah astronomi, teori pengkodean, x-ray crystallography, radar dan manajemen database (Ponraj dkk, 2014). Pelabelan graf juga bermanfaat untuk beberapa area dalam ilmu komputer dan jaringan komunikasi (Vaidya dan Shah, 2014). Banyak variasi pelabelan yang termuat dalam teori graf ini, salah satu di antaranya adalah pelabelan cordial.

Graf cordial adalah versi yang lebih lemah dari graf graceful dan graf

harmonious. Pelabelan cordial muncul berawal dari suatu kegagalan dalam

membuktikan dugaan bahwa pelabelan graceful dan harmonius berlaku untuk semua tree. Pelabelan cordial dapat diinvestigasi untuk beberapa graf famili, seperti graf siklus, graf komplit, graf roda, dan sebagainya (Cahit, 1987).

Graf roda yang termasuk dalam graf famili merupakan dasar dalam pembentukan graf helm dengan menghubungkan simpul-simpul pendant dengan simpul-simpul pada graf roda sehingga dihasilkan graf helm. Berdasarkan kajian yang dilakukan oleh peneliti lain, dikatakan bahwa graf helm dijadikan sebagai konstruksi graf helm tertutup dengan penambahan sisi baru yang menghubungkan setiap simpul pendant pada graf helm oleh suatu sisi yang disebut sebagai sisi eksternal. Lebih spesifik lagi terkait dengan graf helm dan graf helm tertutup, keduanya memenuhi pelabelan product cordial sisi. Pelabelan tersebut didefinisikan sebagai suatu pemetaan dari elemen-elemen graf G yang himpunan sisinya ditentukan terlebih dahulu sebagai

3

domain yang harus dikaitkan dengan bilangan biner. Pelabelan tersebut juga memiliki fungsi yang diinduksi berupa *: ( )f V G {0,1} dengan ketentuan

1 2

*( ) ( ). ( )... ( ),_n

f v  f e f e f e kemudian kondisi hasil akhir akan memenuhi

(0) (1) 1

f f

v v  dan e_f(0)e_f(1) 1, dengan v_f(0) dan v_f(1) secara berturut-turut merupakan jumlah simpul dari graf G di bawah fungsi f * yang diberi label 0 dan 1, sedangkan e_f(0) dan e_f(1) secara berturut-turut merupakan jumlah sisi dari graf G di bawah fungsi f yang diberi label 0 dan 1.

Graf hasil salinan gabungan di antara graf helm dan graf helm tertutup memenuhi pelabelan product cordial. Pelabelan tersebut didefinisikan sebagai suatu pemetaan dari elemen graf G dengan domain fungsi yang pertama kali diketahui berupa himpunan simpul. Pelabelan tersebut juga memiliki fungsi yang diinduksi yaitu berupa himpunan sisi yang dikaitkan dengan bilangan biner dan memiliki ketentuan g e( )g v g v( ). ( )_{1 2} . Ketentuan yang lainnya analog dengan definisi pelabelan product cordial sisi.

Penelitian mengenai pelabelan product cordial sisi pada graf helm dan graf helm tertutup sudah dibuktikan oleh S. K. Vaidya dan C.M. Barasara (2012). Pelabelan pada graf helm dan graf helm tertutup tersebut dikembangkan lagi dengan penerapannya menggunakan graf hasil penggabungan salinan di antara keduanya dan hasil yang diperoleh memenuhi pelabelan product cordial sebagaimana pembuktian yang telah dilakukan oleh G.V. Ghodasara dan S.M. Vaghasiya (2014).

4

Pelabelan product cordial memuat suatu aturan kombinatorik, yaitu aturan dasar menambah dan mengalikan atau menambah saja. Khususnya mengenai kombinatorik dengan aturan dasar mengalikan, di dalamnya dapat dihasilkan jumlah setiap bagian simpul yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan baik itu untuk bagian yang berlabel 0 maupun 1 sesuai dengan aturan atau pola dalam bentuk fungsi yang sudah ditentukan. Berdasarkan aturan ini, kita akan semakin mudah dalam membuat suatu ilustrasi dari setiap pelabelan yang dibentuk dan memberikan kemudahan juga dalam setiap pembuktian. Pelabelan product cordial sisi hanya mengandung aturan dasar menambah yaitu suatu aturan yang dapat memberikan hasil akumulasi penjumlahan dari masing-masing label baik itu 0 maupun 1 pada bagian sisinya sehingga memenuhi product cordial sisi sesuai dengan pola yang sudah ditentukan sebelumnya.

Aturan product yang ada dalam pelabelan product cordial sisi dan

product cordial merupakan hal yang menarik untuk diteliti dan dikaji karena

secara berturut-turut sesuai definisinya aturan tersebut diterapkan pada pelabelan simpul dan sisi. Aturan product pada pelabelan simpul akan menghasilkan label sisi dengan mengoperasikan setiap simpul yang adjacent pada sisi tersebut, sedangkan aturan product pada sisi akan menghasilkan pelabelan simpul dengan mengoperasikan setiap sisi yang incident dengan simpul-simpul tersebut. Jika kita menggunakan aturan product pada simpul maka label sisi-sisinya yang dihasilkan merupakan akibat dari adanya

5

pelabelan simpul. Jika kita menggunakan aturan product pada sisi maka pelabelan simpul yang diperoleh merupakan akibat dari adanya pelabelan sisi.

Pelabelan product cordial sisi yang ada dalam tugas akhir ini diterapkan dalam graf helm, dan graf helm tertutup. Terdapat hal unik di dalamnya yaitu untuk setiap kondisi dari graf ini selalu memenuhi pelabelan product cordial sisi baik itu simpul yang berjumlah genap maupun ganjil. Berbeda dengan

product cordial sisi, product cordial diterapkan pada gabungan lintasan

dengan salinan di antara graf helm dan graf helm tertutup dan gabungan dua salinannya oleh lintasan yang panjangnya berbeda. Sesuatu yang menarik terkait dengan penerapan product cordial yakni untuk simpul yang berjumlah ganjil maupun genap dengan pola yang sudah ditentukan ternyata memenuhi pelabelan product cordial.

Berdasarkan penjelasan di atas, maka penulis tertarik untuk mengkaji dan membahas secara mendalam mengenai pelabelan product cordial sisi pada graf, helm graf, helm tertutup dan product cordial pada graf hasil gabungan salinan di antara keduanya. Kedua pelabelan tersebut memiliki suatu pola kasus ganjil dan genap yang diberikan dalam pembuktian pada setiap teorema yang diberikan. Pola yang sudah ada tersebut dapat digunakan sebagai langkah dalam menghasilkan suatu persamaan. Pembentukan persamaan dapat diperoleh melalui aturan dasar kombinatorik dengan aturan dasar mengalikan dan menambah atau aturan dasar menambah saja. Jika banyak simpul dan salinan sudah diketahui maka kemudian diperoleh jumlah simpulnya, setelah itu dapat dicari label sisinya dengan menggunakan aturan

6

product. Jika jumlah simpul dan sisi sudah diketahui dan memenuhi kondisi

(0) (1) 1

g g

v v  dan e_g(0)e_g(1) 1maka akan berlaku pelabelan product

cordial.

Pola pelabelan product cordial sisi juga bersifat tertentu sebagaimana diberikan dalam pembuktian teorema pelabelan. Pola yang sudah ada tersebut kemudian dapat dibuat persamaan secara langsung tanpa menggunakan kombinatorik dengan aturan dasar mengalikan. Jika langkah itu selesai dilakukan maka jumlah sisi dan simpul yang berlabel 0 atau 1 secara mudah dapat diketahui tanpa harus menghitung satu per satu. Pola yang sudah dibentuk persamaan tersebut akan berlaku pelabelan product cordial sisi jika memenuhi v_f(0)v_f(1) 1dan ef(0)ef(1) 1 yang secara berturut-turut

(0)

f

v dan v_f(1) merupakan jumlah simpul yang berlabel 0 dan 1, sedangkan

(0)

f

e dan e_f(1)secara berturut-turut merupakan jumlah sisi yang berlabel 0 dan 1.

1.2 Batasan Masalah

Masalah yang akan dibahas dalam penulisan tugas akhir ini adalah tentang pelabelan graf yang dikhususkan untuk graf yang sederhana, berhingga, terkoneksi dan tidak berarah dengan order p (simpul) dan ukuran q (sisi) yang penerapannya diaplikasikan pada graf helm, helm tertutup dan gabungan salinan di antara kedua graf tersebut.

7

1.3 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah dipaparkan sebelumnya maka dapat dirumuskan permasalahan yang akan dikaji dalam tugas akhir ini yaitu sebagai berikut:

1. Bagaimanakah pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf helm tertutup dan product cordial gabungan salinan di antara keduanya?

2. Bagaimanakah cara untuk melakukan pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf helm tertutup dan product cordial gabungan salinan di antara keduanya?

1.4 Tujuan Penelitian

Secara garis besar tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf helm tertutup dan product cordial gabungan salinan di antara keduanya. 2. Untuk mengetahui cara melakukan pelabelan product cordial sisi pada

graf helm, graf tertutup, dan product cordial gabungan salinan di antara keduanya.

8

1.5 Manfaat Penelitian

Berdasarkan penelitian yang dilakukan ini, penulis mengharapkan dapat memberikan manfaat sebagaimana yang disampaikan berikut ini:

1. Memberikan pengetahuan dan wawasan bagi pembaca tentang pelabelan

product cordial sisi pada graf helm, graf helm tertutup dan product cordial

gabungan salinan di antara keduanya.

2. Memberikan pengetahuan kepada pembaca bahwa dalam pelabelan

product cordial dan product cordial sisi akan dibahas terkait dengan

aturan product, kombinatorik, sisi yang saling incident, simpul-simpul yang saling adjacent, dan kondisi saat n ganjil dan genap dengan n sebagai banyak simpul yang membentuk graf siklus berlaku masing-masing pelabelan.

3. Sebagai dasar atau acuan bagi pihak tertentu yang berminat untuk mengembangkan teori graf khususnya tentang pelabelan product cordial sisi dan product cordial ke arah yang lebih luas lagi.

1.6 Tinjauan Pustaka

Sumber utama pustaka yang digunakan dalam tugas akhir ini berupa jurnal. Sebagai penunjang untuk memperjelas istilah-istilah dasar dari pembahasan tentang graf ini penulis menggunakan referensi dari beberapa buku.

Jurnal yang berjudul Product Cordial Labeling of Graphs Related to

Helm, Closed Helm and Gear Graph (G.V. Ghodasara dan S.M. Vaghasiya,

9

graf helm dan graf helm tertutup memenuhi pelabelan product cordial. Gabungan itu berupa gabungan lintasan dengan salinan di antara keduanya dan gabungan dua salinan oleh lintasan yang panjangnya berbeda-beda. Terdapat pola pelabelan tertentu di dalamnya, kemudian dari pola tersebut dapat diketahui jumlah masing-masing label baik itu bagian yang berlabel 0 maupun 1. Label tersebut diterapkan pada setiap bagian simpul dan sisi graf hasil gabungan helm H dan graf helm tertutup_n CH . Gabungan di antara _n

kedua graf tersebut berupa k salinan dan dua salinan denganlintasan yang berubah-ubah. Kondisi pelabelan untuk n dan kbernilai ganjil maupun genap dalam kasus ini berlaku pelabelan product cordial.

Jurnal yang berjudul Edge Product Cordial Labeling of Graphs (S.K. Vaidya dan C.M. Barasara, 2012) berisi penjelasan mengenai pelabelan

product cordial sisi pada beberapa graf standar seperti graf C_n, graf W , graf _n

pohon, graf C_n K₁, graf AC , graf helm _n H , graf helm tertutup _n CH , graf _n web Wbn, graf bunga Fln, graf gear G dan graf shell n S . Berdasarkan jurnal n

ini, penulis hanya mengkaji lebih dalam lagi mengenai pelabelan product

cordial sisi pada graf helm dan graf helm tertutup karena keduanya memiliki

kesamaan yakni setiap n ganjil maupun genap pada H dan _n CH tetap _n

memenuhi pelabelan product cordial. Berdasarkan pola yang sudah ada baik itu untuk graf yang memiliki jumlah n ganjil maupun genap, jumlah dari label 0 dan 1 dapat diketahui secara mudah dan akhirnya memenuhi pelabelan

product cordial. Berikut ini disajikan tabel mengenai perbedaan dan

10

Tabel 1.1 Persamaan dan Perbedaan Penelitian

Penulis Persamaan Perbedaan

G.V. Ghodasara

dan S.M.

Vaghasiya

(2014)

Penerapannya dalam Graf helm

dan Graf Helm Tertutup

Penerapannya pada Graf Hasil Gabungan Salinan di antara Graf Helm, Helm Tertutup and Graf Gear

S.K. Vaidya dan C.M. Barasara, (2012)

Penerapannya pada graf C_n, graf W , _n

graf pohon, graf C_n K₁, graf AC , _n

graf helm H , graf helm tertutup _n CH , _n

graf web Wb_n , graf bunga Fl_n , graf

gear G dan graf shell n S n

Penjelasan yang dipaparkan penulis berbeda dengan hasil penelitian dalam jurnal yang dicantumkan pada tabel 1.1. Perbedaan yang sangat tampak terletak pada contoh-contoh pada setiap kasus pelabelan product

cordial sisi dan product cordial.

Referensi yang bersumber pada buku lebih banyak digunakan untuk menjelaskan istilah dasar dalam tulisan ini. Istilah tersebut berupa definisi-definisi yang secara tepat tercantum dalam landasan teori. Misalnya, definisi-definisi mengenai graf, lintasan, graf reguler, graf siklus, graf lengkap dan sebagainya.

11

1.7 Sistematika Penulisan

Penyusunan sistematika yang jelas dalam suatu penulisan adalah hal yang sangat penting sekali untuk diperhatikan karena dapat memberikan kemudahan dalam memahami secara keseluruhan isi dari penulisan. Oleh karena itu, penulis akan menjelaskan gambaran secara umum mengenai sistematika penulisannya yaitu sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisi penjelasan mengenai latar belakang, batasan masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan, dan metode penulisan.

BAB II DASAR TEORI

Bab ini memuat istilah-istilah dasar yang digunakan dalam pembahasan seperti himpunan, fungsi, kombinatorik, nilai mutlak, faktor persekutuan terkecil, pelabelan, dan lainnya yang ada kaitan dengan teori graf.

BAB III DAN BAB IV PEMBAHASAN

Bab ini berisi penjelasan terkait dengan pelabelan product cordial sisi pada graf helm dan helm tertutup serta product cordial gabungan salinan di antara keduanya. Pola pada tiap-tiap kasus yang terdapat dalam pelabelan

product cordial sisi dan product cordial ini bersifat tertentu dan dapat

dijadikan langkah awal dalam membuktikan kedua pelabelan tersebut. Terkait dengan cara melakukan pelabelan akan dijelaskan lebih lanjut

12

dengan menggunakan pembuktian teorema yang disertai dengan contoh ilustrasinya agar dapat dengan mudah dipahami.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Bagian ini memuat kesimpulan tentang pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf helm tertutup dan product cordial graf gabungan salinan di antara kedua graf tersebut. Kesimpulan ini merupakan inti atau hasil akhir dari keseluruhan penelitian atau kajian yang sudah dilakukan oleh penulis. Bagian ini juga memuat saran yang tentunya bersifat membangun yang diberikan secara umum bagi pembaca yang ingin menambah pengetahuan dan wawasan dan ingin meneruskan dan mengembangkan penelitiannya tentang pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf helm tertutup dan graf

product cordial gabungan salinan di antara keduanya.

1.8 Metode Penelitian

Metode yang digunakan oleh penulis adalah metode literatur atau kepustakaan dengan memahami dan mengkaji beberapa sumber baik itu dari jurnal maupun buku sumber yang mendukung dan menunjang penulisan tugas akhir ini. Penulis lebih banyak menggunakan jurnal dari sebagian peneliti yang membahas pelabelan product cordial sisi dan product cordial yang menurut penulis perlu dikaji dan dipahami lebih dalam lagi agar diketahui secara jelas dan runtut dalam penjabarannya berdasarkan beberapa pola yang sudah ada pada masing-masing graf.

13

Hal pertama yang dilakukan dalam pelabelan product cordial yaitu memahami teorema yang sudah ada. Terdapat pola tertentu dalam setiap pembuktiannya yang bertujuan untuk mengetahui bagian-bagian yang harus diberi label 0 dan 1. Pelabelan ini diterapkan dalam graf hasil salinan dari masing-masing graf helm dan graf helm tertutup. Jika hasilnya berupa gabungan lintasan dengan k salinan pada graf helm atau graf helm tertutup maka berdasarkan pola yang sudah ditentukan dapat dibentuk suatu persamaan dengan menggunakan aturan kombinatorik dengan aturan dasar mengalikan. Persamaan itu kemudian digunakan untuk mengetahui seberapa banyak label 0 dan 1 pada setiap bagiannya. Jika setiap bagian tersebut sudah diketahui maka dengan mudah total bagian yang diberi label 1 dan 0 dapat diketahui juga dengan menggunakan kombinatorik aturan dasar menambah, sedangkan jika hasil salinannya berupa dua salinan graf helm atau graf helm tertutup dengan lintasan yang berubah-ubah (k pada lintasan P dengan _k

panjangnya k1) maka digunakan aturan kombinatorik dengan aturan dasar menambah saja.

Jika langkah pelabelan simpul pada pelabelan product cordial ini sudah selesai maka dilanjutkan dengan mencari label sisi dengan mengoperasikan simpul-simpul yang adjacent dengan menggunakan aturan product sehingga diperoleh total sisi yang diberi label 0 dan 1. Jika jumlah label 0 dan 1 pada simpul dan sisi sudah diketahui maka dapat dikatakan memenuhi pelabelan

product cordial jika memenuhi v_g(0)v_g(1) 1 dan e_g(0)e_g(1) 1, dengan notasi v_g(0), v_g(1) secara berturut-turut merupakan jumlah simpul

14

yang berlabel 0 dan 1, sedangkan e_g(0), e_g(1) secara berturut-turut merupakan jumlah sisi yang berlabel 0 dan 1. Suatu graf yang memenuhi pelabelan product cordial disebut sebagai graf product cordial.

Jika pelabelan product cordial sisi yang akan diberikan dalam kasus ini diterapkan pada graf helm dan helm tertutup maka dengan pola yang sudah ada dapat langsung diketahui persamaan untuk mengetahui bagian yang harus diberi label 0 dan 1. Total label dari sisinya dapat dihasilkan dengan menggunakan kombinasi dengan aturan dasar menambah. Jika sudah diketahui pelabelan sisinya maka dapat dicari juga pelabelan pada simpulnya dengan memperhatikan sisi yang incident pada tiap-tiap simpulnya dan selanjutnya dioperasikan dengan menggunakan aturan product. Total label 0 dan 1 pada sisi dan simpulnya sudah dihasilkan sehingga dapat dikatakan

bahwa pelabelan product cordial sisi terpenuhi jika

berlaku v_f(0)v_f(1) 1dan e_f(0)e_f(1) 1, dengan v_f(0), v_f(1) secara berturut-turut merupakan jumlah simpul yang berlabel 0 dan 1, sedangkan

(0),

f

e e_f(1) secara berturut-turut merupakan jumlah sisi yang berlabel 0 dan

1. Suatu graf yang memenuhi pelabelan product cordial sisi disebut sebagai graf product cordial sisi. Secara mudah penelitian ini dapat dipahami dengan memperhatikan skema metode penelitian berikut ini.

15

Pelabelan product cordial sisi

(Vaidya dan Barasara, 2012)

Pelabelan product cordial (Vaghasiya dan Ghodasara,

2014)

Graf helm Salinan graf

helm tertutup  Graf helm tertutu p Graf helm tertutup

Salinan graf helm

 Graf hasil gabungan lintasan k salinan  Graf hasil gabungan 2

salinan dengan

lintasan berubah-ubah

Gambar 1.1 Skema Penelitian

GRAF

Incident Adjacent

Graf product cordial sisi

116

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan uraian mengenai beberapa hal terkait dengan graf

product cordial sisi dan product cordial yang dibahas dalam penelitian,

penulis dapat memberikan kesimpulan sebagai berikut:

1. Kondisi pelabelan yang harus terpenuhi terlebih dahulu dalam graf product

cordial sisi adalah pelabelan sisi, sedangkan syarat dalam graf product

cordial yang harus terpenuhi terlebih dahulu adalah kondisi pelabelan

simpul.

2. Pelabelan product cordial sisi memperhatikan sisi yang saling incident dalam menentukan fungsi yang diinduksi, sedangkan graf product cordial menggunakan simpul yang saling adjacent.

3. Perhitungan jumlah sisi ataupun simpul pada setiap bagian pola pelabelan

product cordial sisi dan graf product cordial dapat digunakan suatu aturan

kombinatorik sehingga dapat dengan mudah diketahui jumlah sisi dan simpul yang berlabel 0 dan 1.

4. Aturan pelabelan product cordial dan product cordial sisi yang terdapat

dalam kajian ini tidak dapat dilakukan dengan sembarang pola melainkan harus dengan pola tertentu. Sebagai salah satu contohnya, diberikan graf helm H dengan n ganjil dan pola label 0 dan 1 yang digunakan pada _n

117

sisinya secara berturut-turut yaitu 3 1

2 n dan 3 1 2 n sehingga dihasilkan

jumlah label 0 dan 1 pada simpulnya secara berturut-turut yaitu n+1 dan n.

5. Graf helm dan graf helm tertutup memenuhi pelabelan product cordial,

sedangkan graf hasil gabungan di antara keduanya memenuhi pelabelan

product cordial sisi untuk n ganjil dan genap.

5.2 Saran

Bagi pembaca yang ingin melakukan penelitian atau mengembangkan lebih lanjut terkait dengan pelabelan product cordial dan product cordial sisi pada suatu graf dapat menggunakan jenis graf lainnya. Misalnya, graf bunga yang mempunyai variasi berbeda dengan graf helm dan graf helm tertutup.

118

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir dkk. 2009. Teori Graf Topik Dasar Untuk Tugas Akhir/Skripsi. Malang: UIN Malang Press.

Aldous, Joan dan Robin Wilson. 2004. Graphs and Applications An Introductory

Approach. UK: The Open University.

Bartle, Robert G dan Donald R. Sherbert. 2011. Introduction To Real Analysis, edisi ke-4. USA: John Wiley & Sons, Inc.

Cahit, I. Cordial Graphs: A Weaker Version of Graceful and Harmonius Graphs, ARS Combinatoria 23 (1987), pp. 201-208.

Gallian, J. A. 2007. A Dynamic Survey of Graph Labeling. Electronic Journal Combinatorics.

Grossman, Peter. 2002. Descrete Mathematics for Computing. New York: Palgrave Macmillan.

Iswadi, Hazrul dkk. 2012. Kalkulus. Malang: Bayumedia Publishing.

J. Purcell, Edwin dkk. 2003. Kalkulus Jilid 1 Edisi Kedelapan. Prentice Hall, Inc. Lipschutz, Seymour dan Marc Lipson. 2007. Matematika Diskret. The

McGraw-Hill Companies.

Ponraj, R dkk. 2014. Difference Cordial Labeling of Subdivision of Snake Graphs,

Universal Journal of Applied Mathematics, 2(1): 40-45.

Rosen, Kenneth H. 2007. Discrete Mathematics and Its Application, edisi ke- 6, Mc-Graw-Hill.

Setya Budhi, Wono. 2005. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: CV Ricardo.

Vaghasiya, S.M. dan G.V. Ghodasara. Product Cordial Labeling of Graph

Related to Helm, Closed Helm and Gear Graph, Internasional Journal of

Pure and Applied Mathematics, Vol. 91 (2014), No. 4, 495-504.

Vaidya, S.K. dan M. Barasara. Edge Product Cordial Labeling of Graphs, J.Math. Computh, Sci. 2 (2012), No.5, 1436-1450.

119

119

Vaidya, S.K. dan M. Barasara. Further Results on Product Cordial Labeling, International J. Math. Combin. Vol. 3 (2012), 64 -71.

Vaidya, S.K. dan N.H. Shah. 2014. Some New Results on Prime Cordial Labeling, 9 halaman, Article ID 607018, 9. Hindawi Publishing Corporation. Vasudev, C. 2007. Combinatorics and Graph Teory. New Delhi: New Age

International (P) Ltd., Publishers.

West, Douglas B. 2001. Introduction to Graph Theory. Singapore: Pearson Education, Inc.