AYI BAHTIAR JURUSAN FISIKA FMIPA UNPAD

HANDOUT KULIAH

LISTRIK MAGNET I

Oleh:

Dr. rer. nat. Ayi Bahtiar

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG

-+

++

--Q +2Q

LISTRIK MAGNET I

AYI BAHTIAR

Materi Kuliah

1.

Review Analisis Vektor

2.

Medan Listrik Statik

●

Hukum Coulomb

●

Dalil Gauss dan Stokes

●

Medan Listrik Statik

●

Hukum Gauss dan Aplikasinya

3.

Potensial Listrik

●

Potensial Listrik

●

Dipol dan Multipol

●

Persoalan Listrik Statik ; Persamaan Poisson dan Laplace

●

Fungsi Green

Materi Kuliah

4. Bahan Dielektrik

●

Polarisasi Listrik

●

Medan Pergeseran Listrik

●

Kapasitansi Listrik

●

Syarat Batas antara Dua Bahan Dielektrik

5. Teori Mikroskopik dari Dielektrik

●

Medan Molekul dalam Dielektrik

●

Molekul-molekul Polar

●

Polarisasi Permanen; Feroelektrisitas

Pustaka

1.

J. R. Reitz,”

Foundations of Electromagnetic Theory

”,

Addison-Wesley Publ., 1993

2.

D. J. Griffith,”

Introduction to Electrodynamics

”, Prentice-Hall Inc.,

1989.

STANDAR KOMPETENSI

1. ANALISIS VEKTOR

Mereview operasi dalam vektor, operator nabla, integral garis, integral permukaan, integral volume, Teorema Divergensi, dan Teorema Stokes. 2. MEDAN LISTRIK STATIK

Menerapkan analisis vektor untuk merumuskan hukum Coulomb, medan listrik, fluks garis saya dan menurunkan hukum Gauss.

3. POTENSIAL LISTRIK

□ Membuktikan sifat konservatif medan listrik statik E dan merumuskan medan potensial listrik statik φ.

□ Menghitung potensial listrik dan mengungkapkan pernyataan uraian multipol.

□ Menurunkan persamaan Laplace dan Poisson untuk potensial listrik

4. BAHAN DIELEKTRIK

□ Mendefinisikan medan potensial listrik P dan memahami hubungannya dengan rapat dipol listrik makroskopik dan rapat muatan listrik permukaan.

□ Mendefinisikan medan pergeseran listrik D dan merumuskan ulang hukum Gauss dalam G.

□ Mendeskripsikan hubungan antara medan E, P dan D serta mencirikan khas bahan dielektrik, suseptibilitas listrik dan konstanta dielektrik.

5. TEORI MIKROSKOPIK BAHAN DIELEKTRIK

□ Mendefinisikan medan-medan molekul dan medan polarisasi dalam bahan dielektrik.

□ Mendeskripsikan molekul-molekul polar dan non-polar.

□ Mendeskripsikan sifat-sifat bahan feroelektrik.

6. ENERGI LISTRIK STATIK

□ Merumuskan besaran kapasitansi listrik C.

□ Menghitung kapasitansi listrik ekivalen rangkaian kapasitor seri dan paralel.

ANALISIS VEKTOR

Besaran fisis dalam Fisika diungkapkan dalam besaran skalar dan vektor. • Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai.

• Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.

A. ALJABAR VEKTOR

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor :

( )

Perkalian Vektor :

B

sin

B

cos

B

B. GRADIEN

Gradien suatu fungsi skalar adalah suatu vektor yang turunan arahnya maksimum di titik yang ditinjau dan arah vektornya adalah arah dari turunan maksimum di titik tersebut.

Dalam koordinat Kartesian (x,y,z):

z

grad

∂

sin

r

C. INTEGRAL VEKTOR

Jika F adalah suatu vektor, maka integral garis dari vektor F :

( )

lim

Jika C merupakan lintasan tertutup :

∫

•

C

d

F

r

r

l

Jika F adalah suatu vektor, maka integral permukaan dari vektor F :

∫

•

S

da

n

F

r

r

Batas

n

r

Jika S merupakan permukaan tertutup :

∫

•

S

da

n

F

r

r

Jika F adalah vektor dan ϕ adalah skalar, maka integral volumenya :

(

)

(

vektor

)

dv

F

K

skalar

dv

J

V V

∫

∫

=

ϕ

=

D. DIVERGENSI

Divergensi suatu vektor adalah limit dari intergral permukaan vektor tsb per-satuan volume, jika volume yang dilingkupi oleh permukaan S mendekati nol.

∫

•

=

→

S 0

V

V

F

n

da

1

lim

F

div

r

r

r

Dalam koordinat Kartesian (x, y, z):

x

F

x

F

x

F

F

div

x y z

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

r

Dalam koordinat Bola (r, θ, ϕ):

( )

(

)

ϕ

∂

∂

θ

+

θ

θ

∂

∂

θ

+

∂

∂

=

_θ

F

ϕ

sin

r

1

F

sin

sin

r

1

F

r

r

r

1

F

Teorema Divergensi

Integral dari divergensi suatu vektor diseluruh volume V sama dengan integral permukaan dari komponen normal vektor di seluruh permukaan yang meliputi volume V.

∫

=

∫

•

V S

da

n

F

dv

F

div

r

r

r

E. CURL

Curl suatu vektor adalah limit perbandingan integral dari perkalian silang vektor tsb dengan vektor normalnya di seluruh permukaan tertutup, jika volume yang dilingkupi permukaan mendekati nol.

∫

×

=

→

S 0

V

V

n

F

da

1

lim

F

curl

r

r

r

∫

∫

×

•

=

•

=

•

→ →

S 0

V

C 0 S

da

F

n

a

V

1

lim

d

F

S

1

lim

F

curl

a

r

r

r

l

r

r

r

r

Dimana kurva C adalah bidang normal vektor a.

a

r

n

r

n

a

r

×

r

da

ξ

d

r

l

C C’

Karena a paralel dengan normal seluruh permukaan, maka :

l

r

r

r

d

da

n

Karena V = ξS, maka :

∫

ξ

•

ξ

=

•

→

C 0

V

S

F

d

1

lim

F

curl

a

r

r

r

r

l

Teorema Stokes

Integral garis dari suatu vektor diseluruh lintasan tertutup C sama dengan integral komponen normal dari curl vektor tersebut di semua permukaan S yang dilingkupi lintasan tadi.

∫

∫

•

=

•

S C

da

n

F

curl

d

F. OPERATOR DIFERENSIAL VEKTOR

Operator diferensial vektor disebut del atau nabla. Dalam koordinat Kartesian :

∇

r

Divergensi :

Operator del adalah operator linier :

Jika a dan b adalah konstanta-konstanta skalar.

Teorema integral lain yang penting.

G. OPERATOR LAPLACE

Dalam koordinat Kartesian :

Hukum Coulomb

1.

Hanya ada dua jenis muatan listrik : positif (+) dan negatif (-)

2.

Antara dua muatan titik terdapat gaya interaksi yang bekerja

sepanjang garis penghubung kedua muatan tadi yang berbanding

terbalik dengan kuadrat jarak antara dua muatan tersebut.

3.

Gaya-gaya tersebut sebanding dengan perkalian muatan-muatan

tersebut yang bersifat tolak-menolak untuk muatan sejenis dan

tarik-menarik untuk muatan tak-sejenis.

Eksperimen memungkinkan pengamatan gaya-gaya interaksi antara muatan-muatan listrik.

HUKUM COULOMB

SKALAR

r

q₁ q₂

2 2 1 0 2

2 1

r

q

q

4

1

r

q

q

k

F

πε

=

=

ε₀ = permitivitas vakuum = 8,8542 x 10-12 _F/m

Secara Umum (Operator Nabla)

Untuk beberapa muatan titik:

Jika muatan-muatan titik terdistribusi dalam suatu fungsi (fungsi rapat muatan) yang didefinisikan sebagai limit dari muatan persatuan volume jika volume menjadi tak

hingga.

Rapat muatan volume:

V

q

lim

0

Rapat muatan permukaan:

S

q

lim

0

Jika muatan terdistribusi melalui suatu volume V dengan rapat ρ dan pada

permukaan S yang melingkupi volume V dengan rapat σ, maka gaya interaksi yang diakibatkan oleh distribusi muatan tersebut dari suatu muatan titik yang berjarak r :

( )

( )

( )

r

'

da

'

MEDAN LISTRIK

Setiap muatan titik akan menimbulkan medan yang akan mempengaruhi muatan dalam bentuk gaya.

Medan listrik suatu muatan titik didefinisikan sebagai limit dari gaya yang bekerja pada muatan titik lain (muatn uji) yang ditimbulkan oleh muatan titik tadi.

q

F

lim

E

0 q

r

r

→

=

Limit q tidak mempengaruhi distribusi muatan yang menghasilkan→ 0 untuk memastikan bahwa muatan titik test tadi medan listrik.

Kuat medan listrik biasa digambarkan dengan bantuan garis gaya.

-+

+ +

+ + + + + + + + +

HUKUM GAUSS

Menggambarkan hubungan antara integral komponen normal dari medan listrik pada suatu permukaan tertutup dan muatan total yang dilingkupi permukaan tersebut.

q

nˆ

_E

r

S

da

da

r

nˆ

r

4

q

da

nˆ

E

S

3

S 0

∫

∫

•

=

_πε

•

r

r

=

•

=

Ω

da

r

nˆ

r

d

₃

r

Sudut ruang yang dibuat oleh q melalui elemen luas da.

q

da r







 π

=

∇

=

•

=

•

∫

∫

∫

0

4

dr

r

1

'

da

'

r

nˆ

'

r

da

r

nˆ

r

r 2

S

3 S

3

r

r

r

Jika q berada di dalam S

Jika q berada di luar S

Buktikan, sebagai latihan!!!!

HUKUM GAUSS

∫

∫

=

•

ε

=

•

S

S 0

0

da

nˆ

E

q

da

nˆ

E

r

r

Jika muatan q berada dalam permukaan S

Secara umum Hukum Gauss adalah:

∑

∫

=

ε

=

•

N

1 i

i

S 0

q

1

da

nˆ

E

r

Dimana q_{dilingkupi oleh permukaan S}i adalah muatan-muatan titik yang

Jika S adalah suatu permukaan tertutup yang dilingkupi oleh volume V, maka Hukum Gauss dapat dinyatakan oleh:

∫

∫

ρ

ε

=

•

V

S 0

dV

1

Teorema Divergensi:

∫

∫

•

=

∇

•

V S

dV

F

da

nˆ

F

r

r

r

Maka Hukum Gauss dalam bentuk diferensial:

∫

∫

∫

ρ

ε

=

•

∇

=

•

V

S V 0

dV

1

dV

E

da

nˆ

E

r

r

r

0

E

ε

ρ

=

Contoh Soal

1.

Hitung kuat medan listrik di titik r di sekitar suatu kawat lurus yang

sangat panjang yang memiliki rapat muatan panjang

λ

.

2.

Hitung kuat medan listrik pada permukaan suatu konduktor yang

memliki rapat muatan persatuan luas

σ

.

Solusi: 1.

l

nˆ

nˆ

nˆ

r

E

r

Hukum Gauss:

r

2

E

r

2

.

E

d

1

da

nˆ

E

0 r

0 r

S 0

πε

λ

=

ε

λ

=

π

λ

ε

=

•

∫

∫

l

l

2. Dalam konduktor, muatan listrik terdistribusi di permukaan konduktor,

sehingga ρ = 0 didalam konduktor. Di luar konduktor medan listrik searah normal permukaan.

Ambil elemen permukaan dS dalam konduktor (lihat gambar).

dS

E

r

E = 0

n

r

Hukum Gauss :

0

0

S 0

E

S

S

.

E

dS

1

dS

n

E

ε

σ

=

∆

ε

σ

=

∆

σ

ε

=

•

Bila Curl dari suatu vektor sama dengan nol, maka vektor tersebut bisa dinyatakan sebagai gradien dari suatu skalar.

( )

0

= vektor dan

φ

adalah skalar

A

r

Gaya Coulomb dan medan listrik dinyatakan :

( )

Ingat:

Potensial listrik statik akibat suatu muatan titik q’:

Potensial listrik akibat muatan-muatan titik dan distribusi muatan:

Pembuktian dengan cara lain:

Karena perkalian silang vektor yang sejajar

Maka jika medan listrik E diketahui, potensial listrik dapat ditulis sebagai:

( )

=

−

_∫

•

φ

r

ref

d

E

r

r

r

l

r

Energi potensial di titik r relatif terhadap titik acuan (referensi):

( )

r

F

( )

r

'

d

r

'

U

r

ref

r

r

r

r

•

−

1. Hitung potensial listrik di titik r di sekitar suatu kawat lurus yang sangat

panjang yang memiliki rapat muatan panjang

λ

.

Contoh soal

Solusi :

Medan listrik di sembarang titik sejauh r dari kawat lurus yang sangat panjang :

( )

C

r

ln

2

dr

r

2

r

d

E

r

r

r

2

r

2

E

0 0

2 0 0

+

πε

λ

=

πε

λ

−

=

•

−

=

φ

πε

λ

=

πε

λ

=

∫

∫

r

r

r

r

Jika dua buah muatan yang sama besarnya tapi berlainan jenis terpisah oleh jarak yang kecil akan membentuk suatu dipol listrik.

(

)

(

)

Dengan menggunakan deret binomial, dimana hanya bagian liniernya saja yang diambil, maka:

(

)

Maka medan listrik di titik r akibat oleh dipol listrik menjadi:

( )

(

) ( )

Jika jarak antara kedua muatan titik sangat kecil (limit l mendekati nol) dan tidak ada medan listrik, kecuali muatan-muatan titik tadi tak hingga.

Dalam kasus ini, maka ql menjadi konstan, sehingga dikatakan dipol titik. Suatu dipol dikarakteristik oleh momem dipol listrik:

l

lim

p

0

=

=

→

Maka medan listrik dapat dinyatakan:

Distribusi potensial yang dihasilkan oleh dipol listrik:

Untuk dipol titik:

Jika dua muatan -q di posisi r dan +q di posisi r+l, diletakkan di dalam suatu medan listrik luar (dimana medan listrik digambarkan oleh potensial

maka energi potensial:

( )

r ext

r

φ

( )

r

+

φ

( )

r

+

r

l

φ

−

=

q

r

q

r

U

_{ext ext}

Jika:

l

r

r

r

<<

_maka

φ

_ext

( )

r

r

+

r

l

=

φ

_ext

( )

r

r

+

r

l

•

∇

r

φ

_ext

( )

r

r

titik

dipol

untuk

p

q

U

ext ext

φ

∇

•

=

φ

∇

•

=

r

r

r

l

r

Karena medan listrik adalah negatif gradien dari potensial listrik, maka:

( )

r

( )

r

E

r

r

=

−

∇

r

φ

r

2. MULTIPOL LISTRIK

Jika terdiri dari banyak muatan titik, maka untuk mengurangi jumlah koordinat titik digunakan suatu distribusi muatan.

Pandang suatu titik sembarang didalam distibusi muatan yang berjarak r’ dengan rapat muatan pada titik tersebut ρ(r’) dan suatu titik tinjau r yang berada jauh dari distribusi muatan tadi.

0 dv’

'

r

r

V

titik tinjau

r

r

Potensial di titik r :

( )

( )

dv

'

r

r

'

r

4

1

r

V

0

∫

−

ρ

πε

=

φ

_r

_r

r

r

'

r

r

r

r

Karena

r

r

>>

r

r

'

Maka:

Karena r tidak terlibat dalam integrasi, maka variabel r dapat disimpan diluar.

( )

( )

( )

(

)

( )

Potensial dari muatan total

Potensial dari momen dipol distribusi muatan

Potensial dari momen tensor kuadropol

Jika posisi r berada jauh dari distribusi muatan dimana ρ berada, maka:

( )

_



+

•

+

_



Dimana Q = muatan total didalam distribusi muatan

p = momen dipol dari distribusi muatan

FUNGSI DELTA DIRAC

Fungsi delta-dirac merupakan ekspresi matematik dari suatu fungsi pada titik r = 0

( )

( )

( )

( )

r

'

dv

'

1

0

r

untuk

0

F adalah fungsi skalar atau fungsi vektor

Maka jika

( )

(

)

Dengan demikian Hukum Gauss:

Untuk suatu muatan titik q pada r = 0, menjadi:

( )

( )

r

4

r

r

atau

r

Karena:

3

maka:

Pada dasarnya untuk menghitung potensial dan medan listrik dapat dilakukan langsung dengan menghitung integral dari distribusi muatan ρ(r’) melalui:

( )

( )

Namun dalam kenyataannya seringkali distribusi muatan tidak diketahui,

sehingga pertama harus ditentukan dulu medan listrik, baru kemudian distribusi muatan.

Contoh: persoalan yang melibatkan beberapa konduktor, dimana potensial atau muatan total dari masing-masing konduktor diketahui, namun distribusi muatan permukaan tidak diketahui atau harus ditentukan sebagai solusi dari masalah tsb.

Solusinya: Kita tentukan dahulu potensialnya baru menentukan distribusi muatannya.

PERSAMAAN POISSON

Hukum Gauss:

( )

0 2

0 0

E

E

ε

ρ

−

=

φ

∇

ε

ρ

=

φ

∇

•

∇

−

⇒











φ

∇

−

=

ε

ρ

=

•

∇

r

r

r

r

r

r

Persamaan Poisson

Operator diferensial:

2

∇

=

∇

•

Operator Laplace dalam Koordinat Kartesian (x,y,z)

Operator Laplace dalam Koordinat Bola (r,θ,ϕ)

2

sin

r

1

sin

sin

r

Operator Laplace dalam Koordinat Silinder (r,θ,z)

PERSAMAAN LAPLACE

Dalam kasus persoalan listrik statik yang melibatkan konduktor, dimana seluruh muatan-muatannya berada pada permukaan konduktor atau muatan-muatannya merupakan muatan-muatan titik yang tetap, maka ρ adalah nol di titik di dalam ruang:

0

2

φ

=

∇

Persamaan Laplace

TEOREMA I : Jika φ₁, φ₂, …, φ_n adalah solusi-solusi persamaan Laplace, maka:

2 2 2

2 1

1

C

...

C

C

φ

+

φ

+

+

φ

=

φ

TEOREMA II : (Teorema Keunikan) ; Dua solusi persamaan Laplace yang memenuhi syarat batas yang sama, hanya berbeda pada suatu konstanta tambahan.

0

C

...

C

C

C

...

C

C

n 2 n 2

2 2 1

2 1

n n 2 2

2 2 1

1 2 2

=

φ

∇

+

+

φ

∇

+

φ

∇

=

φ

∇

+

+

φ

∇

+

φ

∇

=

φ

∇

Persamaan Laplace dalam satu variabel bebas

Jika ϕ merupakan fungsi yang bergantung hanya pada satu variabel saja, maka persamaan Laplace menjadi suatu persamaan diferensial biasa. Contoh fungsi ϕ yang hanya bergantung pada x saja.

( )

x

ax

b

0

dx

d

2 2

+

=

φ

=

φ

a dan b adalah konstanta yang ditentukan oleh syarat batas.

Dalam koordinat bola:

( )

b

r

a

r

0

r

r

r

r

1

dr

d

₂

2 2

2

+

−

=

φ

=













∂

φ

∂

∂

∂

=

Persamaan Laplace dalam banyak variabel bebas

Sebagai contoh untuk kasus koordinat bola (r,θ,ϕ), dimana kita membatasi diri bahwa fungsi φ tidak bergantung pada variabel azimut ϕ, sehingga :

( )

θ

φ

=

φ

r

,

Persamaan Laplace menjadi:

)

1

..(

...

0

sin

sin

r

Persamaan diferensial parsial ini dapat diselesaikan denga metoda pemisahan variabel.

( ) ( ) ( )

θ

=

θ

φ

r

,

Z

r

P

Substitusi ke pers. (1) menghasilkan:

( )

( )

0

...

..(

2

)

d

dP

sin

d

d

sin

( )

( )

0

...

..(

2

)

d

dP

sin

d

d

sin

r

Jika persamaan (2) dibagi dengan Z(r) P(θ), dan dikalikan dengan r2 _maka:

)

sin

d

d

sin

P

sin

d

d

sin

P

Dalam pers. (3), sebelah kiri hanya bergantung pada r saja sedangkan sebelah kanan hanya bergantung pada θ saja. Agar persamaan diatas berlaku, maka kedua suku sama dengan suatu konstanta k (konstanta separasi).

)

sin

d

d

sin

1

k

d

dP

sin

d

d

sin

Secara fisis, solusi pers. (4) bernilai 0 sampai dengan π, maka k = n(n+1), dimana n adalah bilangan bulat. Solusi persamaan (4) dikenal sebagai polinom Legendre Pn₍θ₎

cos θ 1

½ (5 cos3θ _{- 3 cos} θ₎

3

½ (3 cos2θ _{- 1)}

2

1 0

P_n(θ) n

Maka persamaan (3) menjadi:

)

5

....(

...

...

Z

)

1

n

(

n

dr

dZ

r

dr

d

)

1

n

(

n

dr

dZ

r

dr

d

Z

1

2 2

+

=













+

=









Pers. (5) mempunyai dua buah solusi independen, yaitu:

( )

n 1 n

n n

r

Z

r

Z

+ −

=

=

Karena fungsi φ merupakan kombinasi dari variabel r dan θ, maka solusi persamaan Laplace menjadi:

( )

( )

( )

( )

_{( )}

_θ

=

φ

θ

=

φ

θ

=

θ

φ

+ −

n 1 n n

n n n

n n

n

P

r

P

r

P

)

r

(

Z

,

Contoh soal:

1. Dua buah pelat konduktor yang sejajar terpisah sejauh d. Konduktor q memiliki potensial φ₁ (x=0) dan konduktor 2 φ₂ (x=d) . Tentukan potensial di setiap titik?

Solusi:

d

sumbu-x

1

φ

φ

₂

( )

x

ax

b

0

dx

d

2 2 2

+

=

φ

=

φ

=

φ

∇

Syarat batas?

1 2

2

1 1

ad

d

x

b

0

x

φ

+

=

φ

⇒

φ

=

φ

=

φ

=

⇒

φ

=

φ

=

d

a

=

φ

2

−

φ

1

Maka potensial di setiap titik:

( )

2 1

_x

₁

d

x



+

φ











φ

−

φ

=

2. Suatu bola konduktor berjejari a diberi medan listrik yang semula seragan E₀ yang seraha dengan sumbu-z. Hitung medan-medan listriknya dalam arah radial dan

Solusi:

( )

cos

3

r

A

2

1

cos

r

C

cos

r

Medan listrik tanpa kehadiran bola konduktor

P

r

θ

Pada titik r →∞, medan listrik uniform

tan

kons

cos

r

E

ta

tan

kons

z

cos

3

r

A

2

1

cos

r

C

cos

r

Suatu bola konduktor dengan jari-jari a adalah suatu permukaan ekipotensial dengan potensial φ₀, maka:

( )

a

,

θ

=

φ

₀

Agar kedua potensial sama pada r = a, maka:

cos

r

a

E

cos

r

cos

a

C

cos

a

E

A

cos

a

C

cos

a

Medan-medan listrik:

θ

Muatan total didalam bola:

( )

0

sin

a

3

d

sin

2

cos

E

3

a

d

sin

2

a

Q

0 2 0

2 0

0 0 2

0 2

=

θ

ε

π

=

θ

θ

π

θ

ε

=

θ

θ

π

θ

σ

=

π π

π

∫

∫

Jika persoalan-persoalan listrik statik baik yang menyangkut distribusi muatan titik diskrit atau distribusi muatan kontinu tanpa adanya permukaan-permukaan batas, maka solusi umum persamaan Gauss dapat diselesaikan dengan mudah. Namun dalam realita, banyak persoalan listrik statik menyangkut daerah-daerah ruang terbatas baik dengan atau tanpa muatan-muatan didalamnya, sehingga kondisi ruang batas tersebut harus diperhatikan.

Kondisi batas dapat ditimbulkan oleh suatu distribusi muatan-muatan diluar daerah batas tersebut. Kondisi batas tersebut dapat ditangani dengan metoda fungsi Green.

Fungsi Green merupakan implikasi sederhana dari teorema divergensi.

Dimana

∂

∂

_n

adalah normal turunan pada permukaan S. Susbstitusi (2) ke (1) :

(

)

da

...

...

...(

3

)

n

x

d

.

S 3

V

2

∫

∫

φ

∇

ψ

+

∇

φ

∇

ψ

=

φ

∂

_∂

ψ

Bila medan-medan skalar φ dan ψ saling tukar, maka:

(

)

da

...

...

...(

4

)

n

x

d

.

S 3

V

2

∫

∫

ψ

∇

φ

+

∇

ψ

∇

φ

=

ψ

_∂

∂

φ

Pers. (3) dikurangi pers. (4) menghasilkan:

(

)

da

n

n

x

d

S 3

V

2 2

∫

∫

_



−

ψ

_∂

∂

φ

_



∂

ψ

∂

φ

=

φ

∇

ψ

−

ψ

∇

φ

Persamaan diferensial Poisson untuk potensial listrik statik dapat dikonversi ke dalam persamaan integral, bila kita memilih medan-medan skalar:

'

= titik pengamatan

'

x

r

= variabel integrasi

(

x

x

'

)

Maka Teorema Green menjadi:

( ) (

)

( )

da

'

Bila titik berada didalam volume V, maka:

x

r

Maka potensial listrik statik dapat ditentukan dengan persamaan:

( )

( )

da

'

Ada dua catatan penting berkaitan dengan persamaan diatas:

1. Jika permukaan S bergerak menuju tak-hingga dan medan listrik pada S berkurang lebih cepat dibandingkan dengan 1/R, maka integral permukaan menjadi nol, sehingga:

( )

( )

( )

d

x

'

r

_Persamaan

2. Untuk volume tak bermuatan, potensial di setiap titik di dalam volume (solusi pers. Laplace), persamaan:

( )

( )

da

'

Bukan merupakan solusi untuk persoalan nilai batas, tetapi hanya suatu integral karena Φ dan merupakan persoalan tersendiri (kondisi batas

Cauchy). ∂n

Φ ∂

Fungsi merupakan suatu fungsi yang hanya bergantung pada

dan yang disebut dengan fungsi Green. Secara umum: '

Dimana fungsi F memenuhi persamaan Laplace di dalam volume V:

(

x

,

x

'

)

0

F

2

'

=

Dalam menghadapi masalah yang memenuhi kondisi batas pada Φ dan ∂Φ_∂n dimana keduanya muncul didalam integral permukaan, kita dapat menggunakan konsep umum dari fungsi Green dan fungsi F, sehingga salah satu dari integral permukaan dapat dieliminasi.

Dengan menggunakan teorema Green, dan mengganti φ = Φ, dan ψ = G, maka potensial listrik statik dapat dituliskan menjadi:

( )

( ) (

)

(

)

( ) (

)

da

'

Sekarang, kita dapat membuat integral permukaan hanya bergantung pada tipe kondisi batas.

(1). Kondisi batas Dirichlet

(2). Kondisi batas Neumann

(

)

S

di

berada

'

x

jika

0

Namun, dari teorema Green, bahwa:

π

Sehingga kondisi batas pada G_N yang diperbolehkan adalah:

S

pada

'

x

untuk

S

Karena fungsi Green adalah potensial yang diakibatkan dari suatu muatan titik, maka secara simetri ia menggambarkan pertukaran antara titik sumber dan pengamatan.

Dalam realita, terkadang fungsi Green sulit untuk diterapkan, karena itu dikembangkan beberapa metoda pendekatan diantaranya:

• Metoda bayangan ; berkaitan erat dengan fungsi Green

Metoda ini berkaitan dengan masalah dari satu atau lebih muatan titik akibat kehadiran permukaan-permukaan batas. Sebagai contoh konduktor, baik yang digroundkan (potensialnya nol) atau yang diberi potensial tertentu.

Geometri dari suatu muatan dapat diinversi dengan muatan di luar permukaan batas. Muatan tersebut dinamakan muatan bayangan.

Contoh:

0

=

φ

q

0

=

φ

q q’

(a) (b)

1. Suatu muatan titik q diletakkan pada jarak d dari konduktor bidang tak-hingga yang digroundkan. Hitung potensial dan rapat muatan di setiap titik serta gaya yang bekerja pada muatan titik q.

Solusi:

(

x

=

0

)

=

0

Potensial di setiap titik disebelah kanan konduktor (titik P):

Sehingga potensial di setiap titik:

Rapat muatan permukaan:

(

)

sesuai dengan syarat Potensial di titik x = 0, maka d =0 sehingga:

φ

(

x

=

0

)

=

0

Gaya yang bekerja pada muatan titik q menjadi:

2 0 2 2

0

4

d

q

r

'

qq

4

1

)

q

(

F

πε

−

=

πε

=

d adalah jarak anatara muatan q dan muatan bayangannya q’.

Muatan titik akibat kehadiran konduktor bola yang digroundkan

Pandang suatu muatan titik q terletak pada jarak y relatif terhadap titik pusat suatu konduktor bola yang berjejari a. Kita akan menghitung potensial, rapat muatan permukaan di sembarang titik φ(x), dimana φ(x = a) = 0 dan gaya yang bekerja pada muatan titik q.

a

q P

x

r

y

r

q’

'

y

r

Dengan bantuan simetri, tampak bahwa muatan bayangan q’ terletak searah dengan muatan titik q.

Potensial di setiap titik (titik P):

Bila adalah vektor satuan yang searah dengan dan adalah vektor satuan yang searah dengan arah , maka:

nˆ

_x

r

nˆ

'

Potensial di permukaan konduktor bola (x = a) :

(

)

0

nˆ

'

y

a

'

nˆ

'

y

'

q

'

nˆ

a

y

nˆ

a

q

4

1

a

x

0

=

























−

+

−

πε

=

=

φ

Kita harus memilih q’ dan y’ sedemikian rupa sehingga

φ

(

x

=

a

)

=

0

Maka:

y

a

'

y

q

y

a

'

q

2

=

−

=

Artinya:

1. Bila muatan q bergerak mendekati bola, (y ≈ a), maka muatan bayangan

bertambah besar dan bergerak menjauhi pusat bola menuju permukaan bola (y’ ≈ a).

2. Bila muatan q tepat terletak di luar permukaan bola (y = a), maka muatan

bayangan sama besarnya dengan muatan titik, namun berlawanan tanda dengan muatan asal (q ‘ = -q) dan terletak tepat dibawah permukaan bola.

Rapat muatan permukaan:

cos

y

dan

x

antara

sudut

adalah

r

r

γ

Ilustrasi rapat muatan permukaan dalam satuan –q/4πa2 _{sebagai fungsi dari} γ

Gaya yang bekerja pada muatan titik q:

Karena

_q

Cara lain untuk menghitung gaya yang bekerja pada muatan titik q adalah dengan menghitung gaya total yang bekerja pada permukaan bola. Gaya pada masing-masing elemen luas da adalah 2πσ2_{da, dimana} σ _{adalah rapat muatan permukaan}

sepeti yang telah dihitung diatas.

Secara simetri, hanya komponen yang sejajar dengan vektor radius dari pusat bola yang berkontribusi pada gaya total.

Gaya total pada bola:

2

Atau dengan meninjau gambar dibawah ini (Reitz):

cos

rb

2

b

r

r

cos

rd

cos

rb

2

b

r

q

cos

rd

Potensial di permukaan bola = 0, jika b = a2_{/d, sehingga:}

θ

−

+

=

θ

−

+

a

b

2

ab

cos

a

d

cos

ad

2

d

a

2 2 2 2

Maka :

q

d

a

'

MUATAN GARIS DAN BAYANGANNYA

Pandang dua muatan garis yang sangat panjang dan sejajar, masing-masing dengan rapat muatan panjang (muatan persatuan panjang) λ dan –λ (lihat gambar)

λ

−

λ

1

r

2

r

x y

z

) y , x ( P

Potensial di sembarang titik diberikan oleh:

( )

(

)

2 1 0

2 1

0 0

r

r

ln

2

r

r

ln

2

r

ln

2

r

πε

λ

−

=

−

πε

λ

−

=

Jika kita definisikan:

M

r

r

2

1

=

_{Dimana M adalah konstanta}

Maka untuk M = 1, menunjukkan bahwa r₁ = r₂ dan potensialnya nol (ekipotensial) yang merupakan bidang yang terletak di tengah-tengah kedua muatan garis tersebut.

λ

−

λ

1

r

2

r

) y , x ( P

Permukaan ekipotensial I

d d

Dengan demikian, maka muatan garis –λ dapat merupakan muatan bayangan dari muatan garis λ.

x y

Bagaimana dengan nilai M yang lain??

Secara umum, untuk memudahkan, maka diungkapkan dalam koordinat Kartesian, dimana muatan garis λ sebagai titik pusat 0, sehingga muatan bayangan –λ berada di posisi :

(

)

2 2

(

)

...

...

....(

1

)

Bentuk umum persamaan lingkaran:

(

x

−

x

₀

) (

2

+

y

−

y

₀

)

2

=

R

2

...

...

...

...

(

2

)

Perbandingan pers. (1) dan (2) memberikan:

0

y

dan

)

λ

−

λ

1

r

2

r

) y , x ( P

Permukaan ekipotensial I

d d

Permukaan ekipotensial II

Dengan demikian untuk M < 1 terdapat suatu silinder yang mengelilingi muatan garis positif sebagai permukaan ekipotensial II (lihat gambar dibawah). Sumbu silinder tersebut melewati titik:

0

y

,

)

M

1

(

d

M

2

x

₂

2

=

−

=

dan jari-jari silinder :

2

M

1

Md

2

R

• Suatu bahan dielektrik ideal tidak memiliki muatan-muatan bebas.

• Semua bahan pada dasarnya terdiri dari molekul-molekul (inti atom dan

elektron-elektron).

• Molekul-molekul dalam bahan dielektrik dipengaruhi oleh kehadiran

medan listrik. Medan listrik akan menimbulkan gaya yang bekerja pada

partikel-partikel bermuatan.

• Muatan positif bergerak searah medan listrik dan muatan negatif

berlawanan arah dengan medan listrik sehingga terjadi pengkutuban

(polarisasi).

• Dielektrik yang terpolarisasi, walaupun netral secara rata-rata akan

menghasilkan medan listrik di dalam dan diluar bahan dielektrik.

• Polarisasi bergantung pada medan listrik total di dalam bahan dan medan

listrik yang dihasilkan oleh dielektrik itu sendiri.

A. POLARISASI

Pandang suatu elemen volume kecil ∆v dari bahan dielektrik, dimana muatan totalnya netral.

∆v

Bila bahan tersebut dipolarisasi,maka terjadi pemisahan muatan-muatan positif dan negatif), sehingga terbentuk suatu dipol di dalam elemen volume dengan momen dipol:

∫

∫

∆ ∆

=

ρ

=

∆

v v

dq

r

dv

r

p

r

r

r

Karena adalah momen dipol di ∆v, maka harganya bergantung pada ∆v. Untuk memperoleh besaran yang tidak bergantung volume, maka didefinisikan polarisasi listrik (polarisasi) dari suatu bahan sebagai:

p

r

∆

]

m

/

C

[

v

p

P

2

∆

∆

=

Bila ∆v diasumsikan sangat kecil secara maroskopik, ia masih mengandung banyak molekul, dimana setiap molekul yang memiliki momen dipol molekul:

∑

∑

∫

∆

=











=

∆

=

m

m m

molekul m

p

v

1

P

p

p

dq

r

p

r

r

r

r

r

r

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

→

P

r

E

r

B. MEDAN LISTRIK DI LUAR BAHAN DIELEKTRIK

Pandang suatu bahan dielektrik yang terpolarisasi, yang dicirikan oleh polarisasi di setiap titik . Kita akan menghitung medan listrik di titik di luar

bahan dielektrik tersebut.

( )

r

'

Potensial akibat momen dipol di elemen ∆v:

Potensial pada titik

r

r

merupakan jumlah dari potensial akibat elemen volume:

r

V₀ = volume bahan dielektrik

'

Dari sifat operator Nabla:

( )

'

P

dv

'

Teorema divergensi:

∫

•

=

∫

∇

•

Dengan mendefinisikan :

n

ρ

= rapat muatan volume polarisasi

( )

Maka potensial listrik di luar bahan dielektrik:

Medan listrik di luar bahan dielektrik:

( )

(

)

(

)

Muatan total polarisasi dari bahan dielektrik:

C. MEDAN LISTRIK DALAM BAHAN DIELEKTRIK

Medan listrik makroskopik adalah medan listrik rata-rata didalam daerah kecil dalam bahan dielektrik yang mengandung sejumlah molekul.

Medan listrik di dalam bahan dielektrik pada dasarnya memiliki sifat yang sama dengan medan listrik di ruangan hampa, khususnya bahwa medan listrik bersifat konservatif.

∫

•

=

=

×

∇

r

E

r

E

r

d

r

l

0

Pandang suatu rongga vakum berbentuk silinder kecil yang diletakkan dalam bahan dielektrik.

S₁ S₂

E

r

A B

AB terletak di dalam rongga dan CD terletak di dalam bahan dielektrik. Karena AD dan BC dapat dibuat sekecil mungkin, maka berdasarkan sifat konservatif diatas:

dt vt

d v

E

E

0

E

E

=

=

•

−

•

r

l

r

r

l

r

dengan v untuk vakum dan d untuk bahan dielektrik dan t adalah komponen tangensial.

D. HUKUM GAUSS DALAM DIELEKTRIK

(PERPINDAHAN LISTRIK)

Hukum Gauss menyatakan bahwa fluk listrik yang melewati suatu permukaan tertutup sembarang sebanding dengan muatan total yang dilingkupi permukaan tersebut.

∫

∑

∫

ρ

ε

=

ε

=

•

V 0 i

S 0

dv

1

q

1

Dalam menerapkan Hukum Gauss pada suatu daerah yang mengandung muatan-muatan yang diletakkan didalam bahan dielektrik, kita harus memperhitungkan seluruh muatan didalam permukaan Gauss (polarisasi muatan).

Pandang suatu permukaan S yang terletak di dalam bahan dielektrik. Kita berikan muatan Q di dalam volume pada permukaan S dengan asumsi bahwa muatan ini berada pada permukaan-permukaan konduktor q₁, q₂ dan q₃.

(

p

)

S 0

Q

Q

1

da

n

E

+

ε

=

•

∫

r

r

Dimana:

(

)

_∫

∫

+ +

•

+

•

∇

−

=

+

+

=

3 S 2 S 1 S V

p

3 2

1

da

n

P

dv

P

Q

q

q

q

Q

r

r

r

r

q₁

q₃ q₂

S

bahan dielektrik S₃

(

)

_∫

Teorema divergensi:

∫

•

=

∫

∇

•

Maka:

∫

∫

Jika kita definisikan suatu medan vektor makroskopik yang baru D (perpindahan listrik) :

∫

•

=

+

ε

=

S

2 0

Q

da

n

D

:

maka

]

m

/

C

[

P

E

D

r

r

r

r

r

Hukum Gauss untuk perpindahan listrik

Teorema divergensi:

∫

•

=

∫

∇

•

S V

dv

D

da

n

D

r

r

r

r

Maka:

ρ

=

•

∇

ρ

=

=

•

∇

∫

∫

D

dv

Q

dv

D

V V

r

r

r

r

E. SUSEPTIBILITAS LISTRIK DAN

KONSTANTA DIELEKTRIK

Polarisasi suatu bahan dielektrik terjadi karena respon terhadap medan listrik di dalam medium. Derajat polarisasi tidak hanya bergantung pada medan listrik (makroskopik), namun juga bergantung pada sifat-sifat molekul yang membentuk bahan dielektrik tersebut (mikroskopik).

Secara makroskopik, polarisasi didefinisikan :

( )

E

( )

E

E

P

P

r

=

r

r

=

χ

r

χ (E) adalah suseptibilitas listrik dari bahan (besaran skalar). Perpindahan listrik menjadi:

( )

(

)

( )

E

( )

E

E

E

P

E

D

0

0 0

χ

+

ε

=

ε

χ

+

ε

=

+

ε

=

r

r

r

r

Walaupun χ (E) dan ε (E) ditulis bergantung pada medan listrik, namun seringkali ditemukan bahwa χ dan ε tidak bergantung pada medan listrik (bahan linier). Pada intensitas E yang besar, besaran tersebut bergantung pada medan listrik atau

intensitas (bahan listrik/optik nonlinier).

E

D

E

P

r

r

r

r

ε

=

χ

=

Jadi perilaku listrik dari suatu bahan dicirikan oleh suseptibilitas dan permitivitas listrik.

Suatu konstanta dielektrik [tak berdimensi], didefinisikan sebagai:

0 0

1

K

ε

χ

+

=

ε

ε

=

3 x 106

1,00059 Udara (1 atm)

80,1 Air murni (destilasi 200_C)

1,000985 CO₂ (1 atm)

1,0548 Udara (100 atm)

87,8 Air murni (destilasi 00_C)

2,3 Benzen (00_C)

4,0 Sulfur

28,4 Alkohol, etil (00_C)

2,5 – 8.0 Kayu

6,1 NaCl

4,3 Kuarsa (silika, SiO₂)

18 x 106

2,3 Polietilen

19 x 106

3,5 Nilon

9 x 106

5 - 10 Gelas

6 x 106

4,5 Alumunium oksida

Kekuatan dielektrik, E

_max

Konstanta

F. MUATAN TITIK DALAM FLUIDA DIELEKTRIK

Pandang suatu muatan titik q berada pada titik asal (titik 0) dalam fluida dielektrik dengan konstanta dielektrik K.

Berapakah medan listrik E didalam fluida?

r

Hukum Gauss : Medan listrik dan polarisasi:

r

Mengapa dielektrik memperlemah medan listrik ???

Medan listrik berasal dari muatan-muatan baik eksternal maupun muatan terpolarisasi.

Muatan ekspernal berasal dari muatan titik q. Muatan terpolarisasi berasal dari kontribusi : A. rapat muatan volume:

B. rapat muatan pada permukaan dielektrik yang bersinggungan dengan muatan titik q:

P

Dari polarisasi:

Muatan titik q adalah sebuah titik secara makroskopik, namun dalam skala molekul, bisa berukuran besar, katakanlah mempunyai jari-jari b (b bisa mendekati nol).

Muatan polarisasi total di permukaan:

( )

lim

Q

Maka muatan total di dalam fluida dielektrik :

q

Skematik orientasi molekul-molekul terpolarisasi dalam bahan dielektrik mengelilingi muatan titik q.

G. SYARAT-SYARAT BATAS PADA VEKTOR MEDAN

Pandang dua meda 1 dan 2 (lihat gambar). Dengan asumsi bahwa terdapat rapat muatan permukaan σ yang berbeda dari satu titik dengan titik yang lain pada batas dua media.

S

1

D

r

2

D

r

2

n

r

1 2

Kita buat suatu permukaan tertutup S yang melewati batas kedua medium. Muatan yang dilingkupi permukaan S :

(

)

volume

2

1

S

+

ρ

₁

+

ρ

₂

×

∆

σ

Karena volume bisa kecil, maka muatan menjadi σ ∆S. Hukum Gauss:

(

−

)

•

=

σ

∆

σ

=

∆

•

+

∆

•

2 1

2

1 1

2 2

n

D

D

S

S

n

D

S

n

D

r

r

r

r

r

r

r

Karena n₂ normal juga terhadap batas (interface), maka:

1

n

r

2

1

n

σ

Terjadi diskontinu komponen normal dari D (diskontinuitas D diberikan oleh rapat muatan permukaan dari muatan eksternal di interface.

Jika tak ada muatan diantara batas dua media, maka komponen normal D

bersifat kontinu.

Bagaimana dengan medan listrik di batas tersebut ??

1

kecil

(

Jika medium 1 adalah bahan konduktor, maka χ = ∞ dan ε = ∞, sehingga E₁ = 0:

σ

=

=

n 2

t 2

D

0

E

dimana σ adalah rapat muatan permukaan total pada konduktor.

H. SYARAT-SYARAT BATAS YANG MELIBATKAN

DIELEKTRIK-DIELEKTRIK

ρ

=

•

∇

r

D

r

Jika bahan-bahan dielektrik merupakan bahan linier, isotropik dan homogen, maka:

ρ

ε

−

=

φ

∇

ε

ρ

=

•

∇

ε

=

1

E

E

D

2

r

r

r

r

Persamaan Poisson, namum

Dalam kasus kebanyakan, dielektrik tidak mengandung muatan yang terdistribusi sehingga ρ = 0 di dalam bahan dielektrik :

0

2

φ

=

∇

Persamaan Laplace dalam bahan dielektrik

Contoh soal:

I. METODA BAYANGAN YANG MELIBATKAN DIELEKTRIK

Dalam metoda bayangan yang sebelumnya, potensial di suatu titik dihasilkan oleh muatan titik dan muatan bayangan yang lokasinya berada di dalam bahan

konduktor.

Dalam kasus yang melibatkan dua atau lebih bahan dielektrik, muatan bayangan dapat berada di dalam salah satu bahan dielektrik dan syarat batas pada masing-masing interface dielektrik-dielektrik harus dipenuhi.

Pandang dua media dielektrik dengan permitivitas ε₁ dan ε₂ dipisahkan oleh suatu bidang interface. Tidak ada muatan eksternal pada interface. Suatu muatan titik diletakkan dalam dielektrik ε₁ pada posisi sejauh d dari interface. Berpakah medan listrik di medium dielektrik 1 dan 2 ???

1 2

q

Solusi:

Asumsikan bahwa interface berada pada bidang xy, dan q berada pada titik x = -d.

q q’

sumbu-x

0

x

=

d d

P

r

'

r

(

)

(

)

2 2 2

2 2

2

z

y

d

x

r

z

y

d

x

r

+

+

−

=

+

+

+

=

Potensial dalam medium 1:







 +

πε

=

φ

'

r

'

q

r

q

4

1

1 1

Potensial dalam medium 2, muatan bayangan harus berada di medium 1 (juga muatan asala q dimana keduanya berada pada poisisi (-d,0,0). Jika muatan total didefinisikan sebagai q”, maka potensial di medium 2 adalah:

r

Besarnya q’ dan q” diperoleh pada syarat batas, bahwa untuk interface yang tidak ada rapat muatan, komponen normal dari D bersifat kontinu di interface:

Sekarang kita hitung medan listrik pada interface. Karena komponen tangensial medan listrik bersifat kontinu, maka:

(

)

Dari kombinasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

q

Dalam pembahasan sebelumnya, polarisasi dielektrik dibahas secara makroskopik. Medan listrik dihitung dengan mempertimbangkan distribusi muatan eksternal (luar). Dalam Bab ini akan dibahas bagaimana medan listrik bertanggungjawab pada polarisasi molekul (mikroskopik). Dengan menggunakan model molekul yang sederhana, perilaku linier dari berbagai kelas bahan dielektrik dapat dipahami.

A. MEDAN MOLEKUL DALAM DIELEKTRIK

Medan listrik yang mengakibatkan polarisasi dari sebuah molekul dielektrik disebut medan molekul E_m.

Jadi medan molekul adalah medan listrik pada posisi molekul dalam dielektrik dan dihasilkan oleh seluruh sumber-sumber luar dan molekul-molekul yang terpolarisasi dalam bahan dielektrik, kecuali oleh satu molekul pada titik yang ditinjau.

Medan molekul dihitung dengan cara sebagai berikut:

a) Ambil sejumlah kecil dielektrik sehingga meninggalkan suatu rongga yang mengelilingi suatu titik, dimana medan molekul akan dihitung. Dielektrik sebelah kiri dihitung sebagai kontinu.

b) Letakkan kembali dielektrik ke dalam rongga (molekul per molekul). Molekul-molekul ini dianggap tidak kontinu namun sebagai dipol individu.

Prosedur ini berlaku, jika hasilnya tidak bergantung pada ukuran rongga.

Pandang suatu sampel dielektrik tipis yang dipolarisasi dengan meletakkannya dalam medan listrik seragam diantara dua pelat sejajar yang muatannya berlawanan.

+ + + + + +

-- + - + - +

- + - + - +

- + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

- + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +