DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS
•
UNIFORM (SERAGAM)•
BERNOULLI•
BINOMIAL•
POISSON•
MULTINOMIAL•
HIPERGEOMETRIK•
GEOMETRIK•
BINOMIAL NEGATIFMA3181 Teori Peluang 27 Oktober 2014
DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM)
• PEUBAH ACAK X DIASUMSIKAN SETIAP NILAINYA (X
1, X
2,
…, X
K) MEMILIKI PELUANG YANG SAMA.
• DISTRIBUSI PELUANG X :
• RATAAN :
• VARIANSI :
1 21
(
)
,
,
,...,
kP X
x
x
x
x
x
k
11
k i ix
k
2 21
k ix
BUKTI :
MEAN DAN VARIANSI UNTUK P.A DISTRIBUSI SERAGAM.
1 1 1
1
[
]
(
)
,
k
k i
k i i i i i ix
E X
x P X
x
x
k
k
Berdasarkan definisi ekspektasi,
2
2
2 2 1 11
(
)
k i
i
k i
i iE
X
x
P X
x
x
k
CONTOH 1
• PELANTUNAN SEBUAH DADU.
1
(
)
,
1, 2, 3, 4, 5, 6
6
P X
x
x
1
2
3
4
5
6
3, 5
6
2 2 2 2 2 2 21
2
3
4
5
6
23.5
6
15.17
12.25
2.92
0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 1 2 3 4 5 6 P (X =x) xPERCOBAAN BERNOULLI
•
PERCOBAAN TERDIRI DARI 1 USAHA
•
PELUANG SUKSES
P
PELUANG GAGAL
1-P
•
MISALKAN
1, jika terjadi sukses
0, jika terjadi tidak sukses (gagal)
X
Usaha
Gagal
Sukses
DISTRIBUSI BERNOULLI
•
X BERDISTRIBUSI BERNOULLI,
•
RATAAN
: E[X] = µ
X
= P
•
VARIANSI
: VAR(X)=
X
2
= P(1-P)
1(1
)
,
0,1
(
)
( ;
)
0 ,
x xp
p
x
P X
x
ber x p
x lainnya
BUKTI
1 1 0[
]
(1
)
0.(1
)
1.
x x
E X
xp
p
p
p
p
1 2 2 2 2 1 2 0 2 2var(
)
[
]
(1
)
0(1
)
1.
(1
)
x xX
E X
x p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
PERCOBAAN BINOMIAL
•
N USAHA YANG BERULANG.
•
TIAP USAHA MEMBERI HASIL YANG DAPAT DIKELOMPOKKAN
MENJADI SUKSES ATAU GAGAL.
•
PELUANG SUKSES TIDAK BERUBAH DARI USAHA YANG SATU KE
YANG BERIKUTNYA.
DISTRIBUSI BINOMIAL
DISTRIBUSI BINOMIAL, PARAMETER N DAN P
NOTASI X ~ B(N,P)
9 oRataan
: E[X] = µ
x= np
oVariansi
: var(X)=
2= np(1-p)
! !( )! n n x x n x untuk x = 0,1, … , n
F.m.p:
Koefisien binomial :
n! = n.(n-1).(n-2) … 1(
)
( ; ,
)
n
x(1
)
n xP X
x
b x n p
p
p
x
BUKTI
0 1 1 1 1 1 1 0 [ ] (1 ) (1 ) ( 1)! (1 ) ( 1)!( )! 1 (1 ) , misal 1 1 1 (1 ) n x n x x n x n x x n x n x x n x n x x n y n y y n E X x p p x n x p p x n n p p x n x n np p p y x x n np p p y np
BUKTI
2 2 0 2 1 1 1 1 1 1 0 (1 ) (1 ) ( 1)! (1 ) ( 1)!( )! 1 (1 ) , misal 1 1 1 ( 1) (1 ) [ 1] (( 1) 1 n x n x x n x n x x n x n x x n x n x x n y n y y n E X x p p x n x p p x n nx p p x n x n np x p p y x x n np y p p y np E Y np n p
2 2 2 ) n p np np BUKTI
2 2 2 2 2 2 2(
)
[
]
( [
])
(1
)
Var X
E X
E X
n p
np
np
n p
np
p
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
• X ~ B(N,P) 0 0 ( ) (1 ) ( ) (1 ) (1 ) n tx x n x X x n t x n x x n t n M t e p p x n pe p x p pe
CONTOH 2
SUATU PENELITIAN DILAKUKAN UNTUK MELIHAT
KESADARAN MASYARAKAT TENTANG ASURANSI.
PENELITIAN ITU MENUNJUKKAN BAHWA SEKITAR 70%
PENDUDUK TIDAK MEMILIKI ASURANSI MANAPUN.
APABILA 5 ORANG DIAMBIL SECARA ACAK, BERAPA
PELUANG BAHWA PALING SEDIKIT 3 ORANG TIDAK
MEMPUNYAI ASURANSI MANAPUN?
JAWAB
MISALKAN PEUBAH ACAK X MENYATAKAN BANYAKNYA PENDUDUK YANG TIDAK MEMPUNYAI ASURANSI MANAPUN.
MAKA X~B(5, 0.7)
Yang ingin dicari adalah P(X
3).
P(X
3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
3
2
4
1
5
05
5
5
0.7
0.3
0.7
0.3
0.7
0.3
3
4
5
5!
5!
5!
(0, 343)(0, 09)
(0, 240)(0, 30)
(0,168)(1)
2!3!
1!4!
0!5!
0, 309
0, 360
0,168
0, 837
PERCOBAAN POISSON
• MEMILIKI 2 KELUARAN HASIL : SUKSES DAN GAGAL.
• TERDEFINISI PADA : (YANG MEMBEDAKAN DARI PERCOBAAN BINOMIAL)
• PANJANG SELANG WAKTU
• LUAS DAERAH/AREA
CONTOH :
- BANYAK KLAIM YANG DATANG SETIAP HARI DI SEBUAH
PERUSAHAAN ASURANSI
- BANYAK KECELAKAAN YANG TERJADI DI SEBUAH TITIK RAWAN
KECELAKAAN
PROSES POISSON
CIRI-CIRI:
SELANG WAKTU ATAU DAERAHNYA SALING BEBAS.
PELUANG PADA PROSES POISSON TERGANTUNG PADA SELANG
WAKTU DAN BESARNYA DAERAH.
PELUANG UNTUK SELANG YANG PENDEK ATAU DAERAH YANG SEMPIT
DAPAT DIABAIKAN.
DISTRIBUSI POISSON
o RATAAN
: E[X] =
X=
T
o VARIANSI : VAR(X)=
2=
T
(
)
,
0,1, 2,...
!
x te
t
P X
x
x
x
Peubah acak X berdistribusi Poisson
X~P(
t)
F.m.p :
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
• X~POI() 0 0 ( 1)( )
!
(
)
!
t t x tx X x t x x e ee
M
t
e
x
e
e
x
e
e
e
Ingat bahwa: 2 31
...
k yy
y
y
e
y
CONTOH 3
RATA-RATA BANYAKNYA KLAIM YANG DATANG DALAM SATU
HARI KERJA DI SEBUAH PERUSAHAAN ASURANSI ADALAH 7.
a. HITUNG PELUANG BAHWA LEBIH DARI 2 KLAIM DATANG
SELAMA SETENGAH HARI KERJA.
b. BERAPA RATA-RATA BANYAKNYA KLAIM YANG DATANG
DALAM PERIODE 2 HARI KERJA.
JAWAB
Jenis kasus
• Kasus Diskrit
• Misal p.a. X : banyak klaim yang datang dalam satu hari kerja • Distribusi Poisson
Satuan
• Satuan waktu : 1 hari (t = 1) • X ~ POI(7)
Parameter distribusi
• Rata-rata kejadian 1 hari : 7 ( = 7) • Rata-rata = t = 7 • Variansi : σ2 = t = 7 Pertanyaan a. • t = 0,5, X ~ P(3,5) maka P(X>2) = .... Pertanyaan • t = 2, X ~ P(14) maka = ....
...
( ) , 0,1, 2,... !
x t e t P X x x xIngat definisi:
sehingga
0
1
2 3,5 3,5 3,5 0,5(
2)
1
2
1
0
1
2
3, 5
3, 5
3, 5
1
0!
1!
2!
1
0.030
0,106
0, 370
0, 494
tP X
P X
P X
P X
P X
e
e
e
a.
b. Jika dalam 1 hari, rata-rata banyak klaim datang adalah 7 (
=7) maka
dalam 2 hari (t=2), rata-rata banyak klaim yang datang adalah
t = 14.
HUBUNGAN DISTRIBUSI BERNOULLI, BINOMIAL, POISSON
DAN NORMAL
Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, p) Distribusi Poisson X ~ POI (t) Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p)n
>1 n >>>, p <<< Distribusi Normal X ~ N(μ, σ2) μ = np, σ2 = np(1- p)Misalkan p.a X
n >>> n >>> DLP μ = , σ2 = BEBERAPA DISTRIBUSI DISKRIT LAINNYA
• DISTRIBUSI MULTINOMIAL • DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK • DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF • DISTRIBUSI GEOMETRI
DISTRIBUSI MULTINOMIAL
• BILA SUATU USAHA TERTENTU DAPAT MENGHASILKAN K MACAM HASIL
E1, E2, …, EK DENGAN PELUANG P1, P2, …, PK, MAKA DISTRIBUSI PELUANG PEUBAH ACAK X1, X2, …, XK YANG MENYATAKAN BANYAK TERJADINYA E1,
E2, …, EK DALAM N USAHA BEBAS IALAH, 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
(
,
,...,
)
p p
p
,
,...,
k x x x k k k kn
P X
x
X
x
X
x
x
x
x
dengan,
1 1dan
1
k k i i i ix
n
p
Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.
CONTOH 4
• PELUANG SEORANG PERWAKILAN DATANG KE SUATU KONFERENSI DI SUATU
KOTA MENGGUNAKAN PESAWAT, BUS, MOBIL PRIBADI, DAN KERETA
BERTURUT-TURUT ADALAH 0.4, 0.2, 0.3, DAN 0.1. HITUNG PELUANG DARI 9
PERWAKILAN YANG DATANG 3 ORANG DATANG MENGGUNAKAN PESAWAT, 3
ORANG DENGAN BUS, 1 ORANG DENGAN MOBIL PRIBADI, DAN 2 ORANG
DENGAN KERETA.
• JAWAB:
MISALKAN X
I: BANYAKNYA PERWAKILAN YANG DATANG MENGGUNAKAN
TRANSPORTASI I, I=1,2,3,4 BERTURUT-TURUT MEWAKILI PESAWAT, BUS, MOBIL
PRIBADI, DAN KERETA.
27
3 3 1 2 1 2 3 4 5 9 ( 3, 3, 1, 2) 0.4 0.2 0.3 0.1 3, 3,1, 2 9! 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0, 038702 3!3!1!2! P X X X X DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
• X ~ H(N, N, K)
• X : BANYAKNYA SUKSES DALAM SAMPEL ACAK UKURAN N YANG DIAMBIL DARI N BENDA YANG MENGANDUNG K BERNAMA SUKSES DAN N-K
BERNAMA GAGAL.
(
)
( ;
, , )
,
0,1, 2,...,
k
N
k
x
n
x
P X
x
h x N n k
x
n
N
n
Rataan :
nk
Variansi :
21
N
n
k
k
n
CONTOH 5
• DARI 50 GEDUNG DI SEBUAH KAWASAN INDUSTRI, 12 GEDUNG MEMPUNYAI
KODE PELANGGARAN. JIKA 10 GEDUNG DIPILIH SECARA ACAK DALAM
SUATU INSPEKSI, HITUNG PELUANG BAHWA 3 DARI 10 GEDUNG MEMPUNYAI
KODE PELANGGARAN!
• JAWAB :
MISALKAN X : BANYAK GEDUNG YANG DIPILIH MEMPUNYAI KODE
PELANGGARAN.
X ~ H(50, 10, 12)
12
38
220
12620256
3
7
(
3)
(3; 50,10,12)
0.2703
50
10272278170
10
P X
h
KAITANNYA DENGAN DISTRIBUSI BINOMIAL
• PERCOBAAN BINOMIAL MAUPUN HIPERGEOMETRIK SAMA-SAMA MEMILIKI 2 KEMUNGKINAN, YAITU SUKSES DAN GAGAL.
• PERBEDAAN MENDASAR ADALAH PADA BINOMIAL PERCOBAAN DILAKUKAN
DENGAN PENGEMBALIAN SEDANGKAN HIPERGEOMETRIK, PERCOBAAN DILAKUKAN TANPA PENGEMBALIAN.
• UNTUK UKURAN SAMPEL ACAK (N) YANG DIAMBIL SEMAKIN KECIL TERHADAP N, MAKA DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK DAPAT DIHAMPIRI OLEH DISTRIBUSI BINOMIAL, DENGAN PELUANG SUKSES K/N .
DISTRIBUSI GEOMETRIK
• X ~ G(P) ATAU X ~ GEOM(P)
• X : BANYAKNYA USAHA SAMPAI SAAT TERJADI SUKSES PERTAMA
DARI USAHA-USAHA YANG SALING BEBAS DENGAN PELUANG
SUKSES P DAN GAGAL (1-P).
Rataan :
1
p
Variansi :
2 21
p
p
1(
)
( ;
)
(1
)
x,
1, 2,...
P X
x
g x p
p
p
x
CONTOH 6
• BERDASARKAN HISTORI KLAIM YANG TERJADI DI SEBUAH PERUSAHAAN,
DIPEROLEH BAHWA PELUANG TERJADINYA KLAIM YANG BERNILAI DI ATAS 50
JUTA RUPIAH PADA SUATU TAHUN TAHUN ADALAH 0,2. MISALKAN X
ADALAH BANYAK KLAIM YANG TERJADI DALAM SATU TAHUN HINGGA
DITEMUKAN KLAIM PERTAMA YANG BERNILAI DI ATAS 50 JUTA RUPIAH.
HITUNG PELUANG PADA KLAIM KETIGA DI TAHUN TERSEBUT MUNCUL
PERTAMA KALI KLAIM YANG BERNILAI DI ATAS 50 JUTA RUPIAH!
• JAWAB :
X ~ GEOM(0.2)
2
(
3)
(3; 0.2)
0.2(0.8)
0.128
DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF
• SUATU PEUBAH ACAK BINOMIAL NEGATIF ADALAH JUMLAH DARI PEUBAH ACAK-PEUBAH ACAK GEOMETRIK.
X = Y1 + Y2 + ... + YK
DIMANA Y1, Y2, ..., YK ADALAH PEUBAH ACAK SALING BEBAS, MASING-MASING BERDISTRIBUSI GEOM(P).
1
(
)
* ( ; ,
)
(1
)
,
,
1,
2...
1
k x kx
P X
x
b
x k p
p
p
x
k k
k
k
X ~ b*(k, p)
X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari usaha-usaha saling bebas
dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).
k
2
k
(1
p
)
CONTOH 7
• PERHATIKAN CONTOH 6.
• MISALKAN X ADALAH BANYAK TES YANG DILAKUKAN SEHINGGA DITEMUKAN 3
KLAIM PERTAMA YANG BERNILAI DI ATAS 50 JUTA RUPIAH. HITUNG PELUANG BAHWA TERJADI 8 KLAIM SEHINGGA DITEMUKAN 3 KLAIM BERNILAI DI TAS 50 JUTA RUPIAH! • JAWAB : 3 5
7
(
8)
* (8; 3, 0.2)
(0.2) (0.8)
0.05505
2
P X
b
LATIHAN SOAL
1. PELUANG PEMBELIAN SUATU TELEVISI BERWARNA DI SUATU TOKO TELEVISI
ADALAH 0.25. HITUNGLAH PELUANG BAHWA PEMBELIAN TELEVISI YANG KELIMA DI TOKO TERSEBUT AKAN MERUPAKAN PEMBELIAN TELEVISI BERWARNA YANG KEDUA.
2. DALAM SUATU PROSES PRODUKSI DIKETAHUI BAHWA RATA-RATA 1 DIANTARA 100 BUTIR HASIL PRODUKSI CACAT. BERAPA PELUANG MEMERIKSA 5 BUTIR DAN BARU MENEMUKAN YANG CACAT PADA YANG KELIMA
3. DIKETAHUI ADA 50 MAHASISWA YANG MENGIKUTI KULIAH TEORI PELUANG DAN 3 DIANTARANYA MENGULANG. JIKA DIAMBIL 5 ORANG SECARA ACAK, BERAPA PELUANG DIANTARA 5 ORANG TADI:
a)TIDAK TERDAPAT YANG MENGULANG
b)TERDAPAT TIDAK LEBIH DARI SEORANG YANG MENGULANG
REFERENSI
NAVIDI, WILLIAM., 2008, STATISTICS FOR ENGINEERS AND SCIENTISTS, 2ND ED.,
NEW YORK: MCGRAW-HILL.
DEVORE, J.L. AND PECK, R., STATISTICS – THE EXPLORATION AND ANALYSIS OF
DATA, USA: DUXBURY PRESS, 1997.
HOGG, MCKEAN, AND CRAIG, INTRODUCTION TO MATHEMATICAL STATISTICS,
NEW JERSEY: PEARSON PRENTICE HALL, 2005.
WACKERLY, ET.AL., MATHEMATICSL STATISTICS AND ITS APPLICATION 7TH ED., USA:
THOMSON, 2008.
WALPOLE, RONALD E. DAN MYERS, RAYMOND H., ILMU PELUANG DAN STATISTIKA
UNTUK INSINYUR DAN ILMUWAN, EDISI 4, BANDUNG: PENERBIT ITB, 1995.
WALPOLE, RONALD E., ET.AL, STATISTITIC FOR SCIENTIST AND ENGINEERING, 8TH
ED., 2007.
