MATERI PELAJARAN MATEMATIKA
DI
S
U
S
U
N
OLEH : ALMUNANDAR
KELAS : XII (TKJ)
PEL : MATEMATIKA
SMK NEGERI 2 LANGSA
TAHUN PELAJARAN 2017-2018
PELUANG
1. Kaidah Pencacahan▸ Baca selengkapnya: aturan pengisian tempat matematika
(2)banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyakya cara suatu
percobaan dapat terjadi dilakukan dengan: aturan penjumlahan, aturan perkalian. a. Aturan Penjumlahan
Jika ada sebanyak a benda pada himpunan pertama dan ada sebanyak b benda pada himpuan kedua, dan kedua himpuan itu tidak beririsan, maka jumlah total anggota di kedua himpuan adalah a + b.
Contoh : 1
Jika seseorang akan membeli sebuah sepeda motor di sebuah dealer. Di dealer itu tersedia 5 jenis Honda, 3 jenis Yamaha, dan 2 jenis Suzuki. Dengan demikian orang tersebut mempunyai pilihan sebanyak 5 + 3 + 2 = 10 jenis sepeda motor.
Contoh : 2
Ibu Alya seorang guru SMK. Ia mengajar kelas XII Akuntansi yang jumlahnya 40 siswa, kelas XII penjualan yang jumlahnya 42 siswa, kelas XII bisnis, yang
kumlahnya 45 siswa, maka jumlah siswa yang diajar Ibu Alya adalah 40 + 42 + 45 = 127 siswa. b. Aturan Perkalian
Pada aturan perkalian ini dapat diperinci menjadi dua, namun keduanya saling melengkapi dan memperjelas. Kedua kaidah itu adalah menyebutkab kejadian satu persatu dan aturan pemngisian tempat yang tersedia.
1) Menyebutkan kejadian satu persatu Contoh : 1
Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan. Berapa hasil yang berlainan dapat terjadi ?
Penyelesaian :
Hasil yang mungkin : G1, G2, G3,G4, G5, G6, A1, A2, A3, A4, A5, A6
Catatan : G1 artinya uang menunjukkan gambar dan dadu menunjukkan angka 1. Dengan demikian banyaknya cara hasil yang berkaitan
dapat terjadi adalah 12 cara. 2) Aturan pengisian tempat yang tersedia Menentukan banyaknya cara suatu percobaan selalu dapat diselesaikan dengan meyebutkan kejadian satu persatu. Akan tetapi, akan mengalami kesulitan kejadiannya cukup banyak. Hal ini akan lebih cepat jika diselesaikan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia atau dengan mengalikan.
Contoh 1:
Alya mempunyai 5 baju dan 3 celana. Berapa cara Alya dapat memakai baju dan celana?
Uang Hasil yang mungkin G
Dadu 1 2 3 4 5 6 A
1 2 3 4 5 6
G1 G2 G3 G4 G5 G6 A1 A2 A3 A4 A5 A6 Peyelesaian :
Jadi banyaknya cara Alya dapat memakai baju da celana = 15 cara Langkah diatas dapat diselesaikan dengan:
Baju Celana
Jadi, ada 5 x 3 cara = 15 cara Contoh 2:
Salma mempunyai 5 baju, 3 celana, 2 sepatu dan 4 topi. Tentukan berapa cara
Salma dapat memakainya?
Baju Celana Sepatu Topi
Jadi, ada 5 x 3 x 2 x 4 cara = 120 cara. Secara umum dapat dirumuskan:
Contoh 3:
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, berapa banyaknya bilangan yang terdiri
dari 4 angka yang dapat disusun? a) tanpa pengulangan b) boleh berulang Penyelesaian : a) Tanpa pengulangan
Empat angka berarti ribuan, sehingga diperlukan empat tempat 5 cara 3 cara
5 cara 3 cara 2 cara 4 cara
Bila tempat pertama dapat diisi n1 cara, tempat kedua dengan n2 cara,…, tempat k dapat diisi nk cara, maka banyakya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n1x n2x…xnk cara.
Angka nol (0) tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga yang mungkin angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 atau 6 cara dan tanpa pengulangan maka :
Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah: 6 x 6 x 5 x 4 = 720 bilangan b) Pengulangan
Angka nol tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga ada 6 cara, untuk urutan kedua dan seterusnya masing-masing tujuh cara sebab semua angka memungkinkan karena berulang maka diperoleh:
Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah: 6 x 7 x 7 x 7 = 2058 bilangan
Contoh 4:
Tentukan banyaknya bilangan ganjil yang terdiri tiga angka yang disusun dari
angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5. a) Angka tidak berulang b) Angka boleh berulang
Penyelesaian: a) Angka tidak berulang
Bilangan yang disusun adalah bilangan ganjil, maka kotak satuan dapat diisi
dengan angka 1, 3, dan 5 (3 cara) 6 6 5 4
6 7 7 7 4 3 3
dengan 3 cara. Jadi banyaknya bilangan = 4 x 3 x 3 bilangan = 36 bilangan
b) Angka boleh berulang
Karena yang disusun bilangan ganjil, maka kotak satuan diisi dengan 3 cara
Angka boleh berulang, maka kotak ratusan dapat diisi angka 1, 2, 3, 4 dan 5
(5 cara) dan kotak puluhan juga 5 cara. Jadi banyaknya bilangan = 5 x 5 x 3 bilangan
= 75 bilangan 2. Permutasi
Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan objek dalam urutan berhingga a. Notasi Faktorial
Untuk masing-masing bilangan bulat positif n, n! = � ∙ (� − 1) ∙ (� − 2) ∙ ∙ ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
Demikian juga, 0! = 1. b. Notasi nPr
Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan � ≤ �, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah
nPr = �! (�−�)!
Contoh soal
Berapa banyaknya permutasi dari pengambilan 5 kartu pada 52 kartu? Penyelesaian:
Banyaknya permutasi dari 52 kartu yang diambil 5 pada suatu waktu adalah
52! : (52 − 5)!=52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ 47 ∙ 46⋯3 ∙ 2 ∙ 1 : 47 ∙ 46⋯3 ∙ 2 ∙ 1
= 52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ 47 = 311.875.200
Ada 311.875.200 permutasi dari pemilihan 5 kartu dari 52 kartu
c. Permutasi dengan Pengulangan
Untuk semua bilangan positif n dan r dengan � ≤ �, banyaknya permutasi yang berbeda dari n objek, r diantaranya sama, adalah
Secara umum, jika ada r1 objek jenis pertama, r2 objek jenis kedua, dan seterusnya, ada
�! :�1!�2! ⋯ permutasi dari n objek yang berbeda Contoh soal
Berapa banyaknya permutasi yang berbeda dari kata MISSISSIPI? Penyelesaian
Ada 11 huruf yaitu 4 huruf I, 4 huruf S, dan 2 huruf P. Sehingga, ada
Ada 34.650 permutasi yang berbeda dari kata MISSISSIPI 3. Kombinasi
Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya. a. Notasi ��� Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan � ≤ �, banyaknya kombinasi n
objek yang diambil 4 objek pada suatu waktu adalah
rr
rn rn Contoh Soal
Berapa banyaknya cara untuk memilih 3 siswa SMP dan 4 siswa SMA dari sebuah sekolah kursus dengan 10 mahasiswa tingkat pertama, 15
mahasiswa
tingkat kedua, 18 siswa SMP, dan 20 siswa SMA untuk bernyanyi? Penyelesaian
4. Peluang (Probabilitas). a. Konsep dasar Peluang
Peluang (Probabilitas) merupakan suatu konsep matematika yang digunakan
untuk melihat kemungkinan terjadinya sebuah kejadian. Beberapa istilah yang
perlu diketahui dalam mempeajari konsep peluang adalah sebagai berikut: 1) Ruang sampel merupakan himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah
percobaan
2) Titik sampel merupakan anggota yang ada pada ruang sampel 3) Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel
Peluang suatu kejadian dapat didefinisikan, Jika N adalah banyaknya titik sampel pada
ruang sampel S suatu percobaan dan E merupakan suatu kejadian dengan banyaknya n
��
b. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian.
1) Peluang suatu kejadian, jika � (�) = banyak kejadian �, maka peluang kejadian � adalah :
Contoh soal: Sebuah kartu diambil dari setumpuk kartu remi. Berapa peluang bahwa yang diambil itu kartu queen?
Penyelesaian:
2) Peluang komplemen suatu kejadian
Peluang komplemen dari suatu kejadian adalah peluang dari satu kejadian yang berlawanan dengan suatu kejadian yang ada. Komplemen dari suatu kejadian A merupakan himpunana dari seluruh kejadian yang bukan A. complement dari suatu kejadian dapat ditulis dengan A’. Maka peluang komplemen dituliskan sebagai berikut:
� (�′) = 1 − � (�)
Contoh soal: Apabila sebuah dadu bermata 6 dilempar, maka peluang untuk
3) Frekuensi harapan suatu kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali munculnya suatu kejadian
dengan banyaknya percobaan yang dilakukan ℎ
� = � (�) × �
Contoh soal: Pada pelemparan sebuah koin, nilai peluang munculnya gambar
adalah
1 :2 apabila pelemparan koin dilakukan sebanyak 30 kali maka harapan munculnya gambar adalah…
Jadi harapan munculnya gambar dari 30 kali pelemparan dadu adalah 15 kali.
4) Peluang dua kejadian tidak saling lepas
Dua kejadian dikatakan tidak saling lepas jika kedua kejadian tersebut dapat
terjadi secara bersamaan
� (�∪�) = � (�) + � (�) − � (� ∩ �)
munculnya mata dadu angka genap dan angka yang habis dibagi 3?
Penyelesaian: Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}
Misal D merupakan kejadian munculnya angka dadu genap, dan B munculnya angka dadu yang habis di bagi tiga maka:
� = {2,4,6} , � = {3,6} dan � ∩ � = {1}, Sehingga n(�) = 3, n(�) = 2, dan (� ∩ �) = 1 Maka:
5) Peluang dua kejadian saling lepas
Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak dapat
terjadi secara bersamaan � (�∪�) = � (�) + � (�)
Contoh soal: Misalnya ketika memilih bola secara acak dari keranjang yang
6) Peluang dua kejadian saling bebas
Kejadian A dan Kejadian B dikatakan kejadian saling bebas jika kejadian A tidak dipengaruhi oleh kejadian B atau sebaliknya maka berlaku:
� (� ∩ �) = � (�) × � (�)
Contoh soal: Ada dua kotak yang masing – masing memuat bola berwarna
merah dan putih kotak I memuat 5 merah dan 4 putih serta kotak II memuat 6 merah dan 3 putih. Jika masing - masing kotak diambil 2 bola sekaligus, tentukan peluang terambilya 1 merah dan 1 putih pada kotak I dan 2 merah pada kotak II!
Penyelesaian: Misal A adalah kejadian pada kotak I yaitu terambil 1M dan 1P,
akan diambil dua bola sekaligus dari kotak I yang terdiri dari 9 bola
Misal B adalah kejadian pada kotak II yaitu terambil 2M akan diambil dua bola sekaligus dari kotak II yang terdiri dari 9 bola
sehingga berlaku
7) Peluang dua kejadian tidak saling bebas (disebut juga peluang bersyarat)
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat apabila terjadi atau tidak terjadinya
kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B atau
sebaliknya.
� (� ∩ �) = � (�) × � (�⎹�)
Contoh soal: sebuah dadu dilempar sekali tentukan peluang munculnya mata
dadu genap dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima terlebih dahulu
Penyelesaian: Misal A adalah kejadian munculnya mata dadu prima Ruang sampel: s = {1,2,3,4,5,6}, sehinga �(�) = 6
A = {2,3,5}, sehingga �(�)= 3
Peluang kejadian A: �(�) = 3: 6=1 :2
Misal B adalah kejadian munculnnya mata dadu genap
B = {2,4,6), sehingga irisannya � ∩ � = {2}, dengan �(� ∩ �) = 1 Peluang kejadian �(� ∩ �) = �(�∩�) �(�)=1 : 6
Jadi, peluang munculnya mata dadu genap dengan syarat munculnya kejadian
Lingkaran
adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.
Gambar dibawah ini menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r.
A.
Persamaan Lingkaran
1. Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari r
Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y.
Jarak dari O (0, 0) ke P (x, y) adalah.
Berdasarkan rumus Pythagoras
Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari 5
2. Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r
Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b)dan berjari-jari r dapat diperoleh dari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b)maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).
Kita peroleh persamaan.
Persamaan lingkaran menjadi (x’– a)2 + (y’ – b)2 = r2
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b)dan berjari-jari r adalah (x- a)2 + (y – b)2 = r2
Contoh 1 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari 4
Jawab :
Pusat (3, 2) maka a = 3 dan b = 2
Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2
(x- 3)2 + (y – 2)2 = 42
(x- 3)2 + (y – 2)2 = 16
Contoh 2 :
Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik P(2, 3) yang melalui Q(5, -1)
Pusat (2, 3) maka a = 2 dan b = 3
Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2
(x- 2)2 + (y – 3)2 = 252
B. Bentuk umum persamaan lingkaran
Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah
(x- a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2+ y2 – 2ax – 2by + a2+ b2– r2 = 0 atau x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0
Jadi bentuk umum persamaan lingkaran x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0
Contoh :
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 – 4x +2y – 20= 0
Jawab :
B. Kedudukan Titik dan Garis Pada Lingkaran
Kedudukan Titik Pada Lingkaran
Letak K (m,n) terhadap X2+Y2 +Ax + By +C= 0 , ditentukan oleh nilai kuasa titik tersebut terhadap lingkaran
nilai kuasa K = m2+n2 +Am + Bn +C,
K < 0 di dalam lingkaran
K= 0 pada lingkaran
K > 0 di luar lingkaran
Contoh 1:
Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran X2+y2 -8x -10y +16 =0 dan gambarlah
a. H(-3,9) b L(7,9), c M(10,5), d N(1,7) Jawaban:
a. H(-3,9) K = (-3)2+92 -8.(-3) -10.9 +16 = 40, K > 0, diluar lingkaran
b. L(7,9) K = (7)2+92 -8.(7) -10.9 +16 = 0, K = 0, pada lingkaran
c. M(10,5) K = (10)2+52 -8.(10) -10.5 +16 = 11, K > 0, diluar lingkaran
d. N(1,7) K = 12+72 -8.(1) -10.7 +16 = -12, K < 0, didalam lingkaran
Contoh 2:
Diketahui sebuah lingkaran X2+y2 -2x +6y -15 =0 dan sebuah titik S(m,1), tentukan batas nilai m agar
b. titik S diluar lingkaran
Jawaban:
S(m,1) K = kuasa
= m2 +12 - 2m +6.1 - 15 = m2 - 2m - 8
a. Syarat di dalam lingkaran, K< 0 m2 -2m -8 <0 (m-4)(m+2)=0 m=-2 atau m=4
didalam lingkaran jika -2 < m <4 ( daerah - - - )
diluar lingkran, K >0, jika m<-2 atau m >4 (daerah ++ )
Kedudukan Garis Pada Lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.
Lihat diskriminannya:
Jika
D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.
Contoh 1:
Tentukan posisi garis:
terhadap lingkaran
Jawab:
Karena , maka garis berada di luar lingkaran.
Contoh 2:
Tentukan p agar garis terletak di luar
Jika diketahui gradien
Contoh soal :
Soal No. 1
Diberikan persamaan lingkaran: L ≡ x2 + y2 = 25.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki titik singgung di (−4, 3).
Pembahasan
Menentukan garis singgung pada suatu lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dan diketahui titik singgungnya.
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik (3,
−2) adalah....
(Garis singgung lingkaran - uan 2002)
Pembahasan
Titik yang diberikan adalah (3, −2), dan belum diketahui posisinya pada lingkaran, apakah di dalam, di luar atau pada lingkaran. Cek terlebih dahulu, (3, −2) → x2 + y2
= 32 + (−2)2 = 9 + 4
= 13
Soal No. 3
Diberikan persamaan lingkaran L ≡ x2 + y2 = 25. Tentukan persamaan garis
singgung pada lingkaran tersebut yang memiliki gradien sebesar 3.
Pembahasan
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dengan diketahui gradien garis singgungnya.
Soal No. 4
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus
garis 2y − x + 3 = 0 adalah....
(Garis singgung Lingkaran - un 2005)
Pembahasan
Garis 2y − x + 3 = 0 memiliki gradien sebesar 1/
2. Garis lain yang tegak lurus
dengan garis ini harus memiliki gradien − 2. Ingat pelajaran SMP 8, jika dua garis saling tegak lurus maka berlaku
m1 ⋅ m2 = − 1
Sehingga persamaan garis singgung di lingkaran x2 + y2 = 25 yang memiliki
gradien −2 adalah:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan titik singgung pada (5, 1).
Pembahasan
L ≡ (x − a)2 + (y − b)2 = r2
pada titik singgung (x1, y1)
dengan
a = 2 dan b = −3 dan r2 = 25
maka persamaan garisnya
Soal No. 6
Diberikan persamaan lingkaran: L ≡ (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang sejajar dengan garis y = 2x + 3.
Pembahasan
Garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a, b) diketahui gradien m
Garis singgung yang diminta sejajar dengan garis y = 2x + 3 sehingga gradiennya sama yaitu 2.
Soal No. 7
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 − 2x + 4y − 220 = 0 yang
sejajar dengan garis 5 y + 12x + 8 = 0 adalah... A. 12 x + 5y − 197 = 0 dan 12x + 5y + 195 = 0 B. 12 x + 5y + 197 = 0 dan 12x + 5y − 195 = 0 C. 5 x + 12y + 197 = 0 dan 5x + 12y + 195 = 0 D. 5x + 12y − 197 = 0 dan 5x + 12y − 195 = 0 E. 12 x − 5y − 197 = 0 dan 12x − 5y + 195 = 0
Pembahasan
dan jari-jari
Gradien garis singgungnya sejajar dengan 5 y + 12x + 8 = 0, jadi gradiennya adalah −12/5.
Persamaannya:
Sehingga dua buah garis singgungnya masing-masing adalah
Soal No. 8
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0 di titik (5, 3)
adalah....
A. 3x − 4y + 27 = 0 B. 3x + 4y − 27 = 0 C. 3x + 4y − 27 = 0 D. 7x+ 4y − 17 = 0 E. 7x + 4y − 17 = 0
(UN 2005)
Pembahasan
Titik singgung : (x1, y1)
Rumus garis singgungnya:
Soal No. 10
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y − 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung
lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah...
(Garis singgung lingkaran - un 2009 dan un 2012)
Pembahasan
y = 3 memotong lingkaran ini, masukkan nilai y ke persamaan, ketemu nilai x, dengan demikian titik-titik singgungnya akan diketahui.
Untuk titik singgung (x1, y1) = ( 2, 3) dengan pusatnya tadi (a, b) = (−1, 3)
TRANSFORMASI GEOMETRI
Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :
1. Translasi (Pergeseran) 2. Refleksi(Pencerminan) 3. Rotasi(Perputaran) 4. Dilatasi(Penskalaan) Berikut ini ilustrasinya :
TRANSLASI / PERGESERAN
Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :
dimana :
a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)
b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-) Contoh Soal :
Soal No. 1
a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8) b) Tentukan bayangan
dari
titik A (5, 10) oleh translasi
c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)
Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:
Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga: a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)
b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi
c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)
Disediakan suatu persamaan garis lurus Y = 3x + 5
Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)
Pembahasan
Ada beberapa cara diantaranya:
Cara pertama:
Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah: x’ = x + 2 → x = x’– 2
y’ = y + 1 → y = y’– 1
Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal y = 3x + 5
(y’– 1 ) = 3(x’– 2) + 5
Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi: y – 1 = 3x – 6 + 5
y = 3x – 6 + 5 + 1 y = 3x
Cara kedua:
Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5 Misal:
Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5) Titik B, untuk Y = 0 → x = – 5 /
3 dapat titik B (– 5/3 , 0)
Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1) A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)
B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)
Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:
Cara ketiga
Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:
Translasi T (p, q) Hasil :
ax + by = c + ap + bq
Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah.
y = 3x + 5 atau
3x − y = − 5 oleh T = (2,1)
Hasil translasinya adalah:
3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1) 3x − y = − 5 + 6 − 1
3x − y = 0 atau y = 3x
REFLEKSI / PENCERMINAN
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:
terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6,
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:
terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10,
3)
terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6,
-1)
Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:
terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1,
-10)
Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :
Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y
Pencerminan terhadap titik (0, 0)
Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x
Pencerminan terhadap garis y = mx + c
Jika m = tan θ maka:
6.) Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A: a) Terhadap garis x = 10
b) Terhadap garis y = 8
Pembahasan
a) Terhadap garis x = 10
rotasi matriks perubahan titik perubahan fungsi
½ 0 -1
1 -0 (x,y)(-y,x) F(x,y) = 0F(y,-x) = 0
-1 0
1 -1 (x,y) (-x,-y) F(x,y) = 0F(-x,-y) = 0
3/2 0 -1
-1 0 (x,y) (y,-x) F(x,y) = 0 F(-y,x) = 0
cos -sin sin cos
(x,y) (x cos - y sinq, x sin + y cos ) F(x,y) = 0 F(x cos + y sin , -x sin + y cos ) = 0
Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
+90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat
A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
+270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat
A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
+180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat
A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)
Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)
Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):
Contoh Soal :
1.) Vektor diputar terhadap titik asal O sebesar searah jarum jam. Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis , menghasilkan vektor . Jika , maka matriks = …
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
Matriks tranformasi untuk Refleksi terhadap
ditransformasi berturut-turut oleh dan menjadi dengan hubungan , sehingga adalah matriks komposisi dari dan
Jawaban : B
3.) Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'.
Pembahasan
Sehingga:
Catatan:
sudut α positif → berlawanan arah jarum jam sudut α negatif → searah jarum jam
DILATASI / PENSKALAAN
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:
dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan
dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan
koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)
Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.
Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k
Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):
Contoh soal:
1. Tentukan bayangan persegi panjang ABCD dengan A(2,2) , B(-2,2) , C(-2,-2) dan D(2,-2)
jika dilakukan transformasi Dilatasi pusat O dan skala 3 adalah....
jawab :
Jadi hasilnya A'(6,6) , B'(-6,6) , C'(-6,-6) dan D'(6,-6) 2. Bayangan garis x - y - 3 = 0 oleh D(O,4) adalah...
Jawab :
Transformasinya adalah Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 4 dengan menghilangkan tanda aksen dan mengalikan dengan 4 maka bayangan / peta / hasilnya adalah x - y - 12 = 0
Bagaimana jika mendilatasikan dengan pusat di suatu titik yang bukan titik O(0,0) misal A(p,q) dan faktor skala k ....??? maka bentuk operasinya menjadi :
atau dapat ditulis :
k.(x-p) = x' - p
dan
k.(y-q) = y' - q
3. Bayangan titik W(2,6) oleh dilatasi dengan pusat (2,-1) dan faktor skala -2 adalah ...
Jawab :
-2(2-2) = x' - 2 maka x' = 2 -2(6+1) = y' +1 maka y' = - 15 jadi bayangannya W'(2,-15)
4. Bayangan garis y = x - 3 karena dilatasi faktor skala 4 dengan pusat A(1,2) adalah ...
atau dapat ditulis menjadi
sehingga bayangannya adalah :
atau ditulis y = x + 15 atau x - y + 15 = 0
Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu
KOMPOSISI TRANSFORMASI
merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.
Komposisi Khusus :
1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar
2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus ekuivalen dengan rotasi 180º yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu tersebut.
3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu.
LUAS HASIL TRANSFORMASI
Transformasi yang berupa translasi, refleksi, dan rotasitidak mengubah luas suatu benda
Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka kita dapat gunakan rumus :
Perhatikan contoh soal transformasi berikut ini.
Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)
Penyelesaian :
cara 2 : menggunakan matriks
2.) Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks
kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah.... A. x + y − 3 = 0
B. x − y − 3 = 0 C. x + y + 3 = 0 D. 3x + y + 1 = 0 E. x + 3y + 1 = 0
(UN Matematika Tahun 2010 P04)
Pembahasan
Transformasi oleh matriks
Gabungan dua transformasi:
Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0
3.)Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks
dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah.... A. (−11, 6)
Titik A, dengan transformasi matriks
akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:
dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.
Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6)
4.) Lingkaran (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks
dilanjutkan oleh matriks
maka bayangan lingkaran itu adalah.... A. x2 + y2 + 6x − 4x − 12 = 0
B. x2 + y2 − 6x − 4x − 12 = 0
C. x2 + y2 − 4x − 6x − 12 = 0
D. x2 + y2 + 4x − 6x − 12 = 0
E. x2 + y2 + 4x + 6x − 12 = 0
Pembahasan
(x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3)
dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.
Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum
lingkaran akan diperoleh hasilnya.
Titik P (2, − 3) oleh transformasi
Titik P' ini oleh transformasi kedua
akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini:
