2
2
Metode
Metode
Deformasi
Deformasi
Konsisten
Konsisten
KL3102, Kelas 01
KL3102, Kelas 01
Pengantar
Pengantar
Telah dipelajari sebelumnya bahwa keseimbanganTelah dipelajari sebelumnya bahwa keseimbangan
merupakan persyaratan yang harus dipenuhi oleh sistem merupakan persyaratan yang harus dipenuhi oleh sistem struktur
struktur yang yang menerima menerima beban beban reaksi reaksi dan dan gayagaya dalam mengimbangi beban yang bekerja.
dalam mengimbangi beban yang bekerja.
Jika reaksi dan gaya dalam struktur dapat ditentukanJika reaksi dan gaya dalam struktur dapat ditentukan , , maka struktur termasuk kategori
maka struktur termasuk kategoristatis tertentustatis tertentu((staticallystatically
determinate determinate).). 00 0 0 0 0 x x y y F F F F M M
0 0 00 0 0 00 0 0 00 x x xx y y yy F F M M F F M M F F M M
Persamaan keseimbangan: Persamaan keseimbangan:Ketaktentuan Statis
Ketaktentuan Statis
Jika terdapat lebih banyak reaksi dan/atau gaya dalamJika terdapat lebih banyak reaksi dan/atau gaya dalam
daripada jumlah persamaan keseimbangan, struktur daripada jumlah persamaan keseimbangan, struktur dikatakan sebagai
dikatakan sebagaistatis tak tentustatis tak tentu ((statically indeterminatestatically indeterminate).).
Hal ini bukan berarti reaksi dan gaya dalam tidak bisaHal ini bukan berarti reaksi dan gaya dalam tidak bisa
ditentukan. Hanya persamaan keseimbangan tidak cukup ditentukan. Hanya persamaan keseimbangan tidak cukup untuk menentukan besar reaksi dan gaya dalam tersebut. untuk menentukan besar reaksi dan gaya dalam tersebut.
w w A A BB R R Ay Ay R R Ax Ax R R B B M M A A
Gaya Kelebihan
Gaya Kelebihan
Struktur statis tak tentu dapat diubah menjadi struktur statisStruktur statis tak tentu dapat diubah menjadi struktur statis
tertentu dengan menghilangkan sejumlah
tertentu dengan menghilangkan sejumlah gayagaya ((reaksireaksiatauatau
gaya dalam
gaya dalam) yang nilainya belum diketahui.) yang nilainya belum diketahui.
Gaya-gaya yang perlu dihilangkan agar struktur menjadiGaya-gaya yang perlu dihilangkan agar struktur menjadi
statis tertentu ini disebut
statis tertentu ini disebut gaya kelebihangaya kelebihan((redundant forcesredundant forces).).
kestatistaktentuan
kestatistaktentuan struktur.struktur.
Prinsip Metode Deformasi Konsisten
Struktur statis tak tentu
dapat dianalisis sebagai
penjumlahan dari
struktur primer yang dikenai
beban luar
dan
struktur primer yang dikenai
gaya-gaya kelebihan
.
w M A w A B R Ax0 M A0 A B R Ay R Ax R B R Ay0 A B R Ay1 R Ax1 R B M A1 = + M A = M A0 + M A1 R Ay = R Ay0 + R Ay1. . .
Prinsip Metode Deformasi Konsisten
Agar deformasi struktur primer di tempat gaya
kelebihan bekerja konsisten dengan struktur statis
tak tentu semula, diperlukan
syarat kompatibilitas
.
w A B R Ax M A = M A0 w A B R Ax0 0 R Ay R B + R Ay0 A B R Ax1 R M A1 1 B= 0 B =0 +1 persamaan
Prinsip Metode Deformasi Konsisten
Setiap persamaan kompatibilitas mengandung gaya
kelebihan yang belum diketahui nilainya.
Jumlah persamaan kompatibilitas sama banyak
dengan jumlah gaya kelebihan.
kompatibilitas secara simultan akan menghasilkan
nilai semua gaya kelebihan.
Ilustrasi Perhitungan
2 0 0 4 0 ; 2 8 Ay A wL R wL M wL EI w A B R Ay0 0 M A0 A B R Ay1 R B A1 1 1 1 3 1 ; 3 Ay B A B B R R M R L R L EI Persamaan kompatibilitas: 3 4 0 1 0 0 8 3 B R L wL EI EI 3wL 8 B Reaksi lainnya: R R R wL 3wL 5wL
Metode Deformasi Konsisten
Penamaan Variabel
Agar lebih sistematis, gaya-gaya kelebihan diberi
nama
X
i, dan perpindahan struktur primer akibat
beban luar dalam masing-masing arah gaya
kelebihan diberi nama
i0.
Indeks
i
menun ukkan nomor a a kelebihan.
w A B R Ay0 R Ax0 10 A B R Ay1 R Ax1 X 1 M A1 1Metode Deformasi Konsisten
Koefisien Fleksibilitas
Untuk memisahkan unknown X i dalam perhitungan,
terlebih dahulu dihitung perpindahan akibat beban 1 satuan dalam masing-masing arah gaya kelebihan.
Perpindahan akibat gaya 1 satuan ini diberi nama ij, yaitu perpindahan dalam arah gaya kelebihan ke-i ( X i) akibat
gaya 1 satuan dalam arah gaya kelebihan ke- j ( X j). ij se u uga oe s en e s as. A B r r Ax1 1 m A1 11 1 11 1 1 1 1 A A X M m X R r X
Metode Deformasi Konsisten
Koefisien Fleksibilitas
Dengan metode beban satuan, nilai perpindahan struktur primeri0dan
koefisien fleksibilitas ijadalah:
di mana
M 0 = momen lentur pada struktur primer akibat beban luar. 0 0 0 0 ; L L i j i i ij m m m M dx dx EI EI
mi = momen entur pa a stru tur pr mer a at gaya 1 satuan
dalam arah gaya kelebihan X i.
Persamaan kompatibilitas sekarang dapat dituliskan dalam bentuk :
10 1 0 10 11 X 1 0
11 X 1 10
Metode Deformasi Konsisten
Koefisien Fleksibilitas
Untuk struktur rangka batang, nilai perpindahan struktur primeri0dan
koefisien fleksibilitas ijadalah:
di mana 0 0 1 1 ; N N ki k j k k ki k i ij k k k k k k s s L S s L E A E A
S k 0 = gaya batangk pada struktur primer akibat beban luar. ski = gaya batangk pada struktur primer akibat gaya 1 satuan
Contoh 1
Pilih reaksi momen di
A
sebagai gaya kelebihan dan
gunakan metode deformasi
konsisten untuk
menentukan reaksi dari
w A B R Ay R Ax R B M A
struktur balok seperti
tergambar.
w A B R Ay R Ax R B X 1 struktur primer Syarat kompatibilitas: putaran di tumpuan Aharus sama dengan
nol, karena tumpuan A berupa jepit.
10 11 X 1 0
di mana
10= putaran di ujung A pada struktur primer akibat beban luar, = 11 dalam arah X 1 w A B R Ay0=wL/2 R B0=wL/2 1 A B r Ay1= – 1/ L r = 1/ L 10 11 Reaksi dan deformasi M 0 m1 1 wL2/8 + + Diagram momen
Perpindahan struktur
primerakibat beban luar:
1 1 L m m L
2 0 1 10 0 3 1 2 6 8 24 L M m L wL dx EI EI wL EI
0 3 3 EI EI L EI Persamaan kompatibilitas: 10 11 X 1 0
3 wL L 1 2 1 24 3 8 EI EI wL X
2 CCW 8 A wL M Reaksi lainnya:
0 1 1 2 0 1 1 2 1 5 2 8 8 1 3 Ay Ay Ay B B B R R r X wL wL wL L R R r X wL wL wL 2 L 8 8 w A B wL2/8 3wL/8 5wL/8Contoh 2
Hitung reaksi dan
gambarkan diagram gaya
lintang dan momen dari
struktur seperti terlihat pada
gambar. Balok
AB
dan
20 kN/m
A B
6 m
kolom
BC
memiliki
modulus elastisitas
E
dan
inersia penampang
I
.
C 8 m
Struktur primer:
Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu derajat 1 (terdapat 1 gaya kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal diC ( RCx). 20 kN/m A B X Syarat kompatibilitas: C
Perpindahan horizontal diC harus sama dengan nol, karena tumpuanC semula adalah sendi:
10 11 X 1 0
10= perpindahan horizontal titikC pada struktur primer akibat beban luar,
11= perpindahan horizontal titikC pada struktur primer akibat gaya
Reaksi dan momen lentur pada struktur primer: 80 kN 20 kN/m 0.75 1 + 160 (b) ri1 – 80 kN (a) Ri0 0.75 1 6 6 (c) M 0 (d ) m1 – Perpindahan struktur
primerakibat beban
luar: 1 1 11 L m m dx
0 1 10 0 8 6 2 160 2560 6 L M m dx EI EI EI
Koefisien fleksibilitas:
0 8 6 6 6 6 6 168 3 EI 3EI EI (perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan)
Persamaan kompatibilitas: 10 11 X 1 0
2560 168 0 X
1 2560 15.24 kN 168 EI EI X Reaksi lainnya:
0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 15.24 15.24 kN 80 0.75 15.24 68.57 kN 80 0.75 15.24 91.43 kN Ax Ax Ax Ay Ay Ay Cy Cy Cy R R r X R R r X R R r X 20 kN/m 68.57(a)Reaksi (b)Gaya lintangV [kN]
– + + 15.24 kN 15.24 kN 68.57 kN 15.24 91.43 + (c)Momen M [kN-m] – – 91.43 kN 117.55 91.43
Contoh 3
Hitung reaksi dan
gaya-gaya batang dari struktur
rangka batang seperti
tergambar. Semua batang
terbuat dari bahan yang
2 13 4 5 6 7 9 m D C A B 90 kN
sama, dengan modulus
elastisitas E dan luas
penampang A.
6m 6m Struktur primer:
Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu luar derajat 1 (terdapat 1 reaksi kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya
kelebihan, misalnya reaksi diC . S 1
D C A B 90 kN X 1 R A S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 Syarat kompatibilitas:
Perpindahan vertikal diC harus sama dengan nol, karena tumpuanC semula adalah rol:
10 11 X 1 0
R Ex
R Ey
10= perpindahan vertikal titikC pada struktur primer akibat beban luar,
11= perpindahan vertikal titikC pada struktur primer akibat gaya
satu satuan dalam arah X 1
Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer:
90 kN 60 kN 0 –90 0 0 1.33 0 1 1.33 1.33 90 kN 60 kN –75 –45 1 1.33 –1.67 –1.67 0 Ri 0danSi0 ri1dan si1
Perhitungan deformasi: Batang Li [m] S i0 [kN] si1 S i0 si1 Li si1 si1 Li S i [kN] 1 7.5 –75 –1.67 937.5 20.83 –50.20 – – 3 7.5 75 0 0 0 75 4 6 0 1.33 0 10.67 –19.84 5 4.5 –90 0 0 0 –90 6 7.5 0 –1.67 0 20.83 24.80 7 6 0 1.33 0 10.67 –19.84 937.5 63 10 937.5 EA 11 63 EA Persamaan kompatibilitas: 10 11 X 1 0
1 1 937.5 63 0 14.88 kN X EA EA X Reaksi lainnya:
0 1 1 0 1 1 0 1 1 60 1.33 14.88 40.16 kN 60 1.33 14.88 40.16 kN 90 1 14.88 75.12 kN A A A Ex Ex Ex Ey Ey Ey R R r X R R r X R R r X Gaya-gaya batang: 90 kN 40.16 kN 14.88 kN –19.84 –19.84 0 1 1 i
i
siHasil perhitungan dituliskan di kolom paling kanan pada tabel perhitungan di
atas dan pada gambar di samping. 40.16 kN
–50.20
24.80 –90
75 –45
Contoh 4
Hitung reaksi dan
gaya-gaya batang dari struktur
rangka batang seperti
tergambar. Semua batang
terbuat dari bahan yang
2 3 4 5 6 4 m D 80 kN C 30 kN
sama, dengan modulus
elastisitas E dan luas
penampang A.
1 3 m A B Struktur primerSalah satu gaya batang dapat dipilih sebagai gaya
Reaksi
Reaksi dapat langsung dihitung menggunakan persamaan keseimbangan. Struktur ini merupakan struktur statis tak tentu dalam derajat 1 (terdapat kelebihan 1 batang). S 6 D 80 kN C 30 kN Syarat kompatibilitas
e e an, m sa nya gaya atang . atang seo a -o a
“diputus” di tengah dan dapat berpindah relatif terhadap satu sama lain akibat beban luar dan akibat beban 1 satuan dalam arah X 1.
Total perpindahan antara kedua uj ung batang 3 yang
“ ” S 1 X 1 S 2 S 4 S 5 A B X 1 .
= perpindahan relatif kedua ujung batang 3 yang “diputus” akibat beban luar,
10 11 X 1 0
Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer: D 80 kN C 30 kN 30 D C –0.6 30 kN 40 kN –50 30 –40 0 A B 40 kN 1 A B 1 –0.6 –0.8 1 –0.8 Ri 0danSi0 ri1dan si1 Perhitungan deformasi: Batang Li [m] S i0 [kN] si1 S i0 si1 Li si1 si1 Li S i [kN] 1 3 30 –0.6 –54 1.08 22.01 – – . . – . 3 5 0 1 0 5 13.31 4 5 –50 1 –250 5 –36.69 5 4 0 –0.8 0 2.56 –10.65 6 3 30 –0.6 –54 1.08 22.01 –230 17.28 10 230 EA 11 17.28 EA
Persamaan kompatibilitas: 10 11 X 1 0
1 1 230 17.28 0 13.31 kN tarik X EA EA X -0 1 1 i i i S S s X
. 6 5 . 6 5 D 80 kN C 30 kN 22.01 30 kN 40 kN 40 kN – 5 0 22.01 – 1 0 . 3 m A BDerajat Kestatistaktentuan > 1
Untuk struktur dengan derajat kestatistaktentuan > 1,
diterapkan pola penyelesaian yang sama:
Ubah menjadi struktur primer statis tertentu dengan
sejumlah gaya kelebihan.
Tetapkan syarat kompatibilitas.
Selesaikan persamaan kompatibilitas menggunakan nilai
perpindahan struktur primer akibat beban luar (
i0) danIlustrasi
w A B R Ay R Ax R B M A C RC w struktur statis tak tentu struktur rimer A B X 1= R B C X 2= RC 1= B= 0dan gaya kelebihan
syarat kompatibilitas 2=C = 0
Perpindahan struktur primer
akibat beban luar:
R Ay0 20 10 M A0 21 11 m A1 1 r Ay1 1 m A2 12 r Ay2 22
(perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan dalam arah masing-masing gaya kelebihan) 1 10 11 1 12 2 2 20 21 1 22 2 0 0 0 0 X X X X
Sekarang persamaan kompatibilitas dapat dituliskan dalam bentuk matriks: 10 11 12 1 20 21 22 2 0 0 X X
atau dalam formula yang lebih umum:
X
0[ ] = matriks fleksibilitas yang berisikan koefisien fleksibilitas
{ X } = vektor gaya kelebihan yang nilainya belum diketahui
= ,
kecuali jika terjadi perpindahan tumpuan
{0} = vektor perpindahan struktur primer pada setiap arah gaya kelebihan akibat beban luar
Gaya kelebihan:
X
1
0
Reaksi dan gaya dalam lainnya:
0 1 1 2 2 0 1 0 1 1 2 2 0 i i i i iN N N i ik k k i i i i iN N N i ik k R r X S S s X s X s X S s X
1 k Teorema Betti-Maxwell
James C. Maxwell (1864)
Perpindahan suatu titik pada struktur (titik
A
) akibat
beban satuan yang bekerja di titik yang lain (titik
B
)
sama dengan perpindahan titik
B
akibat beban
satuan yang bekerja di titik
A
.
Den an kata lain:
=
Implikasi: matriks fleksibilitas simetris.
Prosedur Metode Deformasi Konsisten
Tentukan derajat kestatistaktentuan struktur.
Pilih gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer yang stabil.
Tetapkan syarat kompatibilitas yang sesuai dengan gaya kelebihan yang dipilih.
Susun persamaan kompatibilitas dalam bentuk:
dengan menentukan nilai
ij (perpindahan struktur primer
akibat beban 1 satuan dalam arah masing-masing gaya kelebihan) dan
i0(perpindahan struktur primer akibatProsedur Metode Deformasi Konsisten
Selesaikan persamaan kompatibilitas untuk memperoleh nilai gaya kelebihan { X }.
Hitung reaksi dan gaya-gaya dalam lainnya menggunakan
X
1
0
persamaan ese m angan, atau engan superpos s :
0 1 0 1 N i i ik k k N i i ik k k R R r X S S s X
Contoh 5
Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya
lintang dan momen dari struktur balok seperti
tergambar. Balok
AB
dan
BC
memiliki modulus
elastisitas
E
, panjang
L
, dan inersia penampang
I
.
w
A B
R Ax
M A
Struktur primer dan gaya kelebihan: w A B X 1= R B C X 2= RC Syarat kompatibilitas: 1= B= 0 2=C = 0 Persamaan kompatibilitas: 11 1 12 2 10 21 1 22 2 20 X X X X
Diagram momen akibat beban luar dan beban 1 satuan pada
masing-masing arah gaya kelebihan:
w L 2 L – + + 2wL2 2wL 2wL2 M 0 1 1 1 1 m1 m2 L 2 L Koefisien fleksibilitas:
3 1 1 11 0 3 1 2 12 0 3 1 3 3 2 2 1 5 6 6 2 2 2 1 8 L L L L L L m m L dx EI EI EI L L L L m m L dx EI EI EI L L L m m L
Perpindahan struktur primer akibat beban luar:
22 0 3 3 x EI EI EI
2 2
4 0 1 10 2 2 1.125 1 17 L L L wL wL M m wL dx
0 2 2 4 0 2 20 0 2 2 2 2 0.5 1 2 6 L L L wL wL M m wL dx EI EI EI
Persamaan kompatibilitas:
0 3 4 1 2 1 1 2 5 17 5 16 48 6 24 2 5 17 5 16 48 4 X X L wL X EI EI X wL X Reaksi lainnya: 16 5 17 32 1 5 2 48 11 4 7 28 wL wL 0 1 2 1 A A R A A R r r X
8 11 ; 7 28 B C wL wL R R 0 1 2 2 2 2 1 1 32 13 2 2 11 28 28 2 A A M A A M m m X wL wL wL wL L L L
2 13 ; CCW 28 14 A A wL wL R M Diagram gaya-gaya dalam:
A B C 8 7 wL 11 28 wL 13 28 wL 2 14 wL w 13 28 wL 15 28 wL 17 28 wL 11 28 wL + + – – V 0.0772wL2 M 0.0364wL2 + + – –
Contoh 6
Hitung reaksi dan
gaya-gaya batang dari struktur
rangka batang seperti
tergambar. Semua batang
terbuat dari bahan yang
2 3 4 5 6 4 m D 80 kN C 30 kN
sama, dengan modulus
elastisitas
E
dan luas
penampang
A
.
1
3 m
A B
Struktur primer dangaya kelebihan
Satu reaksi dan satu gaya batang harus dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi horizotal di B dan gaya batang 3, seperti tergambar.
S X 1 S 2 S 4 S 5 S 6 D 80 kN C 30 kN X 1 X 2 B
Reaksi dangaya-gaya batang pada struktur
primer: – –40 0 D 80 kN C 30 kN 30 C D 1 –0.6 –0.8 1 –0.8 30 kN 40 kN – 30 A B 40 kN 1 1 r dan s 1 1 ri 2dan si2 A –0.6 B
Perhitungan koefisien fleksibilitas dan perpindahan struktur primer: # L [m] S 0 [kN] s1 s2 s1s1 L s1s2 L s2s2 L S 0s1 L S 0s2 L S [kN] 1 3 30 –0 6. 1 1 08. –1 8. 3 –54 90 0 2 4 –40 –0.8 0 2.56 0 0 128 0 –48.69 3 5 0 1 0 5 0 0 0 0 10.86 4 5 –50 1 0 5 0 0 –250 0 –39.14 5 4 0 –0.8 0 2.56 0 0 0 0 –8.69 6 3 30 –0.6 0 1.08 0 0 –54 0 23.48 17.28 –1.8 3 –230 90 11 12 22 10 20 Persamaan kompatibilitas:
0 1 2 1 1 17.28 1.8 0 230 1 1 1.8 3 0 90 17.28 1.8 230 X X X EA EA X 2 . 10.86 23.48 X
3 10.86 kN tarik 23.48 kN Bx S R Reaksidan gaya batanglainnya:
1 0 1 2 2 i i i i R R r r X X Pengaruh Perpindahan Tumpuan
Berbeda dengan struktur statis tertentu, perpindahan
tumpuan pada struktur statis tak tentu akan
menimbulkan gaya-gaya dalam pada struktur.
Dalam struktur yang sebenarnya, perpindahan
tum uan ini da at diakibatkan oleh enurunan tanah
atau pondasi, kesalahan pengukuran pada saat
konstruksi, perubahan ukuran material akibat
perubahan suhu, susut dan rangkak pada beton,
kesalahan fabrikasi, atau sebab-sebab lainnya.
Pengaruh Perpindahan Tumpuan
Pada metode fleksibilitas, perpindahan tumpuan ini
dimasukkan ke dalam analisis dengan mengubah
nilai perpindahan pada persamaan kompatibilitas.
Terdapat dua kasus yang mungkin terjadi:
Per indahan ada arah an di ilih seba ai a a
kelebihan
Perpindahan tumpuan struktur primer (yang tidak dipilih
Perpindahan pada arah yang dipilih
sebagai gaya kelebihan
w A B C C = 1 TumpuanC mengalami penurunan sebesar 1 satuan. w A B = C X = R
struktur primer dan gaya kelebihan yang dipilih
20 21 X 1 22X 2 1
1 B
Syarat kompatibilitas di tumpuanC
berubah menjadi: sehingga persamaan kompatibilitas menjadi: 11 12 1 10 20 21 22 2 0 1 X X
Perpindahan tumpuan struktur primer
A B C
w Tumpuan Amengalami
putaran sebesar 0.1 rad searah putaran jarum jam.
w
A B C
=
struktur primer dan gaya kelebihan yang dipilih
1= B 2 = –0.1 L
