INTEGRAL. Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

tertentu

Integral

b.

tak tentu

Integral

a.

x

y

d.

x

1

y

c.

x

2x

y

b.

2

4x

x

y

a.

ini

berikut

urunan

Tentukan t

:

Contoh

2 2 3















4

x

2

1

y

x

y

d.

x

2

-y

x

1

y

c.

1

4x

y

2x

y

b.

4

3x

y

2

4

x

y

a.

:

Jawab

1 3 1 2 1 2 2 1 3



































x

x

F(x) F’(x) 2x 2x 2x --- 2x ---2x 2

x

1

2



x

3

2



x

4

2



x

C

2



x

6



f(x)

dx



F(X)



C

:

Rumusnya

diketahui

(x)

F'

turunannya

jika

F(X)

semula

fungsi

mencari

Proses

adalah

tak tentu

Integral

:

Konklusi

/

Kesimpulan

alan

Pengintegr

Constanta

c

3.

Integran

Fungsi

f(x)

2.

f(x)

(x)

F'

(bersifat)

Umum

Integral

Fungsi

F(x)

1.









8

f(x)

x

(x)

F'

x

1

n

1

F(x)

3.

f(x)

x

(x)

F'

C

4

1

F(x)

2.

f(x)

x

(x)

F'

3

1

F(x)

1.

contoh

-Contoh

n 1 n 3 4 2 3

































C

x

x

... ... ... ... ... dx x . 4 ... .... .... dx x . 3 ... ... ... dx ... ... 3 dx . 2 C ... dx 5 1. 5 6 -11 10            











C C C

10 C 5x 1 C ) x 1 ( 5 1 x 5 1 -dx x . 4 x 11 1 dx x . 3 x 3 1 dx 3 1 3 dx . 2 C 5x dx 5 1. 5 5 5 -6 11 10              











C C C

11 F(2) dan x (x) F' jika F(x), Tentukan  5  c 6 4 10 11 11 c (2) 6 1 F(2) c x 6 1 F(x) dx x F(x) : Jaw ab 6 6 5        



12 logx ln x dengan c, x ln a dx x a 6. 1 -n dengan c, x 1 n a dx ax 5. 1 -n dengan c, x 1 n 1 dx x 4. c ax dx a . 3 constanta adalah a dx, f(x) a af(x)dx . 2 c x dx 1. e 1 n n 1 n n                















 

1

dx

x

c).

dx

x

1

b).

dx

5x

a).

:

ini

berikut

tak tentu

integral

-Integral

Tentukan

4 3 3 4







14 c x c x 1 4 5 dx 5x a). 5 1 4 4      



c 2x 1 c ) 1 ( 2 1 c 2 1 c x 1 3 -1 dx x dx x 1 b). 2 2 2 1 3 -3 -3            





x x

c 4 c 4 7 1 c x 1 4 3 1 dx x dx x c). 4 7 4 7 1 4 3 4 3 4 3         





x x

16

3

x

c

c

3x

c

1

3

2

-1

dx

x

dx

x

1

d).

3 3 1 1 3 2 3 2 -3 2

















 





x





































dx

f(x)

a

dx

f(x)

a

.

3

g(x)dx

-f(x)dx

dx

g(x)

f(x)

.

2

g(x)dx

f(x)dx

dx

g(x)

f(x)

1.

18











dx

5x

3.

dx

)

x

x

-(x

2.

dx

)

x

(x

1.

ini

berikut

tak tentu

Integral

Tentukan

2 5 6 2 3

c

c

x

3

1

x

4

1

c

x

3

1

c

x

4

1

dx

x

dx

x

dx

)

x

(x

1.

2 1 3 4 2 3 1 4 2 3 2 3





























20 C x 3 1 x 6 1 x 7 1 c x 3 1 c x 6 1 -c x 7 1 dx x dx x -dx x dx ) x x -(x 2. 3 6 7 3 3 2 6 1 7 2 5 6 2 5 6            









c

x

5

c

x

)

2

1

5(

dx

x

5

dx

5x

3.

2 2















22

dx

7x

4.

dx

5)

(x

3.

dp

)

p

(p

2.

dx

)

x

x

(x

1.

:

ini

dibawah

Integral

Tentukan

5 2 4 3 3 2

















c

x

x

x

























4 3 2 3 2 3 2

4

1

3

1

2

1

dx

x

-dx

x

dx

x

dx

)

x

x

(x

1.

24

c

p

5

1

p

4

1

dp

p

dp

p

dp

)

p

(p

2.

5 4 4 3 4 3



















c

25x

5x

x

3

1

25dx

dx

10x

dx

x

25)dx

x

10

(x

dx

5)

(x

3.

2 3 2 2 2

































26

c

x

c

x























5 6 5 6 1 5 1 5 1 5

6

35

5

6

7

c

x

1

5

1

7

dx

)

(7x

dx

7x

4.

dx

x

1.



5 7

x

3

dx

1)

x(x

2.





2

dx

2)

(x

3.





3

1

t

2t

2







28 c 45 7 c x c 1 7 38 x dx x dx x dx ) x . (x dx x . 1 7 3 6 7 45 7 45 1 7 38 7 38 5 7 3 5 7 3 5 7 3           









x x x

c

x

2

1

x

3

2

x

4

1

dx

x)

x

2

(x

dx

1)

x(x

2.

2 3 4 2 3 2





















30

c

8x

6x

2x

x

4

1

dx

8)

12x

6x

(x

dx

2)

(x

3.

2 3 4 2 3 3

























c

t

t

dt

1)

(2t

dt

1)

(t

1)

1)(t

(2t

dt

1

t

1

t

2t

4.

2 2































32 x c c c log ln x dengan , x ln a dx x a 6. 1 -n dengan , x 1 n a dx ax 5. 1 -n dengan , x 1 n 1 dx x . 4 c ax dx a . 3 constanta adalah a dx, f(x) a af(x)dx . 2 c x dx 1. e 1 n n 1 n n                















 

dx

)

x

(1

3.

dx

)

1

x

x(

2.

dx

x)

(x

x

1.

:

ini

berikut

tak tentu

Integral

Tentukan

2 2













x

34

c

5

2

7

2

c

5

2

7

2

c

1

1

dx

)

(

dx

x)

(x

x

dx

x)

(x

x

1.

2 3 2 5 2 7 1 2 3 1 2 5 2 3 2 5 2 2 1 2 1 2 3 1 2 5





























   







x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2 2 c 1 1 dx ) (x dx ) x(x dx ) 1 x x( 2. 3 5 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 1 2 1 1 2 3                







x x x x x

36 c 1 2 1 dx ) x 2x (x dx x x) x 2 1 ( dx ) x 2 (1 dx ) x (1 3. 1 3 2 1 3 2 1 6 1 1 6 1 1 3 1 1 3 1 3 2 6 1 3 1 3 1 3 1 3 2                        









x x x x x x

c

5

3

7

12

2

3

₃

2

₆

7

5

₃







x

x

x

38 y dan x antara hubungan carilah 3 y dan 1, dan x 0 y 0, x Bila . 24 dx y d dan f(x) y Diberikan 2. 11 F(2) dan x (x) F' jika F(x), Tentukan 1. 2 2 5         x

1 2 c c 6 4 10 11 11 c (2) 6 1 F(2) c x 6 1 F(x) dx x F(x) 6 6 5           



40 Jadi y 4x - x 1 -c 0 c 4 3 c 1 . c 4.1 3 3 y dan 1 x 0 c c 0 0 0 0 y dan 0 c c 4x y dx ) c (12x dx dx dy y c 12x dx 24 dx dx y d dx dy 24 dx y d 3 1 1 2 1 3 2 2 2 1 3 1 2 1 2 2 2 2 2                                   









x x x x

tersebut

kurva

persamaan

carilah

,

3

dx

dy

itu

kurva

singgung

garis

gradien

dan

(0,4)

titik

melalui

kurva

Sebuah

2

x



42

4

x

y

adalah

kurva

persamaan

Jadi

4

c

c

0

4

(0,4)

melalui

Kurva

c,

x

y

dx

3x

y

dx

dx

dy

y

3x

dx

dy

3 3 3 2 2



































! x(t) posisi fungsi untuk formula Tentukan 12t a(t) percepatan fungsi dengan sumbu x sepanjang bergerak dan 10 titik x pada 0) aw al (kecepatan diam keadaan dari bergerak mulai partikel Sebuah   

44 Jadi formulafungsiposisi x(t) 2t 10 10 c c 2.0 10 yaitu c nilai diperoleh 10, Untuk x(0) c 2t dt 6t dt v(t) x(t) dt dx v(t) 6t v(t) 0 c c 6.0 0 : yaitu , c nilai diperoleh 0, Untuk v(0) c 6t dt 12t a(t)dt v(t) 0 ) dengan v(0 12t a(t) dt x d 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2                           









-Cosec x Cot x 4 Sec x Tan x 3 -Sin x Cos x 2 Cos x Sin x 1 F’(x) F(x) No. 2 2

46

c

x

cosec

-dx

x

c

cot x.cose

6.

c

x

sec

dx

x

tan x.sec

5.

c

cot x

-dx

x

cosec

4.

c

tan x

dx

x

sec

.

3

c

x

cos

-dx

sin x

.

2

c

sin x

dx

x

cos

1.

2 2





































atan(ax+b).sec(ax+b) Sec(ax+b) 5 -acosec (ax+b) Cot(ax+b) 4 asec (ax+b) tan(ax+b) 3 -asin(ax+b) Cos(ax+b) 2 acos(ax+b) Sin(ax+b) 1 F’(x) F(x) No 2 2

48 c b) cosec(ax 1 dx b) x b).cosec(a cot(ax 6. c b) ax sec( a 1 dx b) b).sec(ax tan(ax 5. c b) (ax cot 1 dx b) (ax cosec 4. c b) (ax tan a 1 dx b) (ax sec 3. c b) ax cos( a 1 -dx b) sin(ax 2. c b) ax sin( a 1 dx b) cos(ax 1. 2 2                            













a a









































1 β α Cos β α Sin 2 1 β Cos α Cos . 3 β α Sin β α Sin 2 1 Sinβ α Cos . 2 β α Sin β α Sin 2 1 β Cos α Sin . 1                

50

6.

cos

3x

dx

dx

x

sin

.

5

dx

4x)

cos

4x

(sin

4.

dx

x)

sec

(tan x

3.

dx

x)

cos

-(sin x

.

2

dx

)

4

(tan

1.

:

berikut

tak tentu

integral

-integral

Tentukan

2 2 2 2 2

















x





c

3x

x

tan

dx

3

dx

sec

3)dx

x

(sec

dx

menjadi

diubah

dx

(tan

1.

2 2 2































x

x

x

3

)

1

(tan

)

4

2

52

c

cos2x

2

1

x

c

cos2x)

2

1

(

x

dx

2x

sin

-dx

dx

sin2x)

-(1

menjadi

diubah

dx

x)

cos

-(sin x

.

2

2





















c

x

x

sec

2

tan x

2

dx

-dx

x

tan x.sec

2

dx

x

sec

2

dx

)

1

sec

.

tan

2

sec

(2

:

menjadi

akan

disederhan

dx

x)

sec

(tan x

3.

2 2 2



























x

x

x

54 c cos8x 16 1 - c 8x) cos 8 1 (-2 1 dx 8x sin 2 1 dx 2 1 dx 4x) cos 4x (sin rangkap sudut 1 rumus ke diubah dx 4x) cos 4x (sin 4.      









) 8 (sin x

c

sin2x)

1

(

1

-x

1

dx

cos2x

2

1

-dx

2

1

dx

)

2

cos

2

1

2

1

(

dx

2x)

cos

-(1

2

1

menjadi

diubah

dx

sin

.

5

2





















x

x

56

c

6x

sin

12

1

x

2

1

c

6x)

sin

6

1

(

2

1

x

2

1

dx

6x)

(cos

2

1

dx

2

1

dx

6x)

cos

(1

2

1

menjadi

diubah

dx

3x

cos

6.

2



























alan). Pengintegr integrasi( dari atas batas dan bawah batas disebut masing -masing b dan a 2. integran disebut f(x) Fungsi 1. b. x sampai a x dari f(x), fungsi tentu Integral disebut dx f(x) Simbol b a  



58

 

F(x)

F(b)

-

F(a)

dx

f(x)

_ab b a







TENTU

INTEGRAL

DASAR

RUMUS

 f(x) g(x) f(x)dx g(x)dx 4. real konstanta adalah c dengan , f(x)dx c dx f(x) c . 3 dx f(x) -dx f(x) . 2 0 dx f(x) 1. b c b b a b a b a b a b a a b a a          























b a

60















0 1 -2 4 1 2 1 -3 3 1

dx

2)

-x

(6x

d.

dx

3)

(4x

b.

dx

)

1

(2x

c.

dx

2x

a.

ini

dibawah

tentu

integral

setiap

nilai

Hitunglah

 

8

1

-3

x

dx

2x

a.

2 ₁3 2 2 3 1















 





32

12

 

-

2

3



)

1

(

3

2(1)

-)

4

(

3

2(4)

3

2x

dx

3)

(4x

b.

2 2 4 1 2 4 1























x

62







 







 

2 1 2 1 2 1 4 2 1 4 2 1 2 1 4 2 1 2 1 -3

10

10

1

-2

8

1

)

1

(

2

)

2

(

dx

)

1

(2x

c.





























_



x

x







 



 





2 1 2 2 -0 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2(-1) -) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( 2 2 2x dx 2) -x (6x d. 2 1 2 2 1 3 2 2 1 3 0 1 2 2 1 3 0 1 -2                 _



x x

64





2 2 0

dx

Sin x

b.

dx

x

Cos

a.

Hitunglah

 











1

-0

sin

π

sin

sin x

dx

x

Cos

a.

2 π 2 2













 

66













   

1

1

0

0

Cos

-Cos

x

Cos

-dx

Sin x

b.

2 π 0 0 2 π 2



















36 dx 16x) (x b. 4 dx x 1 a. : ini berikut persamaan setiap memenuhi yang p nilai Tentukan p 2 3 p 0    





68

 





4

2

p

2

p

4

p

2

4

0

2

p

2

4

x

2

4

dx

4

dx

x

1

a.

2 p 0 p 0 2 1 p 0

































x



 







 



0 64 p 8 p 36 ) 32 4 ( p 8 p 36 2 . 8 .2 p 8 p 36 8 36 dx 16x) x ( b. 4 2 4 4 1 2 4 4 1 2 4 4 1 2 4 4 1 p 2 2 4 4 1 p 2 3                          



x x

70





































dx

f(x)

a

dx

f(x)

a

.

3

g(x)dx

-f(x)dx

dx

g(x)

f(x)

.

2

g(x)dx

f(x)dx

dx

g(x)

f(x)

1.

c c 1 -n dengan , x a dx ax 5. 1 -n dengan , x 1 n 1 dx x . 4 c ax dx a . 3 constanta adalah a dx, f(x) a af(x)dx . 2 c x dx 1. 1 n n 1 n n             













 

72 Tan x sec x Sec x 5 -Cosec x Cot x 4 Sec x Tan x 3 -Cot x cosec x Cosec x 6 -Sin x Cos x 2 Cos x Sin x 1 F’(x) F(x) No. 2 2

c

x

sec

dx

x

tan x.sec

5.

c

cot x

-dx

x

cosec

4.

c

tan x

dx

x

sec

.

3

c

x

cos

-dx

sin x

.

2

c

sin x

dx

x

cos

1.

2 2































74 -acot(ax+b).cosec(ax+b) Cosec(ax+b) 6 atan(ax+b).sec(ax+b) Sec(ax+b) 5 -acosec (ax+b) Cot(ax+b) 4 asec (ax+b) tan(ax+b) 3 -asin(ax+b) Cos(ax+b) 2 acos(ax+b) Sin(ax+b) 1 F’(x) F(x) No 2 2

1 c b) (ax cot 1 dx b) (ax cosec 4. c b) (ax tan a 1 dx b) (ax sec 3. c b) ax cos( a 1 -dx b) sin(ax 2. c b) ax sin( a 1 dx b) cos(ax 1. 2 2                 











a

76





































Cos α β Cos



α β



2 1 -β Sin α Sin 4. β α Cos β α Sin 2 1 β Cos α Cos . 3 β α Sin β α Sin 2 1 Sinβ α Cos . 2 β α Sin β α Sin 2 1 β Cos α Sin . 1                

Parsial

Integral

c.

tertentu

Integral

b.

tak tentu

Integral

a.

78 ri Trigonomet dan Aljabar substitusi dengan Integral bentuk soal contoh -Contoh dx 1 2x x 3. dx ) 9 ( x 2. dx ) 5 t ( t 1. Aljabar substitusi soal bentuk Contoh . A 2 1 3 2 3 2 3







   x

ri

Trigonomet

substitusi

soal

bentuk

Contoh

B.

dx

2x

Sin

-4

2x

Cos

3.

dx

Sin x

x

Cos

.

2

dx

)

x

(3

Sin

x

1.

10 2









80 du 9u menjadi dx ) 3 2 ( ) 5 3 9(x Maka dx 3) (2x du 3 2x dx du 5 3x x u Misalkan : Jawab dx ) 3 2 ( ) 5 3 9(x : Carilah 8 8 2 2 8 2







               x x x x

c

)

5

3x

(x

c

u

c

9

9u

9 2 9 9

















82

du

2

1

.

u

Menjadi

dx

1)

(2x

du

2

1

dx

2

dx

du

1

2x

u

Misalkan

:

Jawab

dx

1)

(2x

lah

Selesaikan

7 7 7























1

c

u

16

1

c

u

).

8

1

.(

2

1

du

u

2

1

8 8 8 7



















84

dx

7

3x

:

h

Tentukanla





























du

.

u

3

du

.

u

dx

7

3x

maka

3

du

dx

3

dx

du

7

3x

u

:

Misalkan

2 1

86

c

7

3

)

7

3

(

9

2

c

u

.

3

2

.

3

1

c

u

3

1

2 3 2 3 2 3

















x

x

dx

5)

-x(4x

Carilah



3 du 1 4 du dx 4 1 du dx maka 5) (u 4 1 x 5 -4x u Misalkan : Jawab       





88

c

)

5

4

(

64

5

5)

-(4x

80

1

c

u

64

5

u

80

1

4 5 4 5















x



_

1

x

dx

x

:

Carilah

2 du u 2 1 2x du . u 2x du dx atau dx 2x du maka 1 x u Misalkan : Jaw ab 2 1 2      





x

90 (4-2Cosθ) c 8 1 c u 8 1 c u 4 1 . 2 1 du u 2 1 θ sin 2 du θ. sin u dθ θ sin ) θ 2Cos -(4 θ sin 2 du dθ θ sin 2 dθ du maka θ 2Cos -4 u Misalkan : Jaw ab dθ θ sin ) θ 2Cos -(4 : Carilah 4 4 4 3 3 3 3           









2 3 2 1 3 du -1 5 -4.1 u 1 x Bila 3 5 -4.2 u 2 x Bila 4 du dx dan dx 4 du maka 5, -4x u Misalkan : Jawab dx 5) -(4x : Hitunglah           



92

 





5

16

80

)

1

81

(

16

1

)

1

(

3

16

1

u

16

1

4

4

3

1

4

















_

) 3 2 ( 1 2 1 . 2 1 2 3) d(2x 3) (2x 3) (2x dx : Jaw ab 3) (2x dx : Hitunglah 3 1 2 3 1 -2 -3 1 -2 3 1 -2     _          







x

94

dx

x

x.Cos

Sin

n

m

1

x

Cos

x

Sin

2



2



menjadi

dirubah

seterusnya

dan

x

Cos

x,

Cos

,

Cos

x,

Sin

x,

Sin

x,

Sin

seperti

genap

Pangkat

Cosinus

dan

Sinus

6 4 2 6 4 2

x

dan

2x)

Cos

1

(

2

1

x

Sin

1.

2





96

menjadi

dirubah

seterusnya

dan

x

Cos

x,

Cos

,

Cos

x,

Sin

x,

Sin

x,

Sin

seperti

ganjil

Pangkat

Cosinus

dan

Sinus

7 5 3 7 5 3

x

x

x).Cos

Sin

(1

x

x.Cos

Cos

x

Cos

2.

Sin x

x)

Cos

1

(

Sin x

.

x

Sin

x

Sin

1.

2 2 3 2 2 3













dx

Cos

x

Sin

:

h

Tentukanla



2 3 dx d(sin x) Sin -d(sin x) Sin dx x Cos Sin -dx x Cos Sin dx x Cos x) Sin x (Sin dx x Cos ) Sin 1 ( x Sin dx Cosx) . Cos ( Sin dx Cos Sin 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 3 2       

















x x x x x x x x x

98

c

5x

Cos

15

1

5x

Cos

5

1

dx

5x.Sin5x

Cos

-dx

5x

Sin

dx

5x

Sin

).

5x

Cos

-(1

dx

5x.Sin x

Sin

dx

5x

Sin

:

lah

Selesaikan

3 2 2 2 3























dx

Cos

:

h

Tentukanla



4

x

1 1 2x)dx Cos 2Cos2x (1 4 1 dx Cos2x) 1 ( 2 1 dx ) (Cos dx Cos 2 2 2 2 4              _  









x



x

100

c

Sin4x

32

1

Sin2x

4

1

x

8

3

d(4x)

Cos4x

8

1

.

4

1

d(2x)

Cos2x

4

1

dx

8

3

dx

4x

Cos

2

1

4

1

dx

2x

2Cos

4

1

dx

2

3

4

1

Cos4x)dx

2

1

2Cos2x

2

3

(

4

1









































102











dx

cosec

.

5

dx

2

cot

4.

dx

x

tan

3.

dx

cosec

.

cot

.

2

dx

sec

.

tan

1.

:

h

Tentukanla

4 4 3 4 3 2 3

x

x

x

x

x

x

RI

TRIGONOMET

FUNGSI

INVERS

0 a dengan c, a u tan arc a 1 du u a 1 . 3 1 a u 1 -dan 0 a dengan c, a u cos arc -du u a 1 . 2 1 a u 1 -dan 0 a dengan c, a u sin arc du u -a 1 . 1 2 2 2 2 2 2                                  







104 Substitusi Trigonometri Fungsi Integral Dengan a > 0

u

a

2



2

u



a

sin

θ

u

a

2



2

u



a

tan

θ

a

u

2



2

u



a

sec

θ

x

1

dx

dx

7

x

cos

arc

-dx

x

-49

1

b.

c

4

x

sin

arc

dx

x

-16

1

.

a

:

ini

berikut

tak tentu

Integral

Tentukan

2 2















































c

106









             θ) sin 1 ( 4 θ sin 4 dθ 2cosθ θ sin 4 4 θ sin 4 dθ 2cosθ 4 x dx dθ 2cosθ dx du dan θ sin 2 u kan substitusi x u maka x u 2, a maka 4 a ; 4 x dx : ini berikut Integral Hitunglah 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x

c 4x x -4 -c θ cot 4 1 dθ θ cosec 4 1 θ sin 4 dθ θ cos θ.2 sin 4 dθ θ cos 2 2 2 2 2       







x 2 2 4 x 2 x θ sin 2sinθ x   

x

x

-4

θ

cot

2



108

fungsi

dua

kali

hasil

alkan

Mengintegr

untuk

Digunakan















       du v -uv dv u vdu dv u uv vdu dv u d(uv) kan) diintegral ruas Kedua ( vdu dv u d(uv) Parsial Integral Dasar Rumus Penurunan







dx

1

-4x

x

3.

dx

sin x

x

.

2

dx

sin x

x

1.

ini

berikut

Parsial

Integral

Hitunglah

2

110



x

sin x

dx

1.

:

sbb

Tabulasi

cara

dengan

Selesaikan

Turunkan Integralkan X 1 0 Sin x dx -Cos x - Sin x +

-

x

Sin x

dx



-

x

cos

x



sin x



c

Jadi

dx

sin x

x

.

2



2 Sin x dx -Cos x - Sin x Cos x X 2x 2 0 Integralkan Turunkan 2 + -+

112

dx

1

-4x

x

3.



Tabulasi

Cara

Dengan

Integralkan Turunkan

dx

1

-4x

1

4

)

1

4

(

3

2

.

4

1





x

x

x 1 0

₍

₄

₁

₎

₄

₁

5

2

.

4

1

.

6

1

₂





x

x

c 1 4x 1) (4x 60 1 1 4x 1) x(4x 6 1 dx 1 -4x x      2  



+

-1 1 dx x 1 . x 2 1 lnx x 2 1 dx ln x x x 2 1 dx x v dx x dv dx x 1 du ln x u Misalkan dx ln x x 4. 2 2 2 2           









