68
BAB 5
ANALISIS RANGKAIAN WAKTU
(TIME SERIES ANALYSIS)
Kompetensi
Menjelaskan konsep dasar time series.
Indikator
1. Menjelaskan konsep dasar time series analysis: trend linear. 2. Menjelaskan konsep dasar time series analysis: trend non linear.
3. Menjelaskan konsep dasar time series analysis: variasi musim untuk peramalan.
A. Pendahuluan
Dalam peramalan, biasanya orang akan mendasarkan diri pada pola atau tingkah laku data pada masa-masa lampau. Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu disebut rangkaian waktu atau time series.
Data tersebut memiliki variasi (gerakan) yang berbeda. Secara umum variasi (gerakan) dari data rangkaian waktu tersebut terdiri dari:
69
2. Variasi musim adalah suatu gerakan yang naik turun secara teratur yang cenderung untuk terulang kembali dalam jangka waktu tidak lebih dari 1 tahun.
3. Variasi siklis adalah suatu gerakan yang naik turun secara teratur yang cenderung untuk terulang kembali setelah jangka waktu lebih dari 1 tahun. 4. Variasi random adalah suatu gerakan yang naik turun secara tiba-tiba
atau mempunyai sifat yang sporadis sehingga biasanya sulit untuk diperkirakan sebelumnya.
Analisis rangkaian waktu mencoba menentukan pola hubungan antara waktu sebagai variabel bebas (independent variable) dengan suatu data sebagai variabel tergantung (dependent variable). Artinya besar-kecilnya data tersebut dipengaruhi oleh waktu.
B. Trend Linier
Trend linier merupakan garis peramalan yang sifatnya linier sehingga secara matematis bentuk fungsinya adalah:
bX
a
Y
'
=
+
Keterangan: Y’ = nilai trend periode tertentu = nilai peramalan pada periode tertentu
a = konstanta = nilai trend pada periode dasar
b = koefisien arah garis trend = perubahan trend setiap periode
X = unit periode yang dihitung dari periode dasar.
70
Periode dasar: …….. Unit X : …….. Unit Y : ……..
Metode untuk menentukan persamaan trend linier: 1. Metode bebas
2. Metode setengah rata-rata 3. Metode kuadrat terkecil
Berdasarkan ketiga metode tersebut yang memiliki tingkat penyimpangan antara peramalan dan observasi adalah metode kuadrat terkecil, sehingga hanya akan dibahas metode kuadrat terkecil (Least Square).
1. Trend Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)
Peramalan dengan metode kuadrat terkecil akan menghasilkan jumlah kuadrat kesalahan-kesalahan terkecil. Jika persamaan garis trend linier Y’ = a + bX, maka untuk menentukan harga konstanta a dan b dengan metode ini dapat menggunakan persamaan normal sbb:
Σ Y = na + b ΣX Σ XY = a ΣX + bΣX2
Keterangan:
Y = harga-harga hasil observasi
X = unit tahun yang dihitung dari periode dasar a = nilai trend pada periode dasar
71
Untuk menyederhanakan perhitungan, dibuat sedemikian rupa sehingga diperoleh ΣX = 0, sehingga harga a dan b menjadi:
Y
n
Y
a
=
Σ
=
2
X
XY
b
Σ
Σ
=
Dalam penentuan skala ΣX = 0 ada 2 kemungkinan, yaitu:
a. Untuk data ganjil, angka nol diletakkan pada tahun yang di tengah, sehingga skala X nya menjadi tahunan. (selisih 1)
Tabel 5.1
Skala X Untuk Data Ganjil
Th 1997 1998 1999 2000 2001 Σ
X -2 -1 0 1 2 0
b. Untuk data genap, maka angka nol pada skala X terletak antara 2 tahun yang di tengah sehingga skala X menjadi setengah tahunan. (selisih 2)
Tabel 5.2
Skala X Untuk Data Genap
Th 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Σ
72
Contoh:
a. Survei yang dilakukan PT Falma Indonesia menunjukkan bahwa permintaan terhadap Margarine sejak tahun 1999 sampai 2005 sbb: (dalam 000 ton)
Tabel 5.3
Permintaan Margarine PT Falma Indonesia
Tahun Permintaan (000 Ton)
2001 200 2002 225 2003 295 2004 350 2005 410 2006 470 2007 510
Berdasarkan data di atas: 1) Gambarkan data tersebut.
2) Tentukan persamaan garis permintaan terhadap margarine dengan metode linier least square.
73
Penyelesaian:
1) Gambar data permintaan margarine PT Falma Indonesia
Permintaan
0 100 200 300 400 500 600
2000 2002 2004 2006 2008
Permintaan
Gambar 5.1
Permintaan Margarine PT Falma
2) Persamaan garis permintaan terhadap margarine dengan metode linier
least square.
Tabel 5.4
Perhitungan Persamaan Permintaan Margarine PT Falma Indonesia
Tahun Permintaan
(000 Ton)
Y X XY X2
2001 200 -3 -600 9
2002 225 -2 -450 4
2003 295 -1 -295 1
2004 350 0 0 0
2005 410 1 410 1
2006 470 2 940 4
2007 510 3 1.530 9
74
43
,
351
7
460
.
2
=
=
=
Σ
=
Y
n
Y
a
82
,
54
28
535
.
1
2
=
=
Σ
Σ
=
X
XY
b
Persamaannya:
Y = 351,43 + 54,82 X
Periode dasar : tahun 2004 Unit X : tahunan
Unit Y : ribuan ton / tahun
3) Perkiraan permintaan terhadap margarine untuk tahun 2009?
Y2009 maka nilai X = 5
Y 2009 = 351,43 + 54,82 (5) = 625,54 (ribuan ton)
75
b. Data jumlah produksi baju pada PT Lady selama beberapa tahun yaitu: Tabel 5.5
Jumlah Produksi PT Lady
Tahun Produksi (Unit) 2000 500 2001 560 2002 590 2003 620 2004 640 2005 680 2006 730 2007 750
1) Gambarkan data jumlah produksi PT Lady 2) Buatlah persamaan trendnya
3) Berapa perkiraan produksi tahun 2008?
Penyelesaian:
1) Gambar data jumlah produksi PT Lady
Produksi
0 200 400 600 800
1998 2000 2002 2004 2006 2008
Produksi
76
2) Persamaan trend
Tabel 5.6
Perhitungan Persamaan Produksi PT Lady
77
3) Berapa perkiraan produksi tahun 2008? Y2008 maka nilai X = 9
Y = 633,75 + 17,20 (9) = 788,57 (dibulatkan 789)
Jadi perkiraan produksi PT Lady tahun 2008 yaitu 789 unit
2. Merubah Persamaan Trend
a. Perubahan periode dasar Persamaan awal: Y’ = a + b X
Berdasarkan persamaan tersebut yang berubah hanya a yaitu nilai trend pada periode dasar. Bila periode dasar diubah, maka a diganti dengan nilai trend pada periode dasar yang baru. Sedangkan bilangan-bilangan yang lain tetap.
b. Perubahan satuan waktu
1) Jika persamaan trend tahunan (skala X tahunan): Y’ = a + b X
Periode dasar: 2005 Unit X : tahunan Unit Y : unit/tahun Diubah menjadi
a) Persamaan trend rata-rata bulanan:
X
12
b
12
a
Y
'
=
+
78
b) Persamaan trend rata-rata kuartalan:
X
4
b
4
a
Y
'
=
+
Periode dasar: 2005 Unit X : tahunan Unit Y : unit/kuartal
c) Persamaan trend bulanan:
2
X
12
b
12
a
Y
'
=
+
Periode dasar: 30/6 atau 1/7 2005 Unit X : bulanan
Unit Y : unit/bulan
d) Persamaan trend kuartalan:
X
2
4
b
4
a
Y
'
=
+
Periode dasar: akhir kw II atau awal kw III th 2005 Unit X : kuartalan
Unit Y : unit/kuartal
2) Jika persamaan trend tahunan (skala X ½ tahunan): Y’ = a + b X
Periode dasar: 2005 – 2006 Unit X : ½ tahunan Unit Y : unit/tahun Diubah menjadi
79
Besarnya akan sama dengan trend tahunannya dibagi 12.
b) Persamaan trend rata-rata kuartalan:
X
Hasilnya akan sama dengan trend tahunannya dibagi 4 c) Persamaan trend bulanan:
2
X
d) Persamaan trend kuartalan:80
C. Trend Non Linier
Trend non linier yaitu trend yang persamaannya berpangkat lebih dari satu. Dua jenis trend non linier yang akan dipelajari adalah trend parabolik (persamaannya berpangkat 2) dan trend eksponensiil (persamaannya berpangkat X).
1. Trend Parabolik
Bentuk umum persamaan trend parabolik yaitu:
Y’ = a + bX + cX2
81
Contoh soal:
Data penjualan PT Ikhlas selama 13 tahun terakhir ditunjukkan dalam table 7. berikut ini:
Tabel 5.7 Penjualan PT Ikhlas
Tahun Penjualan (000 unit)
1995 150 1996 165 1997 177 1998 189 1999 199 2000 220 2001 235 2002 219 2003 197 2004 188 2005 178 2006 167 2007 151
Berdasarkan data di atas:
a. Gambarkan data penjualan PT Ikhlas. b. Buatlah persamaan trendnya.
82
Penyelesaian:
a. Gambar data penjualan PT Ikhlas.
Data Penjualan PT Ikhlas
0 50 100 150 200 250
1990 1995 2000 2005 2010
Tahun
Pe
n
ju
a
la
n
Penjualan
Gambar 5.3
Data Penjualan PT Ikhlas
b. Persamaan trendnya.
Tabel 5.8 Penjualan PT Ikhlas
Tahun Penjualan (Y) X XY X2 X2Y X4
1995 150 -6 -900 36 5.400 1.296
1996 165 -5 -825 25 4.125 625
1997 177 -4 -708 16 2.832 256
1998 189 -3 -567 9 1.701 81
1999 199 -2 -398 4 796 16
2000 220 -1 -220 1 220 1
2001 235 0 0 0 0 0
2002 219 1 219 1 219 1
2003 197 2 394 4 788 16
2004 188 3 564 9 1.692 81
2005 178 4 712 16 2.848 256
2006 167 5 835 25 4.175 625
2007 151 6 906 36 5.436 1.296
83
c. Ramalan penjualan PT Ikhlas tahun 2009
Y 2009 maka X = 8
Y = 179,7 + 0,0659 (8) + 0,5435 (8)2 = 215,01 (dibulatkan menjadi 215) Ramalan penjualan PT Ikhlas tahun 2009 sebesar 215.000 unit
2. Trend Eksponensiil
Bentuk umum persamaan trend eksponensiil adalah: Y’ = a. bx
Apabila diubah dalam bentuk logaritma, maka persamaannya menjadi: Log Y’ = log a + X log b
Harga-harga a dan b dapat dicari dengan asumsi Σ X = 0 sebagai berikut:
a
n
Y
log
log
=
84
n
Y
a
log
log
=
Σ
a = antilog a
(
X
log
Y
)
=
Σ
(
X
2
)
log
b
Σ
2
X
Y
X
b
Σ
Σ
=
(
log
)
log
b = antilog b
Contoh soal:
85
Tabel 5.9 Penjualan PT Ikhlas
Tahun Penjualan 1993 150 1994 160 1995 170 1996 190 1997 210 1998 230 1999 244 2000 255 2001 260 2002 270 2003 270 2004 270 2005 270 2006 270 2007 272
Berdasarkan data di atas:
a. Gambarkan data penjualan PT Bintang. b. Buatlah persamaan trendnya.
c. Berapa ramalan penjualan PT Bintang tahun 2009? Penyelesaian:
86 Penjualan
0 50 100 150 200 250 300
1990 2000 2010
Penjualan
Gambar 5.4
Data Penjualan PT Bintang b. Persamaan Trend
Tabel 5.10
Perhitungan Persamaan Trend
Tahun Penjualan (Y) X Log Y X Log Y X2
1993 150 -7 2,1761 -15,2326 49 1994 160 -6 2,2041 -13,2247 36 1995 170 -5 2,2304 -11,1522 25
1996 190 -4 2,2788 -9,1150 16
1997 210 -3 2,3222 -6,9667 9
1998 230 -2 2,3617 -4,7235 4
1999 244 -1 2,3874 -2,3874 1
2000 255 0 2,4065 0 0
2001 260 1 2,4150 2,4150 1
2002 270 2 2,4314 4,8627 4
2003 270 3 2,4314 7,2941 9
2004 270 4 2,4314 9,7255 16
2005 270 5 2,4314 12,1568 25
2006 270 6 2,4314 14,5882 36
2007 272 7 2,4346 17,0420 49
87
D. Kriteria Memilih Trend
Dalam memilih trend yang sebaiknya digunakan, ada 3 cara yaitu (Atmaja, 1997):
1. Menganalisis grafik data atau scatter-plot
88
Gambar 5.5 Cenderung linier
Gambar 5.6 Cenderung kuadratik
Gambar 5.7
Cenderung eksponensial
2. Menganalisis selisih data
89
Contoh:
Tabel 5.11
Perhitungan Selisih Trend Linier
Y Selisih Pertama 10
20
29
39
50
60
10
9
10
11
10
b. Jika selisih kedua dari data observasi cenderung konstan, gunakan trend kuadratik
Contoh:
Tabel 5.12
Perhitungan Selisih Trend Kuadratik
Y Selisih Pertama Selisih Kedua 10
20 10
15
90
Y Selisih Pertama Selisih Kedua 35
c. Jika selisih pertama dari nilai logaritma data observasi cenderung konstan, gunakan trend eksponensial
Contoh:
Tabel 5.13
Perhitungan Selisih Trend Eksponensial
91
3. Menghitung Mean Square Error
Menghitung Mean Square Error untuk setiap jenis trend, pilih garis trend yang memberikan Mean Square Error (MSE) terkecil.
(
)
Yi = observasi aktual periode i
i
n = jumlah observasi
E. Variasi Musim
Variasi musim merupakan gerakan data yang naik turun secara teratur yang cenderung terulang kembali dalam jangka waktu kurang dari 1 tahun, misalnya bulanan, kuartalan dsb. Dalam mengukur derajat naik turunnya data biasanya dinyatakan dengan “indeks musim” atau IM. Harga rata-rata IM untuk setiap periode musiman akan sama dengan 100.
Dalam menghitung harga-harga IM dapat digunakan beberapa metode, yaitu: 1. metode rata-rata sederhana,
2. metode perbandingan dengan trend,
3. metode perbandingan dengan rata-rata bergerak, 4. metode relatif berantai
Pembahasan akan dilakukan dengan menggunakan metode rata-rata sederhana.
1. Metode Rata-rata Sederhana
92
a. Susun data dalam suatu tabel dengan baris periode musiman (bulanan, kuartalan dsb) dan kolom untuk tahun.
b. Hitung rata-rata setiap periode musiman untuk seluruh tahun yang ada (rata-rata ke kanan/setiap baris), hasilnya masukkan dalam kolom 1.
c. Hitung rata-rata setiap periode musiman untuk setiap tahun (rata-rata ke bawah/setiap kolom)
d. Cari trend/tambahan trend (b) periode musiman dengan rumus:
2
X
XY
b
Σ
Σ
=
: periode musimanY = harga rata-rata per periode musiman per tahun X = unit periode (tahun)
ΣX= 0
Harga b selalu dianggap positif, sehingga hasil positif atau negatif hanya menunjukkan bahwa trend setiap periode bertambah/menurun.
Jika harga b positif, maka trend pada: periode musiman I = 0b
periode musiman II = 1b
periode musiman III = 2b, dst (dari baris paling atas) Jika harga b negatif, maka trend pada:
periode musiman n – 1 = 1b periode musiman n – 2 = 2b
periode musiman n – 3 = 3b, dst (dari baris paling bawah) Harga-harga trend ini kemudian kita masukkan pada kolom 2.
93
f. Hitung rata-rata untuk kolom 3, yaitu jumlah kolom 3 dibagi dengan banyak periode musimannya, misalnya bulanan dibagi 12, kuartalan dibagi 4 dst.
g. Menentukan harga-harga Indeks musim (IM) untuk setiap periode musiman dengan menggunakan rumus:
angka-angka pada kolom 3
IM = --- x 100 rata-rata kolom 3
Contoh:
Data Penjualan bulanan PT WINGWING adalah sebagai berikut: Tabel 5.14
Data Penjualan PT WINGWING
Bulan Tahun 2003 2004 2005 2006 2007 Jan 500 550 630 540 620 Feb 450 530 545 550 540 Maret 430 600 530 530 500 April 400 600 580 480 500 Mei 550 490 500 460 510 Juni 500 440 470 470 490 Juli 450 410 440 600 580 Agst 520 600 430 630 660 Sept 390 400 470 500 510 Okt 400 450 480 510 520 Nov 550 500 520 550 600 Des 650 630 620 660 710
94
2. Ramalan Rangkaian Waktu Dengan Variasi Musim
Jika data yang akan diramalkan terpengaruh oleh adanya variasi musim, maka dalam peramalannya kita perlu memperhitungkan indeks musimnya. Sehingga rumus ramalannya menjadi sbb:
100
xIM
Y
Y
'
'
=
'
Y’’ = nilai ramalan karena adanya pengaruh variasi musim Y’ = trend periode musim ( trend bulanan, trend kuartalan dst) IM = indeks musim (IM bulanan, IM kuartalan dst)
Metode peramalan yang demikian itu sering disebut dengan peramalan dengan metode dekomposisi.
Contoh:
Data Produksi kuartalan PT LAVENDER adalah sbb: Tabel 5.15
Data Penjualan PT LAVENDER
Kuartal 2000 2001 2002 2003 I 93 93 86 92 II 96 97 96 100 III 97 93 98 103
IV 93 94 95 102
Ramalkan untuk kuartal I sampai dengan kuartal IV tahun 2003.
F. Latihan soal
95
Tabel 5.16
Data Pengunjung Taman Rekreasi HAPPY
Tahun Jumlah Pengunjung 1996
Berdasarkan data di atas:
a. Buatlah persamaan trendnya?
b. Berapa perkiraan jumlah pengunjung tahun 2009?
c. Jika setiap pengunjung membayar tiket masuk Rp5.000 per orang, berapa pendapatan dari penjualan tiket tahun 2009?
2. Data produksi PT HOKERY sebagai berikut:
Tabel 5.17
Data Produksi PT HOKERY
96
Tahun Produksi
(ribuan unit) 1996 630 1997 640 1998 650 1999 659 2000 670 2001 680 2002 700 2003 710 2004 725 2005 740 2006 755 2007 770Berdasarkan data di atas:
a. Dengan menggunakan analisis selisih data , trend apakah yang sesuai untuk digunakan?
b. Buatlah persamaan trendnya.
c. Berapa ramalan produksi tahun 2010.
3. Data penjualan PT BULAN yaitu:
Tabel 5.18
Data Penjualan PT BULAN
Tahun Penjualan
97
Tahun Penjualan
(ribuan unit) 1999 740 2000 750 2001 759 2002 770 2003 780 2004 800 2005 820 2006 845 2007 875
Jika dari data di atas diasumsikan datanya linear:
a. Buatlah persamaan trendnya, dengan menggunakan metode least square (kuadrat terkecil).
b. Berapa ramalanpenjualan 2009?
c. Berapa ramalan penjualan rata-rata bulanan tahun 2009? d. Berapa ramalan penjualan rata-rata kuartalan tahun 2009?
e. Berapa ramalan penjualan bulan Februari dan Agustus tahun 2009? f. Berapa ramalan penjualan bulan kuartal I dan kuartal IVtahun 2009?
4. PT SANSIVERA memiliki data produksi sebagai berikut (data yang kosong silahkan diisi sendiri):
Tabel 5.19
Data Produksi PT SANSIVERA
Tahun Produksi
(ribuan unit)
98
Tahun Produksi
(ribuan unit)
1997 ... 1998 ... 1999 ... 2000 ... 2001 759 2002 770 2003 780 2004 ... 2005 ... 2006 ... 2007 ...
a. Gambarkan data tersebut, trend apa yang cocok untuk digunakan? b. Buatlah persamaan trendnya,
c. Berapa ramalan produksi tahun 20010? d. Buatlah persamaan trend rata-rata bulanan. e. Buatlah persamaan trend rata-rata kuartalan. f. Buatlah persamaan trend bulanan.
g. Buatlah persamaan trend kuartalan.
5. Jumlah dana yang mampu dihimpun PT Bank Surya sejak didirikannya tahun 1993 adalah sebagai berikut:
Tabel 5.20
Jumlah Dana PT Bank Surya
Tahun 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Dana dihimpun
(milyar rp)
3.0 4.2 6.3 8.9 12.5 15.7 18.0 23.3
99
a. Persamaan garis trend
b. Perkiraan dana yang dihimpun tahun 2009
c. Perkiraan dana yang dihimpun tahun 2009 bila periode dasar diubah menjadi tahun 2005
d. Dengan persamaan pada butir a, hitunglah perkiraan dana kw I hingga kw IV tahun 2009.
6. Data penjualan PT ORCHID selama beberapa tahun yaitu (Silahkan data diisi sendiri dalam bentuk ribuan):
Tabel 5.21
Data Penjualan PT ORCHID
Tahun Penjualan 1995 ... 1996 ... 1997 ... 1998 ... 1999 ... 2000 ... 2001 ... 2002 ... 2003 ... 2004 ... 2005 ... 2006 ... 2007 ……
100
a. Gambarkan data tersebut, trend apa yang cocok untuk digunakan? b. Buatlah persamaan trend
c. Berapa ramalan penjualan tahun 2010?
7. Data penjualan kuartalan PT KATLEYA adalah: Tabel 5.22
Data Penjualan PT KATLEYA
Kuartal 2004 2005 2006 2007
I 195 198 186 192
II 199 190 196 205
III 197 193 198 203
IV 193 194 195 210
Ramalkan untuk kuartal I sampai dengan kuartal IV tahun 2009.
8. Data Penjualan bulanan PT EPHORBIA adalah sebagai berikut: Tabel 5.23
Data Penjualan PT EPHORBIA
101
Bulan Tahun 2003 2004 2005 2006 2007 Agst 620 700 630 670 760 Sept 690 600 670 690 610 Okt 600 650 680 610 620 Nov 650 500 620 650 660 Des 650 630 620 760 710
Berdasarkan data di atas: a. Carilah indeks musimnya
