Contoh Soal Konsisten Deformasi

(1)

Contoh 1 Contoh 1

Gambar 4.6 Penyelesaian dengan

Gambar 4.6 Penyelesaian dengan consistent deformationconsistent deformation Suatu balok statis tak

Suatu balok statis tak tentu dengan ukuran dan pembebanan seperti pada gambar.tentu dengan ukuran dan pembebanan seperti pada gambar. A jepit dan B rol. Hitung gaya-gaya dalam dan reaksi perletakannya dengan metoda A jepit dan B rol. Hitung gaya-gaya dalam dan reaksi perletakannya dengan metoda Consistent Deformation

Consistent Deformation. Gambar bidang M, N dan D nya.. Gambar bidang M, N dan D nya. Penyelesaian :

Penyelesaian :

••

R = 4 > 3R = 4 > 3  kelebihan 1 reaksi. Struktur statis tidak tertentu kelebihan 1 reaksi. Struktur statis tidak tertentu tingkat 1.tingkat 1.

••

VVBB – sebagai gaya kelebihan – sebagai gaya kelebihan

∆

BVBV – defleksi yang dicari. – defleksi yang dicari.

••

Akibat beban yang ada :Akibat beban yang ada :

V VAA = 1 x 8 + 1 = 9 t ( = 1 x 8 + 1 = 9 t (

↑

↑))

M MAA = ½ (1) 8² + 1 x 8 = 40 tm. = ½ (1) 8² + 1 x 8 = 40 tm. M MAA V VAA EI EI EI EI 2 m 2 m 6 m 6 m _V_VB_B B B C C P = 1t P = 1t q = 1 t/m’ q = 1 t/m’ A A H HAA EI EI A A BB CC 2 m 2 m 6 m 6 m

a). Struktur statis tak tentu a). Struktur statis tak tentu

b). Struktur statis tertentu b). Struktur statis tertentu

A A M MAA = 40 tm = 40 tm EI EI EI BB EI P = 1t P = 1t C C 2 m 2 m 6 m 6 m V VAA = 9t = 9t q = 1 t/m’ q = 1 t/m’ x x22 xx11 c).

(2)

V VAA = 1t ( = 1t (↑

↑))

M MAA = - 1 x 6 = -6 = - 1 x 6 = -6 Persamaan momen : (m Persamaan momen : (mxx).). CB CB 0 < x 0 < x11 < 2 < 2 mmx1x1 = 0 = 0 BA BA 0 < 0 < xx22 < 6 < 6 mmx2x2 = -x = -x22

••

Akibat beban yang ada :Akibat beban yang ada :

2 2 x x 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 0 0 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 ss 0 0 BV BV _EI_EI dd )) x x (( )) 4 4 x x 3 3 x x (1/2 (1/2 --dx dx EI EI )) 0 0 (( )) x x x x 2 2 / / 1 1 (( --dx dx EI EI mx mx Mx Mx ++ ++ + + + + = = = =

∆

= + = +

[ [

++ ++

]]

== ++

( ( ))

EI EI 450 450 x x 2 2 x x x x 8 8 / / 1 1 EI EI 1 1 66 0 0 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 2 2

••

Akibat beban VAkibat beban VBB = 1t ( = 1t (↓

↓))

δδBV

BV = = )) EI EI 72 72 ]] x x 3 3 / / 1 1 [[ EI EI 1 1 dx dx EI EI )² )² -x -x (( dx dx EI EI m m ₆₆ 0 0 3 3 2 2 2 2 2 2 6 6 0 0 2 2 x x ss 0 0 + + = = = = = =

••

Struktur aslinya B adalah rolStruktur aslinya B adalah rol 

Σ

∆

BVBV = 0 = 0 Persamaan

Persamaan “Consistent Deformation”“Consistent Deformation”

∆

∆BV

BV + +

δδBV

BV V VBB = 0 = 0 0 0 V V EI EI 72 72 EI EI 450 450 B B == + +  VVBB = -6,25 t () = -6,25 t () Persamaan momen : (Mx) Persamaan momen : (Mx) CB CB 0 < x 0 < x11 < 2 < 2 M Mx1x1 = = - - ½ ½ xx11² - x² - x11 = = - (½ - (½ xx2211+ x+ x11)) BA BA 0 < 0 < xx22< 6< 6 M Mx2x2 = - ½ (x= - ½ (x22+ 2)² – 1(x+ 2)² – 1(x22 + 2) + 2) = - (½ x = - (½ x2222 + 3x + 3x22+ 4)+ 4) A A EIEI BB CC 2 m 2 m 6 m 6 m EI EI 1 1 x x22 xx11 M MAA= 6= 6 1 1 V VAA = 1 = 1

••

Akibat beban unit di B (Akibat beban unit di B (↓

↓))

••

( Akibat beban V( Akibat beban VBB = 1t ( = 1t (↓

↓)

) ))

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ↓ ↓ ↓↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ (( ∫ ∫ ∫ ∫

(3)

Gambar 4.7 Bidang momen, gaya lintang, dan gaya normal Gambar 4.7 Bidang momen, gaya lintang, dan gaya normal - Bidang Gaya Lintang (D)

- Bidang Gaya Lintang (D) AB AB 0 < x0 < x11 < 6 < 6 DDx1x1 = 2,75 – x = 2,75 – x11 Dx = 0 Dx = 0 2,75 – x 2,75 – x11 = 0 = 0 x x11 = 2,75 = 2,75 D DAA = 2,75 t = 2,75 t D DBkrBkr = 2,75 – 6 = - 3,25 t = 2,75 – 6 = - 3,25 t CB CB 0 < x0 < x22 < 2 < 2 DxDx22 = x = x22+ 1+ 1 D DCC = = +1+1 D DBknBkn = +3 = +3 M MAA = 2,50 tm = 2,50 tm q = 1 t /m q = 1 t /m B B CC 1t 1t A A 6 6 m m 2 2 mm V VAA = 2,75 t = 2,75 t VV_B_B = 6,25 t = 6,25 t

(e) reaksi perletakan balok (e) reaksi perletakan balok

3,25 t 3,25 t 2,5 t 2,5 t 3 t3 t 1t 1t C C B B + + + + A A 2,75 m 2,75 m

--(f) Bidang gaya lintang (D) (f) Bidang gaya lintang (D)

3,25 t 3,25 t 2,5 t 2,5 t 3 t3 t 1t 1t C C B B + + + + A A 2,75 m 2,75 m --(-) (-) (-) (-) (+) (+) 1,28125 tm 1,28125 tm A A B B CC 4 tm 4 tm 2,5 tm 2,5 tm 2,75 m 2,75 m (g). Bidang Momen (g). Bidang Momen

Σ

ΣV = 0

V = 0  VVAA + V + VBB = 8 + 1 = 8 + 1 V VAA = + 2,75 t ( = + 2,75 t (↑

↑))

Σ

ΣH = 0

H = 0  HHAA = 0 = 0

Σ

ΣM

MAA = 0 = 0  MMAA + V + VBB x 6 – 8 x 4 – 1 x 8 x 6 – 8 x 4 – 1 x 8 = 0 = 0 M MAA = + 2,5 tm = + 2,5 tm

-- Bidang Gaya Normal (N)Bidang Gaya Normal (N)  N = 0 N = 0 -- Bidang Momen (M)Bidang Momen (M)

AB AB 0 0 < < xx11 < 6 < 6 Mx Mx11 = 2,75 x = 2,75 x11 – 2,50 – ½ x – 2,50 – ½ x1122 m m 75 75 ,, 2 2 x x 75 75 ,, 2 2 0 0 dx dx dm dm 1 1 1 1 1 1 x x = = x x --= = = = ₁₁ M Mmaxmax = = 2,75 x 2,75 x 2,75 – 2,75 – 2,50 – 2,50 – ½ ½ (2,75)²(2,75)² = + 1,28125 tm = + 1,28125 tm CB CB 0 0 < < xx22 < 2 < 2 Mx Mx22 = = - ½ - ½ xx2222 – x – x22 M MBB = - ½ (2) = - ½ (2)22 – 2 = - 4 tm – 2 = - 4 tm → → →→ →→ → →

(4)

Contoh 2 Contoh 2 q = 1 t/m’ q = 1 t/m’ Hc Hc Vc Vc EI EI B B _C_C A A A A M MAA V VAA 4 m4 m 4 m 4 m

a). Struktur statis tidak tertentu a). Struktur statis tidak tertentu

b). Struktur statis tertentu b). Struktur statis tertentu

Suatu struktur portal statis tidak tertentu Suatu struktur portal statis tidak tertentu dengan ukuran dan pembebanan seperti dengan ukuran dan pembebanan seperti pada Gambar. A jepit

pada Gambar. A jepit dan C sendi.dan C sendi.

••

Selesaikan portal tersebut denganSelesaikan portal tersebut dengan

metoda

metoda“Consistent Deformation”“Consistent Deformation”

••

Gambarkan bidang M, N dan D Gambarkan bidang M, N dan D nyanya

Penyelesaian : Penyelesaian :

••

R = 5 > 3 kelebihan 2 reaksi. StrukturR = 5 > 3 kelebihan 2 reaksi. Struktur statis tidak tertentu tingkat 2.

statis tidak tertentu tingkat 2.

••

MMAA dan H dan HCC sebagai gaya kelebihan sebagai gaya kelebihan

sehingga A menjadi sendi dan C sehingga A menjadi sendi dan C menjadi rol.

menjadi rol.

•• θθ

A danA dan

∆

CH deformasi yangCH deformasi yang dihitung. dihitung. q = 1 t/m’ q = 1 t/m’ Vc = 2t Vc = 2t B B _C_C A A V VAA = 2t = 2t x x22 x x11

(c). Akibat beban yang ada (c). Akibat beban yang ada

••

Akibat beban yang ada.Akibat beban yang ada.

Σ

H = 0H = 0 H HAA = 0 = 0 V VAA = V = VCC = ½ x = ½ x 1 x 4 = 1 x 4 = 2 t 2 t ((

↑

)) Persamaan momen (Mx) Persamaan momen (Mx) AB AB 0 < x 0 < x11 < 4 m < 4 m  MxMx11= 0= 0 CB CB 0 < x0 < x22 < 4 m < 4 m Mx Mx22 = 2 x = 2 x22 – ½ x – ½ x2222 EI EI B B C C A A MMAA 4 m 4 m 4 m 4 m EI EI

(5)

e). Akibat beban unit horizontal di C ( e). Akibat beban unit horizontal di C ())

(beban H

(beban HCC = 1t = 1t))

••

Deformasi akibat beban yang ada :Deformasi akibat beban yang ada :

EI EI 3 3 8 8 --]] x x 32 32 1 1 x x 6 6 1 1 --[[ EI EI 1 1 )d )d 4 4 x x --(( )) x x 2 2 1 1 --(( x x 2 2 EI EI 1 1 dx dx EI EI m m M M A A 4 4 0 0 4 4 2 2 3 3 2 2 x2 x2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 0 0 rr x x ss ss 0 0 = = + + = = = = = =

θθ

)) (( 3 3 32 32 8 8 1 1 3 3 2 2 1 1 d d x x x x 2 2 1 1 --2 2 1 1 44 0 0 4 4 3 3 x2 x2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 0 0 0 0

∫



==

++

→











−−

==













==

∆

EI EI x x x x EI EI x x EI EI dx dx EI EI m m M M _x_x _h_h ss CH CH ss Deformasi akibat M Deformasi akibat MAA = 1 tm = 1 tm

d). Akibat beban unit momen di A d). Akibat beban unit momen di A

(Beban M (Beban MAA = 1 tm = 1 tm Vc = ¼ Vc = ¼ EI EI B B CC A A V VAA = = ¼¼ x x22 1 1 x x11

••

Akibat beban unit momen di AAkibat beban unit momen di A (beban M (beban MAA= = 1 1 tm tm ))

Σ

H = 0H = 0 H HAA = 0 = 0

Σ

MMCC = 0 = 0 V VAA . 4 – 1 = 0 . 4 – 1 = 0  V VAA = ¼ = ¼ ((

↑

))

Σ

V V = = 00  V VAA + V + VCC = 0= 0 V VCC = = - - ¼ ¼ ((

↓

)) Persamaan momen (m Persamaan momen (mrr)) AB AB , 0 < x, 0 < x11 < 4 m < 4 m m mr1r1 = -1 = -1 CB, 0 < x CB, 0 < x22 < 4 m < 4 m m mr2r2 = - ¼ x = - ¼ x22

••

Akibat beban Akibat beban unit horizontal unit horizontal di C di C (()) (akibat H (akibat HCC = 1t = 1t ))

Σ

H = 0H = 0 H HAA = 1t ( = 1t (

←

))

Σ

MMCC = 0 = 0 V VAA x 4 + 1 x 4 = 0 x 4 + 1 x 4 = 0  V VAA = = - 1t - 1t ((

↓

))

Σ

V V = = 00  V VAA + V + VCC = 0= 0  V VCC = = + 1t + 1t ((

↑

)) Persamaan momen (m Persamaan momen (mhh)) AB AB , 0 < x, 0 < x11 < 4 m < 4 m m mh1h1 = = + x+ x11 CB CB, 0 < x, 0 < x22 < 4 m < 4 m m mh2h2 = + x = + x22 1 1 Vc = 1 Vc = 1 B B C C A A V VAA = 1 = 1 x x22 x x11 H HAA = 1 = 1 ∫ ∫ ∫ ∫

(6)

( ( ))

EI EI 3 3 16 16 48 48 x x EI EI II x x EI EI II dx dx ²² 4 4 x x II II ²² m m ss 0 0 4 4 44 0 0 4 4 0 0 3 3 2 2 4 4 0 0 1 1 2 2 2 2 rr Am Am == == ++ ==++

ϕ

δδCHm

CHm = =

( ( ))

xx dxdx 4 4 x x II II m m m m ss 0 0 4 4 44 0 0 22 22 2 2 h h rr = = (( )) 3 3 40 40 12 12 2 2 1 1 44 0 0 3 3 2 2 4 4 0 0 1 1



==

−−

←











−−













−−

EI EI x x EI EI I I x x EI EI I I

••

Deformasi akibat HDeformasi akibat HCC = 1t ( = 1t (→

→))

ϕ

ϕAh

Ah = =

( ( ))

dxdx 4 4 x x x x II II m m m m ss 0 0 4 4 44 0 0 22 2 2 2 2 rr h h = = EI EI x x EI EI I I x x 3 3 40 40 12 12 2 2 1 1 44 0 0 3 3 2 2 4 4 0 0 1 1



==

−−











−−













−−

δδCHh

CHh = =

∫ ∫

==

∫ ∫

++

∫∫

( ( ))

ss x x h h _x_x _dx_dx EI EI I I d d x x EI EI I I dx dx EI EI m m 0 0 4 4 0 0 4 4 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1)²)² ²² (( ²² = = (( )) 3 3 128 128 3 3 3 3 4 4 0 0 3 3 2 2 4 4 0 0 3 3 1 1

₌₌

₊₊

_→













++













EI EI x x EI EI I I x x EI EI I I

••

Struktur aslinya A adalah jepit,Struktur aslinya A adalah jepit,

Σ

Σ θθA

A = 0 = 0

••

dan dan C C adalah adalah sendi sendi ,,

Σ

Σ ∆

∆CH

CH = 0 = 0

Persamaan

PersamaanConsistent DeformationConsistent Deformation

Σ

Σ θθA

A = 0 = 0

θθA

A + +

ϕ

ϕAm

Am . M . MAA + +

ϕ

ϕAh

Ah H HCC = 0 = 0

0 0 5 5 2 2 1 1 0 0 3 3 40 40 3 3 16 16 3 3 8 8

==

−−

++

−−

→

==

−−

++

−−

_A_A H H _C_C M M _A_A H H _C_C

EI EI M M EI EI EI EI (1)(1)

Σ∆

Σ∆CH

CH = 0 = 0

∆

∆CH

CH + +

δδCHm

CHm M MAA – –

δδCHh

CHh H HCC = 0 = 0 0 0 16 16 5 5 4 4 0 0 3 3 128 128 3 3 40 40 3 3 32 32

==

++

−−

++

→

==

++

−−

++

_A_A H H _C_C M M _A_A H H _C_C

EI EI M M EI EI EI EI (2) (2) 5 x (1) + 2 x (2) 5 x (1) + 2 x (2)  + 3 – 7 H + 3 – 7 HCC = 0 = 0 HHCC = = t t 7 7 3 3

−−

( (←

←))

(1) (1) -1 + 2 M -1 + 2 MAA – 5 – 5 7 7 3 3 ((−− ) = 0) = 0  MMAA = = tmtm 7 7 4 4

−−

∫∫ ∫∫ ∫ ∫ EI EI dx dx )² )² 1 1 (( EI EI dx dx EI EI == ₀₀ 11++ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ EI EI d d )) x x )( )( 1 1 (( EI EI dx dx EI EI == ₀₀ 11 xx11 ++ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ EI EI d d )) 1 1 )( )( x x (( EI EI dx dx EI EI == ₀₀ 11 xx11++

(7)

o o

Gambar 4.8 Penyelesaian dengan Gambar 4.8 Penyelesaian dengan

consistent deformation consistent deformation

Dengan

Dengan free body diagra free body diagramm kita dapat menggambarkan bidang M, D, N nya. kita dapat menggambarkan bidang M, D, N nya.

f). Reaksi perletakan struktur statis tidak terntetu f). Reaksi perletakan struktur statis tidak terntetu

g). Free Body diagram g). Free Body diagram

7 7 3 3 tt 7 7 12 12 tt A A 7 7 3 3 tt 7 7 4 4 tm tm tt 7 7 3 3 tt 7 7 16 16 q = 1 t/m’ q = 1 t/m’ tm tm 7 7 8 8 7 7 16 16 tt B B CC tm tm 7 7 8 8

Bidang Gaya Normal (N) : Bidang Gaya Normal (N) : Batang AB Batang AB  N NABAB = = tt 7 7 16 16 -- (tekan) (tekan) Batang BC Batang BC N NBCBC = = tt 7 7 3 3 -- (tekan) (tekan) Bidang Gaya Lintang (D) :

Bidang Gaya Lintang (D) : Batang Batang AB AB DDx1x1 = = tt 7 7 3 3 --x x11 = 0 = 0 DDAA = = tt 7 7 3 3 --x x22= = 4 4 m m DDBbwBbw = = tt 7 7 3 3 --Batang Batang CB CB DxDx22 = = ++xx₂₂ 7t 7t 12 12 --x x22= = 0 0 Dc Dc == 7 7 12 12 --x x22= = 4 4 m m DDBkmBkm = = tt 7 7 16 16 4 4 ==++ + + 7 7 12 12 --Untuk D Untuk Dxx = 0 = 0 ++xx₂₂ ==00 7 7 12 12 --x x22 = + = + mm 7 7 12 12 q = 1 t/m’ q = 1 t/m’ H HCC = = 7 7 3 3 tt V VCC = = 7 7 12 12 tt M MBB = = 7 7 8 8 tm tm C C B B A A M MAA = = 7 7 4 4 tm tm V VAA = = 7 7 16 16 tt H HAA = = 7 7 3 3 tt

Σ

H = 0H = 0  H HAA + H + HCC = 0 = 0 H HAA== 7 7 3 3 t ( t (

→

))

Σ

MMAA = 0 = 0 V VCCx 4 + Hx 4 + HCC x 4 – 4 x 2 - M x 4 – 4 x 2 - MAA=0=0 V VCC = = 7 7 3 3 --+ + xx44)) 7 7 4 4 8 8 (( 4 4 1 1 = = tt 7 7 12 12 ((

↑

))

Σ

V = 0V = 0  V VAA + V + VCC – – 4 4 = = 00 VA = VA = 7 7 16 16 t ( t (

↑

)) M MBB = V = VCC x 4 – 4 x 2 = x 4 – 4 x 2 = 7 7 12 12 x 4 – 4 x 2 = x 4 – 4 x 2 = -7 7 8 8 tm tm