2 Fungsi dan Model – Handout

Departemen Matematika FMIPA IPB

Bogor, 2012

Topik Bahasan

1 Fungsi

2 Jenis-jenis Fungsi

3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama

4 Model Matematika

Pengertian Fungsi

Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain.

Contoh

1 Populasi manusiaPbergantung pada waktut.

2 Biaya pengiriman suratBbergantung pada beratw.

3 Luas lingkaranLbergantung pada panjang jari-jarir.

De…nisi (Fungsi)

Misalkan AdanB adalah dua himpunan. Fungsif adalah suatu aturan

yang memadankan setiap elemen x2A dengan tepat satu elemen

y=f(x)2B.

Ilustrasi Fungsi

Notasi: f :A!B

Catatan:

1 Dalam kalkulus biasanyaA,B R_.

2 Aturan pemadanan fungsi: y=f(x)

xvariabel bebas

yvariabel takbebas, bergantung pada x 3 Daerah asal fungsi:

Df =A=fx:fungsif terde…nisig

4 Daerah hasil fungsi:

Wf = y2B:y=f(x),x2Df

5 Gra…k fungsi:

(x,y):x₂Df,y=f(x)

Ilustrasi Gra…k Fungsi

Contoh

Sketsa gra…k fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan daerah hasilnya.

1 y=2x+1.

2 y=x2 1.

Uji Garis Tegak

Kurva di bidang-xy merupakan gra…k suatu fungsi jika dan hanya jika

tidak terdapat garis tegak yang memotong kurva lebih dari sekali.

Contoh

Diberikan sketsa gra…k persamaan y=x+1 danx=y2 2y.

Periksa gra…k manakah yang merupakan gra…k suatu fungsi menggunakan uji garis tegak.

Penyajian Fungsi

Secara verbal: dengan uraian kata-kata Secara numerik: dengan tabel

Secara visual: dengan gra…k

Secara aljabar: dengan aturan/rumusan eksplisit

Contoh (Penyajian fungsi secara verbal)

Biaya pengiriman surat tercatat seberat wons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,- untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,- untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons.

Contoh (Penyajian fungsi secara numerik)

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.

Beratw(ons) Biaya B(w)(rupiah)

Contoh (Penyajian fungsi secara visual)

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan gra…k berikut.

Contoh (Penyajian fungsi secara aljabar)

Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut.

B(w) =

Contoh

Salah satu stasiun TV swasta nasional memberlakukan aturan pemberian tingkat diskon (D) dalam persen atas banyaknya belanja iklan (x) dalam juta rupiah sebagai berikut. Belanja iklan kurang dari 500juta rupiah diberi diskon 5%, belanja iklan dari500juta rupiah sampai dengan1miliar rupiah diberi diskon 10%, dan belanja iklan lebih dari1 miliar rupiah diberi

diskon 30%. Nyatakan hubunganD denganxsecara numerik, visual

(gra…k fungsi D), dan aljabar.

Fungsi Polinom

Aturan fungsi:

y=f(x) =anxn+an 1xn 1+ +a2x2+a1x+a0

an,. . .,a1,a0 konstanta, (an6=0),n= derajat polinom

Daerah asal: Df =R

Daerah hasil bergantung pada bentuknya

Fungsi Polinom

Fungsi Konstan (Polinom Berderajat 0)

Aturan fungsi: y=f(x) =a

a konstanta

Daerah asal: Df =R

Daerah hasil: Wf = fag

Gra…k:

Fungsi Polinom

Fungsi Linear (Polinom Berderajat 1)

Aturan fungsi: y=f(x) =ax+b a danbkonstanta, (a6=0)

a= kemiringan garis (gradien/slope)

b= perpotongan garis dengan sumbu-y(intersep)

Daerah asal: Df =R

Daerah hasil: Wf =R

Gra…k:

Contoh

Fungsi Polinom

Fungsi Kuadratik (Fungsi Polinom Berderajat 2)

Aturan fungsi: y=f(x) =ax2_+bx+c

Contoh

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.

1 y=x2+2x 1.

2 y= 2x2+2x 4.

3 y=x2+4x+5, 6 x 7.

Fungsi Pangkat

Gra…k:

Fungsi Akar

Gra…k:

Contoh

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut

1 y=px 1.

2 y=p x2_{+3x 2.}

Fungsi Rasional

Aturan fungsi:

y=f(x) = P(x)

Q(x)

P danQadalah fungsi polinom

Daerah asal: Df =R fx:Q(x) =0g

Daerah hasil bergantung pada bentuknya

Contoh

1 Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi rasional berikut.

y= x+1

x 1

2 Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut.

y= x 2

x2 ₁

Fungsi Rasional

Fungsi Kebalikan

Aturan fungsi:

y=f(x) = 1

x, x6=0

Daerah asal: Df =R f0g

Daerah hasil: Wf =R f0g

Gra…k:

Fungsi Aljabar

De…nisi (Fungsi aljabar)

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan,

perkalian, pembagian, dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.

Contoh

Berikut merupakan fungsi-fungsi aljabar.

1 f(x) =

Fungsi polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, dan fungsi rasional merupakan fungsi aljabar.

Fungsi Trigonometri

Fungsi Sinus

Aturan fungsi:

y=f(x) =sinx, x dalam radian

Daerah asal: Df =R

Daerah hasil: Wf = [ 1, 1]

Gra…k:

Fungsi Trigonometri

Fungsi Kosinus

Aturan fungsi:

y=f(x) =cosx, x dalam radian

Daerah asal: Df =R

Daerah hasil: Wf = [ 1, 1]

Gra…k:

Fungsi Trigonometri

Fungsi Tangen

Aturan fungsi:

y= f(x) =tanx= sinx

cosx, x dalam radian

Daerah asal: Df =R π₂ +nπ :n2Z

Daerah hasil: Wf =R

Gra…k:

Fungsi Trigonometri

Fungsi Sekan, Kosekan, dan Kotangen

Fungsi sekan

Beberapa Sifat Fungsi Trigonometri

1 1 sinx 1

2 1 cosx 1

3 _sinx=_sin(x+₂π)

4 cosx=cos(x+2π)

5 tanx=tan(x+π)

Fungsi Eksponen

Bentuk:

y=f(x) =ax, a>₀

Daerah asal: Df =R

Daerah hasil: Wf = (0,∞)

Gra…k:

Fungsi Logaritma

Bentuk:

y=f(x) =log_ax, a>₀

Daerah asal: Df = (0,∞)

Daerah hasil: Wf =R

Gra…k:

Fungsi Transenden

De…nisi (Fungsi transenden)

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.

Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponen, dan logaritma.

Contoh

Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.

1 f(x) =p4 x+1

Fungsi Sesepenggal (

Piecewise Function

)

De…nisi (Fungsi sesepenggal)

Fungsi sesepenggal adalah fungsi dengan banyak aturan dengan setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.

Contoh

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dangberikut, kemudian buatlah sketsa gra…knya.

f(x) =_jxj= x, x 0

x, x<₀

Catatan: f disebut fungsi nilai mutlak.

Contoh

Dide…nisikan untuk setiap bilangan real x:

[[x]] = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama denganx.

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dengan

f(x) = [[x]],

kemudian buatlah sketsa gra…knya.

Catatan: f disebut fungsi bilangan bulat terbesar.

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

De…nisi (Fungsi genap)

Jika fungsi f memenuhif( x) =f(x)untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka fungsi f disebut fungsi genap.

Catatan: Gra…k fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.

De…nisi (Fungsi ganjil)

Jika fungsi f memenuhif( x) = f(x)untuk setiap xdi dalam daerah

asalnya, maka fungsi f disebut fungsi ganjil.

Catatan: Gra…k fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.

Contoh

Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi genap, fungsi ganjil, atau bukan keduanya.

1 f(x) =1 x4.

2 f(x) =x2+cosx.

3 f(x) =x+sinx.

4 f(x) =2x x2.

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

De…nisi (Fungsi naik dan fungsi turun)

1 Fungsi f disebut naik pada interval I jika

f(x1)<f(x2) untuk setiap x1 <x2 di I.

2 Fungsi f disebut turun pada intervalI jika

f(x1)>f(x2) untuk setiap x1 <x2 di I.

Contoh

Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada interval I.

1 f(x) =x2, I= [0,∞).

2 f(x) =_sinx, I= [π, 2π].

Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:

1 Transformasi fungsi

Pergeseran, peregangan, dan pencerminan

2 Operasi aljabar fungsi

Penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

3 Komposisi fungsi

Transformasi Fungsi

Pergeseran (Translasi)

Misalkan c>_{0. Untuk memperoleh gra…k:}

1 y=f(x) +c, geser gra…k y=f(x)sejauh csatuan ke atas

2 y=f(x) c, geser gra…k y=f(x)sejauh csatuan ke bawah

3 y=f(x c), geser gra…k y=f(x)sejauh csatuan ke kanan

4 y=f(x+c), geser gra…k y=f(x)sejauh csatuan ke kiri

Transformasi Fungsi

Peregangan (Dilatasi)

Misalkan c>_{1. Untuk memperoleh gra…k:}

1 y=cf(x), regangkan gra…k y=f(x)secara tegak dengan faktor c

Transformasi Fungsi

Pencerminan (Re‡eksi)

Untuk memperoleh gra…k

1 y= f(x), cerminkan gra…k y=f(x)terhadap sumbu-x

2 y=f( x), cerminkan gra…k y=f(x)terhadap sumbu-y

Contoh

Gambarkan gra…k fungsif berikut dengan menggunakan sifat transformasi

fungsi.

1 f(x) =jx 1j.

2 f(x) =sin 2x.

3 f(x) =x2+2x+1.

4 f(x) =1 cosx.

Operasi Aljabar Fungsi

De…nisi (Aljabar fungsi)

Misalkan f dang adalah fungsi dengan daerah asal Df danDg. Fungsi f +g,f g,fg, danf/g dide…nisikan sebagai berikut

1 (f+g) (x) =f(x) +g(x); D_f+g =D_f \D_g

2 (f g) (x) =f(x) g(x); D_{f g} =D_f \Dg

3 (fg) (x) =f(x)g(x)_; D_fg =D_f \D_g

4 (f/g) (x) =f(x)/g(x); D_f/g=D_f \D_g fx:g(x) =0g

Contoh

Tentukan f+g,f g,fg, danf/g beserta daerah asal dan daerah hasilnya, jika

f(x) =x2; g(x) =2x

Contoh

Tentukan f+g,f g,fg, danf/g beserta daerah asalnya, jika

f(x) =p1+x; g(x) =x 1

Komposisi Fungsi

De…nisi (Komposisi fungsi)

Misalkan f dang adalah fungsi dengan daerah asal Df danDg. Fungsi

komposit f gdide…nisikan sebagai berikut:

(f g) (x) =f(g(x))

denganDf g = x:x2Dg dang(x)2Df .

Ilustrasi Komposisi Fungsi

Ilustrasi Komposisi Fungsi (2)

Contoh

Tentukan f gdang f beserta daerah asalnya, jika

f(x) =x2+1 ; x<₀

g(x) =2 x ; 0<_{x 5}

Model Matematika

De…nisi (Model matematika)

Model matematika adalah representasi dari fenomena dunia nyata yang melibatkan konsep atau formulasi matematik (sering kali menggunakan fungsi atau persamaan).

Tujuan: memahami suatu fenomena dan mungkin membuat perkiraan tentang perilakunya di masa depan.

Proses Pemodelan

Contoh

Tempat penampungan air berbentuk silinder tanpa tutup. Jika tinggi silinder 2kali garis tengah alas silinder, maka tentukan luas permukaan tempat penampungan air sebagai fungsi dari jari-jari alas.

Contoh

Kapal tanker yang bermuatan minyak mentah menabrak karang, sehingga kapal bocor. Tumpahan miyak membentuk lingkaran. Jari-jari tumpahan

minyak berkembang dengan laju tetap 2 km/jam.

1 Rumuskan jari-jari rsebagai fungsi dari waktu t.

2 Rumuskan luas tumpahan minyak Lsebagai fungsi dari jari-jari r.

3 Rumuskan luas tumpahan minyak Lsebagai fungsi dari waktut.

(Tentukan fungsi komposisi (L r) (t)).

4 Tentukan luas tumpahan minyak pada hari ke-10 setelah kapal bocor.

Contoh

Pada suatu medium, banyaknya bakteri mula-mula adalah 500satuan.

Perkembangan bakteri tersebut dipengaruhi oleh suhu t(dalam C)

sebagai berikut. Pada 0<_{t 10, setiap penambahan1 C, bakteri}

bertambah sebanyak 50 satuan. Tetapi pada10<_{t 30 bakteri hanya}

bertambah 10satuan setiap penambahan 1 C, bahkan padat>_{30 bakteri}

mati dengan laju konstan 5satuan per 1 C. Rumuskan banyaknya bakteri

P sebagai fungsi dari suhu t dan gambarkan gra…knya.

Contoh

Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar (30+v/2)$/mil jika

dikemudikan dengan kecepatan konstan v mil/jam. Pengemudi truk

mendapatkan upah 1400$/jam. Rumuskan total biaya pengiriman barang

dengan menggunakan truk tersebut ke kota A yang berjarak kmil, sebagai

fungsi dari kecepatan v.

Contoh

Aturan pembayaran biaya berlangganan air PDAM sebagai berikut.

Dikenai biaya Rp 7.000,- untuk pemakaian10 m3 _{pertama. Tambahan}

biaya Rp 1.000,- per m3untuk pemakaian di atas 10m3 sampai 20m3 dan tambahan biaya Rp 2.600,- per m3 untuk pemakaian di atas 20 m3.

1 Jika seorang pelanggan air PDAM menggunakan air hingga ₁₆m3,

maka berapa biaya berlangganan yang harus dibayar?

2 Jika seorang pelanggan air PDAM menggunakan air hingga 57m3,

maka berapa biaya berlangganan yang harus dibayar?

3 Rumuskan biaya berlangganan air Bsebagai fungsi dari banyaknya

pemakaian air x, kemudian gambarkan gra…k fungsinya.