PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK
DAN TIGA TITIK Nurul Ain Farhana1∗, Imran M.2 1∗ Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2 Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
∗nurulainfarhana95@yahoo.com
ABSTRACT
This article presents new formulae of weighted quadrature rules whose coefficients are obtained using the least square method. The new formulae are different from the known quadrature rules. Some numerical examples are given to show the approach of the new quadrature formulae.
Keywords: Weighted quadrature rule, system of linear equation, least-square method ABSTRAK
Artikel ini mendiskusikan tentang formula kuadratur berbobot yang koefisiennya di-tentukan menggunakan metode kuadrat terkecil. Formula kuadratur yang diperoleh berbeda dengan metode kuadratur yang sudah dikenal. Beberapa contoh numerik juga diberikan untuk memperjelas pendekatan dari formula kuadratur baru.
Kata kunci: Formula kuadratur berbobot, sistem persamaan linear, metode kuadrat terkecil
1. PENDAHULUAN
Matematika adalah cabang ilmu terpenting di dunia dan banyak diterapkan untuk menyelesaikan masalah diberbagai disiplin ilmu lainnya. Salah satu masalah yang sering ditemui adalah persoalan integral yang berbentuk∫abf (x)dx.
Teknik numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah integral tersebut dinamakan integrasi numerik atau kuadratur. Salah satu metode yang digunakan untuk menghampiri nilai integral adalah kuadratur Gauss.
Di dalam Burden dan Faires [3, h. 229] dijelaskan bahwa kuadratur Gauss memilih nodes untuk menghitung integral secara optimal dari pada menggu-nakan nodes yang berjarak sama. Kuadratur nodes x1, x2, . . . , xn pada interval [a, b]
dan bobot w1, w2, . . . , wn dipilih untuk meminimalkan error yang diharapkan dalam pendekatan yang berbentuk
∫ b a w(x)f (x)dx≈ N ∑ j=1 wjf (xj), (1)
sehingga persamaan (1) eksak untuk polinomial berderajat setinggi mungkin. Perhitungan metode kuadratur Gauss hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak dan menghasilkan nilai error yang tidak sama dengan nol. Hal yang selalu diharapkan dalam perhitungan adalah menghasilkan error yang mini-mum, sehingga diperlukan untuk mencari koefisien wj yang tepat pada persamaan (1). Salah satu teknik matematika yang digunakan adalah metode kuadrat terke-cil [8, h. 274].
Pada artikel ini ditinjau sebagian tulisan dari artikel Hashemiparast et al. [5]. Di bagian dua dibahas metode kuadrat terkecil yang diperlukan untuk menentukan koefisien terbaik formula kuadratur kuadrat terkecil. Di bagian tiga disajikan for-mula kuadratur kuadrat terkecil dua titik dengan fungsi bobot w(x) = 1 pada inter-val [0, 1]. Kemudian di bagian empat disajikan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik dengan fungsi bobot w(x) = (1− x2) pada interval [−1, 1]. Di bagian
terakhir dilakukan komputasi numerik terhadap tiga contoh fungsi yang berbeda untuk formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik dan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik.
2. METODE KUADRAT TERKECIL
Misalkan {ϕi(x)} menjadi sebuah basis untuk polinomial berderajat paling banyak n yang berbentuk [7, h. 128] v(x) = n ∑ i=0 ciϕi(x), (2)
dengan ciadalah nilai-nilai yang belum diketahui. Jika xiadalah nodes yang berbeda sedemikian sehingga
ai,j = ϕj(xi),
dengan i = 0, 1, ..., m dan j = 0, 1, ..., n, maka diperoleh
yi = v(xi) = n ∑
j=0 cjai,j.
Masalah yang muncul sekarang adalah bagaimana menentukan koefisien cj yang tidak diketahui besarnya sedemikian sehingga
E2 = m ∑ i=0 ( yi− n ∑ j=0 cjai,j )2 , (3)
adalah minimum dengan yi = v(xi) dapat bernilai sebarang.
Untuk meminimumkan persamaan (3) diturunkan secara parsial terhadap ck ke-mudian disamakan dengan nol. Jadi untuk setiap k = 0, 1, . . . , n diperoleh
∂ ∂ck E2 = 2 m ∑ i=0 ( yi− n ∑ j=0 cjai,j ) (−ai,k) = 0. (4)
Dengan menyusun ulang pada persamaan (4) diperoleh sistem persamaan linear berukuran n× n dengan koefisien cj yang tidak diketahui. Jadi diperoleh
m ∑ i=0 ( n ∑ j=0 ai,kai,jcj ) = m ∑ i=0 ai,kyi. (5)
Persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu
ATAC = ATY, (6) dengan A = a0,0 a0,1 · · · a0,n a1,0 a1,1 · · · a1,n .. . ... . .. ... am,0 am,1 · · · am,n , C = c0 c1 .. . cn , Y = y0 y1 .. . ym .
Persamaan (6) dinamakan sistem persamaan normal.
Selanjutnya bila masalah integrasi ditaksir dengan formula aturan Gauss diper-oleh n ∑ i=1 wixji = ∫ b a xkw(x)dx, (7)
dengan{xj|j = 0, 1, . . . , 2n − 1} dan k = 0, 1, 2, . . . , n. Misalkan
µk = ∫ b
a
xkw(x)dx, (8)
persamaan (7) ditulis untuk setiap j diperoleh
w1+ w2+· · · + wn = µ0 w1x1+ w2x2+· · · + wnxn = µ1 .. . = ... w1x2n1 −1+ w2x22n−1+· · · + wnx2nn −1 = µ2n−1 . (9)
Sistem persamaan linear (9) tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan in-vers matriks walaupun nilai-nilai xi diketahui. Hal ini disebabkan koefisien matriks pada sistem persamaan (9) berkondisi buruk [6, h. 42]. Untuk menyelesaikan ini
digunakan metode kuadrat terkecil. Untuk itu, misalkan terdapat solusi aproksi-masi dari persamaan (7) sedemikian hingga error yang bersesuaian dengan solusi tersebut pada setiap baris adalah
ej = µj− n ∑ i=1 wixji , j = 0, 1, . . . , 2n− 1. (10) Selanjutnya untuk menentukan koefisien wi, kedua ruas dari persamaan (10) dikua-dratkan sehingga diperoleh
e2j = ( µj− n ∑ i=1 wixji )2 . (11)
Bila persamaan (11) dijumlahkan untuk j = 0, 1, . . . , 2n− 1 diperoleh
2n∑−1 j=0 e2j = 2n∑−1 j=0 ( µj − n ∑ i=1 wixji )2 . (12)
Misalkan ∑2nj=0−1e2j = bE2, persamaan (12) dapat ditulis menjadi
b E2 = 2n∑−1 j=0 ( µj− n ∑ i=1 wixji )2 . (13)
Persamaan (13) memiliki bentuk sama dengan persamaan (3), oleh karena itu un-tuk meminimumkan persamaan (13) diikuti pembahasan pada persamaan (3)–(4) diperoleh 2n∑−1 j=0 ( n ∑ i=1 xjkxjiwi ) = 2n∑−1 j=0 xjkµj. (14)
Untuk sederhananya, misalkan vnm = [1, xm, x2m, . . . , x2nm−1] merupakan sebuah vektor sehingga persamaan (14) dapat dibentuk menjadi matriks yaitu
MW = N, (15) dengan M = vn1· vn1 vn1· vn2 · · · vn1· vnn vn2· vn1 vn2· vn2 · · · vn2· vnn .. . ... . .. ... vn n· vn1 vnn· vn2 · · · vnn· vnn n×n , W = w1 w2 .. . wn n×1 ,
N = µ0+ x1µ1+· · · + x2n1 −1µ2n−1 µ0+ x2µ1+· · · + x2n2 −1µ2n−1 .. . µ0+ xnµ1+· · · + x2nn −1µ2n−1 n×1 . (16)
Matriks M adalah sebuah matriks simetris yang memenuhi hasil kali dalam [1, h. 175] vni. vnj = vnj. vni = 1 + xixj + x2ix 2 j +· · · + x 2n−1 i x 2n−1 j . (17) Dengan menggunakan penjabaran deret geometri bentuk persamaan (17) menjadi
vni. vnj = 1− (xixj)
2n
1− xixj
, (18)
dengan xixj ̸= 1. Jadi, matriks M dapat ditulis menjadi
M = 1−(x2 1)2n 1−x2 1 1−(x1x2)2n 1−x1x2 · · · 1−(x1xn)2n 1−x1xn 1−(x2x1)2n 1−x2x1 1−(x22)2n 1−x2 2 · · · 1−(x2xn)2n 1−x2xn .. . ... . .. ... 1−(xnx1)2n 1−xnx1 1−(xnx2)2n 1−xnx1 · · · 1−(x2 n)2n 1−x2 n n×n . (19)
3. FORMULA KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DENGAN FUNGSI BOBOT w(x) = 1 PADA INTERVAL [0, 1] Misalkan x1 = √ 2 2 , x2 = √ 3
2 adalah sebarang titik pada interval [0, 1]. Untuk
menentukan koefisien terbaik w1, w2 pada rumus pendekatan
∫ 1 0 f (x)dx ∼= w1f (√ 2 2 ) + w2f (√ 3 2 ) , (20)
digunakan metode kuadrat terkecil. Dengan memperhatikan sistem linear (19) diperoleh M = 12064 22(4+√6) 64 22(4+√6) 64 175 64 ,
dengan menggunakan persamaan (8) diperoleh µ0 = 1, µ1 = 1 2, µ2 = 1 3, µ3 = 1 4. Selanjutnya dari persamaan (16) diperoleh
N = 1 + √ 2 2 (1 2 ) + (√ 2 2 )2( 1 3 ) + (√ 2 2 )3( 1 4 ) 1 + √3 2 (1 2 ) + (√ 3 2 )2( 1 3 ) + (√ 3 2 )3( 1 4 ) = [ 56+15√2 48 40+11√3 32 ] .
Oleh karena itu, dari persamaan (15) diperoleh [ 120 64 22(4+√6) 64 22(4+√6) 64 175 64 ] [ w1 w2 ] = [ 56+15√2 48 40+11√3 32 ] , (21)
Penyelesaian dari persamaan (21) adalah
w1 = 1.4507364700
w2 = −0.5013605822
}
. (22)
Jadi, dengan mensubstitusikan nilai-nilai (22) pada persamaan (20) diperoleh ∫ 1 0 f (x)dx ∼= (1.4507364700) f (√ 2 2 ) − (0.5013605822) f (√ 3 2 ) , (23)
yang merupakan formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik.
Apabila mengacu pada (10), dengan menyelesaikan sistem linear (9) untuk x1
dan x2 diperoleh error -nya sebagai berikut:
e0 = |w1+ w2− µ0| = 0.05062411205,
e1 = |w1x1+ w2x2− µ1| = 0.0916345952,
e2 = w1x21+ w2x22− µ2 = 0.01601446515,
e3 = w1x31+ w2x32− µ3 = 0.0627304528.
4. FORMULA KUADRATUR KUADRAT TERKECIL TIGA TITIK DENGAN FUNGSI BOBOT w(x) = (1− x2) PADA INTERVAL [−1, 1] Misalkan x1 =−12, x2 = 0, dan x3 = 12 tiga titik yang diketahui pada interval [−1, 1].
Untuk menentukan koefisien terbaik w1, w2, dan w3 dalam pendekatan
∫ 1 −1 (1− x2)f (x)dx ∼= w1f ( −1 2 ) + w2f (0) + w3f ( 1 2 ) , (24)
digunakan metode kuadrat terkecil. Dengan memperhatikan sistem linear yang ber-sesuaian dengan persamaan (19) diperoleh
M = 1365 1024 1 819 1024 1 1 1 819 1024 1 1365 1024 .
Kemudian dengan menggunakan persamaan (8) diperoleh µ0 = 4 3, µ1 = µ3 = µ5 = 0, µ2 = 4 15, µ4 = 4 35.
Selanjutnya dari persamaan (16) diperoleh N = µ0 + x1µ1+ x 2 1µ2+ x31µ3+ x41µ4+ x51µ5 µ0 + x2µ1+ x22µ2+ x23µ3+ x42µ4+ x52µ5 µ0 + x3µ1+ x23µ2+ x33µ3+ x43µ4+ x53µ5 = 591 420 4 3 591 420 .
Oleh karena itu, dari persamaan (15) diperoleh 1365 1024 1 819 1024 1 1 1 819 1024 1 1365 1024 ww12 w3 = 591 420 4 3 591 420 . (25)
Solusi dari persamaan (25) adalah
w1 = 1785992 w2 = 132595 w3 = 1785992 . (26)
Jadi, dengan mensubstitusikan nilai-nilai (26) pada persamaan (24) diperoleh ∫ 1 −1 (1− x2)f (x)dx ∼= 992 1785f ( −1 2 ) + 132 595f (0) + 992 1785f ( 1 2 ) , (27)
yang merupakan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik.
Apabila mengacu pada (10), dengan menyelesaikan sistem linear (9) untuk x1,
x2, dan x3 diperoleh error -nya sebagai berikut:
e0 = |w1+ w2 + w3− µ0| = 0, e1 = |w1x1+ w2x2+ w3x3− µ1| = 0, e2 = |w1x21+ w2x22+ w3x23− µ2| = 4 357, e3 = |w1x31+ w2x32+ w3x33− µ3| = 0, e4 = |w1x41+ w2x42+ w3x43− µ4| = 16 357, e5 = |w1x51+ w2x52+ w3x53− µ5| = 0. 5. KOMPUTASI NUMERIK
Pada bagian ini diberikan enam contoh fungsi beserta solusi eksak yang digunakan untuk melakukan uji komputasi numerik terhadap formula yang dikemukakan, yaitu
1. f1 = ∫1 0 x 2exdx = 0.7182818285. 2. f2 = ∫1 0 cos 2(x)(π 2x)dx = 0.5000000000. 3. f3 = ∫1 0 √ x (1− x)dx = 0.3926990818.
4. f4 = ∫1 −1(1− x2)cos(πx)dx = 0.4052847346. 5. f5 = ∫1 −1(1− x2)e−xdx = 1.471517765. 6. f6 = ∫1 −1(1− x2) √ 1 + xdx = 1.292995257.
Formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik dengan fungsi bobot w(x) = 1 di-gunakan untuk menghitung integral f1, f2, dan f3 dan formula kuadratur kuadrat
terkecil tiga titik dengan fungsi bobot w(x) = (1− x2) digunakan untuk
menghi-tung integral f4, f5, dan f6. Hasil penerapan metode ini disajikan pada Tabel 1.
Adapun notasi-notasi yang digunakan pada Tabel 1 yaitu LS1 menyatakan for-mula kuadratur kuadrat terkecil dua titik, ELS1 menyatakan error dari forfor-mula kuadratur kuadrat terkecil dua titik, LS2 menyatakan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik, dan ELS2 menyatakan error formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik.
Tabel 1: Hasil Komputasi Formula Kuadratur Kuadrat Terkecil Dua Titik dan Formula Kuadratur Kuadrat Terkecil Tiga Titik
fi Formula Nilai f1 LS1 0.5771631524 ELS1 0.1411186761 f2 LS1 0.2641344688 ELS1 0.2358655312 f3 LS1 0.7533505031 ELS1 0.3606514213 f4 LS2 0.2218487395 ELS2 0.1834359951 f5 LS2 1.4751876280 ELS2 0.0036698630 f6 LS2 1.2954604140 ELS2 0.0024651570
Berdasarkan Tabel 1, LS1 berhasil menemukan nilai taksiran yang diharapkan untuk f1, f2, dan f3 dan LS2 juga berhasil menemukan nilai taksiran yang
diha-rapkan untuk f4, f5, dan f6. Kemudian dapat dilihat setiap formula terdapat nilai
error -nya. Sehingga penggunaan formula kuadratur baru dapat dijadikan alternatif lain untuk memperoleh nilai taksiran suatu integral.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] H. Anton, Aljabar Linear Elementer, Edisi Kelima, Terj. dari Elementary Lin-ear Algebra, Fifth Edition, oleh P. Silaban dan I. N. Susila, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1987.
[2] H. Anton, dan C. Rorres, Aljabar Linear Elementer, Edisi Kedelapan, Terj. dari Elementary Linear Algebra, Eighth Edition, oleh R. Indriasari dan I. Harmein, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2008.
[3] R. L. Burden, dan J. D. Faires, Numerical Analysis, Ninth Ed, Brools/Cole, Boston, 2011.
[4] P. J. Davis dan P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, Second Edition., Academic Press, New York, 1984.
[5] S. M. Hashemiparast, M. Masjed-Jamei, dan M. Dehghan, On selection of the best coefficients in interpolatory quadrature rules, Journal of Applied Mathe-matics and Computation, 182 (2006), 1240–1246.
[6] V. I. Krylov, Approximate Calculation of Integrals, Macmillan, New York, 1962.
[7] S. J. Leon, Linear Algebra and Applications, Ninth Edition., Pearson Ed-ucation, Boston, 2015.
[8] J. H. Mathews, Numerical Methods for Mathematics, Sciences, and En-gineering, Prentice-Hall International, New York, 1987.
