REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN PADA BIDANG POINCARÉ

(1)

i

REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN

PADA BIDANG POINCARÉ

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : Chintia Rudiyanto NIM : 091414042

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(2)

(3)

(4)

iv

PERSEMBAHAN

Skripsi ini ku persembahkan untuk

semua pihak yang telah membantu

selama proses belajar ku

(5)

(6)

(7)

vii

ABSTRAK

Chintia Rudiyanto, 2013. Refleksi dan Aksioma Cermin Pada Bidang Poincare. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian ini membahas mengenai refleksi dan aksioma cermin pada bidang Poincare. Selama ini konsep geometri yang banyak dipelajari adalah seputar geometri Euclid. Padahal, ada berbagai macam sistem geometri yang lain misalnya geometri Hiperbolik. Bidang Poincare merupakan bidang yang digunakan dalam geometri Hiperbolik. Setelah membaca penelitian ini, diharapkan pembaca akan memperoeh wawasan mengenai refleksi dan aksioma cermin pada bidang Poincare.

Penelitian ini menggunakan metode studi pustaka. Buku acuan yang digunakan adalah “Geometry : A Metric Approach with Models” karangan Millman dan Parker. Refleksi dan aksioma cermin ditulis lengkap dengan definisi-definisi, dan teorema-teoremanya. Selain itu, ditambah juga dengan pembuktian-pembuktian dari teorema serta penjelasan dan contoh-contohnya.

Hasil dari penelitian ini adalah : (i) Refleksi merupakan suatu fungsi yang bersifat isometri. (ii) Aksioma cermin adalah konsep mengenai sebuah cermin dalam garis 𝑙 dalam geometri protraktor. (iii) Konsep cermin dalam 𝑙 adalah sebuah isometri yang bersifat kolineasi dan mempertahankan sudut.

(8)

viii

ABSTRACT

Chintia Rudiyanto, 2013. Reflections and Mirror Axiom in Poincaré Plane. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This research will be talking about reflections and mirror axiom in Poincare plane. During this time the most studious concept of geometry is about Euclidean geometry. In fact, there are a variety of other geometry such as hyperbolic geometry. Poincare plane is a plane that is used in the hyperbolic geometry. After reading this research, the reader will get a new knowledge about reflection and mirror axiom in Poincare plane.

This research use study methods with “Geometry: A Metric Approach with Models” of Millman & Parker as a mother book. Reflections and mirror axiom written by added the proof of lemmas and theorems with an explanation and an example.

The results of this research are: (i) Reflection is an isometric function. (ii) Mirror axiom is a concept about a mirror in a line in protractor geometry. (iii) The concept of a mirror in a line is an isometry that preserves line and angle measure.

(9)

ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus, yang telah senantiasa melimpahkan rahmat Nya sehingga skripsi dengan judul “Refleksi dan Aksioma Cermin pada Bidang Poincare” ini dapat penulis selesaikan.

Segala macam hambatan dan rintangan telah banyak penulis alami selama menyelesaikan skripsi ini. Akan tetapi semua itu telah penulis lalui dengan adanya dukungan dari banyak pihak. Untuk itu pada kesempatan ini penulis dengan sepenuh hati ingin mengucapkan terimakasih kepada beberapa pihak, diantaranya: 1. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik dan dosen pembimbing skripsi, yang dengan sabar memberikan bimbingan akademik dan dorongan selama penulis melaksanakan studi dan proses penyusunan skripsi.

2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito selaku kaprodi pendidikan matematika, Universitas Sanata Dharma.

3. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma.

4. Ibu Enny Murwaningtyas dan Bapak Sugiarto yang telah menjadi dosen penguji skripsi, terimakasih atas saran dan bimbingannya selama ini. 5. Semua dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu selama

penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma.

6. Semua staf sekretariat JPMIPA yang telah membantu memberikan pelayanan kesekretariatan selama ini.

(10)

(11)

xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

KATA PENGANTAR ... ix

DAFTAR ISI ... xi

DAFTAR SIMBOL ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xv BAB I : PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 3 1.3 Batasan Masalah ... 3 1.4 Tujuan Penulisan ... 3 1.5 Manfaat Penulisan ... 3 1.6 Metode Penulisan ... 4

(12)

xii

1.7 Sistematika Penulisan ... 5

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Bidang Kartesius dan Bidang Poincare... 6

2.2 Geometri Abstrak dan Geometri Indiensi ... 11

2.3 Geometri Metrik ... 15

2.4 Keantaraan ... 20

2.5 Segmen, Sinar Garis, Sudut, Segitiga ... 28

2.6 Aksioma Pembagian Bidang ... 34

2.7 Geometri Pash ... 37

2.8 Geometri Protraktor ... 42

2.9 Geometri Netral ... 49

2.10 Kolineasi dan Isometri ... 53

2.11 Refleksi pada bidang Euclid ... 59

BAB III REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN 3.1 Refleksi ... 63 3.2 Aksioma Cermin ... 97 BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan... 104 4.2 Saran ... 106 DAFTAR PUSTAKA

(13)

xiii

DAFTAR SIMBOL

P, Q, R : titik-titik 𝑙 : garis S : Himpunan titik-titik ℒ : Himpunan garis-garis ℳ : Geometri Metrik 𝒜 : Geometri Abstrak

𝐿_𝑎 : Garis tipe I pada bidang kartesius 𝐿_{𝑚 ,𝑏} : Garis tipe II pada bidang kartesius ℒ𝐸 : Garis-garis pada bidang Euclid

ℇ : Bidang Kartesius /bidang Euclid aL : Garis tipe I pada bidang Poincare cLr : Garis tipe II pada bidang Poincare ℒ_𝐻 : Garis-garis pada bidang Poincare ℋ : Bidang Poincare 𝑃𝑄 : Garis PQ 𝑃𝑄 : Segmen garis PQ 𝑃𝑄 : Sinar garis PQ

𝑑_𝐸 : Jarak dalam bidang Euclides 𝑑_𝐻 : Jarak dalam bidang Poincare 𝑑 𝑃, 𝑄 : Jarak antara titik P dan Q

(14)

xiv

A-B-C : Keantaraan (Titik B diantara titik A dan titik C) ∠𝐴𝐵𝐶 : Sudut ABC

∆𝐴𝐵𝐶 : Segitiga ABC

𝑚 ∠𝐴𝐵𝐷 : Ukuran sudut ABC ∥ : Sejajar ⊥ : Tegak lurus ∅ : Himpunan kosong ⊂ : Himpunan bagian ∩ : Irisan ∪ : Gabungan ∈ : Elemen / Anggota ≅ : Kongruen 𝑖𝑛𝑡 : Interior ∎ : Akhir definisi □ : Akhir pembuktian ● : Akhir contoh

(15)

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Garis vertikal pada bidang Kartesius 8 Gambar 2.2 Garis tidak vertikal pada bidang Kartesius 8 Gambar 2.3 Garis 𝑥 = 1 pada bidang Kartesius 9 Gambar 2.4 Garis 𝑦 = −𝑥 + 3 pada bidang Kartesius 9 Gambar 2.5 Garis tipe I pada bidang Poincare 10 Gambar 2.6 Garis tipe II pada bidang Poincare 10 Gambar 2.7 Garis 𝑥 = 1 pada bidang Poincare 11 Gambar 2.8 Garis 𝑥 − 1 2_{+ 𝑦}2 _{= 4 pada bidang Poincare} ₁₁

Gambar 2.9 A-B-C 24

Gambar 2.10 C-B-A 24 Gambar 2.11 Segmen garis 𝐴𝐵 dalam bidang Euclid 29 Gambar 2.12 Segmen garis 𝐴𝐵 dalam bidang Poincare 29 Gambar 2.13 Sinar garis dalam bidang Euclid 31 Gambar 2.14 Sinar garis dalam bidang Poincare 31 Gambar 2.15 Sudut dalam bidang Euclid 32 Gambar 2.16 Sudut dalam bidang Poincare 32 Gambar 2.17 Segitiga dalam bidang Euclid 34 Gambar 2.18 Segitiga dalam bidang Poincare 34 Gambar 2.19 Aksioma Pembagian Bidang dalam bidang Euclid 35 Gambar 2.20 Aksioma Pembagian Bidang dalam bidang Poincare 35

(16)

xvi

Gambar 2.21 Sisi yang saling berlawanan dalam APB 36 Gambar 2.22 Sisi yang sama dalam APB 36 Gambar 2.23 Ilustrasi Postulat Pash 37 Gambar 2.24 Interior ∠𝐴𝐵𝐶 40 Gambar 2.25 Ilustrasi Teorema Crossbar 41 Gambar 2.26 Ilustrasi Definisi 2.8.1 43 Gambar 2.27 Ilustrasi Definisi 2.8.1 43 Gambar 2.28 Ilustrasi sudut dalam bidang Poincare 46 Gambar 2.29 Ilustrasi Teorema 2.8.1 47 Gambar 2.30 Ilustrasi Teorema 2.8.2 dan Teorema 2.8.3 48 Gambar 2.31 ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 50 Gambar 2.32 ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 50 Gambar 2.33 ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 51 Gambar 2.34 ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 52 Gambar 2.35 Ilustrasi Lemma 2.10.3 57 Gambar 2.36 Ilustrasi Lemma 2.10.4 58 Gambar 2.37 Refleksi pada bidang Euclid 59 Gambar 3.1 Refleksi pada bidang Poincare 68 Gambar 3.2 Refleksi terhadap garis 𝑥 = 𝑎 68 Gambar 3.3 Refleksi terhadap garis 𝑥 = −2 76 Gambar 3.4 Refleksi titik A(2,1) 77 Gambar 3.5 Refleksi titik B(1,1) 79 Gambar 3.6 Refleksi titik C(10,5) 80

(17)

xvii

Gambar 3.7 Refleksi titik D(1,10) 81 Gambar 3.8 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 84 Gambar 3.9 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 85 Gambar 3.10 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 85 Gambar 3.11 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 86 Gambar 3.12 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 87 Gambar 3.13 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 87 Gambar 3.14 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.4 90 Gambar 3.15 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.4 91 Gambar 3.16 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.5 93 Gambar 3.17 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.2.1 101

(18)

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kata “Geometri” berasal dari bahasa Yunani “geometrein” (geo = bumi, dan metrein = mengukur), yang berarti ilmu pengukuran bumi. Pada mulanya, Geometri adalah ilmu yang digunakan untuk mengukur lahan pertanian. Sejarahwan Yunani, Herodotus (5 tahun sebelum Masehi), mengatakan orang-orang Mesir lah yang pertama kali menggunakan subjek Geometri, tetapi negara-negara kuno lain (Babylonia, India, Cina) juga mempunyai beberapa informasi Geometri. (Marvin Jay Greenberg, 1980)

Selama lebih dari 2000 tahun, Geometri identik dengan Geometri yang berasal dari buku Elements. Buku ini ditulis oleh Euclides sekitar tahun 300 sebelum Masehi. Sampai abad ke 20, buku ini masih digunakan sebagai pedoman dalam pembelajaran Geometri di sekolah-sekolah. Geometri Euclides, seperti dikenal sekarang, dianggap sebagai dasar/fondasi dari semua ilmu pasti. Namun saat ini, berbagai jenis Geometri yang lain mulai berkembang. Geometri Non Euclides ditemukan pada awal abad ke- 19. Geometri Non Euclides berkembang sebagai bentuk penyimpangan dari Geometri Euclides. Hal ini disebabkan karena ada beberapa hal yang saling

(19)

bertentangan antara Geometri Euclides dan Geometri Hiperbolik yaitu pada aksioma kesejajaran. Selain hal itu, bidang yang digunakan dalam kedua jenis geometri ini pun berbeda. Geometri Euclides menggunakan bidang Kartesius atau disebut juga bidang Euclid, sedangkan Geometri Hiperbolik menggunakan bidang Poincare. (John Stillwell, 2005)

Dalam pembicaraan mengenai geometri, baik geometri Euclides ataupun geometri Hiperbolik, terdapat topik geometri transformasi. Menurut Susanta (1990), istilah geometri transformasi dapat ditafsirkan sebagai geometri yang membahas transformasi, tetapi dapat juga ditafsirkan sebagai geometri yang dilandasi oleh transformasi. Transformasi sendiri merupakan sebuah fungsi yang bersifat bijektif dalam himpunan titik-titik. Dalam geometri Euclides, dikenal ada beberapa macam transformasi yaitu, refleksi atau pencerminan, rotasi atau putaran, translasi atau geseran, dan dilatasi. Sedangkan dalam geometri Hiperbolik, baru dikembangkan mengenai transformasi berupa refleksi atau pencerminan. Topik transformasi yang dapat dibandingkan untuk geometri Euclides dan geometri non Euclides adalah transformasi berupa refleksi.

Selama ini geometri yang telah dipelajari oleh penulis merupakan bagian dari Geometri Euclides. Penelitian mengenai Geometri Hiperbolik di Universitas Sanata Dharma pun masih sangat sedikit. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk meneliti mengenai Geometri Hiperbolik ini melalui skripsi yang berjudul “ REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN PADA BIDANG POINCARE”

(20)

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam penelitian ini yaitu :

1. Apakah yang dimaksud dengan refleksi dan aksioma cermin?

2. Bagaimanakah sifat-sifat refleksi dan aksioma cermin pada bidang Poincare?

1.3. Batasan Masalah

Pembahasan mengenai Refleksi dan Aksioma Cermin ini dibatasi pada:

1. Bidang yang digunakan adalah bidang Poincare.

2. Sistem geometri yang digunakan untuk membahas refleksi dan aksioma cermin ini adalah Geometri Netral dan Geometri Protraktor.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan penelitian ini yaitu :

1. Untuk mengetahui mengenai refleksi dan aksioma cermin pada bidang Poincare.

2. Untuk mengetahui sifat-sifat refleksi dan aksioma cermin pada bidang Poincare.

1.5. Manfaat penelitian

(21)

1. Bagi Pembaca

Pembaca dapat menambah pengetahuan mengenai refleksi dan aksioma cermin pada bidang Euclid dan Poincare.

2. Bagi Penulis

Penulis dapat menambah pengetahuan mengenai refleksi dan aksioma cermin pada bidang Euclid dan Poincare.

3. Bagi Universitas

Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang Geometri.

1.6. Metode Penelitian

Metode yang akan digunakan peneliti dalam menyusun skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi-referensi yang berkaitan dengan refleksi dan aksioma cermin pada bidang Euclid dan Poincare. Pembahasan dalam tulisan ini sebagian besar diambil dari buku

Geometry : A Metric Approach with Models, karangan Richard Millman dan

Parker (1991) dan ditambah berbagai referensi yang lain.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :

1. Membaca berbagai refrensi yang diperlukan, khusunya mengenai bidang Poincare, konsep refleksi dan aksioma cermin, serta berbagai teori-teori yang digunakan untuk membahas materi-materi itu.

2. Menyajikan kembali definisi-definisi pada bab refleksi dan aksioma cermin.

3. Melengkapi bukti-bukti dari teorema-teorema pada bab refleksi dan aksioma cermin.

(22)

4. Memberikan penjelasan yang diperlukan dan contoh-contoh dari definisi-definisi yang digunakan.

5. Memberikan penjelasan tambahan, dan contoh-contoh dari teorema-teorema yang digunakan.

6. Menyusun seluruh materi-materi yang digunakan secara runtut agar memudahkan pembaca dalam memahami.

1.7 Sistematika Penulisan

Bab pertama berupa pendahuluan. Pendahuluan ini berisi tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat serta metode penelitian dan sistematika penulisan.

Bab dua berisi tentang gambaran umum mengenai berbagai macam sistem-sistem geometri yang ada. Teori-teori yang digunakan dalam mendefinisikan berbagai sistem geometri yang ada, segitiga, sudut, sinar garis, konsep kolineasi dan isometri, konsep refleksi dalam bidang Euclid. serta definisi-definisi yang digunakan untuk membuktikan teorema yang dibahas di bab ketiga.

Bab tiga membahas tentang refleksi dan aksioma cermin. Diberikan juga bukti-bukti teorema serta contoh-contoh yang terkait dengan refleksi dan aksioma cermin.

Bab keempat atau bab terakhir berisi tentang kesimpulan dari pembahasan pada bab tiga serta saran yang diberikan penulis kepada pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini.

(23)

6

BAB II

LANDASAN TEORI

Unsur paling dasar dalam geometri adalah titik. Bermula dari konsep titik, kemudian membentuk berbagai macam konsep-konsep yang lain seperti garis, segitiga, sudut dan lain-lain. Dalam geometri, semua unsur-unsur tersebut memiliki kekhasannya masing-masing dan tergantung dari bidang yang digunakan.

Berikut akan dibahas mengenai dua jenis bidang yang banyak digunakan dalam geometri, yaitu bidang Kartesius atau sering disebut sebagai bidang Euclid, dan bidang Poincare.

2.1 Bidang Kartesius dan Bidang Poincare

Menurut Eisenhart (1960), Bidang Kartesius, umumnya didefinisikan dengan dua garis yang saling tegak lurus satu sama lain dan disebut sebagai sumbu x dan sumbu y. Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Perpotongan antara kedua sumbu tersebut adalah titik O, dan disebut sebagai titik asal. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda positif (+) atau negatif (-) . Untuk mendeskripsikan suatu titik A tertentu dalam sistem koordinat Kartesius, kita tuliskan A adalah titik (𝑥, 𝑦).

(24)

𝑥 adalah jarak dari titik A ke sumbu 𝑦, sedangkan 𝑦 adalah jarak dari titik A ke sumbu 𝑥. Selanjutnya, 𝑥 disebut sebagai absis dari titik A, dan 𝑦 disebut sebagai ordinat dari titik A.

Anggap S = ℝ2 _{= x, y |x, y ∈ ℝ merupakan titik-titik dalam bidang}

Kartesius. Kita mendefinisikan himpunan garis sebagai berikut :

Definisi 2.1.1 (Millman & Parker, 1991:18)

(i) Sebuah garis vertikal adalah himpunan bagian dari ℝ2_{yang berbentuk}

L_a = x, y ∈ ℝ2_{| x = a dengan a adalah bilangan real tertentu.}

(ii) Garis tidak vertikal adalah himpunan bagian dari ℝ2_{yang berbentuk}

L_{m ,b} = x, y ∈ ℝ2 | y = mx + b dengan m dan b bilangan real

tertentu. ∎

Misalkan ℒ_𝐸adalah kumpulan garis-garis tersebut, baik yang vertikal maupun yang tidak vertikal.

Model ℇ = ℝ2_{, ℒ}

E dinamakan bidang Kartesius. (Notasi La dan Lm,b

akan digunakan untuk menyebut garis-garis dalam ℇ.) ∎

(25)

Gambar 2.1 mengilustrasikan model garis vertikal dalam bidang Kartesius. Sedangkan Gambar 2.2 mengilustrasikan model garis yang tidak vertikal dalam bidang Kartesius.

Untuk lebih memahami tentang garis-garis pada bidang Kartesius, perhatikan contoh berikut :

Contoh 2.1.1 :

Misal titik 𝐴 1,2 , 𝐵 1, −5 , dan 𝐶(3,0) merupakan titik-titik pada bidang Kartesius.

Garis yang melalui titik A dan titik B berupa garis vertikal , sehingga persamaan garis nya adalah 𝑥 = 1. Garis ini ditunjukkan oleh Gambar 2.3. Garis yang melalui titik A dan titik C berupa garis yang tidak vertikal. Untuk mengetahui persamaan garisnya, kita harus mencari nilai 𝑚 dan 𝑏. 𝑚 = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 = 2−0 1−3 = −1 𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥 = 2 − −1 1 = 3 Gambar 2.1

Garis Vertikal pada bidang Kartesius

Gambar 2.2

Garis Tidak Vertikal pada bidang Kartesius

L_a

a

b

(26)

sehingga persamaan garis nya adalah 𝑦 = −𝑥 + 3. Garis ini ditunjukkan oleh Gambar 2.4.

Setelah membahas bidang Kartesius atau bidang Euclid, sekarang kita akan membahas mengenai bidang Poincare. Bidang Poincare sangat mirip dengan bidang Kartesius, hanya saja dalam bidang Poincare, tidak ada sumbu x dan sumbu y negatif. Bidang Poincare hanya terdiri dari setengah bagian bidang Kartesius, yaitu sisi yang berada di atas sumbu x.

Anggap S = ℍ = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2_{| 𝑦 > 0 merupakan garis-garis dalam}

bidang Poincare. Seperti kasus dalam bidang Kartesius kita akan mendeskripsikan dua tipe garis dalam bidang Poincare sebagai berikut :

(i) Garis tipe I adalah himpunan bagian ℍ yang berbentuk

aL = x, y ∈ ℍ | x = a , dengan a adalah bilangan real tertentu (ii) Garis tipe II adalah himpunan bagian ℍ yang berbentuk

cLr = x, y ∈ ℍ | x − c 2+ y2 = r2 dengan c, r ∈ ℝ dan r > 0. 𝑥 = 1 𝐵 1, −5 𝐴 1,2 -5 2 _{𝑦 = −𝑥 + 3} 𝐴 1,2 𝐶(3,0) Gambar 2.3

Garis 𝑥 = 1 pada bidang Kartesius

Gambar 2.4

(27)

Misalkan gabungan dari himpunan garis tipe I dan II adalah ℒ_H.

Definisi 2.1.4 (Milman & Parker, 1991:20)

Model ℋ = ℍ, ℒ_H dinamakan bidang Poincare. (Notasi aL dan cLr akan digunakan untuk menyebut garis-garis dalam ℋ.) ∎

Berikut ini adalah ilustrasi garis-garis dalam bidang Poincare :

Untuk lebih memahami tentang garis-garis pada bidang Poincare, perhatikan contoh berikut :

Contoh 2.1.2 :

Misal titik 𝐴 1,2 , 𝐵 1,5 , dan 𝐶(3,1) merupakan titik-titik pada bidang Poincare.

Garis yang melalui titik A dan titik B berupa garis tipe 1, sehingga persamaan garis nya adalah 𝑥 = 1. Garis ini ditunjukkan oleh Gambar 2.7. Garis yang melalui titik A dan titik C berupa garis tipe 2. Untuk mencari persamaan garisnya kita perlu mencari koordinat 𝑐 dan nilai 𝑟 nya.

𝑐 =𝑦22−𝑦12+𝑥22−𝑥12 2(𝑥2−𝑥1) = 22−12+12−32 2(1−3) = −5 −4= 5 4 aL a cLr r Gambar 2.5

Garis tipe I pada bidang Poincare

Gambar 2.6

(28)

𝑟 = (𝑥₁− 𝑐)2 _{+ 𝑦} 12 = (1 − 5 4) 2_{+ 2}2 ₌1 16+ 4 = 65 64= 65 8

sehingga persamaan garisnya adalah 𝑥 −5

4 2

+ 𝑦2 =65

64. Garis ini

ditunjukkan oleh Gambar 2.8.

2.2 Geometri Abstrak dan Geometri Insidensi

Dalam geometri, dikenal adanya berbagai macam sistem geometri. Sistem geometri yang paling sederhana adalah Geometri Abstrak. Geometri abstrak merupakan suatu sistem geometri yang hanya terdiri dari titik dan garis.

Sebuah geometri abstrak 𝒜 terdiri dari himpunan S yang unsur-unsurnya disebut titik dan himpunan ℒ yang unsur-unsurnya himpunan bagian yang tidak kosong dari S yang disebut garis, sehingga berlaku :

Gambar 2.7 Garis 𝑥 = 1 pada bidang Poincare

𝑥 = 1 𝐴 1,2 𝐵 1,5 Gambar 2.8 Garis 𝑥 −5 4 2 + 𝑦2 ₌ 65 64

pada bidang Poincare 𝑥 −5 4 2 + 𝑦2 ₌ 65 64 𝐶 3,1 𝐴 1,2

(29)

(i) Untuk setiap dua titik A, B ∈ S terdapat sebuah garis l ∈ ℒ dengan A ∈ l dan B ∈ l.

(ii) Setiap garis mempunyai paling sedikit dua titik. ∎

Jika 𝒜 = { S , ℒ } adalah sebuah geometri abstrak dengan P ∈ S , 𝑙 ∈ ℒ, dan P ∈ 𝑙, kita katakan bahwa P terletak pada garis 𝑙.

Aksioma pertama dari Geometri Abstrak mengatakan bahwa setiap satu pasang titik pasti terletak pada sebuah garis yang sama. Perlu kita ingat pula bahwa “garis” tidak berarti yang dimaksud adalah garis lurus.

Contoh 2.2.1 :

ℇ = ℝ2_{, ℒ}

𝐸 adalah sebuah geometri abstrak.

Bidang Euclid termasuk dalam geometri abstrak karena dalam bidang Euclid, terdapat titik-titik dan juga garis-garis seperti yang sudah dibahas

pada Definisi 2.1.1. ●

Contoh 2.2.2:

ℋ = ℍ, ℒ_𝐻 adalah sebuah geometri abstrak.

Bidang Poincare juga termasuk dalam geometri abstrak karena dalam bidang Poincare juga terdapat titik-titik dan garis-garis seperti yang sudah dibahas pada Definisi 2.1.3 ●

Sebuah geometri abstrak { S , ℒ } dikatakan geometri insidensi jika: 1. Setiap dua titik yang berbeda dalam S terletak pada sebuah garis

(30)

2. Terdapat tiga titik A, B, C ∈ S yang tidak semuanya berada pada

garis yang sama. ∎

Jika { S , ℒ } merupakan geometri insidensi dan P, Q ∈ S maka sebuah garis 𝑙 yang melalui titik P dan Q, akan ditulis sebagai 𝑙 = 𝑃𝑄 .

Aksioma kedua (Definisi 2.2.2(2) ) dari geometri insidensi dapat dikemukakan kembali dengan menggunakan konsep kolinear, yang akan dibahas pada Definisi 2.2.3.

Himpunan titik-titik P disebut kolinear jika ada sebuah garis l sehingga

P ⊂ l. ∎

Definisi 2.2.3 mengatakan bahwa himpunan titik-titik P disebut kolinear jika semua anggota P terletak pada garis yang sama. Sebaliknya, P disebut tidak kolinear jika P bukan himpunan titik yang kolinear. Atau dengan kata lain, himpunan P disebut tidak kolinear jika tidak semua anggota P terletak pada garis yang sama. Dengan menggunakan Definisi 2.2.3 di atas, maka aksioma kedua dari geometri insidensi dapat ditulis kembali sebagai berikut :

Definisi 2.2.2(2a) :

(31)

Contoh 2.2.3:

Bidang Kartesius dan Bidang Poincare merupakan geometri insidensi. Dalam Contoh 2.2.1 dan Contoh 2.2.2 telah disebutkan bahwa bidang Euclid dan bidang Poincare merupakan geometri abstrak. Dari Contoh 2.1.1 dan Contoh 2.1.2 juga ditunjukkan bahwa dari setiap dua titik dapat ditentukan sebuah garis yang melaluinya. Seandainya , terdapat tiga buah titik, maka belum tentu titik yang ketiga memenuhi persamaan garis yang terbentuk oleh dua titik lainnya. Oleh karena itu, bidang Euclides dan bidang Poincare merupakan geometri insidensi. ●

Selain konsep kolinear, dalam geometri abstrak dan geometri insidensi juga dikenal adanya konsep kesejajaran.

Teorema 2.2.1 (Millman & Parker, 1991:24)

Misalkan 𝑙₁ dan 𝑙₂ adalah garis-garis dalam geometri insidensi. Jika 𝑙₁ dan 𝑙₂ memiliki dua titik yang sama atau lebih, maka 𝑙₁ = 𝑙₂.

Bukti :

Anggap 𝑃 ≠ 𝑄, 𝑃 ∈ 𝑙1 ∩ 𝑙2 dan 𝑄 ∈ 𝑙1 ∩ 𝑙2. Karena kedua titik P dan

Q terletak pada 𝑙₁, maka 𝑃𝑄 = 𝑙₁. Padahal titik P dan Q juga terletak pada 𝑙₂ sehingga 𝑃𝑄 = 𝑙₂. Karena itu, 𝑙₁ = 𝑙₂. □

Teorema 2.2.1 mengatakan jika ada 2 garis dalam geometri insidensi (garis 𝑙₁ dan 𝑙₂ ). Jika 𝑙₁ melewati titik A dan B, dan begitu pula garis 𝑙₂

(32)

melewati titik A dan B, maka garis 𝑙₁ sebenarnya sama dengan garis 𝑙₂. Dua garis yang demikian biasa disebut dua garis yang berhimpit.

Jika l₁ dan l₂ adalah garis-garis dalam geometri abstrak, maka l₁ dikatakan sejajar dengan l₂ (ditulis l₁ ∥ l₂) jika l₁ = l₂ atau l₁∩ l₂ = ∅. ∎ Definisi 2.2.4 mengatakan bahwa dua garis dikatakan sejajar jika garis-garis tersebut berhimpit atau tidak mempunyai titik potong.

2.3 Geometri Metrik

Sekarang kita akan membahas mengenai geometri metrik. Geometri ini adalah geometri yang memperhitungkan mengenai jarak 2 buah titik dalam suatu bidang. Oleh karena itu, sebelum kita membahas mengenai geometri metrik lebih lanjut, mula-mula akan dibahas dahulu mengenai definisi fungsi jarak.

Fungsi jarak pada himpunan S adalah fungsi d : S x S → ℝ sehingga untuk setiap P,Q ∈ S berlaku :

1. d(P,Q) ≥ 0

2. d(P,Q) = 0 jika dan hanya jika P = Q , dan

3. d(P,Q) = d(Q, P) ∎

Aksioma pertama dari Definisi 2.3.1 mengatakan bahwa nilai dari jarak dua titik pasti lebih besar atau sama dengan nol. Jadi tidak ada nilai jarak

(33)

yang negatif. Aksioma kedua mengatakan jika ada dua titik yang sama, maka jaraknya pasti nol. Sedangkan aksioma ketiga mengatakan bahwa jarak titik P dan Q sama dengan jarak titik Q dan P.

Selanjutnya akan dibahas mengenai jarak dua titik dalam bidang Euclid dan bidang Poincare.

Definisi 2.3.2 ( Smith & Ulrich, 1956:487)

Misalkan P = (x₁, y₁) dan Q = (x₂, y₂) adalah titik-titik dalam bidang Euclid. Jarak dalam bidang Euclid diberikan oleh :

d P, Q = x₂− x₁ 2_{+ (y}

2− y1)2 ∎

Selanjutnya, jarak dalam bidang Euclid dapat disimbolkan sebagai (𝑑_𝐸), untuk membedakan dengan jarak Poincare.

Untuk lebih memahami mengenai jarak titik pada bidang Euclid, perhatikan contoh berikut :

Contoh 2.3.1 :

Misalkan titik 𝐴 2,3 dan 𝐵(4,0) adalah titik-titik dalam bidang Euclid atau bidang Kartesius. Maka jarak Euclidesnya adalah :

𝑑_𝐸 𝐴, 𝐵 = 2 − 4 2_{+ (3 − 0)}2

= 4 + 9 = 13

(34)

Setelah membahas mengenai jarak dua titik dalam bidang Euclides, sekarang kita akan membahas mengenai jarak dua titik dalam bidang Poincare.

Jika P = (x₁, y₁) dan Q = (x₂, y₂) adalah titik dalam bidang Poincare ℋ, jarak Poincare (𝑑𝐻 ) diberikan oleh :

𝑑_𝐻 𝑃, 𝑄 = 𝑙𝑛 𝑦𝑦21 jika 𝑥1= 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥1−𝑐+𝑟 𝑦 1 𝑥2−𝑐+𝑟 𝑦 2

jika P dan Q berada dalam 𝑐𝐿𝑟

∎ Untuk lebih memahami mengenai jarak titik dalam bidang Poincare, perhatikan contoh berikut :

Contoh 2.3.2 :

Misal 𝐴 2,3 , 𝐵 2,5 , 𝐶(4,1) adalah titik-titik dalam bidang Poincare. Jarak Poincare titik A dan B adalah :

𝑑_𝐻 𝐴, 𝐵 = 𝑙𝑛 𝑦2

𝑦1 = 𝑙𝑛

5 3

Jarak Poincare titik A dan C adalah : 𝑐 =12−32+42−22 2(4−2) = 4 4 = 1 𝑟 = (2 − 1)2_{+ 3}2 _{= 10} 𝑑𝐻 𝐴, 𝐶 = 𝑙𝑛 𝑥1−𝑐+𝑟 𝑦 1 𝑥2−𝑐+𝑟 𝑦 2

(35)

= 𝑙𝑛 2−1+ 10 3 4−1+ 10 1 = 𝑙𝑛 1+ 10 3 3+ 10 1 = 𝑙𝑛 1+ 10 9+3 10 . ( 9−3 10 9−3 10) = 𝑙𝑛 7−2 10 3

Jadi, jarak titik A dan B adalah 𝑙𝑛 5

3 satuan sedangkan jarak titik A dan

C adalah 𝑙𝑛 7−2 10

3 satuan. ●

Konsep fungsi jarak yang sudah kita bahas di atas merupakan konsep yang cukup penting dalam pembahasan sistem geometri metrik.

Misalkan 𝑙 adalah sebuah garis dalam geometri insidensi { S , ℒ } Asumsikan bahwa terdapat fungsi jarak d pada S . Fungsi f: l → ℝ disebut sistem koordinat untuk l jika :

1. f bijektif

2. Untuk setiap pasangan titik P dan Q pada l berlaku f P − f(Q) =

d (P, Q). (2.3.1)

∎ Persamaan (2.3.1) disebut persamaan sistem koordinat dan 𝑓(𝑃) disebut koordinat titik P dengan fungsi koordinat 𝑓.

(36)

Sebuah geometri insidensi { S , ℒ } bersama dengan fungsi jarak d memenuhi postulat sistem koordinat jika setiap 𝑙 ∈ S memiliki sistem

koordinat. ∎

Dalam hal ini kita katakan, ℳ = { S , ℒ, 𝑑 } adalah sebuah geometri metrik.

Untuk lebih memahami Definisi 2.3.5, perhatikan contoh berikut :

Contoh 2.3.2 :

Bidang Kartesius adalah sebuah geometri metrik.

Hal ini dikarenakan bidang kartesius merupakan sebuah geometri insidensi. Selain itu, dalam bidang Kartesius terdapat fungsi jarak Euclides 𝑑𝐸 seperti yang sudah dibahas pada Definisi 2.3.2.

Jadi, bidang kartesius atau bidang Euclid merupakan geometri metrik. ●

Contoh 2.3.3 :

Jika 𝑑𝐻 adalah fungsi jarak untuk bidang Poincare, maka ℍ, ℒ𝐻, 𝑑𝐻

adalah sebuah geometri metrik.

Contoh 2.2.3 mengatakan bahwa bidang Poincare merupakan geometri insidensi. Selain itu, dalam Definisi 2.3.3 dijelaskan mengenai fungsi jarak yang berlaku dalam bidang Poincare. Oleh karena itu, bidang Poincare merupakan geometri metrik. ●

(37)

Selanjutnya, akan diberikan lemma mengenai sistem koordinat.

Lemma 2.3.1 (Millman & Parker, 1991:31)

Misalkan l ∈ ℒ dan f ∶ l → ℝ fungsi surjektif dan memenuhi persamaan (2.3.1). Maka f adalah fungsi bijektif dan karena itu merupakan sistem koordinat untuk l.

Bukti :

Karena kita mengasumsikan 𝑓 adalah surjektif, maka untuk membuktikan 𝑓 adalah fungsi bijektif, kita hanya perlu menunjukkan bahwa 𝑓 adalah injektif. Sekarang anggap bahwa 𝑓 𝑃 = 𝑓(𝑄) .

Dari persamaan (2.3.1) kita dapat 𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑓 𝑃 − 𝑓(𝑄) = 0, sehingga menurut definisi fungsi jarak, P = Q. □

2.4 Keantaraan

Keantaraan merupakan konsep yang juga cukup penting. Ada banyak cara yang digunakan untuk mendefinisikan konsep keantaraan. Berikut ini akan diberikan postulat mengenai keantaraan secara aksiomatik terlebih dahulu, kemudian secara metrik.

Definisi 2.4.1 (Prenowitz & Jordan, 1965 : 186)

Dalam pembahasan secara aksiomatik, notasi untuk keantaraan adalah (a-b-c) dan dibaca sebagai b di antara a dan c. Relasi keantaraan memenuhi sistem postulat berikut :

(38)

B2. (Sifat antisiklik) Jika (a-b-c) maka bukan (b-c-a)

B3. (Koherensi linear) a, b, c adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear jika dan hanya jika (a-b-c) atau (b-c-a) atau (c-a-b)

B4. (Sifat memisahkan) Misalkan sebuah titik P yang kolinear dan berbeda dengan titik a, b, c. Maka, (a-p-b) mengakibatkan (b-p-c) atau (a-p-c) tapi tidak keduanya.

B5. (Eksistensi) Jika a ≠ b, maka ada x, y, z sedemikian sehingga (x-a-b),

(a-y-b), (a-b-z). ∎

Postulat-postulat tersebut cukup mudah dimengerti. Postulat B1 mengatakan bahwa jika titik b berada di antara a dan c, maka titik b juga berada di antara c dan a. Dari potulat pertama ini kita dapat menarik kesimpulan bahwa relasi keantaraan ini bersifat simetri . Yang terpenting adalah posisi titik yang terletak ditengah. Postulat B2 ingin mengatakan bahwa permutasi siklik tidak berlaku dalam keantaraan. Jika b berada di antara a dan c, maka pernyataan bahwa c berada di antara a dan b adalah salah. Postulat B3 berupa biimplikasi sehingga dapat diartikan menjadi 2 implikasi, yaitu :

B3.1 Jika (a-b-c) maka a, b, dan c adalah tiga titik berbeda dan kolinear. B3.2 Jika a, b dan c adalah tiga titik yang berbeda dan kolinear maka (a-b-c), atau (b-c-a) atau (c-a-b)

Postulat B4 mengatakan jika sebuah titik P memisahkan a dari b, maka titik P juga memisahkan a atau b dari titik c, tetapi tidak keduanya.

(39)

Postulat B5 berbicara mengenai eksistensi 3 buah titik sedemikian sehingga jika titik a tidak sama dengan b , maka

i) ada sebuah titik yang memisahkan titik a dan b.

ii) ada sebuah titik yang dipisahkan dari b oleh titik a, artinya titik a terletak di antara titik b dan titik lain.

iii) ada sebuah titik yang dipisahkan dari a oleh b, artinya, titik b terletak di antara titik a dan titik lainnya.

Selanjutnya, akan diberikan definisi keantaraan dengan pendekatan metrik.

Definisi 2.4.2 (Millman & Parker, 1991:47):

B di antara A dan C, jika A, B, C adalah 3 titik berbeda yang kolinear dalam geometri metrik { S , ℒ, d } , dan jika d 𝐴, 𝐵 + 𝑑 𝐵, 𝐶 =

𝑑 (𝐴, 𝐶) ∎

Dalam geometri metrik, B di antara A dan C dinotasikan sebagai A-B-C. Dan jarak 𝑑 𝐴, 𝐵 dinotasikan sebagai AB.

Yang perlu diperhatikan dari Definisi 2.4.2 adalah ketiga titik harus kolinear atau segaris. Jika tidak segaris, maka tidak bisa memenuhi konsep keantaraan. Selanjutnya, ketiga titik yang segaris tersebut harus memenuhi 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 agar bisa memenuhi Definisi 2.4.2. Jika kedua syarat tersebut terpenuhi, maka titik B dapat dikatakan terletak diantara titik A dan C.

(40)

Contoh 2.4.1 :

Misalkan 𝐴 2,0 , 𝐵 2,5 , 𝐶(2,6) adalah titik-titik dalam geometri Euclides. Untuk membuktikan bahwa ketiga titik tersebut kolinear, kita perlu mencari garis yang melewati titik A dan B, kemudian kita cek apakah garis tersebut juga melewati titik C. Jika iya, maka ketiga titik tersebut kolinear, tetapi jika tidak maka ketiga titik tersebut tidak kolinear. Garis yang melewati titik A dan B adalah garis 𝑥 = 2. Ternyata garis tersebut juga melewati titik C. Oleh karena itu ketiga titik tersebut merupakan titik-titik yang kolinear.

Sekarang kita perlu mencari jarak tiap 2 titik. 𝐴𝐵 = (2 − 2)2_{+ (5 − 0)}2 _{= 5}

𝐴𝐶 = (2 − 2)2_{+ (6 − 0)}2 _{= 6}

𝐵𝐶 = (2 − 2)2_{+ (6 − 5)}2 _{= 1}

𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 5 + 1 = 6 = 𝐴𝐶.

Dari perhitungan di atas terlihat bahwa 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶. Maka, titik B terletak di antara A dan C. ●

Teorema 2.4.1 (Millman & Parker, 1991:49):

Jika A-B-C maka C-B-A. Bukti :

Jika A, B, dan C adalah 3 titik yang berbeda dan kolinear, maka begitu juga C, B, dan A. Karena A-B-C, maka menurut Definisi 2.4.1 , AB + BC

(41)

= AC. Karena PQ = QP untuk semua P dan Q, kita mempunyai BA +CB = CA atau CB +BA = CA yang menunjukkan bahwa C-B-A. □

Untuk lebih memahami Teorema 2.4.1, perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.9 menunjukkan titik B di antara A dan C. Gambar 2.10 menunjukkan titik B di antara A dan C.

Melihat dari kedua gambar di atas dan isi Teorema 2.4.1 , kita dapat menyimpulkan bahwa yang konsep yang paling penting dalam keantaraan bukanlah posisinya, tetapi jaraknya.

Selanjutnya, akan dibahas mengenai konsep keantaraan dalam bilangan real.

Definisi 2.4.3 (Bartle & Sherbert, 1927:44)

Untuk setiap x dan y adalah sembarang bilangan real dengan x < y, terdapat sebuah bilangan real r, sedemikian sehingga x < r < y

x < r < y berarti x < r dan r < y. ∎

Untuk lebih memahami Definsi 2.4.3, perhatikan contoh berikut :

A B C Gambar 2.9 A-B-C C B A Gambar 2.10 C-B-A

(42)

Contoh 2.4.2 :

Misalkan ada 2 bilangan real, yaitu 3 dan 8. Karena 3 < 8, maka kita bisa mencari suatu bilangan real yang terletak di antara 3 dan 8, misalnya 5, sedemikian sehingga 3 < 5 <8 terpenuhi. ●

Selanjutnya, akan dibahas Teorema 2.4.2, Teorema ini ada sebagai bentuk gabungan dari Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.2. Teorema ini menggabungkan konsep keantaraan dalam titik dengan konsep keantaraan bilangan.

Anggap l adalah sebuah garis dan f sebuah sistem koordinat untuk 𝑙. Jika A, B, dan C adalah 3 titik pada garis l dengan koordinat x, y, z , maka A-B-C jika dan hanya jika x < y < z.

Bukti :

Perhatikan, jika A,B, dan C adalah titik yang sama, maka A-B-C dan x < y < z, keduanya jelas salah. Karena itu, kita mengasumsikan bahwa A,B, dan C adalah tiga titik yang berbeda.

Pertama, kita akan membuktikan jika A-B-C maka x < y < z.

Diketahui bahwa x = f(A), y=f(B) , z=f(C), dan AB + BC = AC. Maka menurut definisi fungsi jarak,

AB = 𝑓 𝐴 − 𝑓(𝐵) = 𝑥 − 𝑦 BC = 𝑦 − 𝑧 AC = 𝑥 − 𝑧 sehingga 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑧 . (2.4.1)

(43)

Kita harus menunjukkan bahwa persamaan tersebut mengakibatkan x < y < z atau z < y < x.

Karena A,B,C adalah 3 titik yang berbeda, maka hanya satu kondisi untuk x,y,z yang tepat dari antara berbagai kemungkinan berikut :

(i) x < y < z (ii) z < y < x (iii) y < x < z (iv) z < x < y (v) x < z < y (vi) y < z < x

Kita akan menunjukkan bahwa dalam kasus (iii) akan terjadi kontradiksi. Kasus (iii) mengakibatkan

𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑦 𝑥 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑥

Jika kita memasukkan persamaan tersebut ke dalam persamaan (2.4.1), maka

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑦 = 𝑧 − 𝑥 𝑥 = 𝑦

Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda. Karena itu, kasus (iii) tidak memenuhi.

Kasus (iv) mengakibatkan

𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 𝑦 − 𝑧 = 𝑦 − 𝑧 𝑥 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑧

𝑦 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑧 𝑦 = 𝑥

(44)

Karena itu, kasus (iv) tidak memenuhi. Kasus (v) mengakibatkan

𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 𝑦 − 𝑧 = 𝑦 − 𝑧 𝑥 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑥

𝑦 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑥 𝑦 = 𝑧

Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda. Karena itu, kasus (v) tidak memenuhi.

Kasus (vi) mengakibatkan

𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑦 𝑥 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑧

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑧 𝑧 = 𝑦

Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda. Karena itu, kasus (vi) tidak memenuhi.

Jadi yang memungkinkan hanyalah kasus (i) atau kasus (ii), sehingga terbukti bahwa x < y < z.

Sekarang kita akan menunjukkan jika x < y < z maka A-B-C. Anggap x<y<z (untuk kasus z<y<x sama saja). Dalam kasus ini 𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 𝑦 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑦 𝑥 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑥

(45)

atau 𝑓 𝐴 − 𝑓(𝐵) + 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐶) = 𝑓(𝐴) − 𝑓(𝐶) atau AB + BC = AC.

Jadi, A,B,C adalah tiga titik yang kolinear dan berbeda, serta A-B-C. □

2.5 Segmen, Sinar Garis, Sudut, Segitiga

Segmen garis, dan sinar garis, merupakan konsep yang penting dalam geometri. Konsep segmen garis ini sangat berperan dalam konsep segitiga. Sedangkan konsep sinar garis akan berperan dalam konsep sudut. Berikut ini akan dibahas mengenai konsep segmen garis.

Definisi 2.5.1(Millman & Parker, 1991:52)

Jika A dan B adalah titik berbeda dalam geometri metrik { S , ℒ, d } maka segmen garis dari A ke B adalah himpunan

𝐴𝐵

= 𝐶 ∈ S |𝐴 − 𝐶 − 𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐶 = 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐶 = 𝐵 ∎ Definisi 2.5.1 berbicara mengenai segmen garis. Segmen garis ini mulai dikenal dalam sistem geometri metrik. Segmen garis merupakan kumpulan titik-titik yang terletak di antara dua titik tertentu. Dua titik tertentu tersebut adalah ujung-ujung dari segmen garis. Segmen garis dinotasikan dengan 𝐴𝐵 , dimana titik A dan B adalah kedua titik ujung dari segmen garis.

Titik akhir dari segmen AB adalah A dan B. Panjang segmen AB adalah

(46)

Definisi 2.5.2 mengatakan bahwa titik akhir atau titik ujung dari segmen 𝐴𝐵

adalah dua buah titik A dan B. Selain itu, panjang segmen garis tersebut adalah jarak dari kedua titik ujungnya.

Untuk lebih memahami Definisi 2.5.1, perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.11 mengilustrasikan segmen garis dalam bidang Kartesius. Sedangkan Gambar 2.12 mengilustrasikan segmen garis dalam bidang Poincare.

Definisi 2.5.3 (Wallace &West, 1992:67)

Dua segmen garis AB dan CD dikatakan kongruen (AB ≃ CD ) jika dan hanya jika panjang kedua segmen garis tersebut sama (𝐴𝐵 = 𝐶𝐷) ∎

Untuk lebih memahami Definisi 2.5.3, perhatikan contoh berikut :

Contoh 2.5.1 :

Misalkan ada 3 segmen garis 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 dan 𝐴𝐶 , dimana 𝐴 1, 1 , 𝐵 1,3 , 𝐶(1, 5). Dari 2 segmen tersebut, kita akan mencari dua segmen yang saling kongruen. Pertama-tama kita harus mencari panjang tiap segmen garis. Gambar 2.12 𝐴𝐵 Gambar 2.11 𝐴𝐵 A B A B

(47)

Jika ketiga titik tersebut berada pada bidang Euclid, maka jarak tiap segmen adalah : 𝐴𝐵 = (1 − 1)2_{+ (1 − 3)}2 _{= 2} 𝐴𝐶 = (1 − 1)2_{+ (1 − 5)}2 _{= 4} 𝐵𝐶 = (1 − 1)2_{+ (3 − 5)}2 _{= 2} Karena 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, maka 𝐴𝐵 ≃ 𝐵𝐶 .

Sekarang, jika ketiga titik tersebut berada pada bidang Poincare. Maka, jarak tiap segmen adalah :

𝐴𝐵 = 𝑙𝑛 3 1 = ln 3 𝐴𝐶 = 𝑙𝑛 5 1 = ln 5 𝐵𝐶 = 𝑙𝑛 5 3 = ln 5 3

Karena 𝐴𝐵 ≠ 𝐴𝐶 ≠ 𝐵𝐶, maka menurut Poincare, ketiga segmen garis tersebut tidak ada yang saling kongruen. ●

Selanjutnya akan dibahas mengenai sinar garis.

Jika A dan B adalah 2 titik yang berbeda dalam geometri metrik {S , ℒ, d} maka sinar garis dari A melewati B adalah himpunan

𝐴𝐵

= 𝐴𝐵 ∪ 𝐶 ∈ S |𝐴 − 𝐵 − 𝐶 ∎ Perlu diingat bahwa sinar garis 𝐴𝐵 merupakan himpunan bagian dari garis 𝐴𝐵

(48)

hingga titik B terletak di antara titik A dan titik tersebut. Sinar garis 𝐴𝐵

hanya memiliki 1 ujung yaitu titik A, sedangkan ujung yang lain terletak di tak hingga. Oleh karena itu, titik A disebut juga sebagai titik asal sinar 𝐴𝐵 seperti disebutkan dalam Definisi 2.5.5 berikut :

Titik asal dari sinar garis AB adalah titik A. ∎

Untuk lebih memahami mengenai sinar garis,perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.13 mengilustrasikan sinar garis 𝐴𝐵 dalam bidang Euclid. Sedangkan Gambar 2.14 mengilustrasikan sinar garis 𝐴𝐵 dalam bidang Poincare.

Setelah memahami mengenai sinar garis, sekarang kita akan membahas mengenai sudut. A B A A B Gambar 2.14 𝐴𝐵 Gambar 2.13 𝐴𝐵

(49)

Jika A, B, dan C adalah titik-titik yang tidak segaris dalam geometri metrik, maka sudut ∠ABC adalah himpunan

∠𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 ∪ 𝐵𝐶 . ∎

Titik sudut dari sudut ∠ABC dalam geometri metrik adalah titik B. ∎

Definisi 2.5.6 mengatakan bahwa sudut merupakan gabungan dari dua buah sinar garis yang mempunyai titik asal yang sama. Titik asal inilah yang kemudian disebut sebagai titik sudut, seperti didefinisikan pada Definisi 2.5.7.

Untuk lebih memahami mengenai sudut, perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.15 mengilustrasikan ∠𝐴𝐵𝐶 dalam bidang Euclid. Sedangkan Gambar 2.16 mengilustrasikan ∠𝐴𝐵𝐶 dalam bidang Poincare. Dari kedua gambar sudut di atas, titik B merupakan titik sudutnya.

Gambar 2.16 ∠𝐴𝐵𝐶 Gambar 2.15 ∠𝐴𝐵𝐶 C B A B C A

(50)

Definisi 2.5.8 (Wallace &West, 1992:67)

Dua sudut (∠𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐷𝐸𝐹) dikatakan kongruen (∠𝐴𝐵𝐶 ≃ ∠𝐷𝐸𝐹) jika dan hanya jika ukuran sudut keduanya sama besar 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 =

𝑚 ∠𝐷𝐸𝐹 . ∎

Setelah membahas mengenai sudut, selanjutnya kita akan membahas mengenai segitiga.

Jika A, B, C merupakan himpunan titik-titik yang tidak segaris dalam geometri metrik, maka segitiga ABC adalah himpunan

∆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐶𝐴 . ∎

Dalam geometri metrik, titik-titik sudut dari ∆ABC adalah titik A, B, dan C. Sisi-sisi (atau rusuk) dari ∆ABC adalah AB , BC dan CA . ∎

Definisi 2.5.8 mengatakan bahwa segitiga merupakan gabungan dari 3 segmen garis yang berbeda. Ketiga segmen garis tersebut kemudian disebut sebagai sisi atau rusuk dari segitiga.

(51)

Gambar 2.17 mengilustrasikan segitiga dalam bidang Euclid. Sedangkan Gambar 2.18 mengilustrasikan segitiga dalam bidang Poincare.

Dari kedua gambar tersebut terlihat bahwa terdapat tiga segmen garis yaitu 𝐴𝐵

, 𝐵𝐶 dan 𝐶𝐴 , ketiga segmen garis tersebut merupakan sisi dari segitiga 𝐴𝐵𝐶. Sedangkan titik sudut dari segitiga 𝐴𝐵𝐶, adalah titik A, B dan C.

2.6 Aksioma Pembagian Bidang

Aksioma Pembagian Bidang (Plane Separation Axiom ) , merupakan ide yang sangat intuitif bahwa setiap garis mempunyai “dua sisi” yang dibatasi oleh garis itu sendiri.

Sebelum kita membahas mengenai Aksioma Pembagian Bidang, kita perlu memahami dulu mengenai konsep konveks dalam sebuah bidang, seperti dibahas pada Definisi 2.6.1 berikut :

Misalkan { S , ℒ, d } adalah geometri metrik dan S 1 ⊂ S dikatakan konveks jika untuk setiap dua titik P, Q ∈ S 1, terdapat segmen garis PQ ⊂ S 1. ∎ Gambar 2.18 ∆𝐴𝐵𝐶 Gambar 2.17 ∆𝐴𝐵𝐶 B B C

(52)

Definisi 2.6.1 mengatakan agar suatu bidang disebut konveks, maka untuk setiap dua titik dalam bidang tersebut (misal titik P dan Q), terdapat segmen garis 𝑃𝑄 yang semua anggotanya juga terletak pada bidang tersebut. Jadi tidak hanya sebagian dari segmen garis 𝑃𝑄 yang terletak dalam bidang, melainkan harus seluruh segmen garis 𝑃𝑄 .

Setelah memahami mengenai konsep konveks, sekarang mari kita membahas mengenai konsep Aksioma Pembagian Bidang (APB).

Sebuah geometri metrik { S , ℒ, d } memenuhi Aksioma Pembagian Bidang jika untuk setiap l ∈ ℒ terdapat dua himpunan bagian H₁dan H₂ dari S (selanjutnya disebut bidang paruh yang dibentuk oleh l ) sehingga:

1. S −𝑙 = 𝐻₁∪ 𝐻2

2. 𝐻₁dan 𝐻₂ saling lepas dan konveks

3. Jika 𝐴 ∈ 𝐻₁dan 𝐵 ∈ 𝐻₂ maka 𝐴𝐵 ∩ 𝑙 ≠ ∅ ∎ Untuk lebih memahami mengenai konsep Aksioma Pembagian Bidang, perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.19 𝑙 𝐻2 𝐻1 𝐻2 𝐻1 𝑙 Gambar 2.20

(53)

Gambar 2.19 menggambarkan konsep Aksioma Pembagian bidang dalam bidang Euclid. Sedangkan Gambar 2.20 menggambarkan konsep APB dalam bidang Poincare. Terlihat dari kedua gambar di atas bahwa garis 𝑙 memisahkan bidang menjadi dua buah bagian. Bagian pertama disebut 𝐻1 dan bagian kedua disebut sebagai 𝐻2.

Sekarang akan diberikan definisi mengenai cara menyebut 2 titik yang terletak pada salah satu atau kedua buah sisi 𝐻₁ dan 𝐻₂.

Misalkan { S , ℒ, d } adalah geometri metrik yang memenuhi APB, 𝑙 ∈ ℒ, H₁dan H₂ adalah bidang paruh yang dibentuk oleh 𝑙. Dua titik A dan B dikatakan berada pada sisi yang sama terhadap 𝑙 jika keduanya berada pada di H₁ atau H₂. Dan dikatakan berada pada sisi yang berlawanan terhadap 𝑙 jika salah satu titik berada di H1 dan titik yang lain

berada di H₂. Jika A ∈ H₁, kita katakan H₁adalah sisi dari 𝑙 yang

mengandung A. ∎

Untuk lebih memahami mengenai Definisi 2.6.3, perhatikan gambar berikut : 𝑙 A B B A 𝑙 Gambar 2.21 Gambar 2.22

(54)

Gambar 2.21 mengilustrasikan titik A dan titik B yang terletak pada sisi yang saling berlawanan terhadap garis 𝑙, dalam bidang Euclid.

Gambar 2.22 mengilustrasikan titik A dan titik B yang terletak pada sisi yang sama terhadap garis 𝑙, dalam bidang Poincare.

2.7 Geometri Pash

Sekarang kita akan membahas mengenai sistem geometri baru yaitu geometri Pash. Geometri Pash ini merupakan sistem geometri yang memenuhi Postulat Pash. Sebelum kita membahas lebih jauh mengenai geometri Pash, terlebih dahulu akan diberikan definisi mengenai Postulat Pash.

Geometri metrik dikatakan memenuhi Postulat Pash (PP) jika untuk sembarang garis 𝑙, sembarang segitiga ABC dan sembarang titik D ∈ 𝑙 sedemikian sehingga A – D – B, maka 𝑙 ∩ 𝐴𝐶 ≠ ∅ atau 𝑙 ∩ 𝐵𝐶 ≠ ∅ . ∎

Untuk lebih memahami Definisi 2.7.1, perhatikan gambar berikut :

A

D C

B

𝑙

(55)

Gambar 2.23 menunjukkan sebuah segitiga ABC, dimana terdapat titik 𝐷 ∈ 𝐴𝐵 , sedemikian sehingga untuk sembarang garis 𝑙 yang melewati D, maka garis 𝑙 tersebut akan memotong segmen garis 𝐴𝐶 atau 𝐵𝐶 .

Berikut ini akan diberikan Teorema mengenai hubungan antara Postulat Pash dengan Aksioma Pembagian Bidang, yang sudah dibahas pada bagian 2.6.

(Teorema Pash) Jika geometri metrik memenuhi APB, maka juga memenuhi PP.

Bukti :

Diketahui ∆𝐴𝐵𝐶 dan sembarang garis 𝑙. Asumsikan ada sebuah titik 𝐷 ∈ 𝑙 dengan 𝐴 − 𝐷 − 𝐵. Kita akan menunjukkan bahwa 𝑙 ∩ 𝐴𝐶 ≠ ∅ atau 𝑙 ∩ 𝐵𝐶 ≠ ∅. Perhatikan Gambar 2.23.

Sekarang andaikan 𝑙 ∩ 𝐴𝐶 = ∅. Kita akan menunjukkan bahwa 𝑙 ∩ 𝐵𝐶 ≠ ∅.

𝑙 ≠ 𝐴𝐵 karena 𝐴 ∈ 𝐴𝐶 ∩ 𝐴𝐵 . Jadi A dan B tidak berada pada garis 𝑙 dan berada pada sisi yang saling berlawanan dari garis 𝑙 karena 𝐴𝐵 ∩ 𝑙 = 𝐷 ≠ ∅. A dan C terletak pada sisi yang sama dari garis 𝑙 karena 𝐴𝐶 ∩ 𝑙 = ∅. Oleh karena itu, B dan C berada pada sisi yang saling berlawanan dari garis 𝑙 sehingga 𝑙 ∩ 𝐵𝐶 ≠ ∅.

(56)

Teorema 2.7.1 mengatakan jika geometri metrik memenuhi Aksioma Pembagian Bidang, maka geometri tersebut pasti memenuhi Postulat Pash.

Dari Definisi 2.7.1 dan Teorema 2.7.1, kita dapat merumuskan sebuah sistem geometri baru yang merupakan himpunan bagian dari geometri metrik dan memenuhi Aksioma Pembagian Bidang. Sistem geometri tersebut selanjutnya dinamakan Geometri Pash, seperti didefinisikan pada Definisi 2.7.2 berikut.

Geometri Pash adalah geometri metrik yang memenuhi APB. ∎

Definisi 2.7.2 mendefinisikan sistem geometri Pash, yaitu geometri Metrik yang memenuhi APB.

Selanjutnya, akan dibahas mengenai interior dari segmen garis, sinar garis, dan sudut. Konsep interior ini akan berperan penting dalam pembahasan Teorema Crossbar.

Interior dari sinar garis AB dalam geometri metrik adalah himpunan int AB = AB − A .

Interior dari segmen garis AB dalam geometri metrik adalah himpunan int AB = AB − A, B . ∎

(57)

Definisi 2.7.3 mengatakan bahwa interior dari sebuah sinar garis adalah himpunan titik-titik yang menyusun sinar garis tersebut, kecuali titik asal nya. Sedangkan interior dari sebuah segmen garis adalah himpunan titik-titik yang menyusun segmen garis tersebut, kecuali dua titik-titik ujungnya.

Interior ∠ABC (ditulis int(∠ABC) adalah perpotongan sisi AB yang memuat C dengan sisi BC yang memuat A. ∎

Untuk lebih memahami mengenai interior sebuah sudut, perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.24 merupakan ilustrasi Definisi 2.7.4. Gambar tersebut menunjukkan interior dari ∠𝐴𝐵𝐶, yaitu bagian yang diarsir. Bagian yang diarsir tersebut merupakan irisan antara sisi AB yang memuat C dengan sisi BC yang memuat A.

Selanjutnya, kita akan membahas mengenai Teorema Crossbar. Ide dari Teorema Crossbar ini sebenarnya hampir mirip dengan Postulat Pash.

A

C B

(58)

(Teorema Crossbar) Dalam geometri Pash, jika P ∈ int(∠ABC) maka BP memotong AC di sebuah titik F dengan A – F – C .

Agar lebih memahami Teorema Crossbar, perhatikan gambar berikut :

Bukti :

Kita andaikan pernyataan tersebut salah maka 𝐵𝑃 memotong 𝐴𝐶 disebuah tititk 𝐹 dengan 𝐹 − 𝐴 − 𝐶 atau 𝐴 − 𝐶 − 𝐹.

Sebelumnya perlu diingat bahwa 𝑃 ∈ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶) . Artinya, 𝑃 dan 𝐴 terletak pada sisi yang sama dari 𝐵𝐶 demikian juga 𝑃 dan 𝐶 terletak pada sisi yang sama dari 𝐵𝐴 .

Kita andaikan 𝐵𝑃 memotong 𝐴𝐶 di 𝐹 dan 𝐹 − 𝐴 − 𝐶, sehingga 𝐴 dan 𝐶 terletak pada sisi yang sama dari 𝐵𝑃 . Akibatnya, 𝑃 dan 𝐶 terletak pada sisi yang saling berlawanan terhadap garis 𝐵𝐴 atau dengan kata lain, 𝑃 ∉ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶). Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa 𝑃 ∈ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶) Sekarang kita andaikan 𝐵𝑃 memotong 𝐴𝐶 di 𝐹 dan 𝐴 − 𝐶 − 𝐹, sehingga 𝐴 dan 𝐶 terletak pada sisi yang sama dari 𝐵𝑃 . Akibatnya, 𝑃 dan 𝐴 terletak pada sisi yang saling berlawanan terhadap garis 𝐵𝐶 atau dengan kata lain,

C

Gambar 2.25 Ilustrasi Teorema Crossbar A

F

B

(59)

𝑃 ∉ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶). Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa 𝑃 ∈ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶).

Jadi, pengandaian salah dan yang benar adalah 𝐵𝑃 memotong 𝐴𝐶 di sebuah titik F dengan A – F – C □

Gambar 2.25 mengilustrasikan Teorema Crossbar. Teorema ini mengatakan, untuk sembarang titik P ∈ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶), maka sinar garis 𝐵𝑃 kan memotong segmen garis 𝐴𝐶 pada sebuah titik F, dimana F terletak di antara A dan C. Atau dengan kata lain, titik F ∈ 𝐴𝐶 .

2.8 Geometri Protraktor

Setelah kita membahas mengenai Geometri Pash, sekarang kita akan membahas mengenai sistem geometri lain yang bernama Geometri Protraktor. Geometri Protraktor ini merupakan himpunan bagian dari Geometri Pash. Geometri Protraktor adalah Geometri Pash yang mempunyai ukuran sudut. Sebelum kita membahas Geometri Protraktor, terlebih dahulu akan diberikan definisi mengenai ukuran sudut.

Misalkan r₀ bilangan real positif. Dalam geometri Pash, ukuran sudut (atau Protraktor) adalah fungsi m dari himpunan sudut-sudut 𝒜 ke himpunan bilangan real sedemikian sehingga berlaku

(60)

2. Jika BC pada rusuk dari bidang paruh H₁ dan θ bilangan real positif dengan 0 < θ< r₀ maka terdapat sinar garis tunggal BA dengan A ∈ H₁ dan m ∠ABC = θ

3. Jika D ∈ int(∠ABC) maka m ∠ABD + m ∠DBC = m ∠ABC . ∎ Definisi 2.8.1 membahas mengenai ukuran sudut dalam Geometri Pash. Aksioma pertama mengatakan bahwa ukuran suatu sudut berada dalam suatu rentang tertentu. Nilai minimalnya adalah 0, sedangkan nilai maksimalnya adalah suatu bilangan real positif tertentu.

Aksioma kedua berbicara mengenai konstruksi sudut. Jika 𝐵𝐶 terletak pada rusuk bidang paruh 𝐻₁ (artinya, sinar garis 𝐵𝐶 terletak pada garis yang memisahkan bidang 𝐻₁ dan 𝐻₂), maka terdapat sinar garis tunggal 𝐵𝐴

dengan 𝐴 ∈ 𝐻1, dan besar sudut yang terbentuk antara dua sinar garis

tersebut adalah bilangan real positif tertentu. Untuk lebih memahami aksioma 2 pada Definisi 2.8.1, perhatikan Gambar 2.26.

Aksioma ketiga berbicara tentang penjumlahan sudut. Jika ada dua buah sudut yang memiliki satu sinar garis yang sama, maka kedua sudut tersebut dapat membentuk sebuah sudut baru yang ukurannya merupakan jumlahan dari ukuran dua sudut tersebut. Untuk lebih memahaminya, perhatikan ilustrasi pada Gambar 2.27.

A C 𝜃 B Gambar 2.26 𝛽 𝛼 𝛼 + 𝛽 D A C B Gambar 2.27

(61)

Gambar 2.26 mengilustrasikan aksioma kedua dari Definisi 2.8.1. Sedangkan Gambar 2.27 mengilustrasikan aksioma ketiga dari Definisi 2.8.1.

Setelah membahas mengenai ukuran sudut, sekarang kita akan membahas mengenai Geometri Protraktor.

Geometri protraktor { S , ℒ, d, m } adalah geometri Pash { S , ℒ, d } dengan ukuran sudut m. ∎

Definisi 2.8.2 berbicara mengenai definisi Geometri Protraktor, yaitu Geometri Pash dengan ukuran sudut 𝑚.

Dalam geometri protraktor { S , ℒ, d, m } dua sudut ∠ABC dan ∠DEF dikatakan kongruen (∠ABC ≃ ∠DEF) jika m(∠ABC) = m(∠DEF).

∎ Definisi 2.8.3 berbicara mengenai 2 sudut yang kongruen. Dua sudut dikatakan kongruen jika ukuran ke dua sudut tersebut sama. Konsep kekongruenan sudut ini penting untuk membahas Teorema konstruksi sudut, Teorema pengurangan sudut dan teoreama penjumlahan sudut.

(62)

Selanjutnya, akan dibahas mengenai konsep ukuran sudut dalam bidang Euclides dan bidang Poincare.

Pada bidang Euclid, ukuran sudut Euclid ∠ABC adalah

𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝑐𝑜𝑠−1 _{𝐴−𝐵 . 𝐶−𝐵} 𝐴−𝐵,𝐶−𝐵 ∎

Untuk ukuran sudut dalam bidang Poincare, kita menggunakan bantuan tangen Euclid. Berikut akan diberikan definisi mengenai tangen Euclid, pada garis dalam bidang Poincare.

Jika BA adalah sinar garis pada bidang Poincare dengan A = x_A, y_A dan B = xB, yB maka tangen Euclid untuk BA di B adalah :

T_BA =

0, y_A− y_B , jika AB adalah garis tipe I, aL y_B, c − x_B , jika AB adalah garis tipe II, cLr, x_B < x_A − y_B, c − x_B , jika AB adalah garis tipe II, cLr, x_B > x_A

Tangen sinar garis Euclid untuk BA adalah sinar garis Euclid BA′ dengan A′ _{= B + T}

BA. ∎

Ukuran sudut Poincare ∠ABC dalam ℍ adalah mH ∠ABC = mE ∠A′BC′ = cos−1 TBA,TBC

TBA . TBC

dengan A‟= B + T_BA dan C‟ = B + T_BC dan mE ∠A′_BC′_{adalah ukuran}

(63)

Gambar 2.28 merupakan ilustrasi dari sudut dalam bidang Poincare. Selanjutnya, akan diberikan Teorema mengenai konstruksi sudut.

(Teorema Konstruksi Sudut ) Dalam geometri Protraktor, jika ada ∠ABC dan sebuah sinar garis ED yang terletak di tepi bidang paruh H₁, maka ada sebuah sinar garis EF dengan F ∈ H₁, dan ∠ABC ≃ ∠DEF .

Bukti :

Kita andaikan pernyataan tersebut salah maka untuk setiap sinar garis 𝐸𝐹 , ∠𝐴𝐵𝐶 ≄ ∠𝐷𝐸𝐹.

Misalkan 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝜃 maka menurut Definisi 2.8.1, terdapat sebuah sinar garis 𝐸𝐹 sehingga 𝑚 ∠𝐷𝐸𝐹 = 𝜃. Akibatnya, 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝑚 ∠𝐷𝐸𝐹 = 𝜃 sehingga ∠𝐴𝐵𝐶 ≃ ∠𝐷𝐸𝐹. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa ∠𝐴𝐵𝐶 ≄ ∠𝐷𝐸𝐹. Oleh karena itu, pengandaian salah. Jadi terbukti bahwa terdapat sebuah sinar garis 𝐸𝐹 dengan 𝐹 ∈ 𝐻₁, dan ∠𝐴𝐵𝐶 ≃ ∠𝐷𝐸𝐹 Gambar 2. 28 B 𝑇_𝐵𝐴 𝑇_𝐵𝐶 A’ A C

(64)

Atau, kita misalkan 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝜃. Dengan menggunakan Definisi 2.8.1, Teorema ini langsung terbukti . □

Teorema 2.8.1 membahas mengenai Teorema konstruksi sudut. Teorema ini mirip dengan definisi ukuran sudut pada Definisi 2.8.1, hanya saja ukuran sudut yang terbentuk bukan bilangan bilangan real tertentu, tetapi harus kongruen dengan sudut tertentu.

Untuk lebih memahami Teorema 2.8.1, perhatikan gambar berikut :

Selanjutnya, akan diberikan Teorema-Teorema mengenai penjumlahan sudut dan pengurangan sudut.

(Teorema Penjumlahan Sudut ) Dalam geometri Protraktor, jika D ∈ int (∠ABC), S ∈ int (∠PQR), ∠ABD ≃ ∠PQS, dan ∠DBC ≃ ∠SQR, maka ∠ABC ≃ ∠PQR.

Bukti :

Menurut aksioma ketiga dari definisi sudut, jika D ∈ int(∠ABC) maka m ∠ABD + m ∠DBC = m ∠ABC .

Sehingga, jika S ∈ int(∠PQR) maka

A C 𝜃 B F D 𝜃 E Gambar 2.29

(65)

m ∠PQS + m ∠SQR = m ∠PQR .

Dari kedua persamaan di atas terlihat jelas jika ∠𝐴𝐵𝐷 ≃ ∠𝑃𝑄𝑆 dan ∠𝐷𝐵𝐶 ≃ ∠𝑆𝑄𝑅 maka ∠𝐴𝐵𝐶 ≃ ∠𝑃𝑄𝑅.

Teorema 2.8.2 berbicara mengenai penjumlahan dua sudut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 2.30.

(Teorema Pengurangan Sudut ) Dalam geometri Protraktor, jika D ∈ int (∠ABC), S ∈ int (∠PQR), ∠ABD ≃ ∠PQS, dan ∠ABC ≃ ∠PQR maka ∠DBC ≃ ∠SQR.

Bukti dari Teorema ini mengikuti bukti dari Teorema 2.8.2.

Teorema ini merupakan kebalikan dari Teorema 2.8.2. Teorema 2.8.3 ini berbicara mengenai pengurangan sudut. Untuk lebih memahaminya, perhatikan Gambar 2.30.

Gambar 2.30 merupakan ilustrasi Teorema 2.8.2 dan Teorema 2.8.3.

Selanjutnya, akan diberikan Akibat mengenai garis pembagi dua tegak lurus. 𝛽 𝛼 𝛼 + 𝛽 S P R Q 𝛽 𝛼 𝛼 + 𝛽 D A C B Gambar 2.30