ESTIMASI PARAMETER MODEL FUNGSI ALIH ORDE 4 PADA ROL PENGUMPAN SISTEM TRANSPORTASI WEB MATERIAL BERBASIS FORGETTING FACTOR DENGAN MATLAB 7.

(1)

PADA ROL PENGUMPAN SISTEM TRANSPORTASI

WEB MATERIAL BERBASIS FORGETTING FACTOR

DENGAN MATLAB 7.04

Yaya Finayani1), Muhammad Alhan2) 1), 2)

Teknik Elektro, Politeknik Pratama Mulia , Surakarta 57149, Indonesia email:yyfinayani@yahoo.com

Abstract

Web Materials Transport system appears in variety of industrial applications such as paper and plastics industries. The main part of web transport system is unwind roll section. The dynamic model for unwind roll section is derived from the Newton’s laws, the Hooke’s law and conservations of mass principle. This model gives a relationship between web tension output and torque input. Futhermore this relationship is expressed in transfer function form. This transfer function contains a phisical time-varying parameter namely the radius of the unwind roll. Usually before designing control system, a model parameter estimation is needed. This on-line estimation problem is investigated in this paper using RLS (recursive least square) method with forgetting factor. The estimation needs data in the form of discrete and the initial value covariance matrix diagonal (P). This research uses discrete ZOH method with sampling period T = 0.4 sec; 0.35 sec; 0.3 sec; 0.25 sec; 0.2 sec for convert transfer function from s-domain to z-domain. Parameters estimation with mean square error (MSE) in the range 2x10-5≤ MSE ≤ 3x10-5are obtained using initial value covariance matrix diagonal P in the range 102 ≤ P ≤ 108 using forgetting factor 0.95.

Keywords: forgetting factor, recursive least square, web material, transport system, RLS

Sistem transportasi web material banyak dijumpai pada industri kertas dan plastik. Bagian utama sistem transportasi web material adalah bagian rol pengumpan. Model dinamik rol pengumpan dijabarkan dari hukum Newton, hukum Hooke dan hukum konservasi massa. Model ini menyatakan hubungan antara gaya tegang keluaran web terhadap masukan gaya putar. Hubungan ini diberikan dalam bentuk fungsi alih yang ternyata mengandung parameter fisik plant yang berubah terhadap waktu yaitu radius rol pengumpan. Biasanya sebelum perancangan pengendalian diperlukan estimasi parameter model. Problem estimasi parameter model secara on-line ini diteliti dengan menggunakan metode RLS (recursive least square) berbasis faktor pembobot data yang dinamakan forgetting factor. Estimasi parameter model memerlukan data dalam bentuk diskrit dan inisialisasi awal diagonal matrik kovarian (P). Penelitian ini menggunakan metode diskritisasi zero order hold (ZOH) dengan periode cuplikan 0,4 detik; 0,35 detik; 0,3 detik; 0,25 detik dan 0,2 detik untuk mengubah fungsi alih bidang-s ke bidang-z. Estimasi akan konvergen bila digunakan inisialisasi awal diagonal matrik kovarian sebesar 102 ≤ P ≤ 108dengan kisaran MSE (mean square error) sebesar 2x10-5≤ MSE ≤ 3x10-5 dengan forgetting factor 0,95.

Kata kunci : forgetting factor, recursive least square, web material, transport system, RLS

1. PENDAHULUAN

Web adalah sebidang material yang diproses dan dihasilkan secara kontinu dalam suati proses di industri kertas dan plastik [1]. Adapun sistem transportasi web material berhubungan dengan aliran web selama proses produksi, contoh sistem transportasi web yaitu proses pelapisan aluminium foil pada plastik untuk pembungkus makanan, proses pengeringan pembuatan kertas. Web harus melalui beberapa bagian pengolahan dari proses yang berkelanjutan secara kontinu, salah satunya yaitu rol pengumpan (Gambar 1) [2].

(2)

Gambar 1. Sistem Transportasi Web Material

Rol pengumpan merupakan bagian awal dari sistem transportasi web material dan berakhir pada baian rol penggulung. Sistem transportasi web material terdiri dari rol yang digerakkan oleh rangkaian penggerak motor (M0, M1, M2, M3) dengan menggunakan motor DC.

Karakteristik dinamis serta analisis suatu sistem dapat diketahui melalui model matematik [3], sehingga untuk mengetahui karakteristik bagian rol pengumpan sistem transportasi web material diperlukan model matematik. Model matematik dari sistem transportasi web material diperoleh dari penjabaran hukum Newton tentang gerak, hukum Hooke tentang elastisitas, hukum Konservasi Massa tentang volume atur, serta hukum Coulomb dari rentangan web diantara sepasang rol yang berurutan (Gambar 2) [4], model yang diperoleh berupa model persamaan dinamik gaya tegang.

Menerapkan hukum Hooke pada Gambar 2, dengan L1adalah panjang sebelum mendapatkan stress (unstretched state) dan L2 panjang setelah mendapatkan stress (stretched state) diperoleh persamaan: 1 1 2

L







... (1) Hukum Konservasi Massa dari Gambar 2,









1

2 1 1 2

L

A

Gambar 2. Sepasang rol sistem transportasi web Keterangan:

L = jarak antara rol

V1 = kecepatan aliran web sebelum mendapat stress V2 = kecepatan aliran web setelah mendapat stress

Asumsi Gambar 2 bahwa strain adalah uniform, akan diperoleh persamaan dari hukum konservasi massa:

web

M0 M1 M2

M3

Rol Pengumpan Rol Penggulung

material V1 V2 L Y x1 x2 X

(3)

   

x

t

A

x

t

dx

L

   

t

A

t

m

x x 2 2 2 1

,







...(2)

Gaya tegang antara sepasang rol Gambar 2, dengan mengaplikasikan persamaan kontinuitas [4],

 

0       x V t   _... ₍₃₎

dV

V

x

dV

t

v v







































₁

1 _

₁

_

... (4)

 



 



























2 1 2 1

1 ,

,

1

x x x x

_x

_t

t

x

V

x

t

x

t



... (5)

 

t

V

t

V

dt

d

L

2 2 1 1 2

1

1 





_



















... (6) dengan, V = kecepatan web ρ = densitas ε = strain

asumsiε bernilai kecil, maka diperoleh

   

 



t

V

t

V

t

V

t

V

t



L

1 1 2 2 2 1 2

1 _

_

_







... (7)

Dengan mengaplikasikan hukum Hooke pada persamaan (7) diperoleh,







2 1 1 1 2 2



2

1 T

V

T

V

AE

L

T









 ... (8)

Persamaan (8) dapat ditulis secara umum sebagai persamaan dinamik gaya tegang web :



i i



i i i i i i i

A

E

V

T

V

T

L







 



 1 1 1 ... (9) Dengan,

Li = jarak antara dua rol yang berururan ke-i Ti = gaya tegang ke-i

Ai = luas permukaan webmaterial

Ei = modulus elastisitas web material ke-i 1. Metode Penelitian

Model sistem transportasi web terdiri 4 bagian [1]:

Gambar 3. Model Sistem Transportasi Web Material

V3 V0 V1 V2 V3 T3 T1 T2 T1 T2 T3 M1 M2 M3 M0 U0 V0 U1 V1 V2 U2 U3 lc lc lc

(4)

Keterangan,

M0, M1, M2, M3 = motor penggerak tiap rol U0, U1, U2, U3 = masukan gaya putar tiap rol V0, V1, V2, V3 = kecepatan linear tiap rol T1, T2, T3 = keluaran gaya tegang

lc = load cell

controller = bagian pengendali

Dengan menerapkan persamaan dinamik gaya tegang (9) diperoleh persamaan tiap bagian rol pengumpan (M0), bagian master speed (M1), bagian proses (M2) dan bagian rol penggulung (M3),

a. Bagian rol pengumpan,



1 0



0 0 1 1 1 1 1 1

T

A

E

V

T

V

T

L









 ... (10)

b. Bagian master speed (persamaan dinamik kecepatan)





1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

V

R

b

U

n

R

T

V

R

J



_

_

_

_

f ... (11) dengan, J1 = inersia master speed

R1 = radius master speed bf1 = koefisien friksi n = rasio gear c. Bagian proses



₂ ₁



₁ ₁ ₂ ₂ 2 2 2 2

T

A

E

V

T

V

T

L









 ... (12) d. Bagian rol penggulung



3 2



2 2 3 3 3 3 3 3

T

A

E

V

T

V

T

L









 ... (13)

Persamaan (10), (11), (12), (13) disusun dalam bentuk persamaan ruang keadaan dengan asumsi [5] hubungan statik motor DC adalah,

U

k

_t

1 



... (14) Dengan, ω = kecepatan sudut kt = konstanta gaya putar U = masukan gaya putar Diperoleh persamaan keadaan,

 

1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 T L V U kt R c U kt t R c T     2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 T L V T L V U kt R c U kt R c T     

 

3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 2 3 3 T L V T L V U kt t R c U kt R c T      1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1   J b T J R T J R U J n _ _ _ f   ... (15)

Jika diubah ke bentuk state space:

Bu

Ax

x





 , ... (16)

 

t

Cx

 

t

y



... (17)

(5)

Dengan,





T T T T x 1 2 3 1 ,





T U U U U u 0 1 2 3                               1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 J b J R J R L V L V L V L V L V A f ... (18)

 

                          0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3 3 2 3 2 2 1 2 1 1 0 1 J n kt t R c kt R c kt R c kt R c kt R c kt t R c B ... (19)



1 0 0 0



 C ... (20) Dengan, i i

L

AE

c



dengan i = 1,2,3

Fungsi alih bagian rol pengumpan dalam bidang s diperoleh dari penjabaran persamaan (16) dan (17),

 

1 0 2 2 3 3 4 4 0 1 2 3 3 3 0 1 p s p s p s p s p q s q s q s q s U s T         ... (21) Dengan,

 

_     _        kt t R c J b L V L V q f 1 0 1 1 3 3 2 2 0

 

_     _          kt t R c J b L V L V L V J b L V q f f 0 1 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 3 3 1

 

_     _          kt t R c L V L V J b q f 1 0 2 2 3 3 1 1 2

 

_     _  kt t R c q3 1 0 ... (22)        1 1 3 3 2 2 1 1 0 J b L V L V L V p f           3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 3 2 2 1 L V L V L V J b L V L V J b L V L V J b L V L V p f f f            2 2 1 1 3 3 1 1 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 3 3 2 L V L V L V L V L V L V J b L V J b L V p f f

(6)

          1 1 2 2 3 3 1 1 3 L V L V L V J b p f ;

p

4



1

... (23)

Data parameter yang digunakan untuk persamaan (21) [6] ditunjukkan Tabel 1, Tabel 1. Data Parameter Sistem Transportasi Web

V0,1,2,3 L1 L2 L3 kt J1 AE (fpm) (ft) (ft) (ft) - (lb -ft2) (lbf) 1000 20 33 67 1 2 200 0 n1 R0 R1 R2 R3 H - (ft) (ft) (ft) (ft) (ft) 1 1,25 0,339 0,339 0,67 0,0000656 Subtitusikan Tabel 1 ke persamaan (21), diperoleh

    02617 . 0 2931 . 0 151 . 1 837 . 1 3 2 4 0 1 3 3 1 1 2 2 1 2 2 3 3 2 2 1 3 3 2 2 2 3 3 1 1 3           _                                           s s s s kt t R c L V J b L V s J b L V L V L V J b L V s L V L V J b s s G f f f f ...(24)

Persamaan (24) untuk selanjutnya mewakili plant sesungguhnya yaitu bagian rol pengumpan sistem transportasi web material.

Persamaan (24) terdapat parameter fungsi alih alih yang berubah terhadap waktu (time varying) yaitu radius rol pengumpan R0(t) yang berkurang panjang radius selama proses transportasi web material.

Proses estimasi parameter bertujuan untuk menafsirkan parameter-parameter plant dengan dasar pengukuran masukan dan keluaran dinyatakan dalam suatu model.

Proses estimasi parameter diawali dengan proses diskritisasi menggunakan metode ZOH (zero order hold) dengan periode pencuplikan 0,4 detik; 0,35 detik; 0,3 detik; 0,25 detik dan 0,2 detik untuk mengubah fungsi alih bidang-s ke bidang-z.

 





 



_ 

 

_ s s G L z z H p 1 1 1 ... (25) 4 4 3 3 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1

1 )

(

_ _ _ _    





z

a

z

a

z

a

z

a

z

b

z

b

z

b

z

b

z

H

... (26)

Dari persamaan (26) terlihat bahwa ada 8 parameter fungsi alih yang akan diestimasi yaitu a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4.

Metode yang digunakan untuk memperoleh hasil estimasi parameter yang secara on-line bisa mengikuti perubahan radius rol pengumpan R0(t) yaitu dengan menggunakan metode RLS (recursive least square) berbasis faktor pembobot data yang dinamakan forgetting factor. Metode RLS, model regresi liner diasumsikan [7]

 

t

 t

 



y



T



... (27) Dengan estimasi least square, diperoleh

  



     

  















_







  

1

1 P

t

y

t





T



... (28)

(7)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -3.6 -3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien a1 saat lambda=1

target koefisien a1 hasil estimasi a1

   

       

_{     }

t

P

t

P

t

P

t

P

t

P

_T T T



1

1 







... (29) Dengan, T



= vektor regresi



= vektor parameter

)

(t

P

= matrik kovarian

)

(t

y

= keluaran

Jika bentuk sistem time-varying ,

 

t

     

t

e

t

y





T



₀



... (30)

Dengan,



₀

(

t

)

= nektor parameter time-varying, kriteria leasr square,

   

2



   













_



t N t s s t

_y

_s

_y

_s

J



... (31)

Dengan,λ = forgetting factor bernilai (0<λ≤1), sehingga diperoleh rumus,

     

 

  



      _ _      1 1 Pt yt t t t t  T T   ... (32)

 







     

_{  }

_{  }



_             t t P t t P t t t P t P t P _T T       1 1 1 1 1 _{.... (33)}

2. Hasil dan Pembahasan

Estimasi parameter model dengan metode RLS berbasis forgetting factor disimulasikan dengan menggunakan periode pencuplikan (Ts) 0,4 detik; 0,35 detik; 0,3 detik; 0,25 detik dan 0,2 detik, inisialisasi awal matrik kovarian P(0)=αI, dengan I adalah matrik identitas berdimensi 8x8 dan α=108

, inisialisasi vektor parameter

 



0



t



, dengan jumlah data setiap kondisi nilai radius (N) = 50 data, jumlah putaran selama proses sistem transportasi web material = 884 putaran, nilai forgetting factor yang disimulasikan λ= 1; 0,99; 0,98; 0,97; 0.96; 0,95. Hasil simulasi ditunjukkan oleh Tabel 2 serta Gambar 4 dan Gambar 5 dengan Ts=0,3 detik. Konvergensi hasil estimasi parameter model ditentukan berdasarkan nilai mean square error (MSE) pada daerah 2x10-5≤ MSE≤ 3x10-5.

Tabel 2. Hasil Estimasi Parameter Model

Ts Forgetting Factor / MSE

(detik) λ=1 λ=0,99 λ=0,98 λ=0,97 λ=0,96 λ=0,95 0,4 3,3e+1 2,1e-2 3,0e-3 1,3e-3 1,8e-4 2,5e-5 0,35 4,1e+1 2,5e-2 1,0e-2 6,9e-4 1,9e-4 2,3e-5 0,3 4,3e+2 8,2e-3 6,7e-3 3,1e-4 5,9e-4 2,6e-5 0,25 1,3e+1 3,1e-2 9,9e-4 7,8e-4 5,9e-5 2,4e-5 0,2 3,8e+0 1,8e-2 3,2e-4 1,9e-4 9,3e-5 2,4e-5

(8)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 putaran ke-N I L A I

target koefisien a2 hasil estimasi a2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 putaran ke-N I L A I

target koefisien a3 hasil estimasi a3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 putaran ke-N I L A I

target koefisien a4 hasil estimasi a4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -34 -32 -30 -28 -26 -24 -22 -20 -18 -16 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien b1 saat lambda=1

target koefisien b1 hasil estimasi b1

Gambar 4b. Hasil Estimasi Parameter a2, λ=1

Gambar 4c. Hasil Estimasi Parameter a3, λ=1

Gambar 4d. Hasil Estimasi Parameter a4, λ=1

(9)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 40 50 60 70 80 90 100 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien b2 saat lambda=1 target koefisien b2 hasil estimasi b2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien b3 saat lambda=1

target koefisien b3 hasil estimasi b3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien b4 saat lambda=1 target koefisien b4 hasil estimasi b4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -3.496 -3.494 -3.492 -3.49 -3.488 -3.486 -3.484 -3.482 -3.48 -3.478 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien a1 saat lambda=0.95

target koefisien a1 hasil estimasi a1

Gambar 4f. Hasil Estimasi Parameter b2, λ=1

Gambar 4g. Hasil Estimasi Parameter b3, λ=1

Gambar 4h. Hasil Estimasi Parameter b4, λ=1

(10)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 4.53 4.535 4.54 4.545 4.55 4.555 4.56 4.565 4.57 4.575 4.58 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien a2 saat lambda=0.95 target koefisien a2 hasil estimasi a2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -2.665 -2.66 -2.655 -2.65 -2.645 -2.64 -2.635 -2.63 -2.625 -2.62 -2.615 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien a3 saat lambda=0.95

target koefisien a3 hasil estimasi a3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0.564 0.566 0.568 0.57 0.572 0.574 0.576 0.578 0.58 0.582 0.584 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien a4 saat lambda=0.95 target koefisien a4 hasil estimasi a4 360 365 370 375 -27 -26.95 -26.9 -26.85 -26.8 -26.75 -26.7 -26.65 -26.6 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien b1 saat lambda=0.95

target koefisien b1 hasil estimasi b1

Gambar 5b. Hasil Estimasi Parameter a2, λ=0,95

Gambar 5c. Hasil Estimasi Parameter a3, λ=0,95

Gambar 5d. Hasil Estimasi Parameter a4, λ=0,95

(11)

350 360 370 380 390 400 71 71.5 72 72.5 73 73.5 74 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien b2 saat lambda=0.95 target koefisien b2 hasil estimasi b2 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 -66 -65 -64 -63 -62 -61 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien b3 saat lambda=0.95

target koefisien b3 hasil estimasi b3 350 360 370 380 390 400 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20 20.1 putaran ke-N I L A I

Hasil Estimasi Parameter Koefisien b4 saat lambda=0.95 target koefisien b4 hasil estimasi b4

Gambar 5f. Hasil Estimasi Parameter b2, λ=0,95

Gambar 5g. Hasil Estimasi Parameter b3, λ=0,95

Gambar 5h. Hasil Estimasi Parameter b4, λ=0,95

Dari hasil estimasi parameter model yang ditunjukkan Tabel 2 terlihat dengan periode pencuplikan (Ts) 0,4 detik; 0,35 detik; 0,3 detik; 0,25 detik dan 0,2 detik dan perubahan nilai forgetting factor 1≤λ≤0,95 terlihat bahwa estimasi parameter akan konvergen pada nilai MSE sebesar 2x10-5≤ MSE ≤ 3x10-5pada nilai forgetting factorλ=0,95 serta terlihat bahwa nilai MSE tidak sensitif terhadap periode pencuplikan. Hal ini juga dibuktikan dari Gambar 4a sampai 4h untuk nilai forgetting factor λ=1 hasil estimasi parameter dan target parameter saling menjauh yang menunjukkan hasil yang tidak konvergen, sedangkan Gambar 5a sampai Gambar 5h menunjukkan untuk nilai forgetting factor λ=0,95 konvergen antara hasil estimasi parameter dan target parameter.

(12)

3. Kesimpulan

Estimasi parameter model dengan metode diskritisasi ZOH konvergen dengan nilai forgetting factor λ=0,95 dengan nilai MSE sebesar 2x10-5_{≤ MSE ≤ 3x10}-5

yang tidak sensitif terhadap perubahan periode pencuplikan 0,4 detik; 0,35 detik; 0,3 detik; 0,25 detik dan 0,2 detik.

Daftar Pustaka

B. Carisson, Uppala Universitet Institutionen for Informationsteknologi, February 11, 2009 C. Bonivento, Andea Paoli, Lorenzo Marconi, Department of Electronic, Systems and Computer

Science, University of Bologna.

H. Koc, Dominique Knittel, Michel de Mathelin, Gabriel Abba, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 10, N0. 2, March 2002.

K. Ogata, Edi Leksono, Erlangga 1995.

P.R.Pagilla, Member IEEE, Nilesh B. Siraskar, Ramamurthy V. Dwivedula, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 15, N0. 1, January 2007.

T. Bastogne, M. Thomassin, J. Masse, Control Engineering Practice, 2006. Y.Hou, Ph.D Thesis, Cleveland State University, August 2001.