PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR DALAM
MODEL MATEMATIKA SIRKULASI ALBUMIN RADIOAKTIF-I131
Oleh: ANDRIYANI
Dosen Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Lumajang
e-mail: andryaknis@gmail.com
Abstract. Systems of linear differential equations is the systems that contain equations with many derivative unknown function. This systems usually using mathematical models to get real problems solving in scientific and industry applications, example albumin circulation problems. This problems about how the circulation and the distribution of albumin in the body. To study the albumin circulation process given an injection of radioactive albumin referred to as I131-albumin with certain amount into the animal vascular where it in the
normal conditions is assumed to have a constant amount of albumin, so the process of albumin circulation in the part of vascular and the extravascular, albumin is being brokendown, and albumin is being excreted will be seen. Than, made assumtion: since there is only once injection, no new albumin/protein is being synthesized. The gaining (+) and the losing (-) some of albumin that continously the each of those part and the velocity of change with the use derivatives with respect to time (t). From those assumtions, we get mathematical model of I131-radioactive albumin circulation on systems with
constant coefficients of homogen linear differential equations. This systems consist n linear differential equations in n unknown value functions, for n ≥ 2.
Key words: Mathematical Model, Albumin Circulation, Systems of Linear Differential Equations
PENDAHULUAN
Saat ini berbagai hukum maupun fenomena nyata banyak muncul secara matematis, salah satunya dalam bentuk persamaan diferensial. Penerapan dan generalisasi bentuk ini, menarik sebagian besar orang untuk mempelajari sistem n
buah persamaan diferensial dengan n-fungsi yang tak diketahui nilainya. Umumnya penerapan sistem persamaan diferensial tersebut dilatarbelakangi oleh model real pada ilmu rekayasa yang ditransformasi menjadi bentuk model matematika. Masalah sirkulasi albumin adalah contoh model real di bidang kedokteran yang perlu ditransformasi menjadi suatu model matematika.
Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis mengambil judul “Penerapan Sistem Persamaan Diferensial Linear Dalam Model Matematika Sirkulasi Albumin Radioaktif-I131”. Adapun masalah yang muncul adalah bagaimana penerapan sistem persamaan diferensial linear dalam model matematika sirkulasi albumin radioaktif-I131, dan bagaimana solusi model matematika sirkulasi albumin radioaktif-I131 dalam sistem persamaan diferensial linear tersebut. Mengingat ruang lingkup masalah yang luas, masalah sirkulasi albumin radioaktif-I131 yang digunakan dalam tulisan ini hanya dibatasi pada sirkulasi sederhana albumin. Selain itu, solusi model matematikanya juga dibatasi pada penggunaan metode matriks dengan nilai eigen real dan berbeda untuk memperoleh jumlah zat radioaktif di dalam maupun luar pembuluh, zat radioaktif yang mengurai dan yang dikeluarkan.
TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensial Linear
Bentuk dari sistem persamaan diferensial linear orde satu dengan n buah fungsi tak diketahui nilainya dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks tunggal yang lebih sederhana x'(t) = A(t)x(t)+f(t) dengan fungsi yang tak diketahui nilainya x(t)
xi(t)
dan f(t)
fi(t)
adalah vektor kolom; A(t)
aij(t)
(i 1,2,...,n) adalah matriks n x n. A, x dan f merupakan fungsi dari t yang kontinyu pada suatu interval I.
Sistem dikatakan homogen jika f(t)0, dalam hal lain sistem disebut tak homogen. Jika semua elemen dari A adalah konstanta, maka sistem dikatakan mempunyai koefisien konstanta dan matriks A dinamakan matriks konstanta untuk sistem tersebut.
Suatu solusi eksplisit persamaan x'(t) = A(t)x(t)+f(t) pada interval terbuka I adalah fungsi vektor kolom x(t)
xi(t)
, sehingga komponen-komponen fungsi x memenuhi sistem persamaan tersebut dan terdefinisi dalam interval I (Edwards and Penney, 2000: 292-294).Teorema:
Misalkan x1,x2,...,xn adalah n buah solusi dari sistem persamaan diferensial
linear homogen berbentuk x’(t)=Ax(t) pada interval terbuka I. Solusi x1,x2,...,xn
adalah bebas linear pada interval I jika dan hanya jika Wx1,x2,...,xn;t0 untuk
setiap t pada suatu interval I (Finizio/Ladas, 1988: 69).
Misalkan A adalah matriks n x n dan x1,x2,....,xn adalah n buah solusi yang
bebas linear pada interval terbuka I dari x’(t)=Ax(t), maka x(t)
) ( ...
) ( )
( 2 2 1
1x t c x t c x t
c n n
denganc1,c2,...,cn konstanta, disebut solusi
umum pada interval I dari x’(t) = A x(t) (McCann, 1982: 249).
Selanjutnya menurut Finizio/Ladas (1988: 244-245), jika terdapat suatu solusi y(x) dari persamaan diferensial……
…… ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ' ( ) 0
1 1
1
0
x a x y a x y
y x a x y x a x
f n n
yang memenuhi syarat pada titik akhir dari interval axb, sebagai contoh
A a
y( ) dan y(b) B dengan A dan B dua buah konstanta, maka syarat yang diberikan pada titik akhir (atau titik batas) dari interval axb disebut syarat batas.
Persamaan diferensial di atas bersama dengan syarat batasnya merupakan suatu masalah nilai batas (MNB) yang digunakan untuk menentukan konstanta sebarang dalam solusi umum.
Sirkulasi Albumin
Protein merupakan pembentuk bagian utama unsur padat dalam plasma dengan konsentrasi total 7,0 sampai 7,5 gr/dL. Sebenarnya protein plasma terdiri
dari campuran yang sangat kompleks sehingga dengan salting-out method, protein plasma dapat dipisahkan menjadi tiga kelompok utama yaitu: albumin, globulin, dan
fibrinogen (Murray, 1997: 728-729).
Secara kuantitatif protein terpenting dalam plasma adalah albumin yang berfungsi membentuk tekanan osmotik koloid darah sehingga mencegah plasma keluar dari kapiler, sebagai pembawa substansi lipofilik seperti asam lemak bebas,beberapa hormon steroid, vitamin dan ion kalsium serta banyak obat-obatan. Bahkan menurut Mayes (1990: 39), sekitar 40% albumin terdapat dalam plasma dan 60% lainnya dalam ruang ekstraseluler. Albumin mempunyai bentuk elips, yang berarti protein ini tidak akan banyak meningkatkan viskositas plasma sebagaimana yang dilakukan oleh molekul berbentuk memanjang seperti fibrinogen. Dengan kata lain, albumin merupakan kontributor terbesar untuk tekanan osmotik koloid intravaskuler yang menentukan pola transformasi kimia dalam sel, khususnya peran dalam fungsi transport dan penyimpanan (Guyton, 1983: 388-389).
Menurut Murray (1997: 730-732), selain memiliki kemampuan untuk mengikat berbagai macam ligand dan air, albumin juga dapat berikatan dengan sejumlah obat maupun zat radioaktif yang mempunyai implikasi farmakologis penting. Salah satu zat radioaktif yang berikatan dengan albumin yaitu zat radioaktif-I131. Zat radioaktif ini merupakan unsur non logam dengan nomor massa 131 dan memiliki kecenderungan untuk mencapai keadaan stabil dengan cara mengalami peluruhan, tanpa dipengaruhi oleh keadaan kelilingnya (berlangsung spontan). Biasanya radioaktif-I131 yang disuntikkan melalui pembuluh vena digunakan untuk pengobatan hipertiroid dan perunut untuk mencari kemungkinan penentuan lintasan biosintesis serta kecepatan pertukarannya di dalam plasma. Zat radioaktif ini secara kovalen menyatu dengan residu-tirosin dalam protein atau albumin sehingga aktivitas spesifiknya dapat ditentukan. Seperti halnya albumin yang memiliki usia paruh, zat radioaktif-I131 juga mempunyai waktu tertentu saat berada dalam tubuh yang disebut umur paruh efektif, yaitu 8 hari.
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, sebagian albumin yang dibawa oleh darah untuk diedarkan ke dalam jaringan mengalami perubahan-perubahan tertentu. Perubahan tersebut antara lain pengubahan albumin menjadi asam-asam amino yang lebih khusus, selanjutnya mengalami beberapa kali proses pemecahan/penguraian yang merupakan pelepasan gugus amino, yaitu transminasi dan deaminasi.
Pada transminasi ini terjadi pemindahan gugus amino dari satu asam amino ke asam amino lain, sedangkan pada proses deaminasi terjadi pelepasan gugus amino dalam bentuk NH4+. Dari proses pemecahan/penguraian tersebut, hasil pemecahan asam amino digunakan untuk biosintesis dan memenuhi kebutuhan protein pada jaringan, sedangkan kelebihan albumin yang telah menjadi pecahan asam amino akan diubah menjadi asam keto yang melalui siklus asam sitrat diubah menjadi urea. Tetapi pada beberapa orang tertentu, proses biosintesis dan pemenuhan kebutuhan protein tidak berjalan dengan baik, akibatnya orang tersebut mengalami
analbuminemia.
Adanya perubahan pada siklus biosintesis berbagai jenis protein plasma, khususnya albumin, mendorong munculnya banyak penelitian dengan menggunakan mediator zat radioaktif. Selanjutnya menurut Stryer (1994: 60-61), penelitian menggunakan radioaktif diawali dengan percobaan pemberian suatu protein radioaktif tertentu sebanyak dua kali suntikan pada kelinci dalam selang waktu 3 minggu. Ternyata penelitian tersebut masih belum dapat memberikan hasil yang maksimal, sehingga untuk memperkuat perkiraan penyelidikan kembali dilakukan berbagai penelitian sejenis menggunakan protein murni yang terisolasi dengan zat radioaktif-I131 terhadap hewan.
Pada keadaan normal hewan dianggap mempunyai jumlah albumin konstan, yang sebagian dari albumin ini terdapat di dalam sistem pembuluh (plasma) dari hewan dan sisanya terdapat di dalam cairan-cairan di luar pembuluh.
Sebagian albumin disalurkan ke cairan-cairan di luar pembuluh (atau, berturut-turut ke plasma), dan sebagian albumin dipecah. Kemudian protein yang dikatabolisasikan ini diganti oleh protein yang baru dibuat. Tidak diketahui secara tepat lokasi terjadinya pemecahan albumin, dan karenanya dianggap sebagian pemecahan terjadi di dalam plasma dan sebagian lagi di dalam cairan-cairan di luar pembuluh sebelum akhirnya dikeluarkan, sedangkan protein yang baru dibuat masuk kembali ke sistem melalui plasma. Oleh karena itu, model kompartemen hasil penyelidikan tentang albumin di dalam plasma (dan di dalam cairan-cairan di luar pembuluh) yang berubah secara alami dapat digambarkan seperti berikut ini.
Sketsa model kompartemen sirkulasi albumin …………
Laju reversibel albumin
Laju proses pemecahan Laju proses
pemecahan
Pembuatan albumin
Di luar pembuluh Laju proses
penyaluran
Di dalam pembuluh
Sketsa model kompartemen sirkulasi albumin
Hasil pemecahan Di luar pembuluh pembuluh pp
Pengeluaran
q
q
r
r
s
s
1
k
2
k
4
k
3
k
5
k
Dari sirkulasi albumin tersebut, muncul beberapa permasalahan yang lebih spesifik sehubungan dengan jumlah albumin radioaktif pada setiap bagian dari keseluruhan jumlah zat asal yang disuntikkan sesuai dengan proses sirkulasinya, misalnya berapa jumlah albumin radioaktif yang berada di dalam maupun di luar pembuluh? Berapa banyak albumin radioaktif yang memecah/mengurai karena proses pemecahan/penguraian serta ketidaktepatan lokasi pemecahan albumin? Serta, berapa banyak pula albumin yang dikeluarkan pada sirkulasi ini?
PEMBAHASAN
Model matematika sirkulasi albumin merupakan suatu tahap penyelesaian masalah real sebagai hasil pengamatan pada biokinetika dengan menggunakan teori maupun bahasa matematika.
Untuk mempelajari proses sirkulasi albumin, maka dilakukan penyelidikan tentang penyebaran, pemecahan dan pembentukan albumin pada hewan yang dalam keadaan normal dianggap mempunyai jumlah albumin konstan. Oleh karena itu, beberapa ahli mencoba memberi sebuah suntikan albumin radioaktif yang disebut sebagai albumin-I131 dalam jumlah tertentu pada pembuluh hewan. Akibatnya terjadi percampuran antara albumin dengan cairan pembuluh dan pada saat t sesudahnya terdapat sejumlah tertentu albumin radioaktif di dalam pembuluh (plasma) maupun sejumlah tertentu dalam cairan di luar pembuluh.
r q
p, , dan s dalam sketsa menyatakan bagian-bagian dari keseluruhan jumlah asal yang
disuntikkan. Misalkan p menyatakan jumlah albumin (gram) di dalam plasma, q
menyatakan jumlah albumin (gram) pada cairan-cairan di luar pembuluh, r menyatakan jumlah albumin (gram) hasil pemecahan/ penguraian, dan s menyatakan jumlah albumin (gram) sebagai produk pemecahan yang dikeluarkan, sedangkan k1,k2,.k3,k4 dan k5 merupakan konstanta-konstanta yang berkaitan dengan laju terjadinya bermacam-macam proses pada sirkulasi albumin, dan konstanta-konstanta tersebut ditentukan secara eksperimen.
1
k dan k2berkaitan dengan laju interaksi albumin dari pembuluh ke luar pembuluh ataupun sebaliknya. k3 dan k4berkaitan dengan proses pemecahan, sedangkan k5.berkaitan dengan proses pengeluaran albumin. Perbandingan konstanta-konstanta k1,k2,.k3 dan k4 dengan k5 adalah 1 : 2, karena albumin yang mengalami proses pengeluaran merupakan albumin yang telah memecah menjadi asam amino dengan ukuran lebih kecil dari sebelumnya, selain itu adanya cairan-cairan tertentu pada proses interaksi dan pemecahan juga memperlambat laju interaksi sehingga dalam waktu t tertentu laju albumin terjadi dua kali lebih banyak dari konstanta-konstanta pada proses lainnya.
Dari model kompartemen tersebut didapatkan beberapa persamaan laju perubahan yang berupa turunan p,q,r,smenurut waktu (t) karena adanya perolehan dan
kehilangan yang dinyatakan dalam satuan gram/hari. Dengan adanya perolehan berarti jumlah pada masing-masing bagian p,q,r dan s bertambah, sehingga setiap
perolehan ditandai oleh berlakunya operasi penjumlahan (+), sedangkan dengan kehilangan berarti jumlah setiap bagian tersebut berkurang, sehingga kehilangan ditandai oleh berlakunya operasi pengurangan (-). Dari hal itu dihasilkan persamaan-persamaan yang secara sistematis dapat disusun sebagai berikut:
r k dt ds
r k q k p k dt dr
q k k p k dt dq
p k k q k dt dp
5
5 4 3
4 2 1
3 1 2
) (
) (
Persamaan-persamaan diferensial tersebut merupakan model matematika sirkulasi albumin radioaktif-I131 dalam sistem persamaan diferensial linear orde satu yang homogen dengan koefisien konstanta, dimana p,q,r,ssebagai fungsi-fungsi yang
tak diketahui nilainya.
r Diasumsikan albumin radioaktif mula-mula ada di dalam plasma, sehingga untuk t
= 0 maka p = 1 dan q = r = s = 0. Setelah waktu tertentu ( mendekati tak terhingga) semua albumin radioaktif dikeluarkan, sehingga untuk t maka p = q = r =0 dan s = 1. Syarat awal dan akhir ini digunakan untuk mencari penyelesaian sistem homogen yang ditentukan secara eksperimen.
Selanjutnya, akan dicari berapa jumlah albumin pada setiap bagian
s r q
p, , , dari keseluruhan jumlah asal dengan mencari solusi sistem persamaan
diferensial linear yang terdiri dari persamaan-persamaan diferensial dengan menggunakan metode matriks.
Langkah 1: Menyusun sistem persamaan diferensial di atas dalam bentuk
koefisien pada persamaan matriks tunggal (1) adalah
Langkah 2: Mencari persamaan karakteristik (Pk) dari persamaan matriks (1)
0
Persamaan (2) ini diselesaikan dengan menggunakan ekspansi kofaktor sehingga
0
Untuk mencari akar-akar dari persamaan karakteristik (3), maka digunakan metode Horner untuk penyelesaiannya, sehingga diperoleh persamaan lain yang mengandung ( - k) yaitu
1230
Langkah 3: Menentukan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian
Dari persamaan (4) didapatkan akar-akar karakteristik atau nilai-nilai eigen:
3
, dan vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan
nilai-nilai eigen yaitu: 1 0
untuk 1 0 dengan sebarang nilai, maka dimisalkan u4 1. Jadi vektor eigen yang bersesuaian
dengan
Dengan cara yang sama diperoleh vektor-vektor eigen untuk
.
Berdasarkan definisi, untuk mencari solusi umum dari sistem persamaan (1) perlu dibuktikan bahwa keempat solusi p,q,r,s adalah bebas linear yang berarti
Wronskiannya ≠ 0.
himpunan solusi dari fungsi (t)adalah bebas linear. Dari definisi diketahui terdapat konstanta tertentu c1,c2,c3,c4, sehingga solusi umumnya yaitu:
Langkah 6: Mencari solusi khususnya dengan menyubstitusikan syarat awal dan syarat akhir.
Dengan menggunakan syarat awal t0 p1,qr s0 dan solusi umum
di atas diperoleh:
Karena eksponen yang negatif e 0, syarat-syarat akhir p, q, r = 0 untuk t → ∞
didapatkan
nilai
Selanjutnya persamaan-persamaan (6) dibentuk menjadi lebih sederhana yaitu:
p q
s p q r jumlah albumin radioaktif yang terdapat di dalam pembuluh (plasma) lebih banyak dibanding jumlah albumin yang berada di luar pembuluh (p > q).
p q
menunjukkan bahwa albumin radioaktif yang memecah sebanyak beberapa bagian dari keseluruhan jumlah albumin di dalam pembuluh dan di luar pembuluh. terdapat di dalam dan luar pembuluh serta albumin yang memecah. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, pada keadaan normal hewan memiliki jumlah albumin yang konstan (mendekati jumlah yang tetap), sehingga jumlah albumin yang disuntikkan pada saat t 0 dengan jumlah albumin yang dikeluarkan pada saat
t hampir sama.
Berdasarkan hasil perhitungan jumlah albumin radioaktif dalam proses sirkulasi di atas, jika albumin yang disuntikkan pada saat t 0 sampai t = 10 (hari)
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan mengenai sirkulasi albumin radioaktif-I131 dan beberapa asumsi bahwa dari satu kali penyuntikan tersebut tidak terjadi pembentukan albumin (protein) baru, adanya perolehan (+) dan kehilangan (-) sejumlah albumin yang berturut-turut pada setiap bagian serta laju perubahan yang menggunakan turunan menurut waktu t, maka diperoleh persamaan-persamaan diferensial untuk model matematika dari sirkulasi albumin radioaktif-I131 yang berupa sistem persamaan diferensial linear dengan koefisien konstanta:
r k dt ds
r k q k p k dt dr
q k k p k dt dq
p k k q k dt dp
5
5 4 3
4 2 1
3 1 2
) (
) (
Selanjutnya, dimisalkan sebarang nilai untuk konstanta-konstanta tersebut dengan perbandingan 1 : 2 untuk k1,k2,.k3 dan k4 dengan k5. Untuk mencari solusi model matematika dari sirkulasi albumin radioaktif-I131 di atas, maka digunakan
metode matriks, sehingga diperoleh hasil
dan1 1 , 2
1 ,
2 1
3 2 3
2
q p e r
e e q e e
p t t
t t
t
s1(pq)r. Hal ini berarti,
bahwa untuk t bergerak 0t10, semakin t mendekati 10, maka jumlah albumin di
dalam pembuluh, di luar pembuluh dan yang memecah/mengurai semakin mendekati nol (habis). Selain itu pada saat t tertentu yang sama, jumlah albumin di dalam pembuluh lebih banyak dari jumlah albumin di luar pembuluh sedangkan jumlah albumin yang memecah sebanyak beberapa bagian dari keseluruhan jumlah albumin di dalam dan luar pembuluh. Hal itu berbanding terbalik dengan jumlah albumin yang dikeluarkan. Semakin t mendekati 10, maka jumlah albumin yang dikeluarkan semakin mendekati satu (hampir seluruh albumin yang disuntikkan dikeluarkan), dalam hal ini jumlah albumin yang dikeluarkan pada saat t tertentu sama dengan jumlah keseluruhan albumin setelah dikurangi dengan jumlah albumin yang terdapat di dalam dan luar pembuluh serta albumin yang memecah/mengurai.
DAFTAR PUSTAKA
Edwards, CHenry and Penney, David. 2000. Differential Equations and Boundary Value Problems. New Jersey: Prentice-Hall.
Finizio/Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Terjemahan Widiarti Santoso. Jakarta: Erlangga.
Guyton, Arthur C. 1983. Buku Teks Fisiologi Kedokteran. Terjemahan Adji Dharma. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran EGC.
Mayes, P.A. 1990. Biokimia Harper. Terjemahan dr. Andri Hartono. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran EGC.
New York: Harcourt Brace Jovanovich.
Murray, Robert K, dkk. 1997. Biokimia Harper. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran EGC.
Poedjiadi, Anna. 1994. Fisika Kedokteran. Jakarta: Penerbit Buku Kedokteran EGC.
