ROOTS OF Non Linier Equations

ROOTS OF Non Linier Equations

• Metode Bagi dua (Bisection Method) • Metode Regula Falsi (False Position

Method)

• Metode Grafik • Metode Grafik

• Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration) • Metode Newton-Raphson

Solusi Persamaan Kuadrat Tingkat 2

a ac b b x c bx ax x f 2 4 0 ) ( 2 2 − ± − = = + + =

Persamaan di atas memberi akar-akar penyelesaian untuk fungsi aljabarf(x)

Yaitu nilai-nilai x yang memberikan f(x) = 0

Overview of Methods

• Bracketing methods Graphing method Bisection method Bisection method False position • Open methods

One point iteration Newton-Raphson Secant method

• Memahami konsep konvergensi dan divergensi. • Memahami bahwa metode tertutup selalu

konvergen, sedangkan metode terbuka kadang-kadang divergen.

Specific Study Objectives

kadang divergen.

• Konvergensi pada metode terbuka biasanya didapat jika initial guess –nya dekat dengan akar

Metode Tertutup

• Graphical

• Bisection method

• False position method • False position method

Cara Grafik

• Plotkan fungsinya dan tentukan dimana memotong sumbu x.

• Lacks precision f(x)=e-x-x • Lacks precision

• Trial and error

f(x)=e -x -2 0 2 4 6 8 1 0 -2 -1 0 1 2 x f( x )

Cara Grafik

(limited practical value)

x f(x)

x f(x)

Pembatas atas dan Bawah memiliki tanda sama.

Akar tidak ada atau banyak akar x x x f(x) x f(x) banyak akar Tanda berbeda,

Bisection Method

• Memanfaatkan beda tanda dua nilai batas

• f(x_l)f(x_u) < 0 dimana l=lower (batas bawah) dan u=upper (batas atas)

u=upper (batas atas) • Minimal ada satu akar

x f(x) x f(x) x f(x)

Algorithm

• Pilih x_u dan x_l. Cek beda tanda nilai fungsi keduanya f(x_l)f(x_u) < 0

• Perkirakan akar x_r = (x_l + x_u) / 2

• Tentukan interval berikut ada di subinterval atas atau subinterval • Tentukan interval berikut ada di subinterval atas atau subinterval

bawah

f(x_l)f(x_r) < 0 then x_u = x_r RETURN f(x_l)f(x_r) >0 then x_l = x_r RETURN

Metode Bagi Dua

Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval

[

a0, b0

]

0 ) ( ) (a₀ f b₀ < f do n = 0,1,… 2 / ) (a b m = (a_n + b_n ) / 2 m = + if f (a_n ) f (m) < 0, then an+1 = an , b_n+1 = m else a n +1 = m , bn+1 = bn if b_n+1 − a_n+1 ≤ ε _exit end do or f (m) = 0

Error

100 × − = awal awal akhir a perkiraan perkiraan perkiraan ε

•f(x) = e-x - x

CONTOH

Gunakan bisection method untuk mencari

akar-akar persamaan

8 1 0 •f(x) = e - x •x_l = -1 x_u = 1 _{3.7 1 8282} -0.6321 2 -2 0 2 4 6 8 -2 -1 0 1 2 x f( x )

SOLUTION

6 8 1 0 f( x ) 3.7 1 8282 -0.6321 2 1 -2 0 2 4 -2 -1 0 1 2 x f( x )

1 2

SOLUTION

-0.6321 2 0.1 065 31 -2 0 -1 0 1 2 x f( x )

False Position Method

• “Brute Force” dari metode bagi dua kurang efisien

• Menghubungkan dua nilai batas dengan garis • Menghubungkan dua nilai batas dengan garis

lurus

• Mengganti kurva menjadi garis lurus memberikan “false position”

x_l x_u f(x_u) next estimate, x_r

( )

( )

f x x x f x x x l u − = − Based on similar triangles x_u f(x_l)

( )(

)

( )

( )

x x x x x x f x x x f x f x r l r u r u u l u l u − = − = − − −

Regula Falsi

Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval

[

a0, b0

]

0 ) ( ) (a₀ f b₀ < f do n = 0,1,… )] ( ) ( /[ ] ) ( ) ( [ f b a f a b f b f a w = [ f (b_n )a_n − f (a_n )b_n ] /[ f (b_n ) − f (a_n )] w = − − if f (a_n ) f (w) < 0, then an+1 = an , bn+1 = w else a n +1 = w , bn+1 = bn if b_n+1 − a_n+1 ≤ ε _exit end do or f (w) = 0

CONTOH

Tentukan akar persamaan dari persamaan berikut menggunakan false position method, mulai

dengan initial estimate x_l=4.55 and x_u=4.65

f(x) = x

3

- 98

-40 -30 -20 -1 0 0 1 0 20 30 4 4.5 5 x f( x )

Open Methods

• Simple one point iteration • Newton-Raphson method • Secant method

• Secant method

• Pada metode tertutup, akar terdapat di antara kedua interval yang dibatasi batas atas dan bawah

Open Methods

• Metode terbuka diharapkan konvergen

solution moves closer to the root as the computation progresses

• Metode terbuka;

– single starting value, atau

– two starting values that do not necessarily bracket the root

• Ada kemungkinan metode ini divergen

solution moves farther from the root as the computation progresses

The tangent f(x) f(x ) The tangent gives next estimate. x_i x f(x_i) x_i+1 f(x_i+1 )

Solution can “overshoot” the root and potentially diverge f(x) x x_{0 x} x₁ x₂

Simple one point iteration /

Metode Titik Tetap

• Merubah formula untuk memperkirakan akar

• Re-arrange fungsi f(x) sehingga ada satu nilai x pada sebelah kiri dari persamaan

pada sebelah kiri dari persamaan

Contoh, untuk f(x) = x2 - 2x + 3 = 0 Ubah menjadi

Simple one point iteration

• Contoh lain, untuk

f(x) = sin x = 0, menjadi

x = sin x + x x = sin x + x

• Hitung nilai x = g(x)

• Perkiraan nilai berikut berdasar pada

CONTOH

• Untuk f(x) = e-x -3x • Ubah menjadi g(x) = e-x / 3 • Initial guess x = 0 • Initial guess x = 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 -2 -1 0 1 2 x f( x )

Initial guess 0.000 g(x) f(x) εεεε a 0.333 -0.283 0.239 0.071 39.561 0.263 -0.018 9.016 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 f( x ) 0.263 -0.018 9.016 0.256 0.005 2.395 0.258 -0.001 0.612 0.258 0.000 0.158 0.258 0.000 0.041 -2 -1 0 1 2 x

Metode Newton Raphson

( )

( )

tangent = = = − dy dx f f x f xi ' ' 0 f(x_i) tangent

( )

( )

( )

( )

= − − = − + + f x f x x x rearrange x x f x f x i i i i i i i i ' ' 0 1 1 x_i x_i+1

Newton Raphson

Pitfalls

CONTOH

Gunakan metode

Newton Raphson untuk mencari akar-akar dari

60 80 1 00

mencari akar-akar dari f(x) = x2 - 11 memakai initial guess x_i = 3 -20 0 20 40 60 0 2 4 6 8 1 0 x f( x )

Newton Rhapson

_Secant

• Include an upper limit on the number of iterations

• Establish a tolerance, ε • Establish a tolerance, ε_s

• Check to see if ε_a is increasing

Bagaimana jika turunan fungsinya sulit dipecahkan? SECANT METHOD

Secant method

( ) ( ) ( ) f x f x f x x x i i i i ' = − − − − 1 1

Memperkirakan turunan menggunakan finite divided difference

i− 1 i

APAKAH finite divided difference? HINT: dy / dx = ∆y / ∆x

( ) ( )_i i i i x f x f x x ₊₁ = − ' Masukkan perkiraan dengan finite difference pada rumus untuk

Newton Raphson

Secant method

( )( ) ( _i ) ( )_i i i i i i x f x f x x x f x x − − − = − − + 1 1 1

Secant method

( )(

)

(

_i

)

( )

_i i i i i i x f x f x x x f x x − − − = − − + 1 1 1

• Membutuhkan dua nilai perkiraan awal

• f(x) tidak harus berbeda tanda, membedakan dengan metode tertutup, false position method.

f(x) 1 2 f(x) 2 FALSE POSITION SECANT METHOD x 1 new est. x 1 new est. Perkiraan baru

dipilih dari potongan garis dengan sumbu x

Perkiraan baru bisa diluar batas kurva

Systems of Non-Linear Equations

• Kita telah mengenal sistem persamaan linier

f(x) = a₁x₁ + a₂x₂+... a_nx_n - C = 0

dimana a₁₁ , a₂₂ .... a_nn dan C adalah konstanta

• Maka, perhatikan sistem persamaan non-linier

y = -x2 + x + 0.5 y + 5xy = x3

Systems of Non-Linear Equations

• Buat persamaan sama dengan nol

u = x2 + xy – 10 v = y + 3xy2 – 57

• u(x,y) = x2 + xy – 10 = 0 • u(x,y) = x2 + xy – 10 = 0 • v(x,y) = y + 3xy2 – 57 = 0

• Solusi adalah nilai-nilai x dan y yang akan

memberikan nilai fungsi u dan v sama dengan nol.

Metode Titik Tetap

• Mulai dengan nilai awal x0 = 1.5 dan y0 = 3.5

0 0 1

10

x

y

x

=

−

1 0 1 0 0 1

3

57

10

x

y

y

y

x

x

−

=

−

=

Metode Newton Rhapson

x x u v y v u y u x v y u y v x i i i i i i i i i + = − − − 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

u(x,y) dan

v(x,y)

x y y x y y u v y v u y u x v y u y v x i i i i i i i i i + = − − − 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Versi dua persamaan untuk Newton-Raphson

Determinan Jacobian

(tambahan saja)

x x u v y v u y u x v y u y v x i i i i i i i i i + = − − − 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ THE DENOMINATOR OF EACH OF THESE EQUATIONS IS FORMALLY x y y x y y u v y v u y u x v y u y v x i i i i i i i i i + = − − − 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ FORMALLY REFERRED TO AS THE DETERMINANT OF THE JACOBIAN

Jacobian (tambahan juga)

• The general definition of the Jacobian for n

functions of n variables is the following set of partial derivatives: x f x f x f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ... 1 1 1 n n n n n n n n x f x f x f x f x f x f x x x x x x f f f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ... ... ... ... ... ... ... ) ,..., , ( ) ,..., , ( 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1

Jacobian (ini juga tambahan)

• The Jacobian can be used to calculate derivatives from a

function in one coordinate sytem from the derivatives of that same function in another coordinate system.

• Equations u=f(x,y), v=g(x,y), then x and y can be determined as functions of u and v (possessing first partial derivatives) as

follows: x f f y f f y x f u = ( , ); = ∂ / ∂ ; = ∂ / ∂

• With similar functions for x_v and y_v.

• The determinants in the denominators are examples of the use of Jacobians. y x y x x y x y x y y x y x g g f f g u y g g f f g u x y g g x g g y x g v x f f y f f y x f u − = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ = = / ; / ); , ( / ; / ); , (

Contoh

u = 2x3 + 2xy – 2 v = 2y + 4xy2 – 3

Mulai dengan nilai awal x0 = 0.5 dan y0 = 1.5

Mulai dengan nilai awal x0 = 0.5 dan y0 = 1.5

y

x

x

u

x

y

u

y

x

v

xy

y

v

2

6

;

2

;

4

;

8

2

+

=

2

=

=

2

+

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂