DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS

DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS

•

U N I F O R M ( S E R A G A M )

•

B E R N O U L L I

•

B I N O M I A L

•

P O I S S O N

•

M U L T I N O M I A L

•

H I P E R G E O M E T R I K

•

G E O M E T R I K

•

B I N O M I A L N E G A T I F

MA 4085 Pengantar Statistika

DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM)

Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x₁, x₂, …, x_k) memiliki peluang yang sama.

Distribusi peluang X :

Rataan : Variansi :

2

1 2

( ) 1 , , ,...,

_k

P X x x x x x

  k 

1

1

^k

i i

k x





 

 

²

2

1

1

^k

i i

k x

 



  

BUKTI :

MEAN DAN VARIANSI UNTUK P.A DISTRIBUSI SERAGAM.

1 1 1

[ ] ( ) 1 ,



  

  

^{k i}



ⁱ

 

^{k i}

 

^{k i}

i i i

E X x P X x x x

k k Berdasarkan definisi ekspektasi,

 

²

 

²

 

²

2

1 1

( ) 1

   

 

 

     

^{k i}

 

ⁱ

 

^{k i}



i i

E X x P X x x

k

CONTOH 1

Pelantunan sebuah dadu.

4

( ) 1 , 1, 2,3, 4,5, 6 P X  x  6 x 

1 2 3 4 5 6 6 3,5

  ^{    } 

2 2 2 2 2 2

2

1 2 3 4 5 6

2

6 3.5

15.17 12.25 2.92

  ^{    } 

  

0.16 0.165 0.17 0.175 0.18

1 2 3 4 5 6

P(X=x)

x

PERCOBAAN BERNOULLI

Percobaan terdiri dari 1 usaha

Peluang sukses  p Peluang gagal  1-p Misalkan

1, jika terjadi sukses

0, jika terjadi tidak sukses (gagal) X 

   Usaha

Gagal

Sukses

DISTRIBUSI BERNOULLI

X berdistribusi Bernoulli,

Rataan : E[X] = µ

_x

= p Variansi : Var(X)= 

_x²

^{= p(1-p)}

(1 )1 , 0,1

( ) ( ; )

0 ,

x x

p p x

P X x ber x p

x lainnya

   

   



6

PERCOBAAN BINOMIAL

n usaha yang berulang.

Tiap usaha memberi hasil yang dapat

dikelompokkan menjadi sukses atau gagal.

Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya.

Tiap usaha saling bebas.

DISTRIBUSI BINOMIAL

 Distribusi binomial, parameter n dan p

 Notasi X ~ B(n,p)

8

o

Rataan : E[X] = µ

_x

= np

o

Variansi : var(X)= 

_X²

= np(1-p)

!

!( )!

  

  

 

n n

x x n x untuk x = 0,1, … , n

 F.m.p:

 Koefisien binomial :

n! = n.(n-1).(n-2) … 1

( ) ( ; , ) n ^x(1 )^{n x}

P X x b x n p p p

x

  

     

 

CONTOH 2

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang.

Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang

tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah

menutupi penyakit sesungguhnya’. Menurut

penelitian ini, berapa peluang bahwa paling

sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak

berpendapat seperti itu?

JAWAB

Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah

mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya’.

Maka X~B(5, 0.7)

E D I T E D 2 0 1 1 B Y U M 10

Yang ingin dicari adalah P(X  3).

P(X  3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

   

^{3 2}

   

^{4 1}

   

^{5 0}

5 5 5

0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3

3 4 5

5! 5! 5!

(0, 343)(0, 09) (0, 240)(0, 30) (0,168)(1)

2!3! 1!4! 0!5!

0, 309 0, 360 0,168 0,837

     

       

     

  

   

PERCOBAAN POISSON

Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.

Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial)

 Panjang selang waktu

 Luas daerah/area Contoh :

- Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US

- Banyak batu “Apung” ditemukan di setiap 2 meter

panjang sungai “A”

PROSES POISSON

 Selang waktu atau daerahnya saling bebas.

 Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang waktu dan besarnya daerah.

 Peluang untuk selang yang pendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan.

12

DISTRIBUSI POISSON

o Rataan : E[X] = 

_X

=  t

( )   , 0,1, 2,...

!

t x

e t

P X x x

x



  





 Peubah acak X berdistribusi Poisson X~P(  t)

 F.m.p :

e = tetapan Euler (2.71828…)

CONTOH 3

Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7.

a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam

periode 2 minggu.

b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulan.

14

JAWAB

Jenis kasus

•Kasus Diskrit

•Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah

•Distribusi Poisson

Satuan

•Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya

•Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1

•Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4

Parameter distribusi

•Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4

•Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata  = t = 7

•Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P (7) , dengan rata-rata  = t = (7/4)(4) = 7

Pertanyaan a.

•t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

•t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

•t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka  = ....

...

( )

 

, 0,1, 2,...

!

 



  

t x

e t

P X x x

x

16

Ingat definisi:

sehingga

 

     

 

⁰

 

¹

 

²

3,5 3,5 3,5

0,5

( 2) 1 2

1 0 1 2

3, 5 3, 5 3, 5

1 0! 1! 2!

1 0.030 0,106 0, 370 0, 494

  



   

      

   

    

t

P X P X

P X P X P X

e e e

a.

b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata

banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.

HUBUNGAN DISTRIBUSI BERNOULLI, BINOMIAL, POISSON DAN NORMAL

Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, p)

Distribusi Poisson Distribusi Binomial

X ~ Bin (n, p)

n

>1

n >>>, p <<<

Distribusi Normal X ~ N(μ, σ²)

μ = np, σ² = np(1- p)

Misalkan p.a X

n >>>

n >>>

μ =  , σ² = 

BEBERAPA DISTRIBUSI DISKRIT LAINNYA

Distribusi Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Binomial Negatif Distribusi Geometri

18

DISTRIBUSI MULTINOMIAL

Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E₁, E₂, …, E_k dengan peluang p₁, p₂, …, p_k, maka distribusi peluang peubah acak X₁, X₂, …, X_k yang menyatakan

banyak terjadinya E₁, E₂, …, E_k dalam n usaha bebas ialah,

1 2

1 1 2 2 1 2

1 2

( , ,..., ) p p p

, ,...,

xk

x x

k k k

k

P X x X x X x n

x x x

 

     

 

dengan,

dan 1

k k

i i

x  n p 

 

Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap

percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.

CONTOH 4

Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut- turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9

perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang

dengan kereta.

Jawab:

Misalkan X_i : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan

transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.

20

       

    

3 3 1 2

1 2 3 4

5

( 3, 3, 1, 2) 9 0.4 0.2 0.3 0.1

3, 3,1, 2

9! 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0, 038702 3!3!1!2!

P X X X X



 

      

 

    

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

X ~ h(N, n, k)

X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang

diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal.

( ) ( ; , , ) , 0,1, 2,..., k N k

x n x

P X x h x N n k x n

N n

   

   

  

   

  

 

 Rataan :  Variansi :

CONTOH 5

Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung

mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!

Jawab :

Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode pelanggaran.

X ~ h(50, 10, 12)

22

  

12 38

220 12620256

3 7

( 3) (3;50,10,12) 0.2703

50 10272278170

10

P X h

  

  

  

    

  

 

KAITANNYA DENGAN DISTRIBUSI BINOMIAL

Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama-sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.

Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan dengan pengembalian sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian.

Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .

DISTRIBUSI GEOMETRIK

X ~ g(p) atau X ~ Geom(p)

X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

24



Rataan :

1



 p



Variansi :

2

2

1 p



 ^p

( ) ( ; ) (1 )

^x 1

, 1, 2,...

P X  x  g x p  p  p

^

x 

CONTOH 6

Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan

tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu

sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama!

Jawab :

X ~ Geom(0.2)

DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF

Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak- peubah acak Geometrik.

X = Y₁ + Y₂ + ... + Y_k

dimana Y₁, Y₂, ..., Y_k adalah peubah acak saling bebas, masing- masing berdistribusi Geom(p).

26

( ) *( ; , ) 1 (1 ) , , 1, 2...

1

k x k

P X x b x k p x p p x k k k

k





 

           

 X ~ b*(k, p)

 X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari

usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

k



 p ² k(1 ₂ p)



 p^



Rataan :

^

Variansi :

CONTOH 7

Perhatikan Contoh 6.

Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama!

Jawab :

3 5

( 8) *(8;3, 0.2) 7 (0.2) (0.8) 0.05505

P X b   2

     

 

REFERENSI

 Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill.

 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

 Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.

 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

28