HANDOUT KULIAH LISTRIK MAGNET I. Oleh: Dr. rer. nat. Ayi Bahtiar

(1)

HANDOUT KULIAH

LISTRIK MAGNET I

Oleh:

Dr. rer. nat. Ayi Bahtiar

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG

(2)

-+ ++ --Q +2Q

LISTRIK MAGNET I

AYI BAHTIAR

(3)

Materi Kuliah

1. Review Analisis Vektor

2. Medan Listrik Statik

● Hukum Coulomb

● Dalil Gauss dan Stokes

● Medan Listrik Statik

● Hukum Gauss dan Aplikasinya

3. Potensial Listrik

● Potensial Listrik

● Dipol dan Multipol

● Persoalan Listrik Statik ; Persamaan Poisson dan Laplace

● Fungsi Green

(4)

Materi Kuliah

4. Bahan Dielektrik

● Polarisasi Listrik

● Medan Pergeseran Listrik

● Kapasitansi Listrik

● Syarat Batas antara Dua Bahan Dielektrik

5. Teori Mikroskopik dari Dielektrik

● Medan Molekul dalam Dielektrik

● Molekul-molekul Polar

● Polarisasi Permanen; Feroelektrisitas

6. Energi Elektrostatik

● Rapat Energi Listrik

● Kapasitansi Listrik

(5)

Pustaka

1. J. R. Reitz,” Foundations of Electromagnetic Theory”,

Addison-Wesley Publ., 1993

2. D. J. Griffith,” Introduction to Electrodynamics”, Prentice-Hall Inc.,

1989.

3. J. D. Jackson,” Classical Electrodynamic”, John Wiley & Sons

Inc., 1991.

(6)

STANDAR KOMPETENSI

1. ANALISIS VEKTOR

Mereview operasi dalam vektor, operator nabla, integral garis, integral permukaan, integral volume, Teorema Divergensi, dan Teorema Stokes. 2. MEDAN LISTRIK STATIK

Menerapkan analisis vektor untuk merumuskan hukum Coulomb, medan listrik, fluks garis saya dan menurunkan hukum Gauss.

3. POTENSIAL LISTRIK

□ Membuktikan sifat konservatif medan listrik statik E dan merumuskan medan potensial listrik statik φ.

□ Menghitung potensial listrik dan mengungkapkan pernyataan uraian multipol. □ Menurunkan persamaan Laplace dan Poisson untuk potensial listrik

□ Memecahkan persamaan Laplace untuk berbagai syarat dengan kan metoda pemisahan variabel dan persamaan Poisson dengan mengguna-kan fungsi Green dan metoda bayangan.

(7)

4. BAHAN DIELEKTRIK

□ Mendefinisikan medan potensial listrik P dan memahami hubungannya dengan rapat dipol listrik makroskopik dan rapat muatan listrik permukaan. □ Mendefinisikan medan pergeseran listrik D dan merumuskan ulang hukum

Gauss dalam G.

□ Mendeskripsikan hubungan antara medan E, P dan D serta mencirikan khas bahan dielektrik, suseptibilitas listrik dan konstanta dielektrik.

5. TEORI MIKROSKOPIK BAHAN DIELEKTRIK

□ Mendefinisikan medan-medan molekul dan medan polarisasi dalam bahan dielektrik.

□ Mendeskripsikan molekul-molekul polar dan non-polar. □ Mendeskripsikan sifat-sifat bahan feroelektrik.

6. ENERGI LISTRIK STATIK

□ Merumuskan besaran kapasitansi listrik C.

□ Menghitung kapasitansi listrik ekivalen rangkaian kapasitor seri dan paralel. □ Merumuskan rapat energi listrik statik.

(8)

ANALISIS VEKTOR

(9)

Besaran fisis dalam Fisika diungkapkan dalam besaran skalar dan vektor. • Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai.

• Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.

A. ALJABAR VEKTOR

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor :

( )

(

B

C

) (

A

B

)

C

A

B

C

A

B

A

B

A

B

A

C

r

+

=

+

=

+

−

+

=

−

+

=

Perkalian Vektor :

B

A

B

0 A

A

sin

B

A

B

A

cos

B

A

B

A

r

×

−

=

×

=

×

θ

=

×

• =

θ

=

• (

) (

)

A

k

A

C

X

A

C

B

A

;

B

A

c

X

A

c

B

A

C

A

B

C

B

A

r

+

• ×

=

⇒

×

=

⊥

+

• =

⇒

• =

• −

• =

×

k = sembarang skalar

(10)

B. GRADIEN

Gradien suatu fungsi skalar adalah suatu vektor yang turunan arahnya maksimum di titik yang ditinjau dan arah vektornya adalah arah dari turunan maksimum di titik tersebut.

Dalam koordinat Kartesian (x,y,z):

z

k

y

j

x

i

grad

∂

ϕ

∂

+

∂

ϕ

∂

+

∂

ϕ

∂

=

ϕ

r

Dalam koordinat Bola (r,θ,φ) :

φ

∂

ϕ

∂

θ

+

θ

∂

ϕ

∂

+

∂

ϕ

∂

=

ϕ

_θ _φ

sin

r

1 a

r

1 a

r

a

grad

r

_r

r

C. INTEGRAL VEKTOR

Jika F adalah suatu vektor, maka integral garis dari vektor F :

( )

∫

→∞

∑

=

∆

• =

•

N 1 i i i N b C a

F

lim

d

r

F

r

_l

r

_l

a b C

l

r

d

(11)

Jika C merupakan lintasan tertutup :

∫

•

C

d

F

r

_l

Jika F adalah suatu vektor, maka integral permukaan dari vektor F :

∫

•

S

da

n

F r

r

Batas

nr

Jika S merupakan permukaan tertutup :

∫

•

S

da

n

F r

r

Jika F adalah vektor dan ϕ adalah skalar, maka integral volumenya :

(

)

(

vektor

)

dv

F

K

skalar

dv

J

V V

∫

=

ϕ

=

r

(12)

D. DIVERGENSI

Divergensi suatu vektor adalah limit dari intergral permukaan vektor tsb per-satuan volume, jika volume yang dilingkupi oleh permukaan S mendekati nol.

∫

• =

→ S 0 V

V

F

n

da

1 lim

F

div

r

Dalam koordinat Kartesian (x, y, z):

x

F

x

F

x

F

div

x y z

∂

+

∂

+

∂

=

r

Dalam koordinat Bola (r, θ, ϕ):

( )

(

)

ϕ

∂

θ

+

θ

∂

θ

+

∂

=

_θ

F

ϕ

sin

r

1 F

sin

r

1 F

r

1 F

div

r

₂ 2 _r

(13)

Teorema Divergensi

Integral dari divergensi suatu vektor diseluruh volume V sama dengan integral permukaan dari komponen normal vektor di seluruh permukaan yang meliputi volume V.

∫

=

∫

•

V S

da

n

F

dv

F

div

r

E. CURL

Curl suatu vektor adalah limit perbandingan integral dari perkalian silang vektor tsb dengan vektor normalnya di seluruh permukaan tertutup, jika volume yang dilingkupi permukaan mendekati nol.

∫

×

=

→ S 0 V

V

n

F

da

1 lim

F

curl

r

Komponen curl F dalam arah vektor satuan a adalah limit dari suatu integral garis persatuan luas, bila luas tertutup tersebut mendekati nol. Luas tersebut tegak lurus terhadap vektor a.

(14)

∫

×

• =

•

→ → S 0 V C 0 S

da

F

n

a

V

1 lim

d

F

S

1 lim

F

curl

a

r

l

r

Dimana kurva C adalah bidang normal vektor a.

ar

nr

n

a r

r ×

da

ξ

d

r

l

C C’

Karena a paralel dengan normal seluruh permukaan, maka :

l

r

_n

_da

_d

a

×

=

ξ

(15)

Karena V = ξS, maka :

∫

ξ

• ξ

=

•

→ C 0 V

S

F

d

1 lim

F

curl

a

r

_l

Teorema Stokes

Integral garis dari suatu vektor diseluruh lintasan tertutup C sama dengan integral komponen normal dari curl vektor tersebut di semua permukaan S yang dilingkupi lintasan tadi.

∫

• =

•

S C

da

n

F

curl

d

F

r

_l

r

(16)

F. OPERATOR DIFERENSIAL VEKTOR

Operator diferensial vektor disebut del atau nabla. Dalam koordinat Kartesian :

∇

r

z

k

y

j

x

i

∂

+

∂

+

∂

=

∇

r

Grad :

z

k

y

j

x

i

∂

φ

∂

+

∂

φ

∂

+

∂

φ

∂

=

φ

∇

r

Curl : Divergensi :

z

F

y

F

x

F

x y z

∂

+

∂

+

∂

=

• ∇

r

z y x

F

x

y

z

k

j

i

F

∂

=

×

∇

r

(17)

Operator del adalah operator linier :

(

)

(

)

(

a

F

b

G

)

a

F

b

G

b

F

a

G

b

F

a

b

a

b

a

r

×

∇

+

×

∇

=

+

×

∇

• ∇

+

• ∇

=

+

• ∇

ψ

∇

+

ϕ

∇

=

ψ

+

ϕ

∇

Jika a dan b adalah konstanta-konstanta skalar. Teorema integral lain yang penting.

( )

∫

• =

• ∇

• =

• ×

∇

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

=

• ϕ

∇

V S S C b C a b a a b

da

n

F

dv

F

d

F

da

n

F

d

r

l

r

l

r

(18)

G. OPERATOR LAPLACE 2

∇

=

∇

• ∇

r

Dalam koordinat Kartesian :

2 2 2 2 2 2 2

z

y

x

∂

ϕ

∂

+

∂

ϕ

∂

+

∂

ϕ

∂

=

ϕ

∇

(

)

(

) ( )

( )

( ) ( )

(

) (

)

(

)

(

F

G

) (

G

) ( ) (

F

G

) ( )

F

G

F

G

F

G

F

G

F

G

F

0

0 F

0

2

r

∇

• −

∇

• +

• ∇

−

• ∇

=

×

∇

×

∇

×

+

∇

• +

×

∇

×

+

∇

• =

• ∇

ψ

∇

ϕ

+

ψ

ϕ

∇

=

ϕψ

∇

−

• ∇

∇

=

×

∇

×

∇

=

ϕ

∇

×

∇

=

×

∇

• ∇

=

∇

×

∇

(19)

( )

(

) (

)

(

)

( ) ( )

(

)

0 r

G

r

G

0 r

3 r

F

G

F

G

F

G

F

2

₌

∇

=

∇

• =

×

∇

=

• ∇

×

∇

ϕ

+

×

ϕ

∇

=

ϕ

×

∇

• ×

∇

−

• ×

∇

=

×

• ∇

ϕ

+

• ϕ

∇

=

ϕ

• ∇

r

(

)

( )

∫

• =

∇

• +

• ∇

×

=

×

∇

ϕ

=

ϕ

∇

ϕ

=

ϕ

∇

×

V S V S V S S C

da

n

G

F

dv

F

G

da

F

n

dv

F

da

n

dv

d

n

r

l

r

(20)

(21)

Hukum Coulomb

1. Hanya ada dua jenis muatan listrik : positif (+) dan negatif (-)

2. Antara dua muatan titik terdapat gaya interaksi yang bekerja

sepanjang garis penghubung kedua muatan tadi yang berbanding

terbalik dengan kuadrat jarak antara dua muatan tersebut.

3. Gaya-gaya tersebut sebanding dengan perkalian muatan-muatan

tersebut yang bersifat tolak-menolak untuk muatan sejenis dan

tarik-menarik untuk muatan tak-sejenis.

Eksperimen memungkinkan pengamatan gaya-gaya interaksi antara muatan-muatan listrik.

(22)

HUKUM COULOMB

SKALAR

r q₁ q₂ 2 2 1 0 2 2 1

r

q

4

1 r

q

k

F

πε

=

ε₀ = permitivitas vakuum = 8,8542 x 10-12 _F/m k ≈ 9 x 109 N m2_/C2

(23)

VEKTOR

q₁ q₂ 1

F

r

F

2

r

1

rr

2 0 12

rr

21 12 21 12 1 2 21 2 1 12

r

=

−

=







−

=

−

=

Gaya pada q₁: 12 3 12 2 1 0 12 12 2 12 2 1 0 1

r

q

4

1 r

r

q

4

1 F

r

πε

=

πε

=

Gaya pada q₂: 21 3 21 2 1 0 21 21 2 21 2 1 0 2

r

q

4

1 r

r

q

4

1 F

r

πε

=

πε

=

(24)

Secara Umum (Operator Nabla)

( )

_











−

∇

πε

=













−

∇

πε

−

=

2 1 2 2 1 0 2 2 2 1 1 2 1 0 1 1

r

1 q

q

4

1 r

F

r

1 q

q

4

1 r

F

r

Untuk beberapa muatan titik:

j

i

ij

j

i

N

i

j

0 j

i

3 ij

ij

N

i

j

0 j

i

1 r

r

1

4 q

q

r

4 q

q

F

r

−

=













−

∇

πε

=

πε

=

∑

≠

(25)

Jika muatan-muatan titik terdistribusi dalam suatu fungsi (fungsi rapat muatan) yang didefinisikan sebagai limit dari muatan persatuan volume jika volume menjadi tak

hingga.

Rapat muatan volume:

V

q

lim

0 V

∆

=

ρ

→ ∆

Rapat muatan permukaan:

S

q

lim

0 S

∆

=

σ

→ ∆

Jika muatan terdistribusi melalui suatu volume V dengan rapat ρ dan pada

permukaan S yang melingkupi volume V dengan rapat σ, maka gaya interaksi yang diakibatkan oleh distribusi muatan tersebut dari suatu muatan titik yang berjarak r :

( )

r

'

da

'

r

'

r

4 q

'

dv

'

r

'

r

'

r

4 q

r

F

S 3 0 V 3 0

r

σ

−

πε

+

ρ

−

πε

=

∫

'

(26)

MEDAN LISTRIK

Setiap muatan titik akan menimbulkan medan yang akan mempengaruhi muatan dalam bentuk gaya.

Medan listrik suatu muatan titik didefinisikan sebagai limit dari gaya yang bekerja pada muatan titik lain (muatn uji) yang ditimbulkan oleh muatan titik tadi.

q

F

lim

E

0 q

r

→

=

Limit q → 0 untuk memastikan bahwa muatan titik test taditidak mempengaruhi distribusi muatan yang menghasilkan medan listrik.

Kuat medan listrik biasa digambarkan dengan bantuan garis gaya. -+ + + + + + + + + + + +

(27)

-Kombinasi muatan-muatan titik dan distribusi muatan

q₁ q₂ _q 3 q V dv’ 0

rr

'

r

r r

r −

'

rr

( )

r

'

da

'

r

'

r

4

1 '

dv

'

r

'

r

'

r

4

1 r

r

q

4

1 r

E

'

da

'

r

'

r

'

r

4 q

'

dv

'

r

'

r

'

r

4 q

r

q

4 q

r

F

S 3 0 V 3 0 3 i i N 1 i i 0 S 3 0 V 3 0 3 i i N 1 i i 0

r

σ

−

πε

+

ρ

−

πε

+

−

πε

=

σ

−

πε

+

ρ

−

πε

+

−

πε

=

∫

∑

∫

∑

= =

(28)

HUKUM GAUSS

Menggambarkan hubungan antara integral komponen normal dari medan listrik pada suatu permukaan tertutup dan muatan total yang dilingkupi permukaan tersebut. q

nˆ

_E

r

S da

da

r

nˆ

r

4 q

da

nˆ

E

S 3 S 0

∫

r

• =

_πε

r

• =

Ω

da

r

nˆ

r

d

r

₃ Sudut ruang yang dibuat oleh q melalui elemen luas da.

q

da r

Ω d

(29)







 π

=

∇

=

• =

• ∫

∫

0

4 dr

r

1 '

da

'

r

nˆ

'

r

da

r

nˆ

r

r 2 S 3 S 3

r

Jika q berada di dalam S

Jika q berada di luar S

Buktikan, sebagai latihan!!!!

HUKUM GAUSS

∫

=

• ε

=

•

S S 0

0 da

nˆ

E

q

da

nˆ

E

r

Jika muatan q berada dalam permukaan S

(30)

Secara umum Hukum Gauss adalah:

∑

∫

=

ε

=

•

N 1 i i S 0

q

1 da

nˆ

E

r

Dimana q_{dilingkupi oleh permukaan S}i adalah muatan-muatan titik yang

Jika S adalah suatu permukaan tertutup yang dilingkupi oleh volume V, maka Hukum Gauss dapat dinyatakan oleh:

∫

ρ

ε

=

•

V S 0

dV

1 da

nˆ

E

r

(31)

Teorema Divergensi:

∫

• =

∇

•

V S

dV

F

da

nˆ

F

r

Maka Hukum Gauss dalam bentuk diferensial:

∫

ρ

ε

=

• ∇

=

•

V S V 0

dV

1 dV

E

da

nˆ

E

r

0 E

ε

ρ

=

• ∇

r

(32)

Contoh Soal

1. Hitung kuat medan listrik di titik r di sekitar suatu kawat lurus yang

sangat panjang yang memiliki rapat muatan panjang

λ.

2. Hitung kuat medan listrik pada permukaan suatu konduktor yang

memliki rapat muatan persatuan luas

σ.

Solusi: 1.

l

nˆ

r

E

r

Hukum Gauss:

r

2 E

r

2 .

E

d

1 da

nˆ

E

0 r 0 r S 0

πε

λ

=

ε

λ

=

π

λ

ε

=

• ∫

∫

l

r

(33)

2. Dalam konduktor, muatan listrik terdistribusi di permukaan konduktor,

sehingga ρ = 0 didalam konduktor. Di luar konduktor medan listrik searah normal permukaan.

Ambil elemen permukaan dS dalam konduktor (lihat gambar).

dS

E

r

E = 0

nr

Hukum Gauss : 0 0 S 0

E

S

.

E

dS

1 dS

n

E

ε

σ

=

∆

ε

σ

=

∆

σ

ε

=

• ∫

r

∫

(34)

(35)

Bila Curl dari suatu vektor sama dengan nol, maka vektor tersebut bisa dinyatakan sebagai gradien dari suatu skalar.

( )

0 x

0 A

x

=

φ

∇

=

∇

r

= vektor dan

φ

adalah skalar

A

r

Gaya Coulomb dan medan listrik dinyatakan :

( )

_











−

∇

πε

−

=













−

πε

=













−

πε

=

'

r

1 '

q

4

1 '

r

'

r

'

q

4

1 r

E

'

r

'

r

'

qq

4

1 r

F

0 3 0 3 0

r

0 '

r

1 '

q

4

1 x

0 E

x

0

=

























−

∇

πε

∇

=

∇

r

(36)

( )

r

( )

r

E

'

r

1 '

q

4

1 r

0 x

0

r

φ

∇

−

=













−

πε

=

φ

=

φ

∇

Ingat:

Potensial listrik statik akibat suatu muatan titik q’:

Potensial listrik akibat muatan-muatan titik dan distribusi muatan:

( )

da

'

r

'

r

4

1 '

dv

'

r

'

r

4

1 r

r

q

4

1 r

S 0 V 0 i i N 1 i 0

∑

∫

−

σ

πε

+

−

ρ

πε

+

−

πε

=

φ

=

r

(37)

Pembuktian dengan cara lain:

( )

0 '

r

'

r

x

'

q

4

1 E

x

'

r

'

r

'

q

4

1 r

E

3 0 3 0

=













−

∇

πε

=

∇













−

πε

=

r

(

)

x

(

r

'

)

'

r

1 '

r

x

'

r

1 '

r

'

r

x

_r

r

_r

r

₃

_r

₃

r

_r

₃

r

−













−

∇

+

−

∇

−

=













−

∇

(

)

(

r

'

)

0 x

'

r

1 '

r

'

r

3 '

r

1

0 '

r

x

3 5 3

=

−













−

∇

−

=

−

∇

=

−

∇

r

Karena perkalian silang vektor yang sejajar

(38)

Maka jika medan listrik E diketahui, potensial listrik dapat ditulis sebagai:

( )

=

−

_∫

• φ

r ref

d

E

r

_l

r

Energi potensial di titik r relatif terhadap titik acuan (referensi):

( )

r

F

( )

r

'

d

r

'

U

r ref

r

₌

₋

_∫

_•

(39)

1. Hitung potensial listrik di titik r di sekitar suatu kawat lurus yang sangat

panjang yang memiliki rapat muatan panjang

λ.

Contoh soal

Solusi :

Medan listrik di sembarang titik sejauh r dari kawat lurus yang sangat panjang :

( )

C

r

ln

2 dr

r

2 r

d

E

r

2 r

2 E

0 0 2 0 0

+

πε

λ

=

πε

λ

−

=

• −

=

φ

πε

λ

=

πε

λ

=

∫

r

(40)

DIPOL DAN MULTIPOL

LISTRIK

(41)

Jika dua buah muatan yang sama besarnya tapi berlainan jenis terpisah oleh jarak yang kecil akan membentuk suatu dipol listrik.

Pandang dua muatan -q di posisi r’ dan +q’ di posisi r’+l, maka medan listrik di titik r : 0

'

rr

l

r

r +'

r

l

r

rr

'

r

r r

r −

-q +q

( )

















−

πε

=

−

πε

=

∑

= 3 3 0 3 i i N 1 i i 0

'

r

'

r

'

r

'

r

4 q

r

q

4

1 r

E

r

l

r

l

r

1. DIPOL LISTRIK

(42)

(

)

(

)

[

]

(

)

2 3/2 2 3 2 / 3 2 2 3

'

r

'

r

'

r

2

1 '

r

'

r

2 '

r

'

r

− − − −













−

+

−

• −

−

=

+

• −

−

=

−

r

l

r

l

r

l

r

l

r

l

r

Dengan menggunakan deret binomial, dimana hanya bagian liniernya saja yang diambil, maka:

(

)













+

−

• −

+

−

=

−

− −

...

'

r

'

r

3

1 '

r

'

r

3 3

_r

₂

l

r

l

r

Maka medan listrik di titik r akibat oleh dipol listrik menjadi:

( )

(

) ( )

















+

−

• −

πε

=

...

'

r

'

r

'

r

'

r

3

4 q

r

E

₅ ₃ 0

r

l

r

l

r

(43)

( )

(

) ( )

















+

−

• −

πε

=

...

'

r

'

r

'

r

'

r

3

4 q

r

E

₅ ₃ 0

r

l

r

l

r

Jika jarak antara kedua muatan titik sangat kecil (limit l mendekati nol) dan tidak ada medan listrik, kecuali muatan-muatan titik tadi tak hingga.

Dalam kasus ini, maka ql menjadi konstan, sehingga dikatakan dipol titik. Suatu dipol dikarakteristik oleh momem dipol listrik:

l

r

l

r

l r

q

lim

p

0

=

→

Maka medan listrik dapat dinyatakan:

( )

(

) ( )

















−

• −

πε

=

₅ ₃ 0

r

'

p

'

r

'

r

p

'

r

3

4

1 r

E

r

_r

r

_r

r

_r

r

_r

(44)

Distribusi potensial yang dihasilkan oleh dipol listrik:

( )

(

)

₃ 0 0

'

r

'

r

4 q

r

...

'

r

1 '

r

1

4 q

r

l

r

l

r

−

• −

πε

=

φ

















−

πε

=

φ

Untuk dipol titik:

( )

(

₃

)

0

r

'

r

p

4

1 r

r

_r

r

_r

r

−

• πε

=

φ

(45)

Jika dua muatan -q di posisi r dan +q di posisi r+l, diletakkan di dalam suatu medan listrik luar (dimana medan listrik digambarkan oleh potensial

maka energi potensial:

( )

r ext r φ

( )

r

+

φ

( )

r

+

r

_l

φ

−

=

q

r

q

r

U

_ext _ext

Jika:

r

l

<<

rr

maka

φ

_ext

( )

r

+

r

l

=

φ

_ext

( )

r

+

r

l

• ∇

r

φ

_ext

( )

r

titik

dipol

untuk

p

q

U

ext ext

φ

∇

• =

φ

∇

• =

r

l

r

Karena medan listrik adalah negatif gradien dari potensial listrik, maka:

( )

r

( )

r

E

r

=

−

∇

r

φ

r

( )

r

p

E

( )

r

(46)

2. MULTIPOL LISTRIK

Jika terdiri dari banyak muatan titik, maka untuk mengurangi jumlah koordinat titik digunakan suatu distribusi muatan.

Pandang suatu titik sembarang didalam distibusi muatan yang berjarak r’ dengan rapat muatan pada titik tersebut ρ(r’) dan suatu titik tinjau r yang berada jauh dari distribusi muatan tadi.

0 dv’

'

rr

V titik tinjau

rr

Potensial di titik r :

( )

dv

'

r

'

r

4

1 r

V 0

∫

−

ρ

πε

=

φ

r

_r

r

_r

'

r

r r

r −

(47)

Karena

r >>

r

'

(

)

        +       + • − +       + • − − = + • − = − − − ... r ' r r ' r r 2 2 3 2 1 2 1 r ' r r ' r r 2 2 1 1 r 1 ' r ' r r 2 r ' r r 2 2 2 2 2 2 2 2 / 1 2 2 1 r r r r r r r r

( )

(

)

...

( )

r

'

dv

'

r

'

r

'

r

3

2

1 r

'

r

1

4

1 r

₃ 2 5 2 3 V 0

r

_ρ

















+













−

• +

πε

=

φ

∫

Maka:

Karena r tidak terlibat dalam integrasi, maka variabel r dapat disimpan diluar.

( )

(

)

( )

















ρ

δ

−

+

ρ

+

ρ

πε

=

φ

∫

∑∑

∫

= =

'

dv

'

r

'

r

'

x

'

x

3 r

x

2

1 '

dv

'

r

'

r

'

dv

'

r

1

4

1 r

V 2 ij j i 5 j i 3 1 i 3 1 j V 3 V 0

r

x_i, x_j adalah komponen kartesian dari r dan x_i’, x_j’ adalah komponen Kartesian dari r’







=

≠

=

δ

j

i

,

1 j

i

,

0

ij

(48)

( )

(

)

( )

















ρ

δ

−

+

ρ

+

ρ

πε

=

φ

∫

∑∑

∫

= =

'

dv

'

r

'

r

'

x

'

x

3 r

x

2

1 '

dv

'

r

'

r

'

dv

'

r

1

4

1 r

V 2 ij j i 5 j i 3 1 i 3 1 j V 3 V 0

r

Potensial dari muatan

total _{Potensial dari momen dipol} distribusi muatan

Potensial dari momen tensor kuadropol

Jika posisi r berada jauh dari distribusi muatan dimana ρ berada, maka:

( )

_



+

• +

_



πε

=

φ

...

r

p

r

Q

4

1 r

₃ 0

r

Dimana Q = muatan total didalam distribusi muatan

p = momen dipol dari distribusi muatan

( )

r

'

dv

'

r

p

V

r

₌

_ρ

∫

(49)

FUNGSI DELTA DIRAC

Fungsi delta-dirac merupakan ekspresi matematik dari suatu fungsi pada titik r = 0

( )

r

'

dv

'

1

0 r

untuk

0 r

r

q

r

=

δ

≠

=

δ

=

ρ

∫

r

_{( ) ( )}

( ) (

r

'

r

'

r

)

dv

'

F

(

r

)

F

)

0 (

F

'

dv

'

r

'

r

F

0 0

r

=

−

δ

=

δ

∫

F adalah fungsi skalar atau fungsi vektor Maka jika

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)( )

₃

(

_i

)

i i 0 3i i 0 i i 0 i i 0 i i

r

q

4

1 '

dv

'

r

'

r

'

r

q

4

1 r

E

r

q

4

1 '

dv

'

r

'

r

q

4

1 r

r

'

r

q

'

r

v

r

−

πε

=

−

δ

πε

=

−

πε

=

−

δ

πε

=

φ

−

δ

=

ρ

∫

(50)

Dengan demikian Hukum Gauss:

ρ

ε

=

• ∇

0

1 E

r

Untuk suatu muatan titik q pada r = 0, menjadi:

( )

r

4 r

r

atau

r

q

1 r

r

4 q

3 0 3 0

r

πδ

=

• ∇

δ

ε

=

πε

• ∇

Karena: 3

r

1 dr

d

r

1 r

r

−

=













=













∇

maka:

( )

r

4 r

1 r

1

2

r

_

₌

₋

_πδ

r











∇

• ∇

=













∇

(51)

PERSOALAN-PERSOALAN

DARI LISTRIK STATIK

(52)

Pada dasarnya untuk menghitung potensial dan medan listrik dapat dilakukan langsung dengan menghitung integral dari distribusi muatan ρ(r’) melalui:

( )

_∫

(

) ( )

_∫

(

)

∫

−

πε

=

ρ

−

πε

=

−

πε

=

−

ρ

πε

=

φ

3 0 3 0 0 0

'

r

'

dq

'

r

4

1 '

dr

'

r

'

r

'

r

4

1 r

E

'

r

'

dq

4

1 '

dr

'

r

'

r

4

1 r

r

Namun dalam kenyataannya seringkali distribusi muatan tidak diketahui,

sehingga pertama harus ditentukan dulu medan listrik, baru kemudian distribusi muatan.

Contoh: persoalan yang melibatkan beberapa konduktor, dimana potensial atau

muatan total dari masing-masing konduktor diketahui, namun distribusi muatan permukaan tidak diketahui atau harus ditentukan sebagai solusi dari masalah tsb.

Q₁ Q₃ Q₂ 1

φ

₃ 2

φ

(53)

Solusinya: Kita tentukan dahulu potensialnya baru menentukan distribusi muatannya. PERSAMAAN POISSON Hukum Gauss:

( )

0 2 0 0

E

ε

ρ

−

=

φ

∇

ε

ρ

=

φ

∇

• ∇

−

⇒











φ

∇

−

=

ε

ρ

=

• ∇

_r

r

Persamaan Poisson Operator diferensial:

2 ∇

=

∇

•

(54)

Operator Laplace dalam Koordinat Kartesian (x,y,z) 2 2 2 2 2 2 2

z

y

x

∂

φ

∂

+

∂

φ

∂

+

∂

φ

∂

≡

φ

∇

Operator Laplace dalam Koordinat Bola (r,θ,ϕ)

2 2 2 2 2 2 2 2

sin

r

1 sin

sin

r

1 r

r

1 ϕ

∂

φ

∂

θ

+













θ

∂

φ

∂

θ

∂

θ

+













∂

φ

∂

≡

φ

∇

Operator Laplace dalam Koordinat Silinder (r,θ,z)

2 2 2 2 2 2

z

r

1 r

r

1 ∂

φ

∂

+

θ

∂

φ

∂

+













∂

φ

∂

≡

φ

∇

(55)

PERSAMAAN LAPLACE

Dalam kasus persoalan listrik statik yang melibatkan konduktor, dimana seluruh muatan-muatannya berada pada permukaan konduktor atau muatan-muatannya merupakan muatan-muatan titik yang tetap, maka ρ adalah nol di titik di dalam ruang:

0

2 _φ

₌

∇

Persamaan Laplace

TEOREMA I : Jika φ₁, φ₂, …, φ_n adalah solusi-solusi persamaan Laplace, maka:

2 2 2 2 1 1

C

...

C

φ

+

φ

+

φ

=

φ

(56)

TEOREMA II : (Teorema Keunikan) ; Dua solusi persamaan Laplace yang

memenuhi syarat batas yang sama, hanya berbeda pada suatu konstanta tambahan.

0 C

...

C

...

C

n 2 n 2 2 2 1 2 1 n n 2 2 2 2 1 1 2 2

=

φ

∇

+

φ

∇

+

φ

∇

=

φ

∇

+

φ

∇

+

φ

∇

=

φ

∇

Bukti:

(57)

Persamaan Laplace dalam satu variabel bebas

Jika ϕ merupakan fungsi yang bergantung hanya pada satu variabel saja, maka persamaan Laplace menjadi suatu persamaan diferensial biasa. Contoh fungsi ϕ yang hanya bergantung pada x saja.

( )

x

ax

b

0 dx

d

2 2

+

=

φ

=

φ

a dan b adalah konstanta yang ditentukan oleh syarat batas. Dalam koordinat bola:

( )

b

r

a

r

0 r

r

1 dr

d

2 2 2 2

+

−

=

φ

=













∂

φ

∂

=

φ

(58)

Persamaan Laplace dalam banyak variabel bebas

Sebagai contoh untuk kasus koordinat bola (r,θ,ϕ), dimana kita membatasi diri bahwa fungsi φ tidak bergantung pada variabel azimut ϕ, sehingga :

( )

θ

φ

=

φ

r

,

Persamaan Laplace menjadi:

)

1 ..(

...

0 sin

sin

r

1 r

r

1

2 2 2 2

₌













θ

∂

φ

∂

θ

∂

θ

+













∂

φ

∂

=

φ

∇

Persamaan diferensial parsial ini dapat diselesaikan denga metoda pemisahan variabel.

( ) ( ) ( )

θ

=

θ

φ

r

,

Z

r

P

Substitusi ke pers. (1) menghasilkan:

( )

0 ...

..(

2 )

d

dP

sin

d

sin

r

Z

dr

dZ

r

dr

d

P

r

1

2 2 2



=











θ

+













θ

(59)

( )

0 ...

..(

2 )

d

dP

sin

d

sin

r

Z

dr

dZ

r

dr

d

P

r

1

2 2 2



=











θ

+













θ

Jika persamaan (2) dibagi dengan Z(r) P(θ), dan dikalikan dengan r2 _maka:

)

3 ....(

...

d

dP

sin

d

sin

P

1 dr

dZ

r

dr

d

Z

1

0 d

dP

sin

d

sin

P

1 dr

dZ

r

dr

d

Z

1

2 2













θ

−

=













=













θ

+













Dalam pers. (3), sebelah kiri hanya bergantung pada r saja sedangkan sebelah kanan hanya bergantung pada θ saja. Agar persamaan diatas berlaku, maka kedua suku sama dengan suatu konstanta k (konstanta separasi).

)

4 .(

...

0 kP

d

dP

sin

d

sin

1 k

d

dP

sin

d

sin

P

1 =

+













θ

−

=













θ

(60)

Secara fisis, solusi pers. (4) bernilai 0 sampai dengan π, maka k = n(n+1), dimana n adalah bilangan bulat. Solusi persamaan (4) dikenal sebagai polinom Legendre Pn(θ) cos θ 1 ½ (5 cos3θ - 3 cos θ) 3 ½ (3 cos2θ - 1) 2 1 0 P_n(θ) n

Maka persamaan (3) menjadi:

)

5 ....(

...

Z

)

1 n

(

n

dr

dZ

r

dr

d

)

1 n

(

n

dr

dZ

r

dr

d

Z

1

2 2

+

=













+

=













(61)

Pers. (5) mempunyai dua buah solusi independen, yaitu:

( )

n 1 n n n

r

Z

r

Z

+ −

=

Karena fungsi φ merupakan kombinasi dari variabel r dan θ, maka solusi persamaan Laplace menjadi:

( )

_{( )}

_θ

=

φ

θ

=

φ

θ

=

θ

φ

+ − n 1 n n n n n n n n

P

r

P

r

P

)

r

(

Z

,

r

(62)

Contoh soal:

1. Dua buah pelat konduktor yang sejajar terpisah sejauh d. Konduktor q memiliki potensial φ₁ (x=0) dan konduktor 2 φ₂ (x=d) . Tentukan potensial di setiap titik?

Solusi: d sumbu-x

1 φ

φ

₂

( )

x

ax

b

0 dx

d

2 2 2

+

=

φ

=

φ

=

φ

∇

Syarat batas? 1 2 2 1 1

ad

d

x

b

0 x

φ

+

=

φ

⇒

φ

=

φ

=

φ

=

⇒

φ

=

φ

=

d

a

=

φ

2

−

φ

1

Maka potensial di setiap titik:

( )

2 1

_x

₁

d

x

_

+

φ











φ

−

φ

=

φ

(63)

2. Suatu bola konduktor berjejari a diberi medan listrik yang semula seragan E₀ yang seraha dengan sumbu-z. Hitung medan-medan listriknya dalam arah radial dan Solusi:

( )

_{( )}

( )

(

)

C

r

(

3 cos

1 )

...

2

1

1 cos

3 r

A

2

1 cos

r

C

cos

r

A

r

C

A

,

r

P

r

P

r

2 3 3 2 2 3 2 2 2 1 1 1 n 1 n n n n n

+

−

θ

+

−

θ

+

θ

+

θ

+

=

θ

φ









θ

=

φ

θ

=

φ

− − − + − z

k

E

r

=

r

₀

=

₀

r

Medan listrik tanpa kehadiran bola konduktor

P

r

θ

(64)

Pada titik r _{→∞, medan listrik uniform}

( )

[

]

( )

[

]

ta

tan

kons

cos

r

E

ta

tan

kons

z

E

,

r

k

E

,

r

E

0 0 r 0 0 r

+

θ

−

=

+

−

=

θ

φ

=

θ

∞ → ∞ →

r

( )

(

)

C

r

(

3 cos

1 )

...

2

1

1 cos

3 r

A

2

1 cos

r

C

cos

r

A

r

C

A

,

r

2 3 3 2 2 3 2 2 2 1 1 1

+

−

θ

+

−

θ

+

θ

+

θ

+

=

θ

φ

− − −

Agar potensial sama untuk r _{→∞, maka: A = - E}₀, sehingga:

( )

r

,

θ

=

A

₁

−

E

₀

r

cos

θ

+

C

₂

r

2

cos

θ

r

≥

a

φ

−

Suatu bola konduktor dengan jari-jari a adalah suatu permukaan ekipotensial dengan potensial φ₀, maka:

( )

a

,

θ

=

φ

₀

(65)

Agar kedua potensial sama pada r = a, maka:

( )

θ

=

φ

−

θ

+

θ

φ

=

⇒

θ

=

θ

φ

=

φ

=

θ

+

θ

−

=

θ

φ

− −

cos

r

a

E

cos

r

E

,

r

a

E

C

cos

a

C

cos

a

E

A

cos

a

C

cos

a

E

A

,

a

2 3 0 0 0 3 0 2 2 2 0 0 1 0 2 2 0 1 Medan-medan listrik:

θ













−

=

θ

∂

φ

∂

−

=

θ













+

=

∂

φ

∂

−

=

θ

sin

r

a

1 E

r

1 E

cos

r

a

2

1 E

r

E

3 3 0 3 3 0 r

Rapat muatan permukaan:

σ

( )

θ

=

ε

=

ε

θ

=

3 E

cos

E

_r _r _a ₀ ₀

(66)

Muatan total didalam bola:

( )

0 sin

a

3 d

sin

2 cos

E

3 a

d

sin

2 a

Q

0 2 0 2 0 0 0 2 0 2

=

θ

ε

π

=

θ

π

θ

ε

=

θ

π

θ

σ

=

π π π

∫

Hal ini bahwa muatan total di dalam bola adalah nol, karena didalam bola konduktor muatan-muatannya terdistribusi di permukaan.

(67)