Solusi Persamaan Maxwell dalam Ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker

(1)

Solusi Persamaan Maxwell dalam Ruang waktu Spatially Flat

Robertson-Walker

Supardi

Jurusan Fisika FMIPA Unsri supardimsi@yahoo.co.id

Abstrak. Dalam makalah ini, dibahas bagaimana memperoleh solusi dari Persamaan

Maxwell. Pembahasan dilakukan dalan versi Teleparallel Gravity (TG) dan ruangwaktu yang digunakan adalah Spatially Flat Robertson-Walker. Pada pemilihan kasus khusus diperoleh solusi yang serupa dengan solusi gelombang bidang.

Kata Kunci. Persamaan Maxwell, Teleparallal Gravity, Ruangwaktu, solusi gelombang

bidang.

PENDAHULUAN

Usaha penyatuan interaksi gravitasi dengan tiga interaksi fundamental yang lain - interaksi lemah, elektromagnetik, dan kuat - dalam satu formalisme belum berhasil sampai saat ini[1]. Karena medan gravitasi (dalam TRU) bersifat klasik sedangkan ketiga interaksi yang lain bersifat kuantum. Usaha mengkuantisasi medan gravitasi dengan demikian merupakan salah satu isu besar di bidang fisika teoretik.

Teleparallel Gravity (TG) merupakan satu model teori gravitasi yang bisa jadi cukup menjanjikan. TG menunjukkan bahwa kurvatur ruang waktu yang merepresentasikan medan gravitasi di dalam TRU ternyata bukanlah esensi dari medan gravitasi. Medan gravitasi ternyata dapat diungkapkan tanpa kurvatur ruang waktu. Sebagai suatu teori gauge (TG merupakan teori gauge grup translasi) TG memberikan satu alternatif dalam mendekatkan konsep interaksi gravitasi dengan ketiga interaksi yang lain yang dibangun berdasarkan teori gauge. Karena, paling tidak dalam keadaan tertentu, TG ekivalen dengan TRU dalam menjelaskan interaksi gravitasi (sehingga sering dikatakan sebagai teleparallel equivalence

of general relativity)[2] maka dapat

diyakini bahwa TG sebagai sebuah model yang baik.

LANDASAN TEORI Teleparallel Gravity

TG merupakan teori gauge grup translasi. Medan fundamental dari TG adalah potensial gauge B B(x), suatu

medan yang diasumsikan bernilai dalam grup translasi aljabar Lie, a

a

B B P ,

dengan a

a a

P     x adalah generator translasi infinitesimal. Huruf Yunani (,,,…= 0,1,2,3) digunakan untuk menotasikan indeks yang terkait dengan ruang waktu (spacetime) dan bagian pertama dari huruf Latin (a,b,c,...= 0,1,2,3) digunakan untuk menotasikan indeks yang terkait dengan tangent space, yang diasumsikan sebagai ruang waktu Minskowski dengan tensor metrik

ab=diag(–1,+1, +1, +1). Generator-generator dari grup translasi bersifat Abelian yang terkait dengan kuat medat gauge yang berbentuk

a a a

T _ _B_ _B _



    . (1) Kuat medan gauge ini bersifat invarian terhadap transformasi

a a a

B B   (2)

dimana a(x) menyatakan transformasi infinitesimal di dalam tangent space

a a a

(2)

Untuk merepresentasikan gravitasi, maka medan gauge Ba terkait dengan medan tetrad ha yang diberikan oleh

a a a a

h _  _x B _ h x_ . (4) Medan tetrad didefinisikan dari tensor metrik spacetime g melalui

a b

ab

g  h h . (5)

Catatan bahwa medan tetrad invarian terhadap kombinasi dari transformasi gauge dan translasi infinitesimal. Berdasarkan hubungan antara medan tetrad dan medan gauge di atas, menunjukkan bahwa medan tetrad dapat berperan sebagai medan gauge. Dan selanjutnya dapat dibuktikan bahwa kuat medan dapat ditulis di dalam medan tetrad sebagai berikut

a a a T _ _h _ _h _      . (6) Koneksi Wietzenbock a a h h          (7)

mendefinisikan koneksi di dalam TG. Koneksi ini memberikan tensor torsi yang taknol dan kurvatur nol:

0 T_ _ _         , (8) 0 R_   . (9)

Sebagai konsekuensinya, maka derivatif kovarian Weitzenbock dari medan tetrad

a

h _ akan bernilai nol:

0 a a a h h  h  _ _ _ _ _         . (10) Terlihat bahwa baik kuat medan maupun koneksi Weitzenbock didefinisikan dari medan tetrad, sehingga keduanya terkait satu sama lain. Dapat dibuktikan bahwa hubungan kedua besaran ini adalah

a a

F _ h _T_

 

 . (11)

Hubungan ini menunjukkan bahwa tensor torsi dapat merepresentasikan kuat medan gravitasi. Oleh karenanya berdasarkan pada Lagrangian medan gauge di dalam teori gauge secara umum, kita mendefinisikan Lagrangian medan gravitational di dalam TG sebagai berikut 1 1 1 h TT TT TT  _       _  _   _ L .(12)

Perbedaannya dengan teori gauge pada umumnya, adalah bahwa pada Lagrangian di atas, terdapat suku kedua dan ketiga. Suku-suku ini berasal dari kemungkinan pertukaran indeks aljabar dan indeks spacetime yang mengacu pada kemungkinan-kemungkinan kontraksi [4]. Parameter h dan k didefinisikan sebagai

2 4

8 /

k  G c dan det a

h h _. Persamaan

medan gravitational di dalam TG diperoleh dari Lagrangian di atas melalui persamaan Euler-Lagrange untuk medan gauge Ba, atau ekivalen dengan ha. Sehingga kita memperoleh persamaan medan

2 0 a _a h S  k h j          _ _ _ _     . (13)

Dari persamaan (13) di atas, maka energi-momentum gravitasional direpresentasikan oleh 2 c c a a a a a h h j h S T h B h k           _ _            L L _L. (14)

Pada persamaan di atas Sc h g_c _S

   dengan S S K gT_ gT_   _   _   _   _   (15)

Di samping persamaan medan di atas, torsi atau ekivalen dengan kuat medan juga memenuhi identitas Bianchi

0 a a a T T T                . (16)

Karena sifat anti-simmetri dari Sc



terhadap dua indeks terakhirnya, maka bila dilakukan operasi _ pada persamaan (13) akan memberikan persamaan kontinuitas

(h ja ) 0

 



  . (17)

Berdasarkan definisi koneksi Weitzenbock, maka dapat diperoleh identitas

h h  K          _  _   (18)

dimana kontorsi Weitzenbock 1 2 K_ T_ T _ T_  _   _  _   _   (19)

adalah selisih antara koneksi Weitzenbock  _ dan koneksi Levi-Civita

(3)

   K             . (20)

Koneksi Levi-Civita adalah koneksi yang didefinisikan dalam TRU Einstein. Selanjutnya persamaan kontinuitas (17) dapat diungkapkan dalam covariant form

0 a a a D j  _j  _ K_ j     _  _    _  _    . (21)

Ini merupakan definisi dari derivatif kovarian teleparallel, yang mana bila bekerja pada suatu vektor, akan menghasilkan

D V  _V _ K_ V

 _  _

   _  _

  . (22)

Persamaan Maxwell dalam Tg

Tinjau Lagrangian untuk medan elektromagnetik Aa, dalam ruang waktu

Minkowski, yang diberikan oleh

1 4 ab em   F Fab L , (23) dengan a b b a ab A A F   (24)

adalah kuat medan elektromagnetik. Dengan melakukan variasi aksi terhadap medan pada Lagrangian di atas diperoleh persamaan medan yang terkait yaitu

, 0   ab

aF (25)

dan dengan identitas Bianchi , 0      aFbc bFca cFab (26)

akan membentuk persamaan gerak untuk medan elektromagnetik yang dikenal sebagai persamaan Maxwell. Di dalam gauge Lorentz  a 0

aA , persamaan medan

elektromagnetik dapat ditulis dalam bentuk kovarian . 0    c a c A (27)

Interaksi medan elektromagnetik dengan medan gravitasi digambarkan dengan kopling preskripsi minimal yang dalam hal ini kopling preskripsi (gravitasi) teleparallel; yaitu dengan cara mengganti derivatif biasa dengan derivatif kovarian sebagai berikut .     A D h h A_b _a _b a    (28)

Sebagai konsekuensinya Lagrangian (33) menjadi , 4 em h F F_    L (29) dengan .      D A D A F     (30)

Dengan menggunakan bentuk eksplisit dari

D 

dan definisi dari tensor torsi dan kontorsi, diperoleh .      A A F   (31)

Tensor ini invarian terhadap transformasi gauge elektromagmetik U(1), dan persamaan medan yang terkait adalah

, 0     F D (32)

yang merupakan pasangan pertama dari persamaan Maxwell dalam versi teleparallel. Dengan mengasumsikan gauge Lorentz dalam teleparallel 0

   A

D , dan

menggunakan relasi komutasi

, ,      D A Q A D          ₍₃₃₎ dengan Q_ Q_     R, dan R

adalah tensor kurvatur dalam TRU, maka diperoleh

0.

D D A  _ Q_A_

  

  (34)

yang merupakan pasangan pertama dari persamaan Maxwell dalam versi teleparallel. Dan dengan menerapkan kopling pada identitas Bianchi (36), diperoleh pasangan kedua persamaan Maxwell dalam versi teleparallel

. 0      F F F (35) . METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode standar yang berlaku di dalam dunia keilmuan teoretik, yaitu studi literatur, kalkulasi matematis dari persoalan yang diangkat secara analitik

(4)

dan mengkaji hasil perhitungan serta korespondensi dengan peneliti-peneliti lain yang terkait dengan bidang ini.

HASIL DAN PEMBAHASAN Ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker dikarakterisasi oleh elemen garis berbentuk

 





2 2 2 2 2 2

ds dt a t dx dy dz (36) dimana a t( ) adalah fungsi waktu. Tensor

metrik yang terkait adalah

2 00 11 22 33 00 11 22 33 2 1, 1 1, g g g g a g g g a           (37)

Dengan menggunakan persamaan (5), maka diperoleh medan tetrad:

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 1, 1 1, h h h h a h h h h a         (38)

Substitusi persamaan (38) ke (7), akan diperoleh koneksi Weitzenbock, dan memiliki komponen yang tak nol

1 2 3 10 20 30 a a          . (39) Dengan menggunakan hasil – hasil di atas, maka diperoleh komponen tak nol dari torsi (8) yaitu 1 2 3 01 02 03 a T T T a       , (40)

yang kemudian dapat pula dicari kontorsi Weitzenbock (19), dimana komponen-komponen yang tak nol adalah

1 2 3 01 02 03 0 0 0 11 22 33 K K K a a K K K aa               (41)

Persamaan Maxwell dalam versi TG di dalam ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker dapat ditulis sebagai

  2 2 2 2 1 2 3 0 2 2 2 0 0 0 2 0 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3 0 a A A a a a a a a a A A A A a a a                     _  _          (42a) 2 2 2 2 1 2 3 1 0 0 2 2 2 1 0 1 2 0 a a A A A a a a a a         _   _      (42b) 2 2 2 2 1 2 3 2 0 0 2 2 2 2 0 2 2 0 a a A A A a a a a a         _   _      (42c) 2 2 2 2 1 2 3 3 0 0 2 2 2 3 0 3 2 0. a a A A A a a a a a         _   _      (42d) Bila faktor skala yang digunakan berupa fungsi linier terhadap waktu aa t( )t, dan dilakukan separasi variabel

( ) ( ) ( ) ( ),

A_  X_ x Y_ y Z_ z T_ t (43) serta digunakan kondisi faktor yang mengandung variabel sejenis diasumsikan sebanding, maka persamaan (42) menjadi

2 2 2 2 0 0 0 1 0 2 2 2 0 0 0 1 0 0 2 0 3 2 2 2 0 0 3 0 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 3 0, 1 1 ( ) 1 0, 1 1 ( ) d T dT d X dX d Y t t T dt T dt X dx c X dx Y dy d Z dZ dY c Y dy Z dz c Z dz d T dT d X d Y t t f x T dt T dt X dx Y dy d Z Z dz d T dT d X d Y t t f y T dt T dt X dx Y d                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 3 2 3 1 0, 1 1 ( ) 1 0. y d Z Z dz d T dT d X d Y t t f z T dt T dt X dx Y dy d Z Z dz         (44)

Masing-masing persamaan (44) dapat diseparasi menjadi empat buah persamaan, yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel bebas. Namun persamaan bagian kedua - keempat, memiliki bentuk yang serupa (XY,

,

xy indeks 12 dan

, , indeks 1 3

XZ xz  ), jadi kita hanya perlu menyelesaikan salah satunya saja, dalam hal ini dipilih bagian kedua. Bagian kedua dari persamaan (44) dapat diseparasi sebagai berikut

(5)





2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 ( ) 0, 0, d X f x X dx d Y Y dy        (45)









2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 ( ) 0, 0. d X f x X dx d T dT t t T dt dt            

Persamaan kedua dan ketiga dari persamaan (45) merupakan persamaan OHS, dengan solusi umum

1 1

1 12 , 1 13 .

i y i z

Y C e Z C e (46) Solusi persamaan (46) bagian keempat, dicari dengan tranformasi variabel te, dan menjadi





2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 0, d T T d     

yang merupakan persamaan OHS dalam η, dengan solusi umum berupa

1 1 2 2 2 2

1 10 10 , 1 1 1 1.

ik ik

T C e  C t k    (47) Sedangkan solusi dari persamaan bagian pertama dari persamaan (45) akan dicari dengan melakukan pemilihan terhadap

1( )

f x . Bila 2 1( ) 1 ,

f x b maka diperoleh solusi umum berupa

1 2 2 2

1 11 , 1 1 1

i x

X C e    b . (48) Substitusi hasil yang diperoleh di atas ke persamaan (43), akan menghasilkan solusi untuk medan A . Dengan cara yang sama, ₁

yaitu dengan melakukan substitusi (

, ,

XY xy indeks 12 dan

, , indeks 1 3

XZ xz  ), juga akan diperoleh solusi untuk medan-medan A₂dan

3

A . Substitusi medan-medan A A₁, ₂ dan A₃

ke bagian pertama dari persamaan (44) akan menghasilkan solusi untuk medan A₀. Dengan demikian diperoleh solusi persamaan Maxwell dalam versi TG di dalam ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker.

KESIMPULAN

Solusi persamaan Maxwell versi TG di dalam ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker yang telah diperoleh berupa solusi gelombang dalam rung waktu (x,y,z,η).

DAFTAR PUSTAKA

H. I. Arcos, V. C. de Andrade and J. G. Pereira, Torsion and Gravitation: a New

View, [gr-qc/0403074].

J. W. Maluf, J. Math. Phys. 35, 335 (1994). R. Aldrovandi and J. G. Pereira, An

Introduction to Teleparallel Gravity,

Instituto de Fisica Teorica, UNESP, Sao Paolo, Brazil, Desember 2006 http//www.ift.unesp.br/gcg/tele.pdf. T. Sauer, Field Equations in Teleparallel

Spacetime: Einstein’s Fernparallelismus approach towards unified field theory,

Einstein‘s Papers Project [gr-qc/0405142].