SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP

SISTEM KENDALI KLASIK



Pemodelan Matematika



Analisis



Diagram Bode, Nyquist, Nichols



Step & Impulse Response



Gain / Phase Margins



Root Locus



Disain

MODEL MATEMATIKA

MODEL MATEMATIKA

Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model

matematika dari sistem.

Mengapa harus dengan model matematika ?

Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali.

Misalnya:

o

Bagaimana hubungan antara input dan output.

o

Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik

Dua metoda untuk mengembangkan model matematika

dari sistem kendali:

1. Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain

frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace).

RANGKAIAN RLC

V(t)

L R

C

i(t)

v t

( )



v t

_R

( )



v t

_L

( )



v t

_C

( )

Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamik sistem fisik (hubungan input dan output) seperti sistem mekanik

menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakan Hukum Kirchoff.

Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output

Menggunakan KVL (Kirchoff Voltage Law):

0

( )

1

( )

_R

( )

di t

t

( )

v t

v t

L

i

d

dt

C

 









Menggunakan persamaan diferensial :

• Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ?

• Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan Ouput dari sistem ?



Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan di

atas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace.



Transformasi Laplace memberikan:

 Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan-satuan terpisah.

 Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output dan Sistem.



Keterbatasan dari Transformasi Laplace :

 Bekerja dalam domain frekuensi.

TRANSFORMASI LAPLACE

Time Domain Circuit

Time Domain Circuit

s-Domain Circuit

L

1

L



x(t)

y(t)

X(s)

Y(s)

s j Complex Frequency 2 Types of s-Domain Circuits

With and Without Initial Conditions

    

Laplace

Transform

Inverse

Laplace

TRANSFORMASI LAPLACE

 Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.

 Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.

 Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi aljabar pada bidang kompleks.

 Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan mengguna-kan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.

 Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untuk meramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan persamaan

diferensial sistem.

VARIABEL KOMPLEKS

 Variabel kompleks: s =  + j

dengan :  adalah komponen nyata j adalah komponen maya

Bidang s

o 

j

j₁

FUNGSI KOMPLEKS

 Suatu fungsi kompleks: G(s) = G_x + jG_y

dengan : G_x dan G_y adalah besaran-besaran nyata

Bidang G(s)

O Re

Im

G_y

G_x G

q

Besar dari besaran kompleks:

Sudut :

2 2

y x G

G )

s (

G  

x y

G

G

tan

1

TURUNAN FUNGSI ANALITIK

 Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh:

s G lim

s

) s ( G )

s s

( G lim )

s ( G ds

d

s

s 

 

  

 

  

 0 0

 Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s.

 Untuk lintasan s =  (lintasan sejajar dengan sumbu nyata)

lim )

 Untuk lintasan s = j (lintasan sejajar sumbu maya), maka

 lim

)

 Jika dua harga turunan ini sama



 Syarat Cauchy-Riemann

Contoh Soal

Tinjau G(s) berikut, apa analitik ?

1

Jawab:

y

Di mana





2 2

dan

Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu =-1, =0), G(s) memenuhi syarat Cauchy-Riemann:





Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah

              

 G j G Gy j Gx )

s ( G ds

d _x y





2

1 1

     

j





2

1 1

 



s

Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanya dengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s





_

_

2

1 1 1

1

 

    

 

 _s

s ds

d

Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler.

KUTUB-KUTUB dan NOL-NOL

• Zeros dari G(s) roots numerator

• Poles dari G(s) roots denominator

• Persamaan karakterisk denominator dari G(s)=0

Im

Re

Pola pole-zero

poles

Contoh Soal

Tentukan jumlah pole dan zero dari fungsi G(s) berikut:

Jawab:

Mempunyai pole di s=-1 dan s=-2

Mempunyai sebuah zero di s=-3.

Jika titik-titik di tak terhingga di masukkan:

2

2 1

3

) s

( ) s

(

) s

( K )

s ( G

 



 

0

2  

  

 _s

K lim )

s ( G lim

s s



Fungsi G(s) mempunyai 2 buah zero di tak terhingga.

Pemetaan Konformal

 Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut.

 Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram tempat kedudukan akar (root locus) dan kriteria kestabilan Nyquist.

 Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagai pemetaan titik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z / bidang F(s).

 Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P’ pasangannya pada bidang F(s). P’ adalah bayangan dari P.

 Jika kita tulis z_o=F(s_o), maka:

) s s ( s

s

) s ( F ) s ( F z

z _o

o o

o _ 

 



Dengan demikian,

o o

o

o s s

s s

) s ( F ) s ( F z

z   

  

 



o s - s

o adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor dari so ke

s.

o Jika s mendekati s

o sepanjang kurva halus s(), maka s - so adalah

sudut q₁ antara sumbu nyata positif dan garis singgung kurva tersebut pada s_o.

o Dengan cara sama, jika z mendekati z

o, maka z - zo mendekati sudut ₁ yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dan garis

singgung dari F(s) pada z₀. Dengan demikian diperoleh

o 

o Dengan kurva halus yang lain s=s

2(), yang melalui titik so,

kita dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh

₂ - q₂ = F’(so) Oleh karena itu

₁ - q₁ = ₂ - q₂ atau

₂ - ₁ = q₂ - q₁

o Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetap

dijaga.

o Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik

Definisi Transformasi Laplace



Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai











0

dt

e

)

t

(

f

)

s

(

F

)]

t

(

f

[

L

st

dengan:

26

Contoh

Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut:

f(t) = 0

untuk t < 0

= A

untuk t > 0

s

A

s

e

A

dt

Ae

)}

t

(

f

{

st

st

_





















 

 _



0 0

L

f(t)

t

A

28

2 0

st

0 st

0

st

s

a

dt

e

s

a

s

ate

dt

ate

)]

t

(

r

[

L

_

























 

 





0





at

untuk

t

)

t

(

f

f(t)

t

Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut:

f(t) = 0

untuk t < 0

= Ae

-at

_{untuk t > 0}

Jawab:





     



_

_

0

0

Ae

e

dt

A

e

dt

}

Ae

{

at at st (s a)t

L

)

a

s

(

A

)

a

s

(

e

A

t ) a s (



























 



0

e

-at

t

A

Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut:

f(t) = 0

untuk t < 0

= A sin



t

untuk t > 0

Jawab:





_







0

A

sin

t

e

dt

}

t

sin

A

{

st

L





 

 

_



0

2

j

(

e

e

)

e

dt

A

)}

t

(

f

{

j t j t st

L

e

jt

_{= cos}



_{t + j sin}



_t

e-

jwt

_{= cos}



_{t - j sin}



_t

sin

t

_j

(

e

e

)

t j t

j

_

 





2

1

2 2

1

2

1

2





















s

A

j

s

j

A

j

s

j

A

f(t)

F(s)

Step function, u(t)

e

-at

t

e-at

sin(



t )

cos(t )

t n

1/s

1/(s+a)

1/(s+a)2



/ ( s

2

₊



2

₎

/ ( s2 ₊  2₎

n!/sn+1

) e

e ( a b

bt at 

 _



1

) b s

)( a s

(  

1

f(t)

F(s)=L[f(t)]

sin(

SIFAT TRANSLASI

Contoh

35

Translasi [time]

b) g(t) = f(t-a) untuk t>a

Contoh

36

Perubahan skala waktu

₎

a

Contoh

TEOREMA DIFERENSIASI

Transformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai



 

Integrasi bagian demi bagian memberikan



_



_

_

 _

Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubah

38

Turunan Pertama [Derivative first order]

39

Turunan orde tinggi

)

•Jika discontinuity pada

a

40

Contoh Turunan

2

Sin

[

Cos

[

Sin

[

Sin

)]

t

(

Sin

[

Cos

[

Cos

dt

)]

t

[sin(

d

Sin

dt

)]

t

(

Cos

[

Cos

[

Cos

)]

Aplikasi Rangkaian RC

C

R

e(t)

v(t)

0 ) 0 ( v

) t ( v dt

dv RC )

t ( e



 

Persamaan rangkaian

Transformasi Laplace:

E(s)  RCsV(s)V(s)  V(s)[1RCs]

RCs

1

)

s

(

E

)

s

(

V

INTEGRASI





t

0

s

)

s

(

F

]

du

)

u

(

f

[

L

)

s

(

F

)

0

(

g

)]

t

(

g

[

sL

)]

t

(

g

[

L











)

t

(

f

)

t

(

g









t

0

]

du

)

u

(

f

)

t

(

Perkalian dengan faktor t



_{Leibnitz’s rule}

)]

Rumus umum

FUNGSI PERIODIK

nsT



nsT

Fungsi periodik Sinus & Cosinus

)

t

(

jSin

)

t

(

Cos

e

jt









Sin

[

jL

)]

Perilaku Batas Limit : Nilai Inisial

Lim

0

st

Exponential order

}

lim[

)]

t

(

f

[

Lim



Lim

FUNGSI IMPULSIONAL

)

t

(

e

)

t

(

e



₀



E

(

s

)



e

₀

RCs

1

e

)

s

(

V

0





RC

t

Impulse response

CR t 0

_e

RC

e

)

t

(

v





RC

e

₀

CR t

e



RC

e

)

RC

1

s

(

1

)

s

(

V

0





)

1

RCs

(

se

)

s

(

sV

0









s

FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL

Step function dan initial conditions v(0)



0

RCs

1

)

0

(

RCv

)

RCs

1

RCv ]

RCs 1

RCs

FUNGSI RAMP

RCs

1

ANALISIS HARMONIK

)

cos(

)

t

sin(

RC

Cos



sin(

)

t

)[sin(

(

Cos

e

TRANSFORMASI LAPLACE INVERSE

Diketahui: F(s)=L[f(t)]



Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ?

)]

s

(

F

[

L

)

t

(

f



1

ds

).

s

(

F

e

i

.

.

2

1

)

t

(

f

)]

s

(

F

[

L

. i

. i

st 1





 

   







Pada kontour Bromwich

a) Method Analitik

b) Metoda Tabel

f

(

t

)

e

at

a

s

1

)

s

(

F







c) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda

Harga a_k (residu pada pole s=-p_k) dapat diperoleh dengan:

k

Semua suku uraian menjadi nol, kecuali a_k. Jadi residu ak diperoleh:

Contoh Soal

Carilah transformasi Laplace balik dari

)

Jawab:

Transformasi Laplace balik dari:

 

_































 



)

s

(

L

)

s

(

L

)

s

(

F

L

2

1

1

2

₁

1 1

 

F

(

s

)

e

e

untuk

t

0

L

1



2

t



2t



1

2

2

1

3

2

2



























 

s

)

s

(

)

s

)(

s

(

Contoh Soal

)

3

s

)(

2

s

)(

1

s

(

4

s

2

)

s

(

F

2











)

3

s

(

2

7

)

2

s

(

4

3

)

1

s

(

6

1

)

s

(

F

















2

7

4

3

6

3

2t t

t

e

e

e

)

t

(

f







