LAPORAN PENELITIAN REPRESENTASI GRAF MAKS-PLUS PADA SISTEM KEJADIAN DISKRET

LAPORAN

PENELITIAN

REPRESENTASI

GRAF

MAKS-PLUS

PADA

SISTEM

KEJADIAN

DISKRET

Nilamsari

Kusumastuti,

M.Sc.

Shantika

Martha,

S.Si,

Evy Sulistyaningsih,

S.Si.

J u d u l L . K e t u a P e l a k s a n a a . N a m a L e n g k a p b . N I P c . G o l . / a b a t a n d . S e d a n g M e l a k u k a n P e n e l i t i a n e . F a k u l t a s f . J u r u s a n

2 .

3 .

4 .

5 .

6 .

g . B i d a n g K e a h l i a n P e r s o n a l i a Lama Kegiatan L o k a s i P e n e l i t i a n S u m b e r D a n a M u l a i K e g i a t a n

Lembaran

Pengesahan

Representasi Graf Maks-Plus Pada Sistem Kejadian Diskret N i l a m s a r i K u s u m a s t u t i , M . S c . 198105 1020050L2003 l l l b / A s i s t e n A h l i T i d a k M a t e m a t i k a d a n ll m u P e n g e t a h u a n A l a m M a t e m a t i k a A l j a b a r 3 o r a n g 3 b u l a n L a b o r a t o r i u m K o m p u t e r F M I P A U n t a n P N B P ( D I P A ) F a k u l t a s M I P A U n t a n September 2010 Pontianak, 25 Nopember 2010 Ketua Pelaksana Nilamsari Kusumastuti, M.Sc. N I P. 19810510200s012003 baga Penelitian

s Tanungpura

/1. Asrori, M.Pd. Mengetahui, k u l t a s M I P A

$$

l

I

r i 4\ ff(JT

lttra

Mengetahui,

KEMENTERIAN

PENDIDIKAN

NASIONAL

UNIVERSITAS TANJUNGPURA

UPT. PERPUSTAKAAN

Jalan JendnalAhmad Yani Pontianak78124 Telp. (0561) 741197 Fax. (0561) 741197 PO. BOX 1049

SURAT KETERANGAN

Nomor | 017

tHLz.ls/IJU

n0ll

Kepala UPT. Perpustakaan

Universitas Tanjunglrura menerangkan

dengan sesungguhnya

bahwa

Saudara

Nilamsari Kusumastutr, S.Sr, M.Sc

rrIP. 19810510

200501

2 003

Telahmenulis Karya llmiahlDiktat/Laporan PenelitianA{akalah

dengan surat nomor :

8tvtnz.8/PL/2011

Tanggal 24Mei20ll

denganjudul:

tRepresentasi Grflf Maks-Plus Pada Sistem Kcjadian Diskret".

terdaftar pada UPT. Perpustakaan

Universitas Tanjunpura dengan

Nomor Register

: 0 0 3

Demikianlah Surat Keterangan

sebagaimana

mestinya.

ini dibuat dengan sebenar-benarnya

agar dapat digunakan

24Mei 20ll

Usaha

Zanna;rta, SE, MM

199003

2002

ln

I

KATA PENGANTAR

Puji syukul kehadilat Allah SWT atas diselesaikannya karya ilmiah yang Berjudul Representasi Graf Mahs-Plus Pacla Sistem Linear Kejadian Diskret. Tujr-ran dari penulisan makalah ini adalah untuk menyajikan pembahasan yang lebih khusus clan mendalam mengenai struktur aljabal yang merupakdn salah satu poliok bahasan yang penting dalam mempelajari matematika.

Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih memellukan saran dan klitik yang membpngun. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi ilmu pengetahuarr. Amin.

Pontianak. Nopember 20 1 0

Judul Penelitian : REPRESENTASI GRAF MAKS-PLUS PADA SISTEM LINEAR KEJADIAN DISKRET

Bidang Ilmu : Aljabar Terapan

A. LATAR BELAKANG

Penelitian tentang aljabar maks-plus dimulai pada tahun 1992 oleh Francois Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder dan Jean-Pierre Quadrat. Aljabar

maks-plus adalah himpunan  

_

_

yang dilengkapi dengan dua operasi biner maksimum dan penjumlahan biasa sebagai operasi  dan  , dan dinotasikan

dengan _maks. Penelitian mengenai _maks tersebut dimotivasi oleh pemodelan dan analisa matematis pada beberapa permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari, seperti sistem jaringan kereta, sistem produksi barang dalam sebuah pabrik, sistem jaringan telekomunikasi, dan sebagainya.

Pada dasarnya, sistem-sistem tersebut merupakan sistem yang dinamik terhadap waktu dan dikenal dengan nama Sistem Kejadian Diskret (SKD) (Baccelli dkk, 1992). Contoh yang paling sederhana adalah kejadian pada suatu stasiun kereta api A. Keberangkatan suatu kereta k harus menunggu beberapa kereta lain yang akan datang untuk memberi kesempatan penumpang berganti kereta. Dianggap waktu perjalanan kereta antar stasiun yang berhubungan dengan stasiun A telah diketahui dan kereta k langsung berangkat segera setelah penumpang berganti kereta. Didapat waktu keberangkatan kereta k adalah maksimum dari waktu kedatangan kereta-kereta lain yang berhubungan dengan kereta k di stasiun A. Waktu kedatangan kereta di stasiun A adalah jumlahan dari waktu keberangkatan kereta dari stasiun lain dengan waktu perjalanan kereta. Dari contoh tersebut diperlihatkan operasi maksimum merupakan operasi yang sangat penting dalam menentukan jadwal keberangkatan kereta. Oleh karena itu, ide dasar dari aljabar maks-plus adalah menjadikan operasi maksimum ini sebagai operasi penjumlahan dalam aljabar. Sejak saat itu, banyak penelitian yang dimotivasi oleh pendekatan secara aljabar maks-plus pada teori Sistem Kejadian Diskret Linear( SKD Linear Maks-Plus).

Beberapa sifat dari Sistem Kejadian Diskret dapat dinyatakan dalam gagasan teori graf dan matriks maks-plus seperti keterhubungan kuat dan sirkuit kritis. Graf dan matriks maks-plus memiliki sifat yang berbeda dari teori graf dan matriks klasik, hal ini disebabkan karena operasi maksimum sebagai operasi penjumlahan tidak memiliki invers. Oleh karena itu dalam penelitian ini akan diberikan beberapa tinjauan mengenai teori graf dan matriks maks-plus.

B. TUJUAN

Penelitian ini bertujuan:

1. Pembentukan representasi Graf maks-plus pada teori Sistem Kejadian Diskret.

2. Mempelajari sifat-sifat pada Teori Graf dan Matriks maks-plus serta keterhubungan keduanya.

3. Menerapkan teori Graf dan Matriks maks-plus dalam penyelesaian berbagai permasalahan pada teori Sistem Kejadian Diskret.

C. STUDI PUSTAKA

Untuk mempelajari tentang pengertian dasar dan struktur aljabar maks-plus serta representasinya dalam teori graf maks-plus diperlukan beberapa definisi dan teorema-teorema yang didapat dari Baccelli, dkk (1992). Selain itu, Gaubert (1998) dan Brown(1993) memberikan sumbangan pengetahuan untuk teori matriks maks-plus dan teori matriks satas ring seperti definisi dan operasi sifat dasar matriks.

Sebagian besar penelitian yang dilakukan disini, yang meliputi definisi, teorema dan sifat-sifat pada teori Sistem Kejadian Diskret Linear Maks-Plus mengacu pada Gaubert dan Katz (2002). Untuk teori dasar mengenai SKD Linear Maks-Plus digunakan artikel Cohen, dkk (1999), dan teori sistem linear secara umum diambil dari Brewer, dkk (1986).

D. METODE PENELITIAN 1. Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian dilaksanakan di Laboratorium Komputer Jurusan Matematika FMIPA Untan. Rencana waktu penelitian selama tiga bulan.

2. Tahapan Penelitian

Rangkaian penelitian yang dilakukan oleh penulis diawali dengan mempelajari pengertian dan sifat-sifat khusus dari struktur aljabar maks-plus.. Setelah itu, akan dipelajari mengenai ilustrasinya pada pada masalah teori Sistem Kejadian Diskret Linear Maks-Plus

Selanjutnya, konsep mengenai Sistem Kejadian Diskret Linear Maks-Plus diterapkan dalam suatu bentuk graf. Dari bentuk graf ini akan dicari keterhubungannya dengan matriks maks-plus dan dipelajari sifat-sifat yang dimiliki graf dan matriks maks-plus. Sifat-sifat yang ditelaah meliputi definisi graf berarah, keterhubungan graf, jalur dan sirkuit kritis dan lain sebagainya.

E. HASIL DAN PEMBAHASAN

1. Aljabar Maks-Plus

Definisi 1.1.(Gaubert, 1998) Semiring adalah himpunan tak kosong  yang dilengkapi dengan dua operasi biner ⨁ dan ⨂ yang memenuhi aksioma-aksioma berikut :

i. (,⨁) merupakan monoid komutatif, dengan elemen identitas disebut elemen nol, dinotasikan dengan .

ii. (,⨂) merupakan monoid, dengan elemen identitas disebut elemen satuan, dinotasikan dengan e.

iii. ⨂ terhadap ⨁ bersifat distributif

iv. Elemen merupakan elemen penyerap terhadap operasi ⨂, yaitu



   ⨂ = ⨂s



=

Seperti pada ring, semiring juga memiliki beberapa tipe yang memiliki sifat-sifat khusus seperti yang tercantum dalam berikut ini.

Definisi 1.2. (Gaubert, 1998)

i. Semiring (,⨁,⨂) dikatakan komutatif jika operasi ⨂ bersifat komutatif. ii. Semiring (,⨁,⨂) disebut semifield jika (\{ }, ⨂) grup komutatif. iii. Semiring (,⨁,⨂) dikatakan idempoten jika operasi  bersifat idempoten,

yaitu



   s ⨁ = s. s



Semiring idempoten disebut juga dioid. (Baccelli dkk, 1992).

Definisi 1.3. Himpunan  





yang dilengkapi dengan operasi maks dan penjumlahan biasa sebagai  dan  dinotasikan dengan _maks, dan dinamakan max-plus semifield atau aljabar maks-plus (max-plus algebra).

Mudah ditunjukkan bahwa _maksmemiliki struktur semifield idempoten yang komutatif dengan =  dan e = 0.

Definisi 1.4 (Baccelli, et.al.,1992)

Moduloid atas semifield idempoten

_

, , ,,e

_

adalah himpunan monoid komutatif

_

 ,

_

yang dilengkapi dengan operasi eksternal yaitu pemetaan pergandaan skalar (kiri) :

:  

   

(,x)  x

dan memenuhi aksioma-aksioma



x, y



dan



 , 



i.







x

 

x

ii. 



xy



xy iii.

_



_

xxx

Contoh 1.5

1. Diberikan himpunan

_

_maks

_

n yang didefinisikan dengan





1 2 maks maks, 1, 2, , n i n x x x i n x _{ }  _{ }  _{ }  _   _       _{ }        .

Didefinisikan operasi internal  pada

_

_maks

_

n sebagai berikut :

















1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 maks maks , maks , , maks , n n n n n n n n n x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y                           _    _   _   _ _ _                                _{  }                     

dan operasi eksternal  yang didefinisikan dengan :









maks maks maks

1 1 1 1 2 2 2 2 : , n n n n n n x x x x x x x x x x x x                            _   _     _  _ _            _{ } _{     }   _{ }                   

Jelas

_

_maks

_

n merupakan moduloid atas maks, dengan elemen nol adalah





1 , , ...,

T n

      .

Definisi 1.6 (Baccelli, et.al.,1992)

Aljabar Idempoten adalah moduloid



 ,



dengan suatu operasi internal lain  yang memenuhi sifat:

i.



, 



merupakan monoid dengan elemen identitas dinotasikan dengan e.

Contoh 1.7

Diberikan himpunan matriks berukuran n n atas maks



maks





matriks berukuran dengan

 

_ij maks , , 1, ,



n n

A A n n A i j n



   

  

Didefinisikan operasi internal  , dan operasi eksternal  pada

_

_maks

_

n n sebagai berikut :







, maks





maks



n n A B       

A  B = matriks n n atas maks dengan



AB



_ij 

 

A_ij

 

B _ijmaks



   

A_ij, B _ij



,

A  B = matriks n n atas maks dengan





 

 

1 , n ij _k ik kj A B A B   



 A

  = matriks n n atas maks dengan



A



_ij 

 

A _ij 

 

A_ij.



maks



n n

 merupakan aljabar idempoten dengan

i. elemen nol pada

_

_maks

_

n n , yang dinotasikan dengan  adalah matriks n n dengan setiap entrinya sama

ii. elemen identitas pada

_

_maks

_

n n , yang dinotasikan dengan E, adalah matriks dengan :

 

0 , jika , jika ij i j E i j       

2. Teori Graf dan Matriks Maks-Plus

Suatu graf didefinisikan sebagai suatu pasangan ( , ) dengan adalah himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut simpul (vertex) dan adalah suatu himpunan pasangan (tak terurut) simpul-simpul. Elemen dari disebut sisi (edge) . Suatu graf berarah didefinisikan sebagai suatu pasangan

 adalah suatu himpunan pasangan terurut simpul-simpul yang disebut busur (arc). Untuk busur (v,w) ∈  , v disebut simpul awal busur dan w disebut simpul akhir busur. Suatu loop adalah busur (v,v) ∈  . Jika dalam graf terdapat busur (i,j) ∈ , maka i disebut predecessor dari j dan j disebut succesor dari i. Himpunan semua predecessor dari j dinotasikan dengan ( ) dan himpunan semua succesor dari i dinotasikan dengan ( ). Jika ( ) = 0 maka simpul i disebut source dan jika ( ) = 0 maka simpul j disebut sink

Diberikan = ,  adalah graf berarah dengan = { , , … , }. Suatu lintasan dalam adalah suatu barisan berhingga busur ( , ), ( , ), ... , ( , ) dengan ( , ) ∈  untuk suatu l ∈ ℝ dan k = 1, 2, ... , l – 1. Lintasan ini direpresentasikan dengan → → … → . Untuk suatu lintasan , panjang lintasan didefinisikan sebagai banyak busur yang menyusun dan dinotasikan dengan _l. Suatu lintasan disebut sirkuit jika simpul awal dan simpul akhirnya sama. Sirkuit elementer adalah sirkuit yang simpul-simpulnya muncul tidak lebih dari sekali, kecuali simpul awal yang muncul tepat dua kali. Suatu graf berarah = ,  dengan = {1, 2, … , } dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap i, j ∈ dengan ≠ , terdapat suatu lintasan dari i ke j.

Contoh 2.1

Diberikan graf berarah = ,  , dengan = {1, 2, 3} dan  = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3)}, maka representasi dari graf berarah tersebut adalah sebagai berikut

1 2

3

Barisan busur (2,1), (1,1), (1,2), (2,3) merupakan suatu lintasan dalam yang dapar direpresentasikan dengan 2→1→1→2→3. Lintasan ini mempunyai panjang 4 karena tersusun atas 4 busur. Lintasan 2→1→2→3→1 merupakan suatu sirkuit dengan panjang 5. Lintasan 1→2→3→1 merupakan suatu sirkuit elementer dengan panjang 3. Diperlihatkan bahwa untuk sebarang 2 simpul berbeda dalam graf berarah tersebut selalu terdapat suatu lintasan, sehingga graf berarah tersebut terhubung kuat.

Diberikan graf berarah = ,  dengan = {1, 2, … , }. Graf berarah dikatakan berbobot jika setiap busur (j, i) ∈  dikawankan dengan suatu bilangan real Aij. Bilangan real Aij disebut bobot busur (j, i), dinotasikan dengan w(j, i).

Dalam penyajiannya dengan gambar untuk graf berbobot, busur diberi label dengan bobotnya. Dari pengertian graf berbobot ini, untuk setiap matriks A ∈



maks



n n

 akan bersesuaian dengan suatu graf berarah berbobot seperti diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 2.3 (Graf Preseden, Schutter, 1996)

Diberikan matriks A ∈



maks



n n

 . Graf preseden dari A adalah graf berarah

berbobot (A) = ,  dengan = {1, 2, … , } dan

 = (j, i)| w(j, i)=A_ij ≠ ε . Contoh 2.4 Diberikan 1 3 2 2 4 0 A         _{ }    

Graf predesen dari A adalah graf berarah berbobot ( ) = ( , ) dengan = {1, 2, 3} dan  = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3)} yang disajikan dalam gambar berikut :

Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot = ( , ) selalu dapat didefinisikan suatu matriks A ∈

_

_maks

_

n n dengan













, , jika , , jika , ij w j i j i A j i            .

Bobot suatu lintasan pada graf berbobot = ,  didefinisikan sebagai jumlahan bobot busur-busur yang menyusun , dinotasikan dengan  _w. Untuk matriks A ∈

_

_maks

_

n n , bobot suatu lintasan = → → … → dalam graf preseden (A) adalah

2 1, 3,2 ... l,l1

i i i i i i

w A A A





    . Bobot rata-rata lintasan ,

dinotasikan  , didefinisikan sebagai 1 _w

l 

 .

Contoh 2.6

Diberikan graf preseden (A) dalam Contoh 3.4. Panjang suatu lintasan =2→3→ 2→1→1 adalah

l

 = 4. Bobot lintasan adalah

w  = w(2, 3) + w(3, 2) + w(2, 1) + w(1, 1) = A₃₂A₂₃A₁₂A₁₁ = 0 + 4 + 3 + 1 = 8 1 2 3 Gambar 2.5 1 3 2 -2 4 0

Bobot rata-rata lintasan adalah  = 1 _w l   =

 

1 8 2 4 

Berikut diberikan suatu interpertasi dalam teori graf untuk pangkat k matriks

A ∈

_

_maks

_

n n dalam aljabar maks-plus. Diberikan A ∈

_

_maks

_

n n . Jika k ∈ ℕ, maka unsur ke-st dari matriks Ak adalah

 



1 2 1 1



1 2 1 , , , 1 , ,...,max ... k k k s i i i i t i i i n st A A A A          =





1 2 1 1 1 2 1 , , , 1 , ,...,max ... k k i t i i s i i i i n A A A       

untuk setiap s, t. Karena





1, 2 1, ... ,k1

i t i i s i

A A A



   adalah bobot lintasan dengan panjang k, dengan t sebagai simpul awal dan s sebagai simpul akhir dalam (A), maka

 

k

st

A adalah bobot maksimum semua lintasan dalam (A) dengan panjang k, dengan t sebagai simpul awal dan s sebagai simpul akhir. Jika tidak ada lintasan dengan panjang k dari t ke s, maka bobot maksimum didefinisikan sama dengan .

Contoh 2.7

Diberikan matriks A dalam Contoh 3.4. Bobot maksimum semua lintasan dalam (A) dengan panjang k untuk setiap pasangan simpul awal dan simpul akhir lintasan dapat ditentukan dari unsur-unsur matriks Ak. Misalkan untuk k = 2, 3,

4 didapat : 2 3 4 1 5 7 1 7 9 1 9 11 4 6 , 6 8 , 8 8 2 4 4 6 6 8 A  A  A                                         . Terlihat bahwa

 

2 12

A _{= 5, artinya bobot maksimum semua lintasan dalam (A)}

dengan panjang 2, dengan 2 sebagai simpul awal dan 1 simpul akhirnya adalah 5. Hal ini sesuai dalam (A), dimana terdapat 3 lintasan dengan panjang 2, dengan 2 sebagai simpul awal dan 1 sebagai titik akhirnya, yaitu 2→1→1, 2→2→1 dan

2→3→1 yang berturut-turut →mempunyai bobot 4, 5 dan -2. Entri

 

3

31

artinya tidak adsa lintasan dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 1 dan berakhir pada simpul 3.

Selanjutnya diperhatikan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer, dengan diambil maksimum atas semua sirkuit elementer dalam graf. Diberikan



maks



n n

A   dengan graf presedennya (A) = ,  . Bobot maksimum dari semua sirkuit dengan panjang k dengan titik i sebagai simpul awal dan akhir

dalam (A) dituliskan sebagai

 

k

ii

A _{. Maksimum dari bobot maksimum semua}

sirkuit dengan panjang k yang berawal dan berakhir pada simpul i dalam (A) adalah

 

1 k n ii i A 



, dan disebut trace



Ak



dan rata-ratanya adalah 1

 

A k k



. Jika

diambil maksimum atas sirkuit dengan panjang k ≤ n, yaitu atas semua sirkuit elementernya, didapat bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam (A) (dinotasikan dengan _maks

 

A ) adalah sebagai berikut :

 

 

maks 1 1 trace k n i A A k



     _{ }  



.

Suatu sirkuit dalam graf disebut sirkuit kritis jika bobot rata-ratanya sama dengan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam . Suatu graf yang terdiri dari semua sirkuit kritis dari graf disebut graf kritis dari dan dinotaskan dengan . Contoh 2.8 Diberikan 2 3 1 1 1 2 1 A              

Akan dicari _maks

_{ }

A , yaitu bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam graf (A) di atas. Dengan operasi perkalian matriks didapat :

2 3 4 4 2 5 7 5 2 4 2 dan 5 5 3 3 3 2 4 6 4 A A         _{ } _{ }         Jadi,

 

 

     

3 maks 1 1 1 1 1 trace maks 1 , 4 , 5 2 1 2 3 k i A A k



       _{ } _{ }    



.

Sirkuit kritis dalam (A) di atas adalah sirkuit dengan bobot rata-ratanya adalah 2, yaitu sirkuit 1 → 2 → 1 dan 2 → 1 → 2, sehingga graf kritis dapat disajikan sebagai berikut : 1 2 Gambar 2.10 1 3 1 2 3 Gambar 2.9 -2 1 1 1 3 2 2

Teorema 2.11(Baccelli, et.al.,1992)

Diberikan



maks



n n

A   . Jika semua sirkuit dalam (A) mempunyai bobot nonpositif maka



 p n A



pEA ... An1

Bukti :

Karena banyak titik dalam (A) adalah n maka semua lintasan dengan panjang p ≥ n tersusun dari k sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari p dan satu lintasan dengan panjang kurang dari n. Hal ini berarti untuk setiap p ≥ n dan untuk setiap s, t ∈ {1, 2, ..., n}, terdapat r ∈ {1, 2, ..., n} sehingga

   

p l



mi



dengan 0 1, 1 , 1 i i k i i st _i r r A  A 

_

A   l n m n r n dan k = 1, 2, 3, ... .

Karena semua sirkuit mempunyai bobot nonpositif maka untuk setiap p ≥ n dan untuk setiap s, t ∈ {1, 2, ..., n} berlaku

   

p l dengan 0 1

st st

A  A   l n .

Akibatnya



 p n A



p A ... An1.

Karena untuk setiap A 



_maks



n n berlaku EAA maka





1 ... p n p n A E A A       ￭

Berdasarkan Teorema 2.11 tersebut didefinisikan operasi bintang (*) untuk matriks berikut ini.

Definisi 2.12

Jika diberikan A 



_maks



n n dengan semua sirkuit dalam (A) mempunyai bobot nonpositif, maka dapat didefinisikan

1 : ... n n ... A E A A A       dan : . A AA

Selanjutnya, akan diberikan definisi suatu matriks yang graf presedennya terhubung kuat, yaitu untuk setiap i, j ∈ dengan ≠ , terdapat suatu lintasan dari i ke j.

Definisi 2.13

Suatu matriks



maks



n n

A   dikatakan irredusible jika graf presedennya

terhubung kuat.

Teorema berikut memberikan syarat perlu dan cukup untu matriks irredusible.

Teorema 2.14

Suatu matriks A 



_maks



n n dikatakan irredusible jika dan hanya jika



2 ₁



... n

ij

AA  A 



untuk setiap i, j dengan i≠j. Contoh 2.15 1. Diberikan 2 3 1 1 1 2 1 A        _{ }    

. Matriks A irredusible, karena

2 2 3 1 4 4 2 4 4 2 1 1 2 4 2 2 4 2 , 2 1 3 3 2 3 3 2 A A                                       yang berarti



2



ij A A



  untuk setiap ≠ . Dari graf preseden (A) matriks A pada Gambar 2.9 terlihat bahwa untuk sebarang dua simpul berbeda i dan j terdapat suatu lintasan dari i ke j.

2. Diberikan matriks 1 3 2 2 4 0 B                , maka

2 1 3 2 1 5 7 1 5 7 2 4 4 6 4 6 . 0 2 4 2 4 B B                                            Karena



2





2



21 31 dan

BB  BB , maka B tidak irredusible. Pada gambar graf pada Gambar 2.5 terlihat dalam graf preseden matriks B tersebut tidak terdapat lintasan dari simpul 1 ke simpul 2 dan dari simpul 1 ke simpul 3.

Selanjutnya akan diberikan mengenai konsep nilai dan vektor eigen dari matriks dalam aljabar maks-plus.

Definisi 2.16 (Schutter, 1996)

Diberikan A 



_maks



n n . Skalar  



_maks



n n disebut nilai eigen maks-plus matriks A jika terdapat suatu vektor v  



_maks



n dengan v ≠

1

n sehingga A v v

_   . Vektor v tersebut disebut vektor eigen maks-plus matriks A yang bersesuaian dengan .

Berikut ini akan diberikan teorema yang mengaitkan nilai dan vektor eigen suatu matriks maks-plus dengan graf maks-plus

Teorema 2.17

Diberikan A 



_maks



n n maka

i. Skalar _maks

_{ }

A , yaitu bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam (A), merupakan suatu nilai eigen maks-plus matriks A

ii. Jika skalar  _maks merupakan nilai eigen maks-plus dari matriks A,

Contoh 2.18 Diberikan matriks 2 3 1 1 1 2 1 A        _{ }    

dalam Contoh 2.8, diketahui _maks

_{ }

A = 2,

didapat nilai eigen maks-plus dari matriks A adalah 2. Dibentuk matriks

 

maks 2 3 1 4 1 1 2 1 1 1 1 . 2 1 0 1 B  A A                     _{ } _  _          Selanjutnya, dihitung 2 2 0 0 2 0 1 1 2 0 2 , : 1 0 2 . 1 1 2 1 0 0 B B E B B            _  _     _  _          

Karena sirkuit 1 → 2 → 1 merupakan sirkuit kritis dalam (A) maka kolom

pertama, 0 1 1   _       

, dan kolom kedua,

1 0 0          

, matriks B* merupakan vektor eigen yang

bersesuaian dengan _maks

 

A =2, yaitu

2 3 1 0 2 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1             _{ } _ _{  }                          dan 2 3 1 1 3 1 1 1 0 2 2 0 2 1 0 2 0             _ _ _{ }                          .

Dalam teorema berikut ini akan diberikan beberapa sifat nilai eigen plus untuk matriks yang irredusible dan juga ketunggalan dari nilai eigen maks-plus tersebut.

Teorema 2.19

i. Jika matriks irredusible A 



_maks



n n mempunyai nilai eigen maks-plus dengan x vektor eigen maks-maks-plus yang bersesuaian dengan , maka xi≠ untuk setiap i ∈ {1, 2, ..., n}

ii. Jika matriks A 



_maks



n n irredusible, maka A mempunyai nilai eigen tunggal.

4. Sistem Linear Kejadian Diskret

Diperhatikan suatu sistem jaringan kereta sederhana (Goverde, et.al, 1998) yang disajikan dalam Gambar 4.1 berikut:

Misalkan di suatu kota terdapat dua stasiun kereta S1 dan S2 yang

dihubungkan dengan suatu jaringan rel kereta seperti pada Gambar 4.1 di atas, dengan dua kereta untuk tiap stasiun. Misalkan pada waktu keberangkatan pertama empat kereta tersebut melakukan perjalanan sebagai berikut. Kereta pertama berangkat dari stasiun S1, mengantar dan menjemput penumpang di pinggiran kota dan kembali ke S1. Kereta kedua berangkat dari stasiun S1, mengantar dan menjemput penumpang di tengah kota dan menuju ke stasiun S2. Kereta ketiga berangkat dari stasiun S2, mengantar dan menjemput penumpang di tengah kota dan menuju ke stasiun S1. Kereta keempat berangkat dari stasiun S2, mengantar dan menjemput penumpang di pinggiran kota dan kembali ke S2. Pada waktu keberangkatan kedua perjalanan kereta sebagai berikut. Kereta pertama dan

S1 S2

Gambar 4.1 5

3

keempat kembali melakukan perjalanan seperti pada waktu perjalan sebelumnya. Kereta kedua berangkat dari stasiun S2, mengantar dan menjemput penumpang di tengah kota dan menuju ke stasiun S1. Kereta ketiga berangkat dari stasiun S1, mengantar dan menjemput penumpang di tengah kota dan menuju ke stasiun S2. Pada waktu keberangkatan ketiga perjalanan kereta seperti pada waktu perjalan pertama, demikian seterusnya. Dengan demikian jaringan rel kereta ini dapt dipandang terdiri dari satu lintasan dalam (S1 → S2 →S1) dan dua lintasan luar (S1 → S1 dan S2 → S2).

Kereta mencapai stasiun lain (atau yang sama) setelah suatu waktu tertentu, yang disebut sebagai waktu perjalanan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1 di atas. Keberangkatan kereta di suatu stasiun harus menunggu kedatangan kereta yang lain sehingga penumpang mempunyai kesempatan berganti kereta untuk menuju tempat yang diinginkan. Waktu untuk menunggu kereta lain dan penumpang berganti kereta ini telah diperhitungkan dalam waktu perjalanan. Stasiun di pinggiran kota tidak dipertimbangkan karena tidak mempunyai peranan yang penting dalam pemodelan.

Misalkan tidak ada jadwal keberangkatan kereta dan kereta langsung berangkat setelah penumpang berganti kereta pada suatu stasiun. Didefinisikan :

xi(k) : waktu keberangkatan ke-k pada stasiun Si untuk i = 1, 2 .

Jika proses keberangkatan dan kedatangan suatu kereta berkesinambungan, maka didapat:

x1(k) = maks (2 + x1(k - 1), 5 + x2(k - 1)), (4.2)

x2(k) = maks (3 + x1(k - 1), 3 + x2(k - 1) ), untuk k = 0, 1, 2, ... .

dengan menggunakan operasi aljabar maks-plus , persamaan (4.2) dapat ditulis kan sebagai berikut :

 

1 x k =



2x k₁

_

1

_



 5



x₂

_

k1

_



 

2 x k =



3x k₁

_

1

_







3x₂

_

k1

_



Jika dituliskan dalam persamaan matriks aljabar maks-plus, persamaan-persamaan di atas menjadi

 

 









1 1 2 2 1 2 5 3 3 1 x k x k x k x k   _{ }        _{ }              untuk k = 1, 2, 3, ….

Persamaan di atas dapat juga dituliskan dengan

 



1



x k Ax k

untuk k = 1, 2, 3, …, dengan keadaan awal x(0) = x0

 

 

 





2 1 maks 2 x k x k x k          ,



maks



2 2 2 5 3 3 A_ _     .

Dalam prakteknya, jaringan rel kereta api beroperasi berdasarkan jadwal keberangkata. Jadwal keberangkatan ini terdiri dari waktu keberangkatan kereta dari semua stasiun. Hal ini berarti bahwa sebuah kereta tidak dapat meninggalkan stasiun sebelum jadwal keberangkatannya, meskipun kereta yang ditunggunya telah datang. Didefinisikan:

di (k ) = jadwal keberangkatan kereta ke-k pada stasiun Si untuk i = 1,2.

Kemudian didapat x(k) sebagai berikut :

x1(k) = maks {2 + x1(k - 1), 5 + x2(k - 1), d1(k)], (4.3)

x2(k) = maks (3 + x1(k - 1), 3 + x2(k - 1), d2(k) ), untuk k = 0, 1, 2, ... .

dengan menggunakan operasi aljabar maks-plus, persamaan (4.3) dapat ditulis kan sebagai berikut :

 

1 x k =



2x k₁

_

1

_



 5



x₂

_

k1

_



d k₁

_{ }

 

2 x k =



3x k₁

_

1

_







3x₂

_

k1

_



d₂

_{ }

k Jika dituliskan dalam persamaan matriks aljabar maks-plus, persamaan-persamaan di atas menjadi

 

 









 

 

1 1 1 2 2 2 1 2 5 3 3 1 x k x k d k d k x k x k                                  untuk k = 1, 2, 3, ….

Persamaan di atas dapat juga dituliskan dengan

 



1



 

x k Ax k d k

 

 

 

 

 

 





2 1 1 maks 2 2 , , x k d k x k d k x k d k                  , 2 5



_maks



2 2 3 3 A_ _     .

Selanjutnya, akan diberikan kasus lain, yaitu sistem produksi sederhana dalam suatu pabrik sebagai beikut :

Diperhatikan suatu sistem produksi sederhana (Gaubert dan Katz, 2002) yang disajikan dalam Gambar 4.4 berikut :

Sistem ini terdiri dari 3 unit mesin produksi M1, M2, M3. Bahan baku

dimasukkan ke M1, diproses dan dikirim ke M2. Pada mesin M2 produk

setengah-jadi dari M1 diproses dan dikirim ke M3. Selanjutnya, produk setengah-jadi

diproses di M3 dan dihasilkan output produk jadi. Waktu pemrosesan untuk M1,

M2, dan M3 berturut-turut adalah d1 = 1, d1 = 2 dan d3 = 3 satuan waktu.

Diasumsikan bahan baku yang di input langsung dapat diproses di M1, t1 = 0, dan

memerlukan t2 = 5 satuan waktu untuk dapat masuk ke M2. Selain itu, produk

setengah-jadi dari M2 memerlukan t3 = 6 satuan waktu untuk sampai ke M3 dan

memerlukan ty = 3 satuan waktu sebelum akhirnya menjadi output produk jadi.

Pada input sistem dan antara unit mesin terdapat penyangga (buffer) dengan kapasitas yang besar untuk menjamin tidak ada penyangga yang meluap (overflow). Suatu mesin hanya dapat mulai bekerja untuk suatu produk baru jika ia

t1 = 0 d1=1 t1 = 5 d2 = 2 d3= 3 t1 = 6 ty = 3 M1 M3 M2 y u Gambar 4.4

telah menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya. Diasumsikan bahwa setiap unit pemrosesan mulai bekerja segera setelah bahan tersedia.

Didefinisikan :

i) u(k) : waktu saat bahan baku dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke-(k), ii) xi(k) : waktu saat mesin ke-i mulai bekerja untuk pemrosesan ke-k,

iii) y(k) : waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem.

Waktu saat M1 mulai bekerja untuk pemrosesan ke-(k) dapat ditentukan sebagai

berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke-(k), maka bahan mentah ini tersedia pada unit mesin M1 pada waktu t = u(k) + t1 = u(k) + 0.

Akan tetapi M1 hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera

setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-(k-1). Karena waktu pemrosesan pada M1 adalah d1 = 1 satuan

waktu, maka produk setengah-jadi akan meninggalkan M1 pada saat t = x1(k-1) +1.

Hal ini dapat dituliskan dengan :

 



 







1 maks 0, 1 1 1

x k  u k  x k  untuk k = 1, 2, 3, …

Secara sama diperoleh waktu pemrosesan ke-k untuk mesin M2, M3 dan waktu saat

produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem sebagai berikut:

 

2 x k = maks



x k₁

_{ }

 1 5,x₂

_

k1

_

2



= maks maks





u k

 

0,x k₁



1



1



6,x k₂



1



2



= maks



u k

 

6,x k₁



1



7,x₂



k1



2



 

3 x k = maks



x₂

_{ }

k  2 6,x k₃

_

1

_

3



= maks maks





u k

 

6,x k₁



1



7,x k₂



 1 2





8,x k₃



1



3



= maks



u k

_{ }

14,x k₁

_

1

_

15,x₂

_

k1

_

10,x k₃

_

1

_

3



 

y k = x k ₃

 

3 untuk k = 1, 2, 3, …

Dengan menggunakan operasi aljabar maks-plus, persamaan-persamaan dalam model sistem produksi sederhana tersebut dapat dituliskan dalam persamaan berikut:

 

1 x k =



1x k₁

_

1

_



 u k

_{ }

 

2 x k =



7x k₁

_

1

_







2x₂

_

k1

_







6u k

_{ }



 

3 x k =



15x k₁

_

1

_







10x₂

_

k1

_







3x₃

_

k1

_







14u k

_{ }



 

y k = 3x k₃

 

Jika dituliskan dalam persamaan matriks aljabar maks-plus, persamaan-persamaan di atas menjadi

 

 

 













 

1 1 2 2 3 3 1 1 0 7 2 1 6 15 10 3 ₁ 14 x k x k x k x k u k x k x k   _{  }    _{ }   _{ }   _{ }         _{ }   _{ }   _{ }   _{ }         

 





 

 

 

1 2 3 3 x k y k x k x k        _{  }     untuk k = 1, 2, 3, ….

Persamaan di atas dapat juga dituliskan dengan

 





 

 

 

1 x k A x k B u k y k C x k        (4.5)

untuk k = 1, 2, 3, …, dengan keadaan awal x(0) = x0

 

 

 

 





1 3 2 maks 3 x k x k x k x k     _{ }      ,



maks



3 3 1 7 2 15 10 3 A                  ,



maks



3 1 0 6 14 B              

,u k  

_{  }

_maks

_

1 dan C =

_

  3

_

 

_

_maks

_

1 3 .

Dari contoh tersebut diperlihatkan bahwa matriks dalam persamaan sistem merupakan matriks konstan, yaitu tidak tergantung pada parameter k. Selain itu, pada sistem tersebut hanya satu macam bahan baku yang diproses dalam satu kali waktu pemrosesan dan menghasilkan output satu macam barang jadi. Pada kenyataannya, dalam suatu sistem dimungkinkan terdapat lebih dari satu input dan

satu output dalam satu kejadian. Akibatnya didapat bentuk umum persamaan (4.1) adalah sebagai berikut:

x(k) = A  x( k-1)  B  u(k)

y(k) = C  x( k)

x(0) = x₀

dengan A 



_maks



n n , B 



_maks



n p , C 



_maks



q n , x x k₀,

_{ }





_maks



n, u(k) 



_maks



p, y(k) 



_maks



q k = 1, 2, …

Vektor x(k) menyatakan keadaan pada saat k, u(k) disebut vektor input, y(k) disebut vektor output dan x(0) disebut vektor keadaan awal dari sistem. Jika diasumsikan vektor-vektor x(k), u(k), y(k) dan x(0) hanya menjalani nilai-nilai tertentu, sistem di atas dapat definisikan sebagai berikut.

Definisi 4.6 (Gaubert dan Katz, 2002) SKD Linear atas _maks dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :

x(k) = A  x( k-1)  B  u(k)

y(k) = C  x( k) (4.7)

x(0) = x₀

dengan A 



_maks



n n , B 



_maks



n p , C 



_maks



q n , x x k₀,

 





_maks



n, u(k) 



_maks



p, y(k) 



_maks



q k = 1, 2, … .

Vektor x(k) menyatakan keadaan(state), u(k) disebut vektor input, y(k) disebut vektor output dan x(0) disebut vektor keadaan awal dari Sistem (4.7).

Selanjutnya, jika x(0) = , maka dari persamaan (4.7) didapat x(1) = A  x(0)  B  u(1) = B  u(1) x(2) = A  x(1)  B  u(2) = A



Bu

_{ }

1



Bu

_{ }

2 = A  B  u(1)  B  u(2) =





 

 

2 1 u B AB u       

x(3) = A  x(2)  B  u(3) = A



ABu

 

1 Bu

 

2



Bu

 

3 = A2B  u(1)  A  B  u(2)  B  u(3)

=

 

 

 

2 3 2 1 u B AB A B u u                

x(n) = An1B  u(1)  An2B  u(2)  ...  A  B  u(n-1)  B  u(n)

=

 





 

1 1 1 n u n u n B AB A B u              _{ }         (4.8)

Dari persamaan (4.2) terlihat vektor-vektor yang memenuhi persamaan (4.8)

dapat dicapai dari kondisi awal x(0) = _n dan input-input yang bersesuaian.

SKD Linear maks-plus dalam definisi di atas secara singkat akan ditulis dengan SKD (A, B, C) dan dituliskan SKD (A, B, C, x0) jika kondisi awal x(0) =

x0 diberikan. SKD dengan satu input dan satu output akan disebut SKD satu input

satu output (SISO). Sedangkan SKD dengan lebih dari satu output akan disebut SKD multi input multi output (MIMO).

Dalam situasi tertentu ada suatu SKD yang keadaannya tidak dipengaruhi kedatangan input, yang disebut SKD autonomus, seperti diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 4.9

SKD autonomus adalah SKD yang mepunyai persamaan berikut : x(k) = A  x( k-1)

y(k) = C  x( k) (4.10)

Secara singkat SKD autonomus seperti dalam definisi di atas ditulis dengan SKD (A,C, x0) dengan x0  . Intepretasi SKD autonomus dalam sistem produksi

sederhana adalah bahwa pada keadaan awal sistem, buffer input dan beberapa buffer internal tidak kosong (x0 ), kemudian bahan baku dimasukkan kedalam

sistem dengan laju tertentu sedemikian sehingga buffer input tidak pernah kosong. Jadi mesin-mesin sudah bekerja pada kondisi awal, dan untuk selanjutnya tidak perlu menunggu kedatangan input, karena input sudah selalu tersedia. Dalam kasus Sistem Jaringan Kereta Sederhana, SKD autonomus adalah pada saat “tidak ada jadwal keberangkatan“. Dalam hal ini, kereta segera berangkat setelah menunggu kereta lain dan penumpang berganti kereta, tanpa menunggu jadwal keberangkatan.

F. JADWAL KEGIATAN PENELITIAN

Penelitian ini direncanakan berlangsung selama tiga bulan yaitu dimulai pada bulan September 2010 dan berakhir pada bulan Nopember 2010. Jadwal kegiatan penelitian adalah sebagai berikut:

No. Kegiatan Penelitian September Oktober Nopember 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1. Persiapan 2. Pengadaan Literatur 3. Kajian Teoritik 4. Evaluasi Penelitian 5. Pembuatan Laporan G. ANGGARAN PENELITIAN No .

Uraian Vol Harga Satuan (Rp)

Jumlah (Rp)

1. Honor Tim Peneliti:

a. Ketua Peneliti (1 org x 3 bln x 1 keg) b. Anggota Peneliti ( 2 org x 3 bln x

1keg) 3 Obk 6 Obk 100.000 75.000 300.000 450.000

2. ATK dan Bahan Habis Pakai: a. Catridge Canon PIXMA warna b. Catridge Canon PIXMA hitam c. Kertas HVS A4, 80 gram d. Alat Tulis 1 buah 1 buah 3 rim 1 keg 290.000 160.000 50.000 100.000 290.000 160.000 150.000 100.000 3. Bahan dan Peralatan Penelitian

a. Flashdisk 4 GB b. Pengadaan Literatur 1 buah 1 keg 150.000 800.000 150.000 800.000 4. Lain-lain

a. Peyusunan dan Penggandaan Proposal b. Komunikasi dan Akses Internet c. Publikasi Jurnal

d. Penyusunan dan Penggandaan Laporan 1 keg 1 keg 1 jurnal 1 keg 150.000 350.000 850.000 250.000 150.000 350.000 850.000 250.000 Total 4.000.000

H. DAFTAR PUSTAKA

Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J., Quadrat, J.P., 1992, Synchronization and Linearity, Wiley, New York.

Brewer, J.W., Bunce, J.W., Van-Vleck, F.S., 1986, Linear Systems Over Commutative Rings, Marcel Dekker, Inc., New York.

Brown, W.C., 1993, Matrices Over Commutative Rings, Marcel Dekker, Inc., New York.

Cohen, G., Gaubert, S., Quadrat, J.P., 1999, Max-Plus Algebra and Systems Theory: Where We Are and Where to Go Now, Annual Review in Control, 23, 207-219, http://www.IFAC-Nantes.tex.

Gaubert, S. 1998, Exotic Semirings : Examples and General Result, http://www. amadeus.inria.fr, Maret 1998, diakses 5 Desember 2008.

I. BIODATA PENELITI

1. Ketua Pelaksana

a. Nama : Nilamsari Kusumastuti, M.Sc. b. NIP : 198105102005012003

c. Pangkat/Golongan : Penata Muda Tk. I/ III/b d. Jabatan : Asisten Ahli

e. Bidang Keahlian : Aljabar

2. Anggota Pelaksana I

a. Nama : Shantika Martha, S.Si b. NIP : 198403082008122004 c. Pangkat/Golongan : Penata Muda / III/a d. Jabatan : Tenaga pengajar e. Bidang Keahlian : Matematika Terapan

3. Anggota Pelaksana II

a. Nama : Evy Sulistyaningsih, S.Si, M.Sc. b. NIP : 198502172008122006

c. Pangkat/Golongan : Penata Muda / III/a d. Jabatan : Tenaga pengajar e. Bidang Keahlian : Matematika Terapan