BINOMIAL NEGATIF SEBAGAI SALAH SATU ALTERNATIF MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON

BINOMIAL NEGATIF SEBAGAI SALAH SATU ALTERNATIF

MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON

Oleh : A’yunin Sofro

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Surabaya ayunin_sofro@yahoo.co.uk

Abstrak

.

Pendekatan regresi Poisson mengasumsikan bahwa antara mean dan varian dari variabel respon sama. Pada kenyataannya nilai dari variasi pada variabel respon melebihi mean. Apabila tetap menggunakan regresi Poisson akan menghasilkan nilai deviasi yang cukup besar sehingga ada indikasi terdapat kasus overdispersion. Dengan adanya kasus overdispersion akan mengakibatkan estimasi parameter yang dihasilkan menjadi kurang tepat. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan pendekatan binomial negatif pada data klaim resiko sendiri memberikan hasil lebih baik daripada regresi Poisson dengan menurunnya nilai devians. Pendekatan Binomial negatif juga memberikan nilai yang lebih kecil pada kriteria AIC sebagai goodness of fit dari model

Kata kunci: AIC, Binomial Negatif, Overdispersion, Regresi Poisson

1. Pendahuluan

Model regresi yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara variabel bebas dengan variabel respon yang berdisribusi Poisson adalah model regresi Poisson. Dimana distribusi Poisson atau proses kejadian Poisson berbentuk diskrit tapi tidak biner. Beberapa peneliti yang telah mengembangkan model regresi Poisson adalah McCullagh dan Nelder (1989) mengemukakan model untuk jumlah kecelakaan dari jasa kargo pada asuransi laut. Pada asuransi motor, Brockman dan Wright(1992) mengaplikasikan model motor untuk klaim resiko sendiri dinegara United Kingdom (UK) dan Renshaw (1994) mengaplikasikan modelklaim motor untuk perusahaan asuransi di UK.

Pada dasarnya, model regresi Poisson diasumsikan mean dan varian dari variable respon adalah sama. Pada kejadiaan riilnya, data sangat dimungkinkan mempunyai penyebaran yang luas (overdispersion), misalnya situasi dimana variasi melebihi mean. Apabila tetap menggunakan regresi Poisson akan mengakibatkan estimasi parameter yang dihasilkan kurang tepat karena kemungkinan adanya overdispersion. Sehingga perlu dilakukan pendekatan yang lain, salah satunya dengan menggunakan pendekatan binomial negatif (Ismail dan Jemain, 2007).

Beberapa peneliti yang mengembangkan kasus ini adalah Gardner dan Ester (1995) di bidang psikologi dan kriminilitas, Lee, dkk (2003) di bidang biomedical untuk mengetahui peluang penyakit yang belum diketahui berdasarkan karakter indek stroke pada pasien. dan Ismail dan Jemain (2007) menggunakan pendekatan binomial negatif dibidang asuransi untuk mengetahui peluang nasabah dalam mengajukan klaim asuransi kendaraan bermotor di Malaysia. Dari uraian diatas, maka tujuan penelitian adalah mengkaji model binomial negatif untuk mengatasi adanya overdispersion pada Regresi Poisson.

Seminar Nasional Statistika IX

2

2. Tinjauan Pustaka 2.1 Regresi Poisson

Regresi Poisson adalah analisis regresi yang biasanya digunakan untuk data dengan repon berupa variabel diskrit tetapi tidak biner. Dalam hal ini respon data tersebut berdistribusi Poisson dengan parameter



. Hal ini sangat penting untuk dicatat bahwa parameter



ini sangat bergantung pada beberapa unit tertentu atau periode dari waktu, jarak, luas area, volume dan sebagainya. Distribusi ini kemudian digunakan untuk memodelkan suatu peristiwa yang keberadaannya relatif jarang atau langka untuk terjadi pada satuan unit tertentu. Sebagai contoh, jika



adalah rata-rata suatu kejadian perunit waktu dan t adalah periode waktu tertentu, maka rata-rata dari y menjad



t. Jadi, peluang terjadinya kejadian y pada periode waktu ke- t diberikan



,

2

,

1

,

0

,

!

)

(

)

;

(







y

y

t

e

y

f

y ti







Tapi seringkali terjadi bahwa banyaknya peristiwa itu bergantung pada tingkat dari variabel prediktor yang berubah dalam proses pengambilan atau pengumpulan data. Jadi, untuk fenomena seperti itu maka kita gunakan terminologi regresi Poisson.

Persamaan distribusi Poisson dapat dinyatakan sebagai :

 





_

_{ }

_

!

,

)

(

_; , i y i i x t i

e

_y

t

x

y

P

β

i i

β

i β

_

 



(1)

di mana

y

_i adalah variabel respon berdistribusi Poisson dan

t

_i



 

x

_i

,

β

menyatakan nilai harapan dari

y

_i atau

E

(

y

i

)

.



 

x

i

,

β

merupakan modelregresi Poisson serta merupakan fungsi dari

x

i sebagai variabel prediktor dan

β

sebagai parameter regresi yang ditaksir yang menyatakan seberapa besar pengaruh prediktor terhadap variabel respon sedangkan

t

_i menyatakan periode waktu.

2.2 Penaksir Parameter Model Regresi Poisson

Metode penaksiran parameter regresi Poisson menggunakan metode MLE (Maximum Likelihood Etimation). Fungsi likelihoodnya dari regresi Poisson adalah sebagai berikut.



_



n i i i

P

y

y

L

1

)

;

(

)

(

β

β

dan persamaan log likelihood adalah

 



 



 



_



_



_



n i n i i i i n i i i i

t

x

t

x

y

y

L

1 1 1

!

ln

,

,

ln

)

(

ln

β



β



β

Taksiran MLE untuk parameter model regresi Poisson dinyatakan dengan

βˆ

dan diperoleh dari solusi dari turunan pertama fungsi log likelihoodnya, yaitu :

3

β

β

β

;

)





ln

_

(

)

(

y

L

U

(2)

Sedangkan untuk varians diperoleh dari solusi dari turunan kedua fungsi log likelihoodnya, yaitu

2 2

_ln

₍

₎

)

;

(

β

β

β







L

y

g

Penyelesaian persamaan ini dapat dilakukan dengan prosedur iteratif. Kleinbaum (1988) menyatakan bahwa prosedur yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini adalah Itertatively Rewighted Least Square (IRLS). Prosedur ini dilakukan dengan iterasi Newton-Raphson. Ide dasarnya dari modelini adalah memaksimumkan fungsi likelihood. Memaksimumkan fungsi log-likelihood adalah sama dengan meminimumkan fungsi

U β

( y

;

)

pada (2). Dengan menggunakan MLE akan didapatkan suatu taksiran parameter yang konsisten dan efisien untuk ukuran n sampel besar. Langkah-langkah dalam metode Newton Raphson untuk menaksir parameter regresi Poisson adalah sebagai berikut :

1. Menentukan nilai taksiran awal parameter

βˆ

₍₀₎. Penentuan nilai awal ini diperoleh dengan metode Ordinary Least Square (OLS), yaitu :

 

X'

X

X'

Y

β



1 ) 0 (

ˆ

2. Membentuk vektor gradien g,

 

 

 























 k x k T

L

L

L

β

β

β

β

β

β

g

0

ln

,

,

ln

,

ln

1 1 ) 1 (



k adalah banyaknya parameter yang ditaksir. 3. Membentuk matrik Hessian H :

 

 

 

 

 

 







































































  2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 ) 1 ( ) 1 (

ln

ln

ln

ln

ln

ln

k k k k x k

L

simetris

L

L

L

L

L

H

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

0 0 0







Matrik Hessian ini disebut juga matriks informasi.

4. Memasukkan nilai

βˆ

₍₀₎ kedalam elemen-elemen vektor g dan matriks H, sehingga diperoleh vektor g(0) dan H(0).

5. Mulai dari m = 0 dilakukan iterasi pada persamaan : ) ( 1 ) ( ) ( ) 1 (m

β

m

H

m

g

m

β









4

6. Jika belum didapatkan penaksir parameter yang kovergen, maka dilanjutkan kembali langkah 5 hingga ke m =m+1.

2.3 Model Binomial Negatif

Misal

Y

_i adalah variabel random untuk distribusi binomial negatif. Fungsi kepadatan peluang adalah i i i i i v i i i i i i i i i

_v

_v

v

v

y

v

y

y

Y

P











































)

(

)

1

(

)

(

)

(

(3)

dimana meannya adalah

E

 

Y

_i

x

_i





_i dan variannya adalah

Var

 

Y

_i

x

_i





_i2





_i

v

_i1.

Jika

v

_i





dan parameter penyebaran



sama dengan nol, maka fungsi kepadatan peluang ditunjukkan pada (3) akan menurun menjadi model regresi Poisson sehingga mean sama dengan varian

 

Y

_{i i}



E x

Var x

 

Y

_{i i} . Jika



> 0, maka

E x

 

Y

_{i i} <

Var x

 

Y

_{i i} , menunjukkan model data diskret yang overdispersion.

Fungsi likelihoodnya dari GPR adalah sebagai berikut.



_



n i i

y

P

L

1

)

,

;

(

)

,

(

β



β



dan persamaan log likelihood adalah

 

,

1

log(

1

)

log(

)

log(

!

)

log(

)

(

1

)

log(

1

)

1 i i i i i i y r i

y

y

y

y

r

LnL

i





































  





β

(4)

Taksiran MLE untuk parameter model binomial negatif dinyatakan dengan

βˆ

dan diperoleh dari solusi dari turunan pertama fungsi log likelihoodnya, yaitu :

 

_j

_k

L

k

j

,

,

2

,

1

,

,

ln

)

;

(

β







_

_

β







Untuk mendapatkan taksiran

βˆ

selain menggunakan metode maksimum likelihood dapat menggunakan prosedur Itertatively Rewighted Least Square (IRLS).

Dan taksiran parameter dispersion



diperoleh dengan turunan pertama dan kedua dari fungsi log likelihood, diperoleh :

 







)





ln

_

,

;

(

β

L

β

h

(5)

 

2 2

_ln

_,

)

;

(













β

β

L

m

(6)

Untuk mendapatkan taksiran parameter



, maka persamaan (5) dan (6) diatas diselesaikan secara simultan secara iteratif dengan prosedur Itertatively Rewighted Least Square (IRLS).

5

2.4 Ukuran Goodness of Fit Model Binomial Negatif

Akaike Information Criterion (AIC)

Akaike memperkenalkan kriteria informasi yang mempertimbangkan banyaknya parameter. Untuk menghitung nilai AIC digunakan definisi sebagai berikut :

AIC = -





p

dimana



adalah hasil dari log likelihood dari



p adalah banyaknya parameter

semakin kecil nilai AIC nya maka modelsemakin baik.

3. Metodologi Penelitian

Data yang digunakan adalah data sekunder yang berasal dari PT Asuransi Tripakarta khusus untuk jenis asuransi kendaraan bermotor. Data yang akan diambil adalah data tentang klaim tipe resiko sendiri periode 2007. Berdasarkan form yang ada pada PT Asuransi Tripakarta maka variabel penelitian yang diteliti terdiri dari variabel prediktor (X) dan variabel responnya (Y), yang didefinisikan sebagai berikut : Y = Banyaknya pengajuan klaim pertahun

X1 = Negara pembuat kendaraan, didefinisikan sebagai asal negara pembuat

kendaraan dengan kategori: 1 = Jepang, 3= Jerman, 5= Prancis 2 = Korea, 4= Italia, 6= Amerika X2 = Gender Use, didefinisikan sebagai pengguna dari kendaraan bermotor

yang diasuransikan dengan kategori: 1 = pengguna pribadi 2 = pengguna bisnis

X3 = Umur kendaraan, didefinisikan sebagai tahun mulai pembuatan kendaraan

sampai dengan tahun pengajuan asuransi kendaraan

Langkah-langkah penelitiannya adalah terlebih dahulu memodelkan dengan regresi Poisson dengan melibatkan variabel utama tanpa melibatkan adanya interaksi antar variabel kemudian dimodelkan dengan menggunakan Binomial negatif. Nilai deviasi yang dihasilkan oleh regresi Poisson akan dibandingkan dengan nilai deviasi dan AIC yang dihasilkan oleh Binomial negatif.

4. Analisis Data Dan Pembahasan

4.1 Pemodelkan Data Dengan Regresi Poisson

Langkah pertama data klaim resiko sendiri dimodelkan dengan menggunakan regresi Poisson dengan melibatkan variabel utama tanpa melibatkan adanya interaksi antar variable. Dengan menggunakan software SAS diperoleh hasil taksiran parameter dari model regresi Poisson sebagai berikut.

6

Tabel 1. Hasil Taksiran Parameter Dengan Regresi Poisson

Parameter Taksiran Std Error P-value

Intercept -0,7367 0,1000 0,0001 X1 0,3527 0,0830 0,0001 X2 1,0882 0,0696 0,0001 X3 0,2990 0,0259 0,0001

Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa semua parameter yang signifikan. Hal ini ditunjukkan oleh nilai p-value masing-masing parameter semua bernilai 0,0001 yang lebih kecil dari  = 0,05.

4.2 Analisis Adanya Kasus Dispersion Pada Regresi Poisson

Pada dasarnya, model regresi Poisson diasumsikan mean dan varian dari variabel respon adalah sama. Pada kejadiaan riilnya, data sangat dimungkinkan mempunyai penyebaran yang luas (dispersion), misalnya situasi dimana variasi melebihi mean. Apabila tetap menggunakan regresi Poisson maka mengakibatkan terjadi kesalahan dalam menganalisis.

Kategori yang digunakan untuk mendeteksi keberadaan overdispersion atau underdispersion adalah nilai deviasi dan pearson chi square yang dibagi dengan derajad bebas. Nilai atau hasil bagi yang lebih besar dari satu mengindikasikan adanya overdispersion, sedangkan nilai atau hasil bagi yang lebih kecil dari satu mengindikasikan adanya underdispersion.

Dengan menggunakan program SAS 9.1 dengan prosedur GENMOD, diperoleh kriteria goodness of fit yang dapat dilihat pada Tabel 2.

Tabel 2. Kriteria goodness of fit Dari Regresi Poisson Dengan Prosedur GENMOD

Kriteria Nilai DF Nilai/DF

Deviance 2908,72 494 5,89

Dari Tabel 2, dapat dilihat bahwa nilai deviasi yang diperoleh dari memodelkan dengan regresi Poisson untuk pengguna bisnis cukup besar yaitu 2908,72 dan apabila nilai tersebut dibagi dengan derajad bebasnya maka hasilnya lebih dari satu yaitu sebesar 5,89. Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa data Klaim Resiko Sendiri untuk pengguna bisnis di PT Asuransi Tripakarta mengalami overdispersion. Untuk mengatasi kasus tersebut maka menurut Ismail dan Jemain (2007) menyarankan untuk menggunakan pendekatan binomial negatif untuk memodelkannya. Sehingga diharapkan akan diperoleh hasil estimasi parameter yang lebih tepat. Langkah selanjutnya adalah memodelkan data klaim resiko sendiri dengan menggunakan model Binomial Negatif.

7

4.3 Pemodelan Data Dengan Model Binomial Negatif

Langkah berikutnya adalah data klaim resiko sendiri dimodelkan dengan menggunakan model Binomial Negatif dengan melibatkan variabel utama tanpa melibatkan adanya interaksi antar variabel. Dengan menggunakan software SAS diperoleh hasil taksiran parameter dari model Binomial negatif sebagai berikut.

Tabel 3. Hasil Taksiran Parameter dengan Binomial Negatif

Parameter Estimasi SE P value

X0 -0,9639 0,3082 0,0018 X1 0,3481 0,2584 0,1779 X2 1,2543 0,2708 <,0001 X3 0,3613 0,1004 0,0003

Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa tidak semua parameter yang signifikan. Hal ini ditunjukkan oleh nilai p-value masing-masing parameter secara berurutan untuk

X

₀

,

X

₂

,

X

₃ adalah 0,0018; 0,0001 dan 0,0003 yang lebih kecil dari  = 0,05. Sedangkan untuk

X

₁tidak signifikan dengan nilai p_value bernilai sebesar 0,1779 yang lebih besar dari  = 0,05.

4.3 Analisis Adanya Kasus Dispersion Pada Model Binomial Negatif

Dengan menggunakan program SAS 9.1 dengan prosedur GENMOD, diperoleh kriteria goodness of fit yang dapat dilihat pada Tabel 4.2.

Tabel 4.3. Kriteria goodness of fit Dari Regresi Poisson Dengan Prosedur GENMOD

Kriteria Nilai DF Nilai/DF

Deviance 331,03 494 0,67

Dari Tabel 4.3, dapat dilihat bahwa nilai deviasi yang diperoleh dari model binomial negatif sebesar 331,03. Dapat disimpulkan bahwa dengan nilai deviasi dari data mampu diturunkan dengan menggunakan pendekatan binomial negatif. Namun dan apabila nilai tersebut dibagi dengan derajad bebasnya maka hasilnya kurang dari satu yaitu sebesar 0,67. Namun penurunan nilai deviasi tersebut tidak signifikan dalam mengatasi kasus overdispersion, hal ini dikarenakan hasil bagi antara nilai deviasi dan derajad bebasnya menjadi kurang dari satu. Pendekatan model binomial ngatif pada data resiko sendiri hanya mampu menurunkan nilai deviasinya sedangkan kasus overdispersion menjadi kasus underdispersion.

4.4 Perbandingan Model Binomial Negatif terhadap Regresi Poisson

Langkah terakhir adalah membandingkan model Binomial Negatif dengan Regresi Poisson. Dengan menggunakan program SAS 9.1 prosedur GENMOD akan diperoleh kriteria goodness of fit dari medel binomial negatif dan regresi Poisson. Hasil dapat dilihat pada Tabel 5

8

Tabel 5. Kriteria Kebaikan Model dari Regresi Poisson Dan Binomial Negatif Kriteria Regresi Poisson Binomial

Negatif

AIC 3429,5 3402,8

Pada penelitian ini kriteria pembanding yang digunakan adalah kriteria AIC, dimana semakin kecil nilai AIC maka semakin baik model tersebut. Dari Tabel 5, pemodelan dengan binomial negatif menghasilkan nilai AIC lebih kecil dari pada nilai AIC pada regresi Poisson , yaitu secara berurutan 3402,8 dan 3429,5. Model yang baik memiliki nilai AIC yang lebih kecil. Berdasarkan kriteria tersebut dapat disimpulkan bahwa pemodelan dengan model binomial negatif pada data Resiko Sendiri di PT Asuransi Tripakarta kantor cabang Surabaya Diponegoro memberikan hasil yang lebih baik daripada dengan menggunakan pemodelan regresi Poisson.

5. Kesimpulan

Pendekatan model binomial negatif pada data klaim resiko sendiri memberikan hasil lebih baik daripada regresi Poisson dengan menurunnya nilai deviasi dan AIC yang diperoleh, namun penurunan nilai deviasi itu tidak signifikan dalam mengatasi kasus overdispersion .

6. Daftar Pustaka

Brockman, M. J., and Wright, T. S. (1992), Statistical Motor Rating: Making Effective Use of Your Data, Journal of the Institute of Actuaries, 119: 3, p. 457-543.

Cameron, A.C., and Trivedi, P.K. (1998), Regression Analysis Of Count Data, Cambridge University Press, Cambridge.

Gardner and Ester (1995), Regression Analyses Of Count And Rates : Poisson, Overdispersed Poisson and Negative Binomial Models, Psychological Bulletin, 118: No 3, p. 392-404.

Ismail, N., and Jemain, A. A. (2007), Handling Overdispersionwith Negative Binomial and Generalized Poisson Regression Model, Casualty Actuarial Society Forum, Malaysia.

Lee, A.H, Wang, K., Yau, K.K.W., Somerford, P.J. (2003), Truncated Negative Binomial Mixed Regression Modelling Of Ischaemic Stroke Hospitalizations, Statistics in Medicine, 22:7, p. 1129-1139.

McCullagh, P., and Nelder, J. A. (1989), Generalized Linear Models. 2nd Edition. Chapman and Hall, London.

Renshaw, A. E. (1994), Modeling the Claims Process in the Presence of Covariates, ASTIN Bulletin. 24: 2, p.265-285.